Travature reticolari piane : esercizi svolti De Domenico D., Fuschi P., Pisano A., Sofi A.

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1 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. SRZO n. ata la travatura reticolare piana triangolata semplice illustrata in Figura, determinare gli sforzi normali nelle aste utilizzando i seguenti metodi: metodo dell equilibrio ai nodi; metodo delle sezioni di Ritter; metodo diretto (applicazione del principio dei lavori virtuali (..V.) ad una catena cinematica reticolare definita a partire dalla travatura data) Figura Schema della travatura reticolare TR#

2 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi.. Valutazione dell isostaticità della travatura ondizione necessaria per l isostaticità ( l 0) Si valuta il grado di labilità apparente, l, della travatura interpretandola come un sistema in cui i nodi (soggetti ai carichi esterni concentrati o alle reazioni vincolari esterne) sono gli elementi dotati di gradi di libertà di corpo rigido ( G.. nel piano); mentre le aste (non soggette a carichi esterni direttamente applicati su di esse) vengono considerate come dei pendoli interni (di molteplicità unitaria) che collegano i nodi stessi. ertanto si può scrivere: l n a e , essendo: n = numero dei nodi; a = numero delle aste; e = molteplicità globale dei vincoli esterni. a condizione necessaria per l isostaticità della travatura reticolare è quindi soddisfatta. ondizione sufficiente per l isostaticità a travatura in esame è a maglie triangolari semplici ed è quindi un sistema strettamente indeformabile. ssa può considerarsi come un unico corpo rigido piano vincolato all esterno con vincoli di molteplicità globale e 3 ; è sufficiente pertanto verificare l efficacia cinematica dei vincoli esterni. on riferimento alla Figura, nella quale la campitura delle maglie triangolari indeformabili aiuta ad interpretare la travatura come un unico corpo rigido piano, si può verificare l efficacia cinematica dei vincoli... r r.. Figura nalisi dell efficacia cinematica dei vincoli l centro assoluto di rotazione del sistema per la presenza della cerniera deve coincidere con l occhio della cerniera stessa, per la presenza del carrello deve appartenere alla retta r ortogonale al piano di scorrimento del carrello passante per. Non potendo essere soddisfatte contemporaneamente le due condizioni se ne deduce che non esiste un centro assoluto di rotazione. ertanto anche la condizione sufficiente per l isostaticità della travatura risulta soddisfatta e il sistema, nel suo complesso, risulta isostatico. TR#

3 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi.. eterminazione delle reazioni vincolari esterne Metodo analitico Si risolve il sistema in termini di reazioni vincolari esterne; a tal fine si considera lo schema di corpo libero nel quale i vincoli esterni sono sostituiti dalle reazioni che essi sono potenzialmente in grado di esplicare. Tali reazioni si applicano con versi arbitrari, ad esempio concordi a quelli del sistema di riferimento adottato, così come illustrato in Figura 3: R R R Figura 3 Schema di corpo libero per la determinazione delle reazioni vincolari con metodo analitico Si hanno in questo caso 3 componenti di reazioni incognite determinabili attraverso le 3 equazioni cardinali della statica, in dettaglio: F 0 R 0 R F 0 R R 0 R R R M 0 R 0 R l valore analitico della reazione opposto a quello ipotizzato in Figura 3. n definitiva si ha: R risulta negativo, pertanto il verso effettivo del vettore R risulta TR# 3

4 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi R= R= R= Figura Travatura reticolare equilibrata Metodo grafico È possibile ricavare le reazioni vincolari con il metodo grafico, a tal fine è conveniente considerare ciascun carico singolarmente e applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Risulta utile traslare il carico applicato sul nodo parallelamente alla sua retta d azione in modo da centrarlo rispetto alle rette d azione delle reazioni dei vincoli in e, applicando ovviamente il momento dovuto al trasporto come ulteriore condizione di carico da equilibrare R R R Figura 5 Schema per la determinazione delle reazioni vincolari con metodo grafico Si studiano quindi le condizioni di carico in maniera indipendente ricavando, per ognuna di esse, le corrispondenti reazioni vincolari che vengono evidenziate con colori diversi per una più chiara comprensione. TR#

