ESERCITAZIONI DI FENOMENI DI TRASPORTO I

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1 ESERCITAZIONI DI FENOMENI DI TRASPORTO I CONDUZIONE STAZIONARIA SENZA GENERAZIONE 1) Durante un test della durata di due ore, attraverso una lastra (lunghezza 6 in., larghezza 6 in., spessore 0.5 in.) passa una quantità di energia termica pari a 80 Btu. Le temperature misurate sulle superfici sono 67 F e 79 F. Determinare la conduttività della lastra. 2) La parete di una fornace è composta di uno strato di 9 in. di fire bricks (k=0.60 W/(m K), 6 in. di mattoni rossi (k=0.40 W/(m K)), 2 in. di isolante (k=0.04 W/(m K)), e 1/8 in. di acciaio (k=26 W/(m K)) sul lato esterno. La temperatura all interno del forno è 2000 F e la temperatura esterna è 90 F. Si supponga che le resistenze al trasporto di calore nella fase gassosa nonché quelle di contatto tra i vari materiali siano trascurabili. Calcolare il flusso termico e determinare le temperature alle interfacce. Fornire inoltre il rapporto (in percentuale) tra la caduta di temperatura dovuto allo strato di isolante e quella totale. 3) Calcolare la potenza termica dissipata da un tubo lungo 300 cm e di diametro nominale di 3 in. (consultare tabelle), rivestito di uno spessore di 38 mm di isolante, la cui conducibilità è di 0.06 kcal/h m C, nell ipotesi che le temperature delle superfici interna ed esterna dell isolante siano rispettivamente di 200 C e 26 C. 4) Le dimensioni di un forno riscaldato elettricamente sono 150 x 200 x 300 mm; le pareti, aventi lo spessore uniforme di 70 mm, sono di mattoni refrattari (k=0.3 kcal/h m C). Calcolare la potenza consumata, in kilowatts (kw), per una temperatura della superficie interna di 1100 C ed una temperatura della superficie esterna di 150 C. Discutere la validità delle ipotesi assunte per la risoluzione del problema. 5) La conducibilità termica di un materiale isolante è variabile con la temperatura secondo la legge lineare: k(t)=0.0472( T) [k è in kcal/hm C, T espressa in gradi Celsius]. Calcolare la potenza per unità di superficie in una piastra di 80 mm di spessore le cui pareti siano esposte alle temperature di 139 C e 38 C rispettivamente. Determinare inoltre il profilo di temperatura tra le due pareti e fornire una spiegazione fisica. 6) La conducibilità termica di un materiale isolante è variabile con la temperatura secondo la legge lineare: k(t)=0.0472( T) [k è in kcal/hm C, T espressa in gradi Celsius]. Calcolare la potenza per unità di superficie in un guscio cilindrico infinitamente lungo di raggio 45 mm e di 80 mm di spessore le cui pareti siano esposte alle temperature di 139 C e 38 C rispettivamente. Determinare inoltre il profilo di temperatura tra le due pareti e fornire una spiegazione fisica. 7) La parete di un forno è costituita da due strati: 23 cm di mattoni refrattari (k=1.2 kcal/hm C) e 13 cm di mattoni isolanti (k=0.15 kcal/hm C). La temperatura all interno del forno è 1650 C e quella dell atmosfera circostante è di 27 C. Trascurando la resistenza

2 termica dei giunti di cemento, valutare la potenza termica dispersa per unità di superficie della parete e la temperatura all interfaccia tra i due materiali da costruzione. 8) Uno strato di mattoni refrattari (k m =1.5 kcal/hm C) dello spessore di 50 mm è collocato tra due piastre di acciaio (k s =45 kcal/hm C) dello spessore di 6,3 mm. Le superfici dei mattoni sono rugose ed il contatto solido-solido avviene solo sul 30% dell area totale con un altezza media delle asperità di 0,8 mm. Nell ipotesi che le temperature esterne delle piastre siano rispettivamente di 93 C e di 427 C, determinare la potenza termica per unità di superficie. Calcolare inoltre il coefficiente globale di scambio termico. 9) Calcolare il calore disperso per unità di lunghezza da un tubo di acciaio di diametro nominale 3 in., avente i diametri interno ed esterno rispettivamente di 78 mm e 89 mm e conducibilità termica k=37 kcal/hm C. Il tubo è rivestito di uno spessore di 13 mm di amianto isolante (k=0.16 kcal/hm C). Il tubo è immerso in aria a 27 C e al suo interno scorre un fluido a 150 C. La resistenza al trasporto di calore nelle fasi fluide è trascurabile. Si calcoli inoltre il calore che si perderebbe se il tubo non fosse rivestito dello strato isolante nonché il rapporto (in percentuale) tra il calore disperso nel caso di tubo coibentato e quello nel caso di tubo non coibentato. 