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1 Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in qunto il suo vlore dipende d e pertnto si scrive F( ) = f ()d. Per comprendere meglio fccimo un esempio iutndoci con un grfico. L integrle f ()d rppresent l Are dell prte di pino in grigio nell figur ed è pertnto ugule d un NUMERO. L integrle f()d rppresent sempre l Are sottes dll funzione y = f() m il suo vlore dipende dl vlore/posizione di nell intervllo [; ] come si vede dlle due figure Ridimo che F( ) dipende dl vlore dell estremo superiore dell funzione integrle. F( ) = f() d () Teorem di Torricelli Brrow Teorem fondmentle del clcolo integrle Enuncito: Si y = f() un funzione continu nell intervllo [; ] e si F ( ) f() d con l su Funzione Integrle, llor F( ) è derivile e l su derivt è l funzione integrnd y = f(); in ltre prole F ( ) = f() [; ]. Dimostrzione: Scrivimo il Rpporto incrementle dell Funzione Integrle F( ) e tenimo conto dell eguglinz () F( ) F( ) f() d f() d () Per rendere più chiro il nostro rgionmento servimoci di un rppresentzione grfic

2 Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Figur Il primo integrle f () d rppresent l re in rosso in Figur ; mentre il secondo f () d rppresent l re in lu in Figur. Figur. L differenz delle ree srà l re in verde dell Figur Figur Pertnto l () si potrà scrivere: che si esprime come f () d. F( ) F( ) f() d f() d f() d () A questo punto ricordimo che l funzione y =f() per ipotesi è continu in [; ] e, pertnto, per ess vle il Teorem dell Medi che recit Se y = f() è un funzione continu in un intervllo [; ], llor f () d ( ) f(c) - differenz degli estremi di integrzione per f(c) - dove c [;] è l sciss di un punto opportuno. Applicndo questo Teorem ll ultimo integrle nell () ottenimo: F( ) F( ) ( ) f(c) f() d f(c) f() d f(c) f() d

3 Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi dove c [ ; +]. In conclusione simo rrivti ll eguglinz: F( ) F( ) f(c) (4) Or, tenendo fisso, fccimo tendere 0; in ltre prole prendimo il limite l primo ed l secondo memro dell (4) F( ) F( ) lim lim f(c) 0 0 Il primo memro dell eguglinz è l derivt dell Funzione Integrle in ; il secondo memro è f(), inftti, gurdndo l Figur, possimo vedere che qundo 0, + e quindi nche c, che si trov tr + e, tenderà ; possimo llor scrivere F () = f() Che è quello che volevmo dimostrre! Perché il Teorem di Torricelli - Brrow è fondmentle? Perché ci rivel che l integrle non è ltro che l inverso dell derivt! E quindi ci mette sull uon strd per clcolrlo! Vedimo come. Innnzitutto dicimo che, in termini mtemtici, si è soliti chimre l funzione integrle F() primitiv di f(). Si dice cioè che un funzione F() è primitiv di un ltr funzione f() se F () = f(). Or ci chiedimo: se un funzione f() mmette un primitiv F(), quest è unic? L rispost è no! Si dimostr fcilmente che se F() è un primitiv di f(), llor nche G() = F() + k (dove k è un costnte) è un primitiv di f(). Inftti, se F() è un primitiv di f() imo detto che: F () = f() Clcolimo or l derivt di G() = F() + k, tenendo conto che l derivt di un costnte è zero (k =0) G () = [F() + k] = F () + k = F () +0 = F () = f() Poiché l derivt di G() = F() + k è f() llor nche G() è un primitiv di f(). In conclusione: se dell funzione f() trovimo un primitiv F(), llor nche tutte le ltre infinite funzioni del tipo F() + k srnno sue primitive. Chirimoci le idee con un esempio: Si f() = ; evidentemente l funzionef() è un su primitiv inftti F () =. M ltre primitive sono pure ; 8;... cioè tutte quelle del tipo 7 k poiché l derivt di un costnte è zero! Quindi se di un funzione f() trovimo un primitiv, utomticmente tutte le ltre che differirnno d quest di k srnno nche primitive; cioè le primitive di un funzione sono infinite. L insieme delle infinite primitive di un funzione f() si chim Integrle Indefinito e si indic con il simolo f () d.

4 Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Simo or in grdo di clcolre esttmente sottes dll curv y = f() nell intervllo [; ] f() d, cioè l re dell prte di pino Per qunto detto prim, considerimo, llor, tr le infinite primitive di y = f(), le funzioni F() e G(). Poiché sono primitive dell stess funzione, dovrnno differire di un costnte, e quindi dovrà essere F() = G() + k. (5) Poiché F () = f(),, possimo clcolre F() Ricordimo che F() dipende dl secondo estremo di integrzione! E che f() d 0 - Sostituimo G() = - k nell (5) F() = G() G() Clcolimo or F(): In conclusione per clcolre l Are sottes dll curv y = f() nell intervllo [; ], st trovre un primitiv G() di f(), e sottrrre dl suo vlore in - G() il suo vlore in G()! L differenz G() G(), convenzionlmente, si indic: E quindi si scrive: G() f () G() d G() G() Per renderci conto di qunto si utile quest regol, fccimo un esempio. Supponimo di voler clcolre l re dell prte di pino sottes dll curv y = - + nell intervllo [0; ], colort in gillo in figur. Se noi non conoscessimo come clcolre l integrle ( ) d, per determinre quest re potremmo solo servirci del rgionmento di Riemnn ottenendo un vlore dell re pprossimto per eccesso o per difetto. Per esercizio clcolimo il vlore dell re per difetto. Dividimo llor l intervllo [0, ] in prti uguli ciscun di mpiezz e disegnimo i rettngoli inscritti nell prol di se e vente per ltezz i minimi m i in ciscun intervllino. Per simmetri imo m 0 = m = f(0) = f() = 0 0

5 Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi m = m 5 = f() = f(5) = 5 m = m = m 4 = f() = f() = f(4) = 8 L re in rosso pprossim per difetto l re in gillo che voglimo determinre. L re in rosso è dt d: m m0 m m m m4 m5 m A 0 i Per ottenere un pprossimzione migliore vremmo dovuto dividere l intervllo [0; ] in un numero mggiore di prti, m il clcolo, nche se semplice sree stto noioso e lungo! L ver scoperto come clcolre l integrle ( ) d, non solo ci rende il clcolo veloce, m ottenimo il vlore rele dell re e non quello pprossimto! 0 Bst trovre un primitiv di y = - + che, evidentemente è G() = G() (l derivt di è +) e clcolre G() G(), cioè 0 A f() d G() G() 0 0 Che è il vlore VERO dell re in gillo il vlore pprossimto per difetto trovto precedentemente er 4!-. Primitive di lcune funzioni più frequenti con - con >0, 0 con > con >

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