5 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi R= / / / / / / / / R= R= Figura 5bis Travatura equilibrata (risolta con metodo grafico e principio di sovrapposizione degli effetti) È facile verificare che i valori delle reazioni vincolari determinati per via grafica coincidono con quelli valutati per via analitica. 3. alcolo degli sforzi normali Metodo dell equilibrio ai nodi Tale metodo si basa sulla considerazione che una struttura reticolare isostatica, soggetta per ipotesi a forze applicate ai nodi (siano esse carichi esterni o componenti di reazioni vincolari esterne), è in equilibrio se è in equilibrio ogni suo nodo. on riferimento alla Figura può osservarsi quanto segue. Ogni nodo, supposto estratto dalla struttura, è soggetto a forze esterne (carichi o reazioni vincolari esterne) e ad azioni provenienti dalle aste che in esso concorrono. e forze esterne sono note in intensità, direzione e verso. e azioni delle aste sono note solo in direzione (quella dell asse dell asta) essendo incogniti intensità e verso. intensità e il verso delle azioni delle aste sul nodo (e di conseguenza degli sforzi normali sulle aste) possono valutarsi applicando la condizione di equilibrio al nodo che, nel piano, si traduce nelle due condizioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale. TR# 5

6 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. asta #i RO STRNO o RZON VNOR STRN Ri Ni NOO GNRO ZON ST SU NOO SFORZ NORM SU ST Figura Nodo estratto da una travatura reticolare piana e forze su di esso agenti a condizione di equilibrio al nodo può essere imposta ovviamente sia con procedimento grafico, richiedendo la chiusura del poligono delle forze agenti sul nodo, che con procedimento analitico e ciò attraverso la scrittura di due equazioni di equilibrio alla traslazione. È evidente quindi che le azioni incognite valutabili non possono essere più di due. Un nodo nel quale tale circostanza è verificata è detto nodo canonico. Una struttura reticolare è a nodi canonici se, rimossi (o risolti) i nodi canonici e le aste che vi concorrono, i nodi rimanenti sono ancora canonici. Una travatura a nodi canonici può essere completamente risolta applicando il metodo in esame in modo sequenziale, considerando cioè di volta in volta l equilibrio di un nodo canonico. È opportuno osservare infine che, una volta individuata l azione di un asta su un nodo, resta individuata anche l azione della stessa asta sull altro nodo di estremità, azione che deve essere uguale in modulo (e direzione) e di verso opposto! on riferimento alla travatura in esame un nodo canonico da cui poter iniziare la procedura risolutiva è ad esempio il nodo (o alternativamente il nodo ), in quanto su di esso le azioni incognite sono soltanto due, ovvero le azioni delle aste e che vi concorrono. ome già osservato, nell imporre le condizioni di equilibrio al nodo occorre considerare non gli sforzi normali N i sulle aste bensì le azioni aste al nodo che, per il rincipio di zione e Reazione, avranno uguale modulo e direzione di opposto (Figura ). R i trasmesse dalle N i ma verso Sul nodo (cerniera esterna) agiscono le due componenti di reazione vincolare precedentemente valutate, R e R, e le forze (azioni) che le aste e trasmettono sul nodo, denotate con R ed R, entrambe incognite da determinare (Figura 7). TR#

7 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. R 5 R Figura 7 quilibrio al nodo (metodo analitico) er convenzione si ipotizza che le azioni R ed R abbiano verso uscente dal nodo, circostanza che equivale a considerare le aste in trazione (nel seguito tale convenzione verrà assunta per ogni nodo anche quando non esplicitamente detto). valori delle azioni R ed R si possono determinare scrivendo le (due) equazioni cardinali della statica relativamente ai due gradi di libertà (traslazioni nelle direzioni ed ) del nodo. on riferimento allo schema di Figura 7 può scriversi: F 0 R R 0 R F 0 R 0 R asta è in trazione (tirante), e ciò in quanto il valore analitico determinato per R è positivo e quindi il verso ipotizzato è corretto, mentre l asta è in compressione (puntone) dal momento che il valore analitico di R è negativo e quindi il verso corretto è opposto a quello ipotizzato in Figura 7. l metodo dell equilibrio ai nodi può, ovviamente e spesso in modo più speditivo, applicarsi per via grafica. a condizione di equilibrio al nodo si traduce graficamente nella condizione di chiusura del poligono delle forze così come riportato nello schema seguente. a costruzione, a scala fissata, di tale poligono fornisce in direzione e verso i valori delle azioni incognite agenti sul nodo. R= R 5 R= R Figura 8 quilibrio al nodo (metodo grafico) TR# 7

