N 02 B I concetti fondamentali dell aritmetica

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1 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic U.D. N 0 B I cocetti fodmetli dell ritmetic 0) Il cocetto di potez 0) Proprietà delle poteze 0) L ozioe di rdice ritmetic 0) Multipli e divisori di u umero 0) Criteri di divisibilità per i umeri turli 06) Numeri primi e umeri composti 0) Scomposizioe di u umero i fttori primi 0) Mssimo comue divisore e miimo comue multiplo 0) Le frzioi 0) Operzioi co le frzioi ) I umeri decimli e le loro frzioi geertrici ) I umeri decimli periodici e le loro frzioi geertrici

2 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Il cocetto di potez L potez di u umero è il prodotto di più fttori uguli quel umero. Il fttore che si ripete si chim bse dell potez ed il umero di fttori uguli prede il ome di espoete dell potez. L L operzioe medite l qule si clcol l potez di u umero prede il ome di elevzioe potez. volte L potez co espoete zero di u umero qulsisi diverso d zero è sempre ugule d 0 0 L prim potez ( o potez co espoete ) di u qulsisi umero è ugule l umero stesso Proprietà delle poteze Il prodotto di due o più poteze veti l stess bse è l potez che h per bse l stess bse e per espoete l somm degli espoeti p q p q Il quoziete di due poteze veti l stess bse è l potez vete per bse l stess bse e per espoete l differez degli espoeti m m L potez di u potez è l potez che h per bse l stess bse e per espoete il m prodotto degli espoeti ( ) m L potez di u prodotto di fttori è ugule l prodotto delle poteze co ugule espoete dei sigoli fttori ( b c d ) b c d L potez di u quoziete è ugule l quoziete delle poteze co ugule espoete del dividedo e del divisore b b

3 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic L ozioe di rdice ritmetic Si dice rdice qudrt di u umero il umero x che elevto l qudrto dà come risultto il umero dto.. I simboli bbimo x x i quto Si dice rdice cubic di u umero il umero x che elevto l cubo dà come risultto il umero dto.. I simboli bbimo x x i quto Si dice rdice qurt di u umero il umero x che elevto ll qurt potez dà come risultto il umero dto.. I simboli bbimo x x Si dice rdice eesim di u umero il umero x che elevto ll potez eesim dà come risultto il umero dto.. I simboli bbimo x x

4 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Multipli e divisori di u umero Si dice che il umero è divisore del umero b ( diverso d zero ) se il resto dell divisioe del umero per il umero b è ugule zero. Il umero si dice che è multiplo del umero b che su volt si dice sottomultiplo o divisore del umero. Defiizioe dto il umero turle, tutti i umeri turli b per i quli risult che il quoziete k N è u umero turle, si chimo divisori del umero. b k N k b. è multiplo del umero b secodo il umero k, b è sottomultiplo del b umero secodo il umero k o divisore umero. dividedo, b divisore, k quoziete Criteri di divisibilità per i umeri turli 0) Criterio di divisibilità per U umero è divisibile per se l su ultim cifr è pri, cioè qudo il umero termi co u delle segueti cifre 0,,, 6,. 0) Criterio di divisibilità per U umero è divisibile per se l somm delle sue cifre è divisibile per 0) Criterio di divisibilità per U umero è divisibile per se termi co 0 o co. 0) Criterio di divisibilità per U umero è divisibile per se l somm delle sue cifre è divisibile per 0) Criterio di divisibilità per U umero è divisibile per se è divisibile per l differez tr l somm delle cifre di posto pri e l somm delle cifre di posto dispri. 06) Criterio di divisibilità per ) U umero è divisibile per, se è divisibile per l somm delle sue decie e del quituplo dell su cifr delle uità. 6 ; 6 umero delle decie del umero ; 0 ; Per scrivere le decie di u umero bst scrivere lo stesso umero privto dell cifr che rppreset le uità

