Appunti di complemento per le lezioni del corso di Matematica Finanziaria L OPERAZIONE DI AMMORTAMENTO

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1 Appunti di copleento per le lezioni del corso di Mateatica Finanziaria L OPERAZIONE DI AMMORTAMENTO

2 Preessa Il presente testo di appunti è stato scritto per fornire agli studenti un supporto didattico aderente alla trattazione degli aortaenti, così co è stata svolta a lezione È da intendersi quindi coe testo integrativo rispetto ai paragrafi 54 e 55 del libro G Castellani, M De Felice, Franco Moriconi, Manuale di finanza - I Tassi d interesse Mutui e obbligazioni, per brevità indicato in seguito coe Libro La trattazione dell argoento non è pertanto esaustiva e si rianda, dove opportuno, al Libro Operazione di rendita e operazione di aortaento Si definisce rendita una operazione finanziaria costituita da un insiee finito o infinito di pagaenti positivi, periodici, detti rate della rendita quale, per esepio, l operazione:,r,,,2,, r/s { R }/{ } 2 R Talvolta si usa parlare di operazione di rendita riferendosi ad una operazione di scabio di un iporto S esigibile, di solito, in una data antecedente alla scadenza della pria rata, con la rendita r Più precisaente si parla di operazione di rendita in senso proprio se si fa riferiento alla parte che effettua l investiento, pagando S per poi ricevere le rate Viceversa, dal punto di vista della controparte, si tratta, più precisaente, di una operazione di riborso o aortaento di un debito S ediante il pagaento delle rate di aortaento R,R 2,,R : x/t { S,-R,-R }/{ } 2,,-R 0,,2,, Gli aortaenti costituiscono l argoento della ateatica finanziaria in cui ci si pone il problea di definire le odalità di restituzione del debito S, detto anche soa utuata (con riferiento ad un contratto di utuo e di corresponsione degli interessi La soa utuata può essere restituita in unica soluzione, al oento del pagaento dell ultia rata, oppure un po alla volta nel corso dell operazione, si parla in tal caso di aortaenti progressivi In ogni caso, l operazione deve soddisfare le due seguenti condizioni: a l operazione deve essere equa secondo la legge di capitalizzazione coposta o esponenziale, al tasso di interesse periodale i coerente con la periodicità di pagaento delle rate (condizione di equità; b l iporto utuato S deve venire restituito copletaente (condizione di chiusura Esistono vari tipi di aortaenti, che sono utilizzati nella pratica e che si possono fare rientrare in due schei generali: gli aortaenti a rate posticipate e gli aortaenti a rate anticipate 2 L aortaento a rate posticipate L operazione di aortaento a rate posticipate è la seguente: x/t { S,-R,-R 2,,-R } /{ 0,,2,, } dove la rata R si copone di un una quota capitale C (con C 0 e di una quota interesse I (v anche il paragrafo 23 del Libro: R C + I, 2,, 2

3 Le rate devono soddisfare la condizione di equità S R (+ i 0 e le quote capitale, che vengono pagate per restituire il debito S, devono soddisfare la condizione di chiusura C S Per deterinare le quote interesse, introduciao la nozione di debito residuo Sia t un istante tale che t < +, il ontante in t dell operazione finanziaria x/t è (v la definizione di ontante al paragrafo 45 del Libro M(t,x S ( + i t t-h R h (+ i ha il significato di soa da pagare in t per estinguere il debito S, avendo già pagato anche le rate,,, ; infatti, l operazione finanziaria R h risulta equa { S,-R,-R 2,,-R,-M(t, x }/{ 0,,2,,, t} Pertanto il ontante M(t,x rappresenta il debito residuo in t Definiao D M(,x 0,, il debito residuo in, valutato dopo il pagaento della rata R Poiché la quota interesse I, esigibile in, atura nell intervallo [ -,] all inizio dell intervallo, le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I i D -, 2,, Proviao che per il debito residuo in, D M(,x 0,, si ha ed è inoltre Diostrazione D S C h C,,- D S e D 0 0 h h + sul debito residuo valutato Si diostra per induzione sfruttando la relazione ricorrente del ontante (v il paragrafo 45 del Libro: M(,x M(, x ( + i R,, 2,, Poiché D 0 M(0,x S è provata la base induttiva Proviao il passo induttivo, cioè che se D M(,x S C h 3

4 allora si ha È infatti Poiché I + i D + M(+,x S + C h D + M(+,x M(, x ( i D ( i D si ha D + Infine, se si ha D M(,x 0 + I + C + D C + + R + M(, x ( i S C h C + S C h + + I + C + Proviao infine che se le quote capitale sono assegnate in odo da soddisfare la condizione di chiusura C S e se le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I i D -, 2,, con D S Ch Ch,, 2,, -, il debito residuo dopo il pagaento della rata R, h + D 0 S e D 0, allora le rate soddisfano la condizione di equità S R (+ i 0 Diostrazione Dalla relazione ricorrente per il ontate si può scrivere la relazione ricorrente per il debito residuo: D D - ( + i R,, 2,, Si ha allora R - D ( i + D,, 2,, Moltiplicando entrabi i ebri per (+ i e soando si ottiene R (+ i D D (+ i S ed è così provata la condizione di equità Poiché l operazione finanziaria x/t è equa, si ha: W(,x M(,x + V(,x 0, quindi 0 M(,x V(,x, 0,,, Si ha pertanto D M(,x V(,x 2 ( ( R (+ i R 2 (+ i R ( i, 0,,,

5 Si noti che il valore residuo V(,x ha il significato di bilancio finanziario dell operazione finanziaria x/t e si ha V(,x<0 per < e V(,x0 Con questo significato, il valore residuo può essere valutato ad un tasso di valutazione i diverso dal tasso i per il quale l operazione finanziaria è equa In questo caso si ha V(,x R e se i i si ha V(,x M(,x 2 + (+ i R + 2 (+ i R (+ i Esepi di aortaenti a rate posticipate sono i seguenti: ( aortaento con restituzione del capitale in unica soluzione (v i paragrafi 26 e 554 del Libro in cui C 0, per,, e C S; aortaento a quote capitale costanti (v i paragrafi 26 e 552 del Libro in cui C S/, per,, ; aortaento a rate costanti (v i paragrafi 26, 54 e 55 del Libro 3 L aortaento a rate anticipate L operazione di aortaento a rate anticipate è la seguente: x/t { - R 0,-R,-R 2,,-R - } 0,,2,, - S /{ } dove la rata R si copone di un una quota capitale C (con C 0 e di una quota interesse I : R C + I 0,,, - Si noti che indichiao con R la rata pagata in, 0,,, - Se, in particolare, R 0 C0 cioè I 0 0, si ha un aortaento a rate posticipate con debito iniziale D S e rate di aortaento R, R 2,, R - tali che C S C0 0 C 0 Se, invece, R 0 C0 + I0 con I 0 > 0, siao propriaente nel caso dell aortaento a rate anticipate in cui le quote interesse sono pagate in via anticipata Se C 0 0 e I 0 > 0 si ha l aortaento con anticipazione degli interessi, in cui le quote interesse sono anticipate e le quote capitale sono posticipate Le rate devono soddisfare la condizione di equità S - R (+ i 0 0 e le quote capitale devono soddisfare la condizione di chiusura - C S 0 Per quanto riguarda la definizione di debito residuo, affinché sussista coe nell aortaento a rate posticipate l uguaglianza tra debito residuo e ontante in, occorre odificare opportunaente sia la definizione di debito residuo sia quella di ontante Definiao D, 0,,,, il debito residuo in pria del pagaento della rata R Si ha allora: D 0 S - 5