8 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. Un efficace visualizzazione delle azioni ( R ) trasmesse dalle aste al nodo e delle azioni (sforzi trasmesse dal nodo alle aste in esso concorrenti è riportata nella Figura seguente. i N i ) N R N R N N R R Figura 9 zioni sul nodo e sforzi nelle aste all esame della Figura 9 si comprende come, una volta risolto il nodo, si conoscono di conseguenza le azioni dell asta sul nodo e dell asta sul nodo. Quest ultimo, tuttavia, non è ancora diventato un nodo canonico in quanto risultano incognite le azioni delle aste 3, 5 e su esso concorrenti. l nodo invece, noto il valore di R, è canonico, poiché risultano incognite solo le azioni R 3 ed R, che possono essere univocamente determinate attraverso due equazioni di equilibrio, scritte qui di seguito con riferimento allo schema di Figura 0: R3 3 5 R= R Figura 0 quilibrio al nodo (metodo analitico) F 0 R3 R 0 R 0 R F 0 R3 0 R3 0 ssendo il valore analitico di R negativo, il verso corretto è opposto a quello ipotizzato e l asta è in compressione (puntone), l asta 3 risulta scarica. TR# 8

9 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. on metodo grafico risulta: R= R3=0 R3 3 R= R= R Figura quilibrio al nodo (metodo grafico) e, analogamente a quanto fatto in precedenza, si ha: R R R3 R= N N 3 R3 Figura zioni sul nodo e sforzi nelle aste Risolto il nodo, si conoscono le azioni dell asta sul nodo e dell asta 3 sul nodo (nulla nel caso esaminato). ntrambi i nodi e sono diventati canonici, in quanto per ogni nodo risultano incognite solo due azioni, rispettivamente, R 5 ed R per il nodo, R 5 ed R 7 per il nodo. a scelta di uno tra i due è indifferente, nel seguito si considera dapprima il nodo : 3 5 R3=0 R= R5 R 5 Figura 3 quilibrio al nodo (metodo analitico) TR# 9

10 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. F 0 R R5 0 R F 0 R5 0 R5 versi di R 5 ed R ipotizzati in Figura 3 sono corretti ed entrambe le aste 5 e sono quindi in trazione (tiranti). on il metodo grafico risulta: R5= R= R= 3 5 R3=0 R= R R5 Figura quilibrio al nodo (metodo grafico), in definitiva: R5 N5 5 3 N5 R3=0 R5 N R R= R N Figura 5 zioni sul nodo e sforzi nelle aste Risolto il nodo, si conoscono le azioni dell asta 5 sul nodo e dell asta sul nodo ; per entrambi i nodi ed l unica incognita da determinare risulta ora l azione trasmessa dall asta 7 ( R 7 ). Ricavata R 7, imponendo l equilibrio in uno qualsiasi di questi due nodi, nel nodo rimanente tutte le azioni (siano esse azioni trasmesse dalle aste siano, come nel caso del nodo, reazioni vincolari esterne precedentemente determinate) sono note; le due equazioni di equilibrio dovranno essere allora identicamente soddisfatte, questa circostanza può essere riguardata come una procedura di verifica dei risultati trovati. TR# 0

11 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. Si ricava il valore dell incognita R 7 imponendo l equilibrio del nodo : R= R5= 5 5 R7 7 Figura quilibrio al nodo (metodo analitico) n presenza di una sola incognita è sufficiente scrivere una sola condizione di equilibrio, ad esempio quella in direzione, si ha: F 0 R7 0 R 7 ( ) onsiderando il valore R7 la condizione di equilibrio in direzione è identicamente soddisfatta, si ha infatti: F 0 R7 0 l valore analitico determinato per R 7 è negativo e quindi il verso corretto è opposto a quello ipotizzato in Figura e l asta 7 è in compressione (puntone). on il metodo grafico si ha: R= R7= R5= R= R5= 5 R7 7 Figura 7 quilibrio al nodo (metodo grafico), in definitiva si ha: TR#

12 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. R= R5= 5 R7 N7 7 N7 R7 Figura 8 zioni sul nodo e sforzi nelle aste a condizione di equilibrio del nodo, nel quale tutte le azioni sono note, è identicamente soddisfatta come risulta dalle equazioni seguenti scritte con riferimento alla Figura 9. 5 R7= 7 R= Figura 9 quilibrio al nodo (metodo analitico) F 0 R7 R 0 F 0 R7 0 conferma del risultato trovato, con il metodo grafico si ottiene che il poligono delle forze (costituito da azioni tutte note) è chiuso: TR#

13 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. R= R7= 7 OK! R7= R= Figura 0 quilibrio al nodo (metodo grafico) n definitiva gli sforzi normali nelle aste della travatura esaminata risultano: N N N 3 N5 N7 5 7 N7 N N5 N N N N Figura Sforzi normali nelle aste della travatura reticolare valori numerici degli sforzi sulle aste sono invece riportati nella Tabella che segue: sta Sforzo normale omportamento N TRNT N UNTON 3 N3 0 / N UNTON 5 N N5 TRNT TRNT 7 N7 UNTON a quanto sin qui sviluppato è evidente che il metodo dell equilibrio ai nodi risulta facilmente applicabile a strutture con un limitato numero di nodi (come quella in esame ad esempio). Nella maggioranza TR# 3

14 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. dei casi pratici però la determinazione degli sforzi nelle aste può diventare eccessivamente onerosa richiedendo la soluzione di molti nodi. Nell analisi di questi sistemi strutturali inoltre è spesso sufficiente conoscere lo sforzo solo in alcune aste. er travature a sostegno di grandi coperture ad esempio può essere importante conoscere, anche in una prima fase di dimensionamento di massima, solo l entità degli sforzi nelle aste più sollecitate, tipicamente situate in prossimità della mezzeria della travatura (e quindi lontane dai nodi canonici dai quali ha inizio la procedura sequenziale di soluzione prima vista). i seguito si illustrano due metodi classici per la determinazione degli sforzi in alcune aste senza dovere necessariamente risolvere l intero sistema (o gran parte di esso); essi sono: il metodo delle sezioni di Ritter e il metodo diretto, quest ultimo basato sull applicazione del principio dei lavori virtuali ad una opportuna catena cinematica reticolare definita a partire dal sistema in esame eliminando l asta nella quale si vuole determinare lo sforzo. Metodo delle sezioni di Ritter Questo metodo prevede di suddividere la travatura reticolare piana in due parti distinte mediante un opportuna sezione, detta appunto sezione di Ritter. a sezione di Ritter dovrà interessare oltre l asta di cui si vuole determinare lo sforzo altre due aste. e tre aste sezionate dovranno inoltre essere a due a due concorrenti nello stesso punto (tipicamente un nodo se le rette d azione si incontrano al finito, un punto all infinito nella direzione degli assi delle aste per coppie di aste parallele tra loro). Operata la sezione di Ritter, sui monconi delle tre aste tagliate si introducono gli sforzi normali incogniti, e ciò nell ipotesi che le aste siano tiranti e quindi con versi uscenti dalle sezioni di taglio. mponendo la condizione di equilibrio alla rotazione di una delle due parti in cui è stata divisa la travatura rispetto al punto d intersezione degli assi di due delle tre aste interessate dalla sezione di Ritter si ottiene lo sforzo normale nella terza asta. on riferimento alla sezione di Ritter s-s indicata nella Figura e atta alla determinazione dello sforzo nell asta ad esempio; l equilibrio alla rotazione di una delle due parti di travatura (già risolta per vincoli esterni) andrà imposto attorno al punto (nodo), intersezione delle aste 3 e. Tale punto è detto polo di Ritter dell asta. TR#

15 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. s s Figura Sezione di Ritter s-s utile per la determinazione degli sforzi nelle aste, 3 e er quanto sin qui osservato la sezione di Ritter s-s indicata in Figura è utile anche per determinare gli sforzi nelle aste 3 e. Si consideri la parte sinistra della struttura già risolta per vincoli esterni (si può ovviamente considerare anche quella di destra) e si applichino sulle aste tagliate gli sforzi (positivi, di trazione) N, N 3 ed N, ottenendo così lo schema di Figura 3. polo di Ritter asta s N 3 polo di Ritter asta 3 R N3 polo di Ritter asta s N Figura 3 orzione di struttura utilizzata per la determinazione degli sforzi nelle aste, 3 e on riferimento alla Figura 3 è facile constatare che: l asta ha come polo di Ritter il nodo in cui si incontrano le linee d asse delle aste 3 e ; l asta avrà come polo di Ritter il nodo intersezione degli assi delle aste e 3; l asta 3, infine, avrà come polo di Ritter il punto all infinito della direzione orizzontale, intersezione delle rette d asse delle aste e. a condizione di equilibrio alla rotazione attorno a fornisce lo sforzo N sull asta ; si ha: M 0 N 0 N TR# 5

