Elementi di topografia parte II

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1 Corso di Topografia Istituto Agrario S. Michele Elementi di topografia parte II prof. Maines Fernando Giugno 2010

2 Elementi di meccanica agraria pag. 164 Maines Fernando Sommario 1 Gli errori e il loro trattamento Esercizi proposti Elementi di trigonometria Risoluzione di un triangolo Risoluzione di un triangolo rettangolo Risoluzione quadrilateri Coordinate cartesiane e coordinate polari Coordinate cartesiane Coordinate polari Formule di conversione Coordinate relative Esempio applicativo: perimetro e angoli interni di un poligono Risoluzione poligonali aperte Metodo risolutivo Risoluzione con foglio elettronico Esercizi Risoluzione poligonali chiuse Esercizi Calcolo delle aree Poligoni di cui si è in possesso solo di rappresentazione cartografica Poligoni dei quali sono noti tutti gli elementi ad esclusione di un lato e dei due angoli adiacenti Poligoni dei quali sono note le coordinate di tutti i vertici Esercizi Restituzione grafica Restituzione planimetrica Restituzione altimetrica Esercizio Suddivisione dei terreni, rettifica e spostamento dei confini Suddivisione dei terreni Rettifica e spostamento confini Metodologia operativa Esercizi Tipo di frazionamento Spianamenti Progetto per uno spianamento Spianamenti a compenso Esercizi...268

3 Elementi di meccanica agraria pag. 165 Maines Fernando 1 Gli errori e il loro trattamento

4 Elementi di meccanica agraria pag. 166 Maines Fernando

5 Elementi di meccanica agraria pag. 167 Maines Fernando

6 Elementi di meccanica agraria pag. 168 Maines Fernando

7 Elementi di meccanica agraria pag. 169 Maines Fernando In topografia si parla di errori prima di tutto in riferimento alle misure che si eseguono nel corso dei rilievi. Le misure operate in campo topografico si possono classificare in: misure dirette: ottenute per confronto diretto con l unità campione. misure indirette: ottenute attraverso relazioni analitiche (formule) applicate ad altre grandezze di cui si conosce la misura; misure condizionate: per grandezze che devono soddisfare determinate condizioni come ad esempio la somma degli angoli di un triangolo deve essere pari a π. Inoltre si definisce peso di una misura il livello di precisione di una misura; pertanto le misure della stessa grandezza possono essere dello stesso peso se eseguite dallo stesso operatore, con lo stesso strumento, nelle medesime condizioni operative,. In caso contrario si dicono misure di peso diverso. Per quanto riguarda gli errori due sono le definizioni fondamentali: errore assoluto: differenza fra la misura ed il valore reale (E a =x-x); errore relativo: entità dell errore in rapporto al valore vero (E r =E a /X). Da un punto di vista operativo esistono tre tipi di errori: errori materiali (o grossolani); errori strumentali (o sistematici); errori accidentali (o casuali). Gli errori grossolani sono legati a disattenzione di chi compie la misura; possono essere sia positivi e che negativi e sono facilmente individuabili (ed eliminabili) ripetendo la misura. Se, ad esempio, si effettuano due misure che risultano molto diverse significa che c è un errore grossolano e quindi si effettuerà una terza misura. Gli errori sistematici sono invece legati all imperfezione dello strumento. Sono costanti (proporzionalmente alla misura), sempre in eccesso o in difetto. Si possono ridurre (ma non eliminare) utilizzando strumenti più precisi o rettificando lo strumento. Gli errori accidentali sono dovuti a vari fattori come temperatura, fattori climatici, stanchezza,, e pertanto difficilmente standardizzabili. Si possono ridurre applicando metodologie matematiche di tipo statistico che costituiscono la teoria degli errori. Si tratta di una branca della matematica che può essere utilizzata per gestire e analizzare gli errori casuali e per ridurne l effetto. In particolare ci limiteremo, in questa sede al trattamento statistico delle misure dirette. Descriveremo una metodica da applicare a una popolazione di misure dirette (campione), ottenuto nel corso di un rilievo e rappresentabili efficacemente mediante apposito grafico delle misure. Lo scopo è quello di aumentare la precisione in quanto all aumentare del numero di misure (indicato con n) trattate aumenta l attendibilità del risultato. La metodologia risulta invece inefficace per campioni di numerosità inferiore a 12. Dato che ogni misura umana è affetta da errore e che non è possibile determinare il valore vero di una grandezza, ne consegue che non è possibile determinare l errore.

8 Elementi di meccanica agraria pag. 170 Maines Fernando La statistica ci viene in soccorso poiché consente di definire il valore più probabile (stima del valore vero) e di calcolare con quale probabilità il valore vero è compreso in una determinato intervallo costruito attorno al valore più probabile. Si può dimostrare che il valore più probabile è il valore medio, derivante dalla media aritmetica nel caso di misure dello stesso peso o dalla media pesata nel caso di misure di diverso peso. Queste le formule: x m n xi ( xi pi ) i= = 1 i= 1 xm = n n pi n i= 1 dove: x m = valore medio; x i = misura; n = numero ripetizioni misura; p i = peso della misura. Il valor medio è un ottimo parametro per rappresentare una popolazione di dati relativi alle misure di una grandezza, ma non è sufficiente in quanto, ad esempio, non fornisce informazioni su l entità di errori che ho commesso. Una prima stima dell errore assoluto E a = x- X commesso sulla singola misura può essere fatta mediante il calcolo dello scarto s i dato dall espressione: s i = x i - x m dove: x i è il valore misurato; x m è il valore medio. La stima dell errore medio commesso, invece, non può essere fatta attraverso la media (aritmetica o pesata degli scarti dato che, come è facilmente intuibile, la sommatoria degli scarti dà come valore 0.

9 Elementi di meccanica agraria pag. 171 Maines Fernando Per superare questo limite si possono prendere in considerazione gli scarti al quadrato al fine di ottenere valori tutti positivi la cui somma pertanto non si annulla. Si giunge così alla definisce di due grandezze statistiche particolarmente important1: la varianza ν definita come la media 1 degli scarti al quadrato: 2 si i= 1 ν = ; n 1 lo scarto quadratico medio σ dato dalla radice quadrata 2 della varianza: 2 si i= 1 σ = ν = n 1 Quest ultimo parametro consente di valutare la dispersione della popolazione attorno al valor medio: minore è il valore dello scarto quadratico medio, minore sarà la dispersione (campione più rappresentativo). n n 1 Si divide per n-1 invece che per n, in quanto lo scarto s non rappresenta l errore ma una sua stima. 2 Questo passaggio è motivato dalla convenienza di avere un parametro esprimibile con la stessa unità di misura della grandezza misurata.

10 Elementi di meccanica agraria pag. 172 Maines Fernando Le sperimentazioni relative agli eventi casuali evidenziano che la frequenza (e quindi la probabilità) con la quale di si manifesta un determinato errore casuale ha le seguenti proprietà: gli errori minori hanno più probabilità di verificarsi degli errori maggiori; gli errori positivi si verificano con la stessa probabilità degli errori negativi; anche gli errori molto grandi possono presentarsi, ma con una probabilità molto piccola, tendenze a zero (andamento asintotico). Partendo da queste osservazioni il grande matematico tedesco Gauss ha determinato la funzione di distribuzione della probabilità (campana di Gauss) con la quale si presentano gli errori casuali: y = 1 0,5x e 2π σ dove: y = probabilità; x= errore; σ = scarto quadratico medio (vedi diapositiva specifica). 2 Gauss calcolò inoltre la probabilità di commettere un errore compreso nei seguenti intervalli: 68,26% per l intervallo -1σ e +1σ; 95,45% per l intervallo -2σ e +2σ; 99,73% per l intervallo -3σ e +3σ; E evidente che un errore con valore assoluto maggiore di 3σ è assai poco probabile; pertanto tale valore (3σ) viene assunto come come massimo errore ammissibile detto tolleranza (o errore temibile). Si può dimostrare che, se le misure sono meno di 11, lo scarto è comunque sempre inferiore alla tolleranza. Per questo motivo, per campioni di numerosità inferiore a 11 si deve utilizzare come tolleranza la semidispersione: x max x d = min 2 In entrambi i casi se uno o più valori degli scarti sono superiori alla tolleranza, devo eliminarlo in quanto, probabilmente, sono affetti da errori grossolani. E necessario, pertanto rieseguire tutti i calcoli (anche della tolleranza).