6 Per quanto riguarda il ontante in, 0,,,, odifichiao l usuale definizione di ontante valutando il ontante in, pria del pagaento della rata R Si definisce allora e si pone M (0, x S - + h 0 -h ( i R ( i M (, x S + h,,, Si ha allora che il ontante in, M (, x, ha il significato di soa da pagare in per estinguere il debito S, avendo già pagato anche le rate R h { - R,-R,-R,,-R,-M (, } S x, h 0,, -; infatti, l operazione finanziaria /{ 0,,2,, -,} risulta equa Pertanto il ontante M (, x rappresenta il debito residuo in pria del pagaento della rata R Definiao D M (, x 0,, il debito residuo in, valutato pria del pagaento della rata R Poiché la quota interesse I, esigibile in, atura nell intervallo [ ], +, sul debito residuo disponibile in dopo avere pagato la rata R, le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I d essendo d i /(+i il tasso di interesse anticipato Proviao che per il debito residuo in, D M (, x si ha ed è inoltre Diostrazione 0 D S e D 0 - D + 0,,, -, 0,, D S C h C, 2,, -, h 0 - h h Si diostra per induzione sfruttando la seguente relazione ricorrente del ontante M (, x [ M ( -, x R - ] ( + i,,, che si verifica iediataente Si ha infatti M (, x S ( + i - -h R h (+ i h [ S ( + i -- h R h (+ i h 0 [ M ( -, x R - ] ( + i R ] ( i - + Dalla relazione ricorrente per il ontante in dell operazione finanziaria x/t si ha allora: M ( -, x M (, x ( + i + R -,, 2,, Poiché M (, x 0, per la posizione D 0 è provata la base induttiva: 6

7 D M (, x 0 Proviao il passo induttivo, cioè che se allora si ha È infatti - C h D M (, x S x -2 C h h D M ( -, S x D M ( -, M (, x D ( + i d Infine, se 0 si ha + + C D + - ( C S C h + C + i + R - D ( i + C D ( + i + - ( + i -2 ( C + C + + K + C + C S C h 0 x D M (0, M (, x D ( + i + d ( h + i + R 0 D ( i D ( + i + - ( + i + + C + d D + + C 0 + dd + C 0 + C 0 D + C 0 ( C + C2 + K + C + C 0 S È così provato che D M (, x, 0,,, Proviao che se le quote capitale sono assegnate in odo da soddisfare la condizione di chiusura - 0 C S e se le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I d D + 0,,, -, con - D S C h C,, 2,, -, il debito residuo pria il pagaento della rata R, h 0 D 0 S e D 0 Diostrazione - h h, allora le rate soddisfano la condizione di equità S - R (+ i 0 0 Dalla relazione ricorrente per il ontate si può scrivere la relazione ricorrente per il debito residuo: Si ha allora + D [ D R ] ( i +, 0,,, - 7

8 R D Moltiplicando entrabi i ebri per D ( i + +, 0,,, - (+ i e soando si ottiene R (+ i D 0 D (+ i S È così provata la condizione di equità Poiché l operazione finanziaria x/t è equa, si ha: W(,x 0 Affinché sussista la scoposizione del valore in ontante e valore residuo, considerando la definizione di ontante M (, x occorre odificare opportunaente la definizione di valore residuo Si definisce 2 V (, x R R + (+ i R + 2 (+ i R -(+ i Essendo W(,x M (, x + V (, x 0, si ha allora M (, x V (, x, 0,,, - ( - Si ha pertanto D M (, x V (, x 2 ( ( - R R + (+ i R + 2 (+ i R -(+ i, 0,,, -, ed è inoltre D M (, x W(,x 0 Si noti che il valore residuo V (, x ha il significato di bilancio finanziario dell operazione finanziaria x/t e si ha V (, x <0 per < e V (, x 0 Con questo significato, il valore residuo può essere valutato ad un tasso di valutazione i diverso dal tasso i per il quale l operazione finanziaria è equa In questo caso si ha 2 V (, x ( - R R + (+ i R + 2 (+ i R -(+ i e se i i si ha V (, x M (, x Esepi di aortaenti a rate anticipate sono i seguenti: aortaento con restituzione del capitale in unica soluzione e quote interesse anticipate in cui C 0, per 0,, e C S; I d S, per 0,,, -; aortaento con anticipazione degli interessi in cui si hanno quote interesse anticipate e quote capitale posticipate; quindi R 0 I0, R C + I per,, -, R C ; aortaento a rate costanti anticipate (v il paragrafo 542 del Libro 8