16 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. l valore analitico determinato è positivo, quindi il verso ipotizzato è quello effettivo e l asta risulta sottoposta a trazione (tirante). È opportuno a questo punto osservare che, come appare dall equazione di equilibrio prima scritta e contenente il solo sforzo incognito N, l imposizione della condizione di equilibrio alla rotazione della porzione di struttura scelta intorno a, polo di Ritter dell asta, fa sì che i contributi degli altri due sforzi incogniti, N 3 ed N anch essi agenti sulla porzione di struttura considerata, siano nulli. Sono nulli infatti i bracci di tali forze rispetto a, punto d incontro delle loro rette d azione (linee d asse delle aste 3 e appunto). È questa la strategia risolutiva che rende molto efficace ed immediato il metodo esposto. a condizione di equilibrio alla rotazione attorno al polo di Ritter dell asta 3 si traduce, ovviamente, in una condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale che permette la determinazione dello sforzo N 3 ; si ha: F 0 N3 0 N3 0 asta 3 risulta scarica. a condizione di equilibrio alla rotazione attorno a fornisce infine lo sforzo N ; si ha: M 0 N 0 N l valore analitico determinato è in questo caso negativo e quindi il verso ipotizzato è opposto a quello effettivo; quindi l asta è un puntone (compresso). e. Nella Figura si considera la sezione di Ritter t-t atta alla determinazione degli sforzi nelle aste, 5 t t Figura Sezione di Ritter t-t per la determinazione degli sforzi nelle aste, 5 e onsiderando ad esempio la parte destra della struttura e procedendo in modo analogo a quanto fatto in precedenza si potrà allora fare riferimento allo schema seguente. TR#

17 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. polo di Ritter asta N t 5 polo di Ritter asta 5 R polo di Ritter asta N5 N t Figura 5 orzione di struttura utilizzata per la determinazione degli sforzi nelle aste, 5 e asta avrà come polo di Ritter il nodo, punto di intersezione delle linee d asse delle aste e 5; l asta avrà come polo di Ritter il nodo, intersezione degli assi delle aste 5 e ; l asta 5, infine, avrà come polo di Ritter il punto all infinito della direzione orizzontale, intersezione delle rette d asse delle aste e. a condizione di equilibrio alla rotazione attorno a fornisce lo sforzo N sull asta ; si ha: M 0 N 0 N asta è dunque un tirante. a condizione di equilibrio alla rotazione attorno al polo di Ritter dell asta 5 si traduce in una condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale che fornisce lo sforzo N 5 sull asta 5; si ha: F 0 N5 0 N5 asta 5 è quindi sottoposta a trazione (tirante). a condizione di equilibrio alla rotazione attorno a fornisce infine lo sforzo N ; tale condizione non viene scritta in quanto lo sforzo N è già stato precedentemente valutato per mezzo della sezione di Ritter s-s. Metodo diretto o sforzo normale in un asta della travatura reticolare piana può essere valutato considerando la condizione di equilibrio del cinematismo ottenuto sopprimendo l asta in esame (asta i-esima ad esempio) ed introducendo le azioni incognite ( R ) che tale asta trasmette ai nodi che le competono. versi di tali azioni i possono essere scelti arbitrariamente; nel seguito si adotterà la convenzione di ipotizzare lo sforzo normale nell asta soppressa positivo (di trazione) e pertanto le azioni cui l asta era collegata. R i saranno assunte con verso uscente dai nodi TR# 7