10) Si dimostri che il flusso termico per unità di lunghezza q/l attraverso un cilindrico cavo avente raggio interno r i e raggio esterno r e è esprimibile in termini di un area media logaritmica: q A k T = ln L r e r i Determinare l errore percentuale che si commette nel calcolo del flusso termico se si usa l area media aritmetica invece dell area media logaritmica, per rapporti tra diametro interno ed esterno D e /D i =1,5 2,0 e 3,0. Diagrammare i risultati. 11) Per un tipo di lana di roccia vengono forniti i seguenti dati: T ( C) k (kcal/hm C) 0,046 0,053 0,058 0,066 0,073 0,083 Uno strato di 10 cm di questa lana di roccia è usato per isolare la parete di un forno. Si calcoli la potenza termica che si trasmette per unità di superficie e si diagrammi la distribuzione di temperatura nel caso che la superficie interna sia a 315 C e quella esterna a 30 C, (a) usando un valore medio per k, (b) usando per k un espressione ottenuta dai dati precedenti. 12) Una parete di 30 cm di spessore è fatta di un materiale che ha una conducibilità termica di 0,74 kcal/hmk. Si vuole ridurre il flusso termico che attraversa questa parete aggiungendovi da un lato uno strato di materiale isolante con una conducibilità termica media di 0,30 kcal/hmk. Assumendo che le temperature superficiali della parete composta siano di 1100 e di 35 C, si calcoli il minimo spessore di materiale isolante che assicura un flusso termico minore di 1600 kcal/hm 2. 13) Una piastra di 5,0 cm di spessore ha un lato mantenuto a 95 C e l altro lato a 205 C. La temperatura del piano mediano è di 140 C ed il flusso termico che attraversa il materiale è di 9500 kcal/hm 2. Si ricavi un espressione per la conducibilità termica del materiale del tipo k=a+bt, con T temperatura in gradi Celsius. 14) Una fornace industriale è progettata per produrre vapore surriscaldato alla temperatura di 300 C ed alla pressione di 15 atm. Il vapore fluisce dentro tubi in lega resistenza ad alta

3 temperatura (diametro interno 4cm, spessore 3mm, k=40w/mk). Le pareti dei tubi sono riscaldate per irraggiamento dalle pareti della fornace (T wall =1100 C). Qual è la portata termica assorbita dal fluido assumendo che la temperatura della superficie interna dei tubi sia di 300 C? Assumere che il trasporto di energia per irraggiamento sia regolato dalla 4 4 seguente legge: Q = σ A ( T T ) rad r s wall pipe, dove Q è la portata termica, σ r è la cosiddetta costante di Stefan-Boltzmann e vale x 10-8 W/m 2 K 4, A s è la superficie esterna del tubo, T pipe è la temperatura esterna del tubo. (Il problema dovrà probabilmente essere risolto per via numerica). CONDUZIONE STAZIONARIA CON GENERAZIONE 2.1) Delle lamine di uranio vengono usate come elementi combustibili nei reattori nucleari; il calore viene generato uniformemente nell elemento di uranio per fissione e viene asportato da un liquido refrigerante che mantiene una temperatura sulla superficie delle lamine pari a 93 C. La velocità di generazione del calore per unità di volume sia di 18 x 10 8 kcal/hr m 3. Calcolare la temperatura massima e la quantità di calore asportata dal fluido refrigerante. La lamina di uranio ha una superficie esterna di 100 cm 2, spessore 3 mm, densità kg/dm 3, conducibilità termica 26 kcal/hr m C mentre il calore specifico del refrigerante è di kcal/kg C. 2.2) Una sbarra solida è fabbricata con un nuovo materiale superconduttore Cold-met. Il materiale ha la peculiare proprietà che quando la corrente elettrica vi passa attraverso, esso 2 si raffredda. La velocità di generazione dell energia nella sbarra è G = I R dove R = 2x10-3 Ω. La sbarra ha un diametro di 3 cm e la lunghezza di un metro. Un estremità della sbarra (z=0) è isolata e l altra è mantenuta alla temperatura di 77 K. a) Scrivere l equazione differenziale (con relative condizioni al contorno) che descrive il profilo di temperatura lungo l asse della sbarra assumendo stato stazionario. b) Risolvere l equazione differenziale per determinare il profilo assiale di temperatura. c) Per una corrente elettrica di 10 Ampere e una conduttività termica di 20 W/m K qual è la temperatura all estremità isolata? Qual è il flusso di energia all estremità mantenuta a 77 K? Rispondere alle precedenti domande nel caso di una corrente elettrica di 100 Ampere. 