TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE"

Transcript

1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Def. Una trasformazione geometrica T tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa uno e un solo punto P' appartenente al piano stesso e viceversa. P' = T (P) è detto trasformato o immagine di P. P è detto controimmagine di P'. Def. Si dice trasformazione identica o identità la trasformazione che associa ad ogni punto P il punto stesso: T (P) = P. Def. Si dice involutoria una trasformazione che composta con se stessa, (ovvero applicata due volte), dà l'identità. Le affinità Def. Un affinità è una trasformazione fra i punti di un piano che ha come invarianti l allineamento dei punti e il parallelismo. Un affinità è descritta da un sistema di equazioni lineari del tipo: x' ax by c con ae bd y' dx ey f a d b e prende il nome di matrice dell affinità. Def. Un affinità che conserva l orientamento degli angoli viene detta affinità diretta, un affinità che inverte l orