Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X.

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1 Serie umeriche Paola Rubbioi Deizioe, serie otevoli e primi risultati Deizioe.. Data ua successioe di umeri reali (a ) 2N, si dice serie umerica la successioe delle somme parziali (S ) 2N, ove S = a + + a P i= a i, e si idica co il simbolo Nella scrittura di serie, a viee detto termie geerale della serie. +X = a : () Si oti che la () e eettivamete solo u simbolo, i quato o ha seso il voler sommare iiti termii. L'idea ci suggerisce pero di dover eettuare u qualche passaggio al ite. Ed ifatti, teedo presete che ua serie umerica per deizioe o e altri che ua particolare successioe umerica, adiamo a studiare il comportameto proprio tramite u processo di ite. Deizioe.2. Ua serie si dice covergete, divergete o idetermiata rispettivamete se il ite!+ S!+ P i= a i e u umero reale S, e o o esiste. Nel caso i cui la serie sia covergete, il valore S si dice somma della serie e si scrive S = P + = a. Vediamo ora alcue serie otevoli. Serie geometrica. E' la serie +X = q ; q 2 R : Osserviamo che qui il termie geerale a e la poteza esima del umero reale q. Esso viee detto ragioe della serie geometrica. Per studiare il comportameto dobbiamo studiare il ite della successioe delle somme parziali. Comiciamo allora a scrivere le somme parziali: S = a = q = S = a + a = + q S 2 = a + a + a 2 = + q + q 2 : : : S = : : : : X i= a i = + q + q q {z} = prodotto otevole ( q + q ; q 6= + ; q = Ricordado il ite otevole!+ x = 8 >< >: + ; x > ; x = ; jxj < o esiste ; x

2 abbiamo allora!+ S = 8 >< >:!+ q + q = 8 < :!+ + = + ; q = : + ; q > q ; jqj < o esiste ; q Cocludedo: per q la serie diverge a +; per jqj < la serie coverge a serie e idetermiata. Esempio.. Studiamo il comportameto della serie +X = 2 : q ; per q la Ovviamete a = =, 2 2 quidi la serie data e ua serie geometrica di ragioe q = 2. Dalla tabella ricavata prima abbiamo allora che la serie e covergete e la sua somma e S = 2 Esempio.2. Studiamo il comportameto della serie +X = 2 : = 2 : (2) Il termie geerale della serie data e lo stesso della serie dell'esempio precedete, ma la serie e diversa i quato stavolta "parte" da e o da. diversa. Aggiugedo e sottraedo alla serie data il termie a = 2 S = +X = +X 2 = = Esempio.3. Studiamo il comportameto della serie +X = Di cosegueza ache la sua somma sara 2 = 2 = : e x ; x 2 R : I questo caso e a = e x = (e x ), da cui la ragioe q = e x. = e ricordado la (2), abbiamo ifatti: Nell'ambito delle serie umeriche la x o va trattata come ua variabile, ma come u parametro. Lo studio della serie ifatti e guidato dal "movimeto" delle e di iet'altro. Quidi studiamo la ragioe utilizzado la tabella sulle serie geometriche e discutiamo la x di cosegueza. Abbiamo allora: la serie diverge a + per e x, x ; la serie coverge per je x j <, e x <, x < e la sua somma e S = e x ; la serie o e mai idetermiata i quato o e mai e x. Serie armoica. Si dice serie armoica la serie +X = 2

3 le cui somme parziali ovviamete soo S = a = S 2 = a + a 2 = + 2 S 3 = a + a 2 + a 3 = : : : S = : : : : X i= Si puo provare che tale serie diverge a +. Si dice poi serie armoica geeralizzata la serie +X a i = = ove 2 R. Questa serie coverge se >, metre diverge se. Si oti che per queste serie i caso di covergeza o coosciamo la somma. Esempio.4. La serie P + = = 2. P + 4 coverge perche = 4; la serie = p ivece diverge poiche Serie di Megoli e serie telescopica. La serie di Megoli e la serie +X = ( + ) : Il termie geerale si puo riscrivere el seguete modo a = + : Ne discede che la somma parziale esima e S = {z } a {z } a {z } a {z } a + = + {z } a + : Allora!+ S =!+ + = : Duque la serie di Megoli coverge e la sua somma e. Tale serie e u caso particolare di serie telescopica, ovvero di serie il cui termie geerale si possa scrivere ella forma a = b b + ove (b ) 2N e ua data successioe umerica. La forma geerale di ua serie telescopica e quidi +X = (b b + ) : 3

4 Procededo come per la serie di Megoli si ha da cui ovviamete S = b b +!+ S =!+ b b + : Duque il comportameto di ua serie telescopica dipede dal ite della successioe (b ) 2N. Esempio.5. Studiamo la serie Per le proprieta dei logaritmi abbiamo +X = log + : a = log + = log log ( + ) pertato e b = log : Allora!+ S = e quidi la serie data diverge a.!+ b b + =!+ log ( + ) = Prima di arotare alcui risultati sulle serie, ricordiamo che ua proprieta si dice valere de- itivamete se e vericata da u certo 2 N i poi; i altre parole, se esiste 2 N tale che la proprieta i questioe vale per ogi. Il primo teorema che proviamo e di estrema importaza dal puto di vista teorico e va sotto il ome di Teorema di Ivariaza. Teorema.. Alterado i primi termii di ua serie il suo comportameto o cambia. Dimostrazioe. Data ua serie P + = a, sia (S ) 2N la successioe delle somme parziali associata ad (a ) 2N. Fissiamo > e scriviamo Allora S = a + a + + a + a + a a = = X i=!+ S =!+ a i + X i=+ X i= a i + a i : X i=+ a i! = X i= a i +!+ X i=+ a i : (3) Si vede subito che il comportamete della successioe dipede solo dalla "coda" della serie. Osservado la (3) risulta ache evidete che, se si cambiao i primi termii di ua serie, i caso di covergeza il valore umerico della somma puo cambiare. Diamo ora ua codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie. Teorema.2. Sia P + = a ua serie covergete. Allora!+ a =. 4

5 Dimostrazioe. Ovviamete per ogi 2 N e S = a + + a + a = = S + a da cui ricaviamo a = S S : Ora, per ipotesi abbiamo che esiste S 2 R per cui!+ S = S. Duque possiamo cocludere che!+ a =!+ S S = S S = : P + Osserviamo che il Teorema.2 o e ivertibile, basti pesare alla serie armoica =. Facciamo otare iltre che il teorema suddetto puo veire usato per stabilire se ua serie NON e covergete, come mostra il seguete P + Esempio.6. La serie = o coverge i quato!+ a =!+ = 6=. 2 Serie a termii o egativi P + Si dice serie a termii o egativi ua serie = a co a per ogi 2 N. Chiaramete si puo dare i maiera aaloga ache la deizioe di serie a termii o positivi. Facciamo pero otare che P ogi serie a termii o positivi si puo ricodurre ad ua a termii o + egativi. Sia ifatti data = a ; a ; poiche ovviamete e ja j = a, la serie si riscrive P + P + = ja j. = ja j = Quidi ogi serie a termii o positivi o e che l'opposto di ua serie a termii o egativi. I particolare e segue ache che se la serie dei moduli coverge ad S, diverge a + o e idetermiata, allora la serie di parteza rispettivamete coverge a S, diverge a o e idetermiata. Sara duque suciete studiare le serie a termii o egativi per avere completamete studiate tutte le serie a sego costate. Proviamo ora due teoremi cardie el presete ambito. Etrambi i risultati poggiao sul teorema sul ite delle successioi mootoe. Teorema 2.. Ua serie a termii o egativi o e mai idetermiata (duque coverge ad S o diverge a +). Dimostrazioe. Provare che ua serie o e mai idetermiata sigica provare che la successioe delle somme parziali ammette ite. Ora, per ua serie a termii o egativi la successioe delle somme parziali e costituita da elemeti S a loro volta o egativi (ogi S e la somma di u umero ito di umeri o egativi). Ioltre essa e mootoa o decrescete. Ifatti per ogi 2 N risulta S = a + + a {z} a + a + + a + a + = S + : Possiamo allora applicare il teorema sul ite delle successioi mootoe ed aermare che!+ S = sup 2N S + : 5

6 Teorema 2.2 (Criterio del Cofroto). Date due serie a termii o egativi P + co a b deitivamete, allora: se P + = a diverge, allora P + = b diverge; se P + = b coverge, allora P + = a coverge. P = a +, = b Dimostrazioe. Siao (S ) 2N e (T ) 2N le successioi di somme parziali associate rispettivamete a (a ) 2N e (b ) 2N. Applicado il Teorema di Ivariaza (Teorema.), possiamo supporre che a b per ogi 2 N (e o solo deitivamete), pertato posiamo dedurre che S T ; 2 N : Come gia visto ella dimostrazioe del Teorema 2., etrambe le successioi di somme parziali ammettoo ite; possiamo quidi applicare il Teorema di mootoia del ite, per cui si ha la catea di disuguagliaze e la tesi e provata.!+ S!+ T + Il precedete criterio cosete di studiare umerose serie, puche a termii positivi, tramite il cofroto co serie ote. Esempio 2.. La serie +X = 3p + 2 diverge per cofroto co la serie armoica divergete P + = miorazioe Ivece la serie 3p + 2 3p + = 3p 2 = 3 p 2 +X = 3 + P + coverge per cofroto co la serie armoica covergete = maggiorazioe = 2 : 3 3. Ifatti per ogi 2 vale la : 2. Ifatti per ogi 2 N vale la Dal criterio del cofroto discede subito u altro criterio, acora piu utile del precedete elle applicazioi. Teorema 2.3 (Criterio del Cofroto Asitotico). Date due serie P + positivi, se esiste allora le due serie hao lo stesso comportameto. P = a +, = b a termii a = k 6= ; (4)!+ b 6

