x =0 x 1 x 2 Esercizio (tratto dal Problema 1.4 del Mazzoldi)

Transcript

1 1 Esercizio (tratto dal Problema 1.4 del Mazzoldi) Un punto materiale si muove con moto uniformemente accelerato lungo l asse x. Passa per la posizione x 1 con velocità v m/s, e per la posizione x x 1 + x con velocità v 8. m/s. Sapendo che x 1 m, calcolare: 1. l accelerazione;. il tempo che il punto impiega a percorrere il tratto x. x x 1 x

2 SOLUZIONE Dati Iniziali v m/s v 8. m/s x 1 m Siccome il testo precisa che si tratta di un moto uniformemente accelerato, possiamo applicare le formule relative a questo tipo di moto. Scegliamo come origine dei tempi (t ) l istante in cui il punto materiale passa per la posizione x 1 (e sappiamo che in tale istante ha velocità v 1 ). Pertanto la legge oraria si scrive come: x(t) x 1 + v 1 t + 1 a t (1) v(t) dx dt v 1 + a t () CHECK: Siccome esistono varie espressioni per la legge oraria di un moto uniformemente accelerato, controlliamo che la formula (1) usata sia corretta. Deve valere che all istante t il punto materiale si trovi alla posizione x 1 con velocità v 1, ossia deve valere che x(t ) x 1 e che v(t ) v 1. Controllando x(t ) x 1 + v a x 1 OK (3) v(t ) v 1 + a v 1 OK (4) Possiamo procedere ora in due modi: Primo modo: Utilizziamo l informazione che il punto materiale passa per x con velocità v. Non sappiamo a quale istante ci passa. Indichiamo istante in cui il punto materiale passa per x Allora per definizione avremo x x( ) x 1 + v at v v( ) v 1 + a (5)

3 3 ossia Ricordando che otteniamo il sistema x x 1 v at v v 1 a (6) x x x 1 x v at v v 1 a (7) dove x, v 1 e v sono parametri noti dal testo, mentre a e sono due incognite. Abbiamo dunque un sistema di due equazioni in due incognite, che possiamo risolvere con semplici passaggi x t ( v 1 + 1at ) (8) a v v 1 Sostituendo la seconda nella prima x ( v 1 + v v 1 ) t v +v 1 a v v 1 (9) da cui ossia x v +v 1 a v v 1 (1) x v +v 1 a v v 1 x v v 1 x v +v 1 (11) Sostituisco (solo ora!) i dati numerici t x v +v 1 a 8. m s 1 m/ 8. m/ s +1.9 m/ s s / m/ 1.9 s ( ) m 1 m/ 1.98 s s 3.18 m s (1) Controllo dimensionale: controllo che i risultati ottenuti abbiano la dimensione giusta. In effetti (che deve essere un tempo) risulta avere le dimensioni del s, mentre a (che dev essere un accelerazione) risulta avere le dimensioni di m/s.

4 4 Secondo modo: Ricordiamo che, in generale, disegnando la curva v(t) lo spazio percorso è l area sottesa da tale grafico (vedi Fig.1) Questo risultato è una conseguenza della definizione stessa v t v(t) dt x t Figure 1: di derivata v(t)dt dx dt dt x(t ) x() x x 1 x (13) Nel nostro caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato, il grafico di v(t) è una retta, come mostrato in Fig., e dunque il grafico da essa sotteso non è nient altro che un trapezio, la cui area è base x semi-somma delle altezze, ossia x v1 + v (14) v v v 1 t Figure : D altra parte, nel grafico v(t), l accelerazione è proprio la pendenza dell andamento lineare, che si può scrivere come a v v 1 (15) da cui v v 1 (16) a

5 5 Combinando (14) e (16 ) otteniamo da cui si ottiene che coincide con la prima delle (11). x v1 + v v v 1 v 1 + v a v v 1 a a v v 1 x (17) (18) Sostituisco (solo ora!) i dati numerici a m/ m/ s s 1 m/ ( ) m s 3.18 m s (19) Dalla (16) abbiamo poi v v 1 a 8. m/ s 1.9 m/ s 3.18 m/ s 1.98 s () (1) () che coincide con la seconda delle (11). Commento: La seconda formula ottenuta in (11) a v v 1 x è una delle note formule del moto rettilineo uniformemente accelerato (3) Quando si usa una formula occorre ricordarsi le condizioni in cui tale formula vale: la (3) non vale per qualsiasi moto, ma solo per uno uniformemente accelerato. supponiamo di non ricordare se la formula corretta sia a v v 1 x oppure a v v 1 x Possiamo ritrovare la formula giusta tramite il controllo dimensionale. E infatti facile vedere che la seconda formula è dimensionalmente sbagliata (e pertanto priva di senso), e dunque quella corretta è la prima.?