5 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic ; 6 ; ; 0 0 ; b) U umero è divisibile per, se è divisibile per l differez fr il umero sue decie ( umero scritto sez l cifr delle uità ) ed il doppio dell su cifr delle uità. 6 6 ; 6 6 ; ; ; 0 0 ; 0 ; ) Criterio di divisibilità per U umero è divisibile per se è divisibile per l somm del umero che esprime le sue decie ( umero scritto sez l cifr delle uità ) e del qudruplo dell su cifr dell uità ) Criterio di divisibilità per ) U umero è divisibile per se è divisibile per l somm del doppio delle sue decie ( umero scritto sez l cifr delle uità ) e del settuplo dell su cifr dell uità b) U umero è divisibile per se è divisibile per l differez tr il umero che esprime le sue decie ( umero scritto sez l cifr delle uità ) ed il quituplo dell cifr dell uità. 6 ; 6 6 ; 0) Criterio di divisibilità per ) U umero è divisibile per se è divisibile per l somm del umero delle sue decie ( umero scritto sez l cifr delle uità ) e del doppio dell su cifr delle uità

6 6 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic 0) Criterio di divisibilità per ) U umero è divisibile per se è divisibile per l somm del umero delle sue decie ( umero scritto sez l cifr delle uità ) e del settuplo dell su cifr delle uità Numeri primi e umeri composti U umero mggiore di si dice primo se è divisibile soltto per se stesso e per l uità. u umero o primo, cioè u umero che mmette ltri divisori oltre se stesso e l uità, si dice umero composto. Scomposizioe di u umero composto i fttori primi 0 Scomporre il umero composto i fttori primi 6 sigific trovre tutti i umeri primi il cui prodotto è 6 ugule l umero. 0 Pricipio fodmetle dell ritmetic U umero turle composto si può decomporre i fttori primi i u sol mier. Mssimo comue divisore e miimo comue multiplo Il mssimo comue divisore ( M.C.D.) di due o più umeri è il mggiore dei loro divisori comui. Per clcolre il M.C.D. di due o più umeri, col metodo dell scomposizioe i fttori primi, si decompogoo i umeri dti i fttori primi e poi si moltiplico fr loro i fttori primi comui, presi u sol volt, co l espoete più piccolo. 0, 0, M. C. D. ( 0,0,) Due umeri si dicoo primi fr loro qudo ho come M.C.D. l uità. Il miimo comue multiplo ( m.c.m. ) di due o più umeri è il più piccolo dei multipli comui diversi d zero.

7 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Per clcolre il m.c.m. tr due o più umeri, col metodo dell scomposizioe i fttori primi, si decompogoo i fttori primi i umeri dti e poi si moltiplico tr loro i fttori comui e o comui, presi u sol volt, ciscuo col mssimo espoete. 0,, 60, m. c. m. ( 0,,60) 00 Le frzioi Uità frziori è u qulsisi delle prti uguli i cui è stt divis u grdezz cosidert come uità. Frzioe è l isieme di più uità frziorie. Il simbolo che rppreset u frzioe è costituito d due umeri iteri seprti d u trtto orizzotle detto lie di frzioe. Il umero posto l di sotto dell lie di frzioe si chim deomitore ed idic i qute prti uguli è stt divis l uità. Il umero posto l di sopr dell lie di frzioe si chim umertore ed idic qute di queste prti uguli soo stte cosiderte. Il umertore ed il deomitore si dicoo termii dell frzioe. U frzioe rppreset il quoziete tr due umeri iteri. U frzioe di dice propri se il umertore è miore del deomitore. U frzioe propri è miore dell uità. U frzioe si dice pprete se il umertore è multiplo del deomitore. u frzioe pprete rppreset u o più uità itere. U frzioe di dice impropri se il umertore è mggiore ( m o multiplo ) del deomitore. U frzioe impropri rppreset u umero mggiore dell uità. I ritmetic per umero misto si itede l somm di u umero itero e di u frzioe propri. Per pssre d u frzioe impropri d u umero misto si procede come segue ) si divide il umertore dell frzioe per il suo deomitore. b) si Q, R, D rispettivmete il quoziete, il resto, il deomitore dell frzioe cosidert Risult N D Q R D N R D Q Q R D 6