11 Elementi di meccanica agraria pag. 173 Maines Fernando Si tratta, perciò, di un metodo che deve essere reiterato fino a quando tutti i valori degli scarti sono inferiori alla tolleranza. Per completare il processo si calcola un ultimo parametro chiamato valor medio della media, allo scopo di definire la precisione della media: σ σ n = n Siamo giunti alla conclusione in quanto possiamo ora definire il grado di incertezza del valor medio cioè l intervallo nel quale è molto probabile (attenzione non stiamo parlando di certezza) trovare il valore vero (x * ) della grandezza: * x σ < x < x + σ nel caso di n 11 m n m * xm d < x < xm + d nel caso di n < 11. L esecuzione dei calcoli può essere facilmente automatizzata mediante foglio elettronico. La seguente figura ne mostra un esempio: n

12 Elementi di meccanica agraria pag. 174 Maines Fernando Nelle prima colonna della tabella 1 sono riportati i valori delle misure effettuate. Nella cella in alto viene calcolato il valor medio. Nelle successive due colonne vengono calcolati gli scarti e il quadrato degli scarti. Nelle celle di testa vengono inserite le formule per il calcolo delle rispettive sommatorie: la prima deve risultare (approssimativamente) zero, mentre la seconda serve per il calcolo della varianza, dello scarto quadratico e della tolleranza. Quest ultimo valore sarà utilizzato per la verifica degli scarti. Il calcolo viene ripetuto nelle colonne della tabella 2 dove sono stati tolti le eventuali misure affette da scarti superiori alla tolleranza. Di seguito viene riportato un esempio di foglio di calcolo più evoluto nel quale è possibile anche impostare il numero di misure trattate e il numero di cifre decimali richieste. Numero valori (almeno 12, max. 25): Numero di cifre decimali: 15 valore più probabile 3 12,561 ± 0,1019 valori X scarti S scarti al quadrato S , , , , , , , , , , , ,5607 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Valori 194, , , ,8500 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,4811 1,8891 1,8891 1,8891 accettato 1 12, , , , ,4500 0, , , , , , , , accettato 2 12, , , , ,3300 0, , , , , , , , accettato 3 12, , , , ,6500 0, , , , , , , , accettato 4 12, , , , ,0000 0, , , , , , , , accettato 5 12, , , , ,7600 0, , , , , , , , accettato 6 12, , , , ,4400 0, , , , , , , , accettato 7 12, , , , ,8800 0, , , , , , , , accettato 8 12, , , , ,3700 0, , , , , , , , accettato 9 12, , , , ,5600 0, , , , , , , , accettato 10 12, , , , ,3400 0, , , , , , , , accettato 11 13, , , , ,6700-0, , , , , , , , non accettato 12 18, ,5600-5, , accettato 13 12, , , , ,4400 0, , , , , , , , accettato 14 12, , , , ,5100 0, , , , , , , , accettato 15 12, , , , ,4500 0, , , , , , , , Esercizi proposti vertici esercizio 1 esercizio 2 esercizio 3 esercizio 4 1 5, ,45 38, , , ,33 38, , , ,65 38, , , ,00 38, , , ,76 38, , , ,44 38, , , ,88 38, , , ,37 38, , , ,56 38, , , ,34 38, , , ,67 38, ,491

13 Elementi di meccanica agraria pag. 175 Maines Fernando 12 5, ,54 38, , , ,44 38, , , ,51 38, , , ,45 38, , , ,38 38, , , ,44 38, , , ,87 38, , , ,54 38, , , ,69 38, , , ,22 38, , , ,39 38, , , ,99 38, , , ,44 38, , , ,61 38, ,454 valor 5, ,512 38, ,4766 medio σ m 0, ,0448 0, ,00284

14 Elementi di meccanica agraria pag. 176 Maines Fernando 2 Elementi di trigonometria

15 Elementi di meccanica agraria pag. 177 Maines Fernando

16 Elementi di meccanica agraria pag. 178 Maines Fernando

17 Elementi di meccanica agraria pag. 179 Maines Fernando

18 Elementi di meccanica agraria pag. 180 Maines Fernando Nella maggior parte delle applicazioni topografiche le linee curve vengono approssimate con delle spezzate in modo da ottenere elementi rappresentati mediante figure poligonali. Dato che qualsiasi poligono può essere suddiviso comunque in triangoli, è essenziale saper risolvere 3 tale figura per poter eseguire la maggior parte delle procedure utilizzate in topografia. In particolare utilizzeremo gli strumenti analitici forniti dalla trigonometria che consente di definire ogni elemento di un triangolo (perimetro, area, coordinate dei vertici, ) a partire dalla misurazioni di distanze, angoli e dislivelli eseguite nel corso del rilievo topografico. 3 Ricordiamo che per poter risolvere un triangolo è necessario conoscere le dimensioni di almeno tre elementi di cui almeno un lato. Questa regola può essere generalizzata: un poligono di n vertici (n lati e n angoli) può essere risolto trigonometricamente sono se sono noti almeno (2n-3) elementi (lati o angoli).

19 Elementi di meccanica agraria pag. 181 Maines Fernando In questa sede ci limiteremo all utilizzo delle tre funzioni goniometriche principali (seno, coseno, tangente) e della cotangente, il cui significato geometrico e riasuunto nella figura seguente. Si ricorda che quelle goniometriche sono funzione che ricevono un valore angolare e restituiscono un valore numerico. Inoltre valgono le seguenti relazioni fondamentali: tan α = sin α / cos α; cotan α = 1 / tan α. 4 Molto utilizzate nei calcolo trigonometrici sono anche le funzioni goniometriche inverse, e in particolare l arcoseno (arcsen x o sen -1 x), l arcocoseno (arccos x o cos -1 x), l arcotangente (arctan x o tan -1 x) e l arcocotangente (arccotan x o cotan -1 x). Queste funzioni, essendo le inverse delle precedenti, elaborano un valore numerico e restituiscono un valore angolare. E fondamentale ricordare l importanza di non confondere la funzione inversa (arcsen x) dall inverso (1/sen x o sen -1 x o cosec x), errore dovuto anche dal fatto che molte calcolatrici, per motivi di spazio, usano la scritta sen -1 x per indicare arcsen x. A tal proposito ricordiamo anche che per poter utilizzare correttamente le calcolatrici si devono rispettare alcune regole di base: verificare il metodo di immissione dei dati. Le calcolatrici, infatti, possono adottare due protocolli diversi: 4 Questa relazione viene espressa dicendo che la cotangente è l inverso della tangente.

20 Elementi di meccanica agraria pag. 182 Maines Fernando metodo tradizionale o inverso (sempre meno adottato): per inserire l espressione 2 arcsen( a ) si digita la seguente successione di tasti a, x 2, arcsen x, radice. metodo progressivo (ora il più adottato): per inserire l espressione 2 arcsen( a )» si digita la seguente successione di tasti radice, arcsen x, a x 2. se si utilizzano le funzioni goniometriche e le relative funzioni inverse ricordarsi di impostare la calcolatrice sul sistema angolare corretto: DEG per gli angoli sessadecimali; GRAD per gli angoli centesimali; RAD per gli angoli radianti. il risultato fornito dalla calcolatrice talvolta non tiene conto del quadrante in cui si opera. E il caso del teorema dei seni qualora si utilizza la funzione arcoseno: dato un valore del seno compreso fra 0 e 1 esistono due angoli che assumono lo stesso valore di sen x: angolo α 1 compreso fra 0 e π/2 (1 quadrante); angolo α 2 compreso fra π/2 e π (2 quadrante). notare che α 2= π- α Risoluzione di un triangolo Per risolvere un triangolo qualsiasi (avendo almeno tre elementi di cui un lato), è sufficiente utilizzare i seguenti teoremi o formule: teorema dei seni; teorema del coseno (o di Carnot); formule per il calcolo dell area. Nella figura seguente è riportata la convenzione più diffusa per le lettere utilizzate per indicare vertici (A, B, C), lati (a, b, c) e angoli (α, β, γ).

21 Elementi di meccanica agraria pag. 183 Maines Fernando Teorema dei seni Questo primo teorema afferma: in un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato e il seno dell angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. L enunciato può essere espresso con le seguenti formule: Osservando le espressioni si comprende che il teorema dei seni è applicabile qualora fossero noti gli elementi di una coppia lato e angolo opposto (a, α; b, β; c, γ). In tal caso, conoscendo un elemento di un altra coppia è possibile calcolarne l omologo. Due sono i possibili casi di cui proponiamo un esempio ciascuno: 1. noti a, b, β posso trovare α: 2. noti α, b, β posso trovare a: Teorema del coseno o di Carnot L enunciato del teorema è il seguente: In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell angolo compreso. In forma analitica si esprime con le formule seguenti:

22 Elementi di meccanica agraria pag. 184 Maines Fernando Due sono pertanto i casi nei quali è applicabile il teorema del coseno: noti due lati e l angolo compreso (b, c, α; a,c, β; a,b, γ) è possibile calcolare il terzo lato attraverso le espressioni: noti tutti e tre il lati, è possibile ricavare i tre angoli mediante: Formule per il calcolo delle aree Le principali formule per il calcolo dell area di un triangolo qualsiasi sono: formule base da usarsi quando sono noti due lati e l angolo compreso: formula di Erone qualora siano noti tutti i lati: dove p=(a+b+c)/2. ***** A completamento riportiamo le metodiche risolutive dei possibili casi che si possono incontrare 1. tre lati (N.B.: nelle figure successive gli elementi noti sono riportati in rosso): angolo 1 (teorema del coseno inverso); angolo 2 (teorema del coseno inverso); angolo 3 (teorema del coseno inverso); verifico la somma degli angoli; area con formula di Erone. 2. due lati e l angolo compreso: lato 3 (teorema del coseno);

23 Elementi di meccanica agraria pag. 185 Maines Fernando angolo 2 (teorema del coseno inverso); angolo 3 (teorema del coseno inverso); verifico la somma degli angoli; area con formula standard. 3. Due lati e un angolo adiacente: angolo 2 (teorema dei seni): due possibili soluzioni. angolo 3 (differenza a π); lato 3 (teorema del coseno); area con formula standard o con Erone. 4. Un lato e due angoli adiacenti: angolo 3 (differenza a π); lato 2 (teorema dei seni); lato 3 (teorema del coseno); area con formula standard. 5. un lato, l angolo opposto ed un angolo adiacente: lato 2 (teorema dei seni); angolo 3 (differenza a π);

24 Elementi di meccanica agraria pag. 186 Maines Fernando lato 3 (teorema del coseno); area con formula standard. Nel corso della risoluzione di un triangolo si deve prestare particolare attenzione in due particolari situazioni: quando sono noti due angoli è possibile determinare il terzo sottraendo la loro somma a π. E bene, però, utilizzare questa possibilità solo qualora non fosse possibile applicare nessuna altra formula. In tal modo, infatti, sarà possibile la verifica, al termine dei calcoli, dei valori angolari ottenuti (la somma deve essere, con buona approssimazione, pari a π). quando si utilizza il teorema dei seni per calcolare un angolo bisogna ricordarsi che la calcolatrice opera sempre nel primo quadrante (angolo compreso fra 0 e π/2). Non sempre il valore ottenuto è quello giusto in quanto, nel caso di un triangolo ottusangolo, uno degli angoli è maggiore di π/2. Tale situazione può essere riconosciuta in quanto un lato (quello opposto all angolo ottuso) ha una lunghezza decisamente maggiore degli altri due lati. Pertanto se la somma degli angoli interni del triangolo non risultasse pari a π, al posto del valore dato dalla calcolatrice (ottenuto con la funzione arcsen) va sostituito con il suo supplementare (ottenuto sottraendo l angolo della calcolatrice a π). A questo punto è necessario effettuare nuovamente la verifica; un esito positivo è la prova che si tratta proprio di un triangolo ottusangolo. Come sempre accade in ambito matematico è fondamentale esercitarsi; per questo vengono proposti 30 esercizi relativi a triangoli di cui sono dati tre elementi (valori in rosso). Calcolare gli elementi mancanti (valori in nero) e l area. Nell ultima colonna è riportato il sistema angolare in cui è necessario operare. Buon divertimento. a (BC) b (CA) c (AB) α β γ angoli 1 103,753 55,898 62, ,5 27 0, ,9 DEG 2 25,343 26,854 44, , , ,9 DEG 3 103,33 213,48 146, DEG 4 2,438 1,324 1,938 1,6557 0,5718 0,9142 RAD 5 12,6 15,4 19,9 43,65 56,34 100,01 GRAD 6 17,20 15,80 34,55 impos. impos. impos. GRAD 7 24,43 35,63 47,45 33,48 52,30 114,22 GRAD 8 65,29 88,46 76, DEG 9 impos. 188,24 impos impos. DEG 10 63,34 41,21 88,46 45,432 28, ,558 GRAD , , ,456 28, , ,8946 GRAD , , ,0542 GRAD