2.3) La superficie esposta (x=0) di una parete piana di conduttività termica k è soggetta ad una radiazione a micro-onde che causa la generazione di energia all interno della parete x secondo la legge: v g = Q0 1. La parete a x=l è isolata mentre quella a x=0 è L mantenuta a T=T 0. Scrivere e risolvere il problema di condizioni al contorno per il profilo di temperatura. 2.4) Un solido simile ad un tronco di cono, ha una sezione il cui diametro varia lungo x l asse x secondo la legge: d( x) = a e, dove a=0.8 e x si intende espresso in metri. Il solido ha un altezza di 1.8 m e una conduttività termica k = 8 W/mK. All interno del solido vi è inoltre una generazione di energia termica per unità di volume v 1993W gen = 3. La superficie laterale del cono è coibentata e può essere ritenuta m adiabatica. La base minore (in corrispondenza di x=0) viene mantenuta alla temperatura

4 T 0 =300 C. Attraverso la base minore entra nel solido una portata termica pari a 500 W. Determinare il flusso termico e la temperatura sulla base maggiore del solido in oggetto. Ris. T(L)=76 C. 2.5) Una piccola diga, che può essere schematizzata con una larga piastra spessa 120 cm, deve essere completamente messa in opera in breve tempo. L idratazione del cemento comporta una generazione di calore uniformemente distribuita la cui intensità costante è di 60 kcal/hm 3. Sapendo che entrambe le superfici della diga sono alla temperatura di 15 C ed assumendo condizioni di regime permanente, calcolare la massima temperatura del cemento. Si può assumere che la conducibilità termica del cemento umido sia di 1 kcal/hm C. 2.6) Si ricavi un espressione per la distribuzione di temperatura in una parete piana nella quale si ha una generazione di calore uniformemente distribuita che varia secondo la legge lineare: [ 1 ( T )] = G e β T e G con G e costante ed uguale alla generazione per unità di volume in corrispondenza della superficie esterna a T e. Entrambe le superfici esterne della parete sono a T e ; lo spessore della parete è 2L. Quale sarebbe il profilo di temperatura se davanti al parametro beta ci fosse il segno +? 2.7) Una parete piana di spessore 2L ha una generazione interna di calore che varia con la legge G = G 0 cos( a x) dove G0 è una costante che rappresenta la generazione di calore per unità di volume al centro (x=0) ed a è una costante. Si ricavi un espressione per la potenza termica dissipata dalla piastra per unità di superficie, nel caso che le due superfici esterne siano mantenute alla temperatura costante T e. 2.8) Nella barra cilindrica di combustibile di un reattore nucleare si ha una velocità di generazione di calore per unità di volume data dall equazione = 2 G G01 r r e r e è il raggio esterno G 0 è la potenza termica generata per unità di volume sull asse. Calcolare la caduta di temperatura tra l asse e la superficie nel caso di barra avente diametro esterno di 25mm e conducibilità termica di 22 kcal/hm C se la potenza termica asportata dalla superficie è di 13 * 10 5 kcal/hm ) La protezione di un reattore nucleare può essere schematizzata con una piastra piana indefinita avente uno spessore di 25 cm ed una conducibilità termica di 3 kcal/hm C. La radiazione, che partendo dall interno del reattore penetra nel rivestimento protettivo, produce in esso una generazione di calore che decresce esponenzialmente dal valore di kcal/hm 3 in corrispondenza della superficie interna fino al 36,8% di tale valore in corrispondenza della coordinata x=12,5 cm. Determinare la massima temperatura interna nel rivestimento sapendo che le facce esterne sono raffreddate a 38 C per convezione forzata.