8 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Proprietà ivritiv per le frzioi Moltiplicdo o dividedo umertore e deomitore di u frzioe per uo stesso umero diverso d zero si ottiee u frzioe equivlete quell dt. Semplificre u frzioe sigific trsformrl i u ltr equivlete vete umertore e deomitore più piccoli. L semplificzioe si effettu dividedo umertore e deomitore dell dt frzioe per u loro divisore comue U frzioe si dice irriducibile o ridott i miimi termii qudo il suo umertore ed il suo deomitore soo primi fr loro. Per ridurre i miimi termii u frzioe bst dividere il suo umertore ed il suo deomitore per il loro M.C.D. I umeri decimli e le loro frzioi geertrici L divisioe tr due umeri iteri può dre luogo d u umero decimle limitto o d u umero decimle periodico. I u umero decimle, il umero formto dlle cifre ll siistr dell virgol si chim prte iter del umero decimle, quello formto dlle cifre destr dell virgol si chim prte decimle. Quidi dicesi umero decimle u qulsisi umero formto d u prte iter e d u prte decimle. Si chimo frzioi decimli quelle frzioi che ho come deomitore u potez del 0. Per cotrpposto, si chimo frzioi ordirie tutte le frzioi o decimli. Soo frzioi decimli,, I simboli,6, 0, 0, 6, rppreseto umeri decimli. Le cifre che precedoo ( seguoo ) l virgol rppreseto l prte iter ( decimle ) del umero decimle. Regol Per scrivere u umero decimle sotto form di frzioe decimle, si scrive l frzioe che h per umertore il umero turle che si ottiee sopprimedo l virgol del umero decimle dto e per deomitore l uità seguit d tti zeri qute soo le cifre decimli del umero.,, 00 0,0, ,6 0000

9 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Regol U frzioe decimle può essere trsformt i u umero decimle trscrivedo il umertore dell frzioe e seprdo co u virgol. prtire d destr, tte cifre quti soo gli zeri del deomitore, ggiugedo, ll siistr del umertore, uo o più zeri qudo il umero delle cifre del umertore è iferiore l umero degli zeri del deomitore.,, 0, 0, 0, N.B. Il umero delle cifre decimli deve coicidere col umero degli zeri preseti el deomitore dell frzioe decimle. L otzioe scietific di u umero decimle Ogi umero può essere scritto come il prodotto di u umero decimle compreso tr e 0 e di u opportu potez del 0. Si dice pure che il umero è scritto i form espoezile o co otzioe scietific. Di solito le clcoltrici tscbili utilizzo l otzioe scietific. Esempi ) 00 0 E 0 ell clcoltrice co otzioe scietific il simbolo 0 divet E 0 b) 0, 0, E 0 ( 0 divet E 0 ) c) 6,60,6E 0 ( 0 divet E 0 ) d) 0,006,6 0,6E 0 ( 0 divet E 0 ) Per umeri o troppo grdi quest form di scrittur o è coveiete i quto si userebbero più simboli di quelli preseti el umero ; divet vtggios qudo si ho umeri co molte cifre.