25 Elementi di meccanica agraria pag. 187 Maines Fernando ,34 244,11 407, DEG ,21 239,44 impos. impos impos. DEG 15 2,364 2,115 3,087 49,876 43,166 86,958 DEG 16 22,345 26,158 23,489 53, , ,2855 DEG 17 81,303 81,303 65,042 73, , ,3956 GRAD ,758 49,876 51,366 RAD 19 80,00 1, ,634 DEG ,30 29, ,34 63,810 8, ,524 GRAD 21 37, , , , , ,0646 DEG 22 15,757 22,345 15,534 44,832 91,137 44,031 DEG 23 4,752 5,453 6,094 53,232 65,475 81,293 GRAD ,33 194,23 455,68 105,987 20,138 53,875 DEG ,4 341,5 49,876 GRAD ,3 355,8 33,55 GRAD 27 24,38 13,24 18,38 GRAD 28 15,80 33,48 114,22 GRAD 29 23,64 21, GRAD 30 88,46 45,58 76,55 GRAD 2.2 Risoluzione di un triangolo rettangolo. Per completezza riportiamo anche le formule specifiche per i triangoli rettangoli sebbene si possano facilmente ricavare dalle formule viste per i triangoli qualsiasi, ponendo semplicemente l angolo γ pari a π/2. Per i triangoli rettangoli valgono le seguenti formule, utilizzabili qualora sono noti, oltre all angolo retto, due elementi di cui almeno uno deve essere un lato: un cateto è uguale all ipotenusa per il seno dell angolo opposto (al cateto) o per il coseno dell angolo adiacente: a = ip senα; a = ip cosβ; b = ip senβ; b = ip cosα. Dalle precedenti formule si possono ricavare le relazioni per il calcolo degli angoli quando sono noti un cateto e l ipotenusa. un cateto è uguale all altro cateto per la tangente dell angolo opposto (al primo cateto) o per la cotangente dell angolo adiacente: a = b tanα; a = b cotanβ; b = a tanβ; b = a cotanα. Dalle precedenti formule si possono ricavare le relazioni per il calcolo degli angoli quando sono noti i due cateti.

26 Elementi di meccanica agraria pag. 188 Maines Fernando 2.3 Risoluzione quadrilateri Per risolvere un quadrilatero qualsiasi devono essere noti almeno 5 degli 8 elementi, di cui almeno due lati. La risoluzione prevede i seguenti passaggi: la divisione del quadrilatero in due triangoli mediante una diagonale; la risoluzione del triangolo con più elementi noti (almeno tre); la risoluzione del secondo triangolo. Per il calcolo dell area si possono sommare le aree dei due triangoli ottenute con le formule viste nel paragrafo precedente, cercando di utilizzare quella che richiede il minor numero possibile di elementi calcolati al fine di ridurre il più possibile la propagazione degli errori (di approssimazione, ). In alternativa è possibile utilizzare la formula del camminamento qualora siano noti tre lati successivi e i due angoli compresi (ad esempio a, b, c, β, γ): Questa metodologia può essere applicato nei seguenti casi: noti quattro lati ed un angolo (nelle figure gli elementi noti sono in rosso); noti tre lati e i due angoli compresi;

27 Elementi di meccanica agraria pag. 189 Maines Fernando noti tre lati e due angoli, di cui uno compreso; noti due lati adiacenti e tre angoli. Vi sono due casi che richiedono una metodica risolutiva diversa: noti tre lati e i due angli non compresi;

28 Elementi di meccanica agraria pag. 190 Maines Fernando noti due lati con contigui e tre angoli: In questi casi la metodica risolutiva prevede i seguenti passaggi: risolvo i triangoli rettangoli 1 e 2; risolvo il triangolo rettangolo 3; ricavo gli elementi mancanti; per la determinazione dell area posso calcolare le quattro aree (3 triangoli rettangoli ed 1 rettangolo) oppure, dopo aver divido il quadrilatero con una diagonale, sommo le aree dei due triangoli ottenuti. Anche per i quadrilateri proponiamo alcuni esercizi. Ancora buon divertimento.