7 Dimostrazioe. Usado la deizioe di ite, la (4) si riscrive 8" > 9(") 2 N : 8 > (") ) a b k < " : Quidi, ssato " >, deitivamete risulta a b k < ", k " < a < k + ", b {z} b > b (k ") < a < b (k + "), b (k ") < a a < b (k + ") : Dalla prima disequazioe, P applicado il Criterio del P Cofroto, abbiamo che P P + se la serie = b diverge ache la serie + = a + diverge, metre se la = a + coverge ache la = b coverge; dalla secoda disequazioe discedoo le implicazioi simmetriche, cosicche il teorema e completamete provato. I geerale, date due successioi (a ) 2N e (b ) 2N, se per esse sussiste la (4) diremo che le due successioi soo asitotiche per! + ed useremo il simbolo Esempio 2.2. Sia assegata la serie a b : +X = : Il termie geerale della serie e u iitesimo per! +, quidi la codizioe ecessaria per la covergeza e soddisfatta. Osserviamo che : Ifatti! =! = 6= : Quidi per P il Criterio del Cofroto Asitotico la serie data ha lo stesso comportameto della serie + armoica =, cioe diverge. Esempio 2.3. Assegata la serie +X = se 6 2 ache qui il termie geerale e u iitesimo per! + e duque la codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie e soddisfatta. E' facile vedere che il termie geerale e u iitesimo dello stesso ordie di ; 2 ; e discede che possiamo scrivere 4 4+se : Quidi per il Criterio del Cofroto Asitotico la serie data ha lo stesso comportameto della serie armoica geeralizzata P + = 2, cioe coverge. Euciamo ora altri due criteri per le serie a termii o egativi, di cui pero o daremo la dimostrazioe. Teorema 2.4 (Criterio del Rapporto). Sia P + = a ua serie a termii positivi e suppoiamo che esista i R il ite allora: a +!+ a = l 7

8 se l < la serie coverge; se l > la serie diverge; se l = o si hao iformazioi. Teorema 2.5 (Criterio della Radice). Sia P + = a ua serie a termii positivi e suppoiamo che esista i R il ite allora: se l < la serie coverge; se l > la serie diverge; se l = o si hao iformazioi. Esempio 2.4. Sia data la serie!+ +X = p a = l 2! : Tale serie o e di tipo armoico i quato compare ache ad espoete, e di tipo geometrico poiche sta ache alla base. No possiamo duque cofrotarla co alcua delle serie otevoli. La serie pero e a termii positivi, quidi possiamo tetare di studiarla co il Criterio del Rapporto. Si ha a + =!+ a!+ e duque la serie coverge. 2 + (+)! 2! =!+!2 + ( + )!2 =!+ 2 + = < Dalla covergeza della serie dell'esempio precedete discede che il fattoriale e u iito di ordie superiore rispetto all'espoeziale. Ifatti, essedo la serie covergete, dal Teorema.2 segue che!+ 2! =. Esempio 2.5. Dal Criterio del Rapporto la serie +X risulta essere divergete. Ifatti a + a = 2 + (+) 3 = = 2 ( + ) = !!+ 2 > : Esempio 2.6. Data la serie +X + 2 = essa e a termii positivi, possiamo quidi studiarla co il Criterio della Radice. Si ha s 2 p + + a = = = +!!+ e > e quidi la divergeza della serie data. 8