18 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. pplicando tale metodo ad una travatura reticolare piana isostatica, già risolta per vincoli esterni, la soppressione di un asta darà luogo ad un cinematismo con un solo grado di libertà e cioè, in questo contesto, ad una catena cinematica reticolare. a condizione di equilibrio di tale catena cinematica reticolare si tradurrà in un unica equazione avente per incognita l azione dell asta soppressa la cui soluzione fornirà, in intensità e verso, tale azione e di conseguenza lo sforzo normale cercato. È opportuno osservare inoltre che la soppressione di un asta di contorno genera tipicamente un sistema costituito da due porzioni (indeformabili) di struttura mutuamente collegate da una cerniera. imposizione della condizione di equilibrio parziale di una delle due porzioni rispetto all altra (equilibrio alla rotazione relativa) fornisce in modo immediato (senza cioè ricorrere allo studio della catena cinematica reticolare) lo sforzo normale cercato. SFORZO NORM N ST on riferimento alla travatura in esame si consideri la catena cinematica reticolare riportata in Figura ed atta, per quanto detto, all individuazione dello sforzo normale nell asta. Tale catena cinematica infatti è stata ottenuta eliminando l asta dalla travatura e introducendo sui nodi e che ad essa competono le azioni R (per ipotesi positive e quindi con versi uscenti dai nodi) che l asta esercita su di essi R R N N Figura atena cinematica reticolare per la determinazione dello sforzo normale sull asta a condizione di equilibrio della catena cinematica reticolare ottenuta può esprimersi attraverso il principio dei lavori virtuali (..V.) considerando a tal fine la classe delle configurazioni spostate individuate da un unico parametro lagrangiano, uno è infatti il grado di labilità del sistema. ome appare dallo schema di Figura, il sistema (labile) in esame risulta costituito da due corpi rigidi collegati mutuamente nel nodo indicati in Figura con (coincidente con l asta ) e (costituito dalle due maglie triangolari campite). a configurazione variata (o spostata) della catena cinematica può allora essere individuata in questo caso considerando che i centri assoluti di rotazione dei corpi e, siano essi e, devono essere allineati TR# 8

19 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. con il centro relativo centro relativo. n particolare: il centro assoluto coincide con l occhio della cerniera ; il coincide con la cerniera ; il centro deve appartenere alla retta r passante per ed ortogonale al piano di scorrimento del carrello in (Figura bis). a posizione di individuarsi per via grafica essendo come mostrato in Figura bis. può quindi punto di intersezione della congiungente - con la retta r così r Figura bis atena cinematica per la determinazione dello sforzo normale nell asta : individuazione dei centri di rotazione Una possibile spostata della catena cinematica in esame è individuabile assegnando una rotazione oraria del corpo attorno a (ciò equivale a scegliere come parametro lagrangiano la rotazione ). n Figura ter si riporta la spostata ottenuta per (il valore unitario è scelto per comodità di conto). a spostata è individuata sia sulla struttura, dove sono evidenziati gli spostamenti assoluti, sia in termini di proiezioni così da rendere più agevole la valutazione delle componenti di spostamento dei punti (nodi) ove sono applicati i carichi. TR# 9

20 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. '' 3 =/3 =/3 =/3 =/3 =/3 u = = ' u ' / u '' = u= u= 3 = u ' /3 3 ' '' u= u= = 3 ' ' u= = ' = = u= = 3 = u / 3 = 3 u= = 3 = u tg( ) u u u 3 tg( ) 3 5 u () u u u 3 3 Figura ter Spostata della catena cinematica reticolare di Fig. equazione dei lavori virtuali ( 0 ) nell unica incognita R si scrive sommando il lavoro compiuto dalle forze i cui punti di applicazione subiscono uno spostamento nella direzione delle forze stesse. iascun contributo, ovviamente, è assunto positivo quando forza e spostamento sono concordi, negativo in TR# 0

21 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. caso contrario. on riferimento alla Fig., ove sono indicati i carichi agenti, e alla Fig. ter, ove sono riportate le corrispondenti componenti di spostamento, può scriversi: u u u R u R 3 3 Si noti che essendo ponendo, per il..v., 0 si ha: u ed R mutuamente ortogonali il contributo al lavoro è identicamente nullo; R 0 R 3 3 l valore analitico determinato per R è positivo, il verso ipotizzato è corretto, e quindi l asta è in trazione (tirante). n modo alternativo, essendo l asta in esame un asta di contorno, la determinazione dello sforzo normale su di essa agente può effettuarsi imponendo una condizione di equilibrio parziale di una delle porzioni (indeformabili) di struttura rispetto all altra R R N N Figura quater Schema per la determinazione dello sforzo normale nell asta per mezzo di un equazione di equilibrio parziale on riferimento alla Fig. quater la condizione di equilibrio parziale è una condizione di equilibrio alla rotazione relativa intorno alla cerniera. mponendo ad esempio l equilibrio alla rotazione della porzione rispetto al nodo si ottiene in modo immediato (senza cioè ricorrere allo studio della catena cinematica reticolare) l azione dell asta soppressa R e quindi lo sforzo normale incognito N (uguale in modulo e direzione ma di verso opposto), si ha infatti: M 0 R 0 R l valore analitico determinato per R è positivo, il verso ipotizzato è corretto, e quindi l asta è in trazione (tirante). TR#