29 Elementi di meccanica agraria pag. 191 Maines Fernando 3 Coordinate cartesiane e coordinate polari

30 Elementi di meccanica agraria pag. 192 Maines Fernando

31 Elementi di meccanica agraria pag. 193 Maines Fernando

32 Elementi di meccanica agraria pag. 194 Maines Fernando

33 Elementi di meccanica agraria pag. 195 Maines Fernando 3.1 Coordinate cartesiane Dobbiamo a René Descartes (Cartesio), filosofo e matematico francese (1596, 1650), la definizione di un sistema di coordinate per descrivere in modo rigoroso la posizione di un punto nel piano (e nello spazio), passaggio essenziale per la costruzione della geometria analitica, branca della matematica che ha rappresentato la sintesi fra la geometria (sviluppata dai Greci) e l algebra (sviluppata dagli Arabi). Le figure geometriche diventano luoghi dei punti ognuno individuato in modo univoco attraverso le coordinate cartesiane, la cui definizione si basa su alcune convenzioni: adozione di due assi perpendicolari tra di loro, di cui uno orizzontale (asse x o asse delle ascisse) e uno verticale (asse y o delle ordinate); il punto di intersezione viene detto origine; l asse delle x è fissato con il verso positivo verso destra mentre l asse y ha verso positivo verso l alto; un punto del piano viene individuato da una coppi di numeri: coordinata x data dalla distanza dall origine della proiezione del punto sull asse x; coordinata y data dalla distanza dall origine della proiezione del punto sull asse y. I due assi cartesiani suddividono il piano in 4 quadranti: 1 quadrante: x > 0; y > 0; 2 quadrante: x > 0; y < 0; 3 quadrante: x < 0; y < 0; 4 quadrante: x < 0; y > 0. Quanto è stato visto per il piano può essere esteso allo spazio. Ai due assi x e y si associa un terzo azze (asse z) anch esso passante per l origine e perpendicolare ad entrambi. Il verso positivo è diretto verso l alto. Pertanto la posizione di un punto nello spazio viene identificata da tre coordinate: nell ordine x, y, z.

34 Elementi di meccanica agraria pag. 196 Maines Fernando 3.2 Coordinate polari Vengono definite utilizzando un solo asse (detto asse polare o asse azimutale), indicato con y o N. Ha direzione e verso predefiniti che, molto frequentemente, coincidono con il Nord. Su tale asse, inoltre, viene fissato un punto (detto polo O), che assume il ruolo di origine. Anche nel caso delle coordinate polari la posizione di un punto P è definita da due coordinate: d P : è un numero che rappresenta la distanza del punto P dall origine O; pertanto varia da 0 a + ; θ P : è un angolo (detta anomalia o angolo di direzione), misurato a partire dall asse Y, ruotando in senso orario. Qualora l asse polare corrispondesse con il Nord, l anomalia coincide con l azimut. In ogni caso θ P varia da 0 a 2π. Y N P(d P, θ P) θ P d P 0 Per definire la posizione di un punto nello spazio, di deve aggiungere una terza coordinata alle due coordinate per il piano. Per la sua determinazione è necessario introdurre un ulteriore asse (asse Z) disposto verticalmente e diretto verso l alto. Si tratta, infatti, dell angolo φ P (angolo verticale o zenitale) misurato a partire dall asse verticale fino alla congiungente P con origine.

35 Elementi di meccanica agraria pag. 197 Maines Fernando 3.3 Formule di conversione Incominciamo con le formule per passare da coordinate polari a cartesiane. Si tratta di formule molto semplici: date le coordinate polari d z e θ P si ottengono x p e y p con le seguenti espressioni: x z = d z senθ P ; y z = d z cosθ P. Per quanto riguarda il passaggio da coordinate cartesiane a polari, le espressioni per ottenere d P e θ P dati x P e y P sono: d P 2 = x P 2 + y P 2 (teorema di Pitagora); θ P = arctan(x P /y P ). Anche in questo caso si tratta di formule molto semplici, ma una precisazione deve essere fatta per l espressione relativa a θ P : la calcolatrice, quando utilizza la funzione arcotangente, esegue i calcoli riferendosi sempre al primo quadrante e pertanto il risultato deve essere interpretato a seconda del quadrante nel quale stiamo operando (riconoscibile dal segno delle due coordinate cartesiane). Nella seguente tabella sono riassunte le correzioni da apportare nei 4 diversi casi. quadrante x P y P θ Pcal θ Pcal 1 > 0 > 0 + θ Pcal 2 > 0 < 0 - θ Pcal + π 3 < 0 < 0 + θ Pcal + π 4 < 0 > 0 - θ Pcal + 2π Vediamone un esempio: quadrante x P y P θ Pcal θ Pcal ,0334 gon 59,0334 gon ,0334 gon 140,9666 gon ,0334 gon 359,0334 gon

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