5 CONDUZIONE NON STAZIONARIA 3.1) Una larga lastra di acciaio di spessore 10 cm inizialmente a 1100 C viene raffreddata in bagno di olio che mantiene la superficie esterna ad una temperatura di 150 C. Calcolare e riportare in diagramma il profilo di temperatura attraverso lo spessore dopo 10 e 30 minuti. Assumere diffusività termica pari a 2.8 x 10-2 m 2 /hr. 3.2) Una goccia di olio combustibile (vedi tabelle) si trova ad una temperatura uniforme di 170 C ed ha le seguenti caratteristiche: diametro 0.5 cm, densità 0.7 g/cm3, c p = 0.49 cal/g C. Essa viene esposta ad una corrente di aria alla temperatura di 10 C. Determinare il tempo caratteristico del fenomeno nonché la temperatura massima e l energia ceduta dalla goccia dopo un tempo pari a metà del valore del tempo caratteristico e dopo un tempo pari a due volte il tempo caratteristico. Si supponga trascurabile la resistenza al trasporto di calore nella fase gassosa. 3.3) Delle pillole medicinali devono essere sterilizzate tenendole ad una temperatura di almeno 140 C per due ore. Considerate una pillola di lunghezza 1 in. e diametro 0.2 in. Il farmaco che costituisce la pillola ha una temperatura di fusione di 152 C pertanto la temperatura del forno è fissata a 145 C. Quanto deve durare il processo di sterilizzazione? Le pillole sono inizialmente alla temperatura di 25 C e le loro proprietà fisiche sono le seguenti:densità 0.9 g/cm 3 conducibilità termica 0.02 W/mK calore specifico 2000 J/kgK Supporre che la resistenza al trasporto di calore nell aria sia trascurabile. 3.4) Allo scopo di evitare i costi del riscaldamento durante l inverno e del raffreddamento durante l estate le cantine per la conservazione del vino sono usualmente costruite sottoterra dove la temperatura del terreno è praticamente costante e pari alla temperatura ideale di conservazione del vino (10 C). La temperatura alla superficie dipende invece dal cambio delle stagioni. Adottando l ipotesi semplificativa che ci siano sei mesi in cui la temperatura alla superficie è al di sopra di 10 C e sei mesi in cui è al di sotto di 10 C, determinare la profondità a cui costruire una cantina affinché la sua temperatura non si scosti di più dell 1% dal valore auspicato. (la diffusività termica della terra può essere stimata pari a 1.39x10-7 m 2 /s). 3.5) Una sfera di acciaio di diametro 5 cm si trova inizialmente alla temperatura di 300 C. La sfera è immersa in un bagno di raffreddamento (Te=25 C) allo scopo di ridurre la sua temperatura. Conducibilità 16 W/mK ρ =3.636x10 6 J/m 3 K c p a) Qual è la temperatura media e quella al centro della sfera dopo essere stata immersa nel bagno per 30 secondi? b) Quanta energia ha perso la sfera in 30 secondi? c) Qual è il flusso termico alla superficie dopo 30 secondi? d) Rispondere alle domande precedenti per un tempo pari a 5 minuti. 3.6) Una larga lastra di acciaio, spessa 10 cm, inizialmente a 1100 C viene raffreddata in bagno di olio che mantiene la superficie esterna ad una temperatura di 150 C. Calcolare e riportare in diagramma il profilo di temperatura attraverso lo spessore dopo 10 e 30 minuti. Assumere diffusività termica pari a 2.8 x 10-2 m 2 /hr. 3.7) Una lastra di plastica (densità 800kg/m 3, calore specifico 0.2 kcal/kg C, conducibilità 0.75 kcal/hm C) molto estesa, avente uno spessore di 50 mm, si trova inizialmente alla