22 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. SFORZO NORM N ST Si consideri la catena cinematica reticolare riportata in Figura 7 atta all individuazione dello sforzo normale nell asta e ottenuta appunto eliminando l asta dalla travatura e introducendo sui nodi e le azioni R (positive e quindi con versi uscenti dai nodi) che l asta esercita su di essi. N R R N Figura 7 atena cinematica reticolare per la determinazione dello sforzo normale sull asta a condizione di equilibrio della catena cinematica reticolare ottenuta può esprimersi attraverso il principio dei lavori virtuali (..V.) considerando a tal fine la classe delle configurazioni spostate individuate da un unico parametro lagrangiano, uno è infatti il grado di labilità del sistema. ome appare dallo schema di Figura 7, il sistema (labile) in esame risulta costituito da due corpi rigidi collegati mutuamente nel nodo indicati in Figura con (coincidente con l asta ) e (costituito dalle due maglie triangolari campite). a configurazione variata (o spostata) della catena cinematica può allora essere individuata in questo caso considerando che i centri assoluti di rotazione dei corpi e, siano centro relativo relativo e, devono essere allineati con il. n particolare: il centro assoluto coincide con l occhio della cerniera ; il centro coincide con la cerniera ; il centro deve appartenere sia alla retta r passante per ed ortogonale al piano di scorrimento del carrello in sia alla congiungente - (Figura 7bis). a posizione di Figura 7bis. può quindi individuarsi per via grafica risultando coincidente con come mostrato in TR#

23 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi r Figura 7bis atena cinematica per la determinazione dello sforzo normale nell asta : individuazione dei centri di rotazione Una possibile spostata della catena cinematica in esame è individuabile assegnando un abbassamento verticale del punto (ciò equivale a scegliere come parametro lagrangiano lo spostamento u ). n Figura 7ter si riporta la spostata ottenuta per u (il valore unitario è scelto per comodità di conto). a spostata è individuata sia sulla struttura, dove sono evidenziati gli spostamenti assoluti, sia in termini di proiezioni così da rendere più agevole la valutazione delle componenti di spostamento dei punti (nodi) ove sono applicati i carichi. TR# 3

24 Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. / / u / u u= = u= = 3/ = = u= '' '' '' u ' = u / = ' u= = ' u= 3 =3 u= u= = u / = u u tg( ) tg( ) u u u u 3 u =.5 Figura 7ter Spostata della catena cinematica reticolare di Fig. 7 equazione dei lavori virtuali ( 0 ) nell unica incognita R si scrive sommando il lavoro compiuto dalle forze i cui punti di applicazione subiscono uno spostamento nella direzione delle forze stesse. iascun contributo, ovviamente, è assunto positivo quando forza e spostamento sono concordi, negativo in caso contrario. on riferimento alla Fig. 7, ove sono indicati i carichi agenti, e alla Fig. 7ter, ove sono riportate le corrispondenti componenti di spostamento, può scriversi: u u u R u R u Si noti che il lavoro compiuto dalla forza R applicata in (cfr. Fig. 7) per effetto dello spostamento (cfr. Fig. 7ter) è stato computato, per semplicità, come somma dei lavori compiuti dalle componenti di R secondo e per i corrispondenti spostamenti; si ha in definitiva: 3 3 R R u ponendo, per il..v., 0 si ottiene: TR#

7 Applicazioni ulteriori

7 Applicazioni ulteriori 7 Applicazioni ulteriori 7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse 7.1.1 Analisi cinematica Si consideri la struttura in figura 7.1: i gradi di libertà sono pari a l =3n c v =3 0 3 = 0,

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