10 0 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Numeri decimli periodici Dicesi umero decimle periodico ogi umero formto d u prte iter ( che può che essere 0 ) seguit d ifiite cifre decimli che, d u certo puto i poi, si ripetoo gruppi sempre ello stesso ordie. L cifre o il gruppo di cifre che si ripete dicesi periodo. Il periodo può comicire, oppure o, subito dopo l virgol ; el primo cso il umero dicesi periodico semplice, el secodo cso dicesi periodico misto. I u umero periodico misto il gruppo delle cifre decimli che precede il periodo si chim tiperiodo. I umeri decimli periodici si rppreseto scrivedo u sol volt il periodo e soprliedolo, oppure mettedolo etro due pretesi rotode.,l,,(),6,6() U frzioe si dice riducibile qudo il suo quoziete è u umero decimle limitto. U frzioe si dice irriducibile qudo il suo quoziete è u umero decimle illimitto. Teorem N U frzioe irriducibile il cui deomitore o cotiee come fttori primi é é, è trsformbile i u umero decimle periodico semplice. Teorem N U frzioe irriducibile il cui deomitore cotiee come fttori primi il o il che qulche ltro fttore primo, è trsformbile i u umero decimle periodico misto. Teorem N No esiste lcu frzioe dll qule derivi u umero decimle illimitto periodico co periodo. Esempio,,, Questo sigific che i simboli, e, rppreseto lo stesso umero, cioè,, Defiizioe Chimsi frzioe geertrice di u umero decimle periodico, quell frzioe tle che il quoziete del suo umertore per il suo deomitore è il umero periodico dto.

11 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Teorem N L frzioe geertrice di u umero periodico semplice è u frzioe che h per umertore l differez fr il umero stesso privto dell virgol ( e co il periodo scritto u sol volt ) ed il umero formto dlle cifre dell prte iter, e per deomitore il umero formto d tti qute soo le cifre del periodo. Teorem N 6, 0, L frzioe geertrice di u umero decimle periodico misto è u frzioe che h per umertore l differez fr il umero stesso privto dell virgol ( e co il periodo scritto u sol volt ) ed il umero formto dlle cifre dell prte iter seguit d quelle dell tiperiodo, e per deomitore il umero formto d tti qute soo le cifre del periodo, seguiti d tti zeri qute soo le cifre dell tiperiodo. OSSERVAZIONE,,() 0 6 0,6 0,(6) ,() 0, << Come si f stbilire se u frzio dà luogo d u umero decimle fiito, d u umero decimle periodico semplice, d u umero decimle periodico misto? >> 0) U frzioe, ridott i miimi termii, è trsformbile i u umero decimle fiito se il suo deomitore h come fttori poteze del o poteze del o poteze di etrmbi i fttori.,, 0, 6 0 0) U frzioe ridott i miimi termii si trsform i u umero decimle periodico semplice se il deomitore o cotiee i fttori e.,l,, ( ) 0) U frzioe ridott i miimi termii si trsform i u umero decimle periodico misto se il suo deomitore, ssieme d evetuli ltri fttori, cotiee come fttori poteze del e del, oppure di uo solo di essi. 0,L 0, 0,( ) 60

12 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Operzioi co umeri decimli periodici Per eseguire le operzioi co umeri decimli periodici, bst sostituire d essi le corrispodeti frzioi geertrici ed eseguire i clcoli secodo le regole ote. Operzioi co le frzioi L somm ( differez ) di due frzioi veti lo stesso deomitore è l frzioe vete per umertore l somm ( differez ) dei umertori e per deomitore lo stesso deomitore. Per ddiziore ( sottrrre ) due frzioi veti deomitori diversi, si riducoo prim llo stesso miimo comue deomitore e poi si pplic l regol per l ddizioe ( sottrzioe ) di frzioi veti lo stesso deomitore. Il prodotto di due o più frzioi è l frzioe vete come umertore il prodotto dei umertori e per deomitore il prodotto dei deomitori. Per effetture l divisoe di due frzioe bst moltiplicre l prim frzioe per l ivers dell secod. Per elevre potez u frzioe bst elevre quell potez si il umertore che il deomitore dell frzioe. U frzioe si dice termii frziori se il suo umertore o il suo deomitore o etrmbi soo delle frzioi. U frzioe termii frziori è ugule l prodotto del umertore per il reciproco del deomitore oppure è ugule d u frzioe che h come umertore il prodotto dei termii estremi e come deomitore il prodotto dei termii medi.

13 Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic Esempi