9 3 Serie a segi alteri Le serie a segi alteri soo serie del tipo +X = ( ) + a ; a : Per studiare il comportameto abbiamo solo il seguete Teorema 3. (Criterio di Leibiz). Data ua serie a segi alteri P + = ( )+ a ; a, si ha (I) se (a ) 2N + (II) se (a ) 2N + e o decrescete, allora la serie e idetermiata; e o crescete, allora: la serie coverge se!+ a =, metre e idetermiata se!+ a 6=. Dimostrazioe. (I) Dobbiamo provare che o esiste il ite della successioe delle somme parziali. Per ipotesi la successioe di parteza e o decrescete, ovvero a a + per ogi 2 N +. Allora per la successioe delle somme parziali si ha S = a > S 2 = a a 2 S 3 = a a 2 + a {z } 3 S S 4 = a a 2 + a 3 a {z } 4 S 2 S 5 = a a 2 + a 3 a 4 + a {z } 5 S 3 S 6 = a a 2 + a 3 + a 4 + a 5 a {z } 6 : : : : Osserviamo che la sottosuccessioe pari (S 2m ) m2n + e mootoa o crescete. Possiamo duque applicarle il teorema sul ite delle successioi mootoe ed aermare che esiste m!+ S 2m = if S m2n 2m S 2 ; + d'altra parte la sottosuccessioe dispari (S 2m+ ) m2n e mootoa o decrescete, quidi per le stesse motivazioi di sopra aermiamo che esiste S 4 m!+ S 2m+ = sup m2n S 2m+ S = a > : Poiche i due iti o possoo essere uguali, per il teorema di uicita del ite la successioe (S ) 2N + o ammette ite. Allora la serie e idetermiata. (II) Stavolta la successioe di parteza e o crescete, ovvero a a + per ogi 2 N +. Itato osserviamo che Ifatti, per ogi m 2 N + si ha S 2m < S 2m+ ; m 2 N + : (5) S 2m = a a a 2m a 2m S 2m+ = a a a 2m a 2m + a 2m+ 9

10 quidi S 2m+ S 2m = a 2m+ >, S 2m < S 2m+ : Ioltre per la successioe delle somme parziali si ha S = a S 2 = a a 2 S 3 = a a 2 + a {z } 3 S S 4 = a a 2 + a 3 a {z } 4 S 2 S 5 = a a 2 + a 3 a 4 + a {z } 5 S 3 S 6 = a a 2 + a 3 + a 4 + a 5 a {z } 6 : : : : Pertato la sottosuccessioe pari (S 2m ) m2n + e mootoa o decrescete metre la sottosuccessioe dispari (S 2m+ ) m2n e mootoa o crescete. Allora, teedo presete ache la (5), si ha m!+ S 2m = Valutiamo allora la distaza tra S ed S : sup S 2m = S S = if m2n m2n S 2m+ = + S 4 m!+ S 2m+ : S S = m!+ S 2m+ m!+ S 2m = m!+ (S 2m+ S 2m ) = m!+ a 2m+ : Allora se!+ a = si ha S = S := S, duque esiste ito il ite della successioe delle somme parziali e quidi la serie coverge; se ivece!+ a 6= risulta che S 6= S, pertato la successioe delle somme parziali o ammette ite e duque la serie e idetermiata. Osservazioe 3.. Facciamo otare che, el caso i cui ua serie a segi alteri coverga, la "coda" della serie e domiata dal suo primo termie. Deito cioe resto -esimo il termie R = js S j, ove S e il valore della somma della serie, si ha jr j = +X = ( ) + a X ( ) i+ a i +X = ( ) i+ a i ja + j : i= i=+ Il caso piu semplice di serie a segi alteri e la serie armoica a segi alteri la quale coverge per il Teorema 3.. Mostriamo u esempio u po' piu complesso. Esempio 3.. Cosideriamo la serie +X = +X = ( ) + ( ) 2 p x p ; x 2 R : +

11 Poiche a = p+ 2x p > per ogi 2 N+, la serie e a segi alteri. Proviamo quidi a studiarla co il Criterio di Leibiz (Teorema 3.). La successioe (a ) 2N + e ovviamete mootoa crescete per x > ; ivece e mootoa decrescete per x ed i tal caso risulta ache!+ a =. Allora la serie e idetermiata per x > e covergete per x. 4 Serie a termii di sego qualuque Data ua serie P + = a co a 2 R, 2 N, si dice serie assoluta associata alla serie data la serie +X = ja j : Chiaramete la serie assoluta e ua serie a termii o egativi. Si dice che ua serie P + = a coverge assolutamete (oppure che la serie e assolutamete covergete) se coverge la sua serie assoluta. Euciamo seza dimostrarlo il seguete teorema sulle serie a segi qualuque. Teorema 4.. Se ua serie coverge assolutamete allora coverge ache semplicemete (cioe seza i moduli). Facciamo otare che il teorema o e ivertibile, ifatti esistoo serie covergeti semplicemete ma o assolutamete. Osserviamo ioltre che se la serie assoluta diverge, questo o implica che debba divergere ache la serie di parteza. I etrambi i casi si pesi alla serie armoica a segi alteri. Deizioe 4.. Se P + P P + = (a + + b ), metre si dice serie prodotto la serie = c ove X P = a + e = b soo due serie qualuque, si dice serie somma la serie c = k= a k b + k ; 2 N : Dal teorema sulla somma dei iti discede immediatamete il seguete Teorema 4.2. Se due serie P + P = a + e = b soo (assolutamete) covergeti, allora ache la serie somma e (assolutamete) covergete e si ha +X = (a + b ) = +X = a + +X = b :