6 temperatura di 38 C; viene immersa in acqua bollente e la sua superficie si porta quindi alla temperatura di 100 C. Determinare, dopo tre minuti, la temperatura a 13 mm di distanza dalla superficie e l incremento di energia interna per unità di volume della lastra. 3.8) Nella progettazione antincendio è necessario conoscere per quanto tempo un elemento strutturale mantiene le sue caratteristiche di resistenza meccanica una volta che è iniziato l incendio. Si supponga che la resistenza meccanica di una lunga trave di acciaio a sezione circolare (raggio 20 cm) raggiunga il valore minimo ammissibile quando la sua temperatura media raggiunge il valore di 370 C. Determinare il tempo di resistenza della trave al fuoco sapendo che la temperatura dei gas prodotti dall incendio può ragionevolmente essere stimata intorno ai 500 C e che le proprietà fisiche della trave sono le seguenti: densità 7820 kg/m 3, calore specifico 0.11 kcal/kg C, conducibilità termica 16 kcal/hm C. 3.9) Nell installazione di condotte interrate per il trasporto dell acqua è importante determinare la profondità alla quale dopo 12 ore si risente una variazione di temperatura avvenuta in superficie. Supponendo che la temperatura iniziale del suolo sia di 4 C e che la temperatura della superficie si abbassi in brevissimo tempo a -4 C, si determini la profondità massima alla quale l acqua presente nelle tubazioni può congelare. Si assuma che il suolo sia secco con diffusività termica m 2 /h. 3.10) Ai capi di un conduttore elettrico, avente la forma di cilindro di raggio 0.5 cm e di lunghezza pari a un metro, viene applicata al tempo t = 0 una differenza di potenziale (pari a 10 V). Si supponga che la differenza di potenziale imposta induca istantaneamente il passaggio di corrente elettrica e che la temperatura sulla superficie esterna sia mantenuta pari a 30 C. Le proprietà fisiche del conduttore sono le seguenti: resistività elettrica 1 µ Ω m densità 8920 kg/m 3 calore specifico 0.1 kcal/kg C conducibilità 6 kcal/hm C. Determinare dopo quanto tempo al centro del conduttore si raggiunge l 80% del salto di temperatura massimo (tra interno ed esterno del conduttore) raggiunto allo stazionario. Determinare la potenza termica uscente dalla superficie in tale istante e confrontarlo con il valore della potenza termica generata nell intero volume del conduttore. Calcolare il profilo di temperatura allo stazionario e determinare la potenza termica uscente dalla superficie allo stazionario e confrontarlo con il valore della potenza termica generata nell intero volume del conduttore allo stazionario. 3.11) Una goccia di olio combustibile (vedi tabelle) si trova ad una temperatura uniforme di 170 C ed ha le seguenti caratteristiche: diametro 0.5 cm, densità 0.7 g/cm3, cp = 0.49 cal/g C. Essa viene esposta ad una corrente di aria alla temperatura di 10 C. Determinare il tempo caratteristico del fenomeno nonché la temperatura massima e l energia ceduta dalla goccia dopo un tempo pari a metà del valore del tempo caratteristico e dopo un tempo pari a due volte il tempo caratteristico. Si supponga trascurabile la resistenza al trasporto di calore nella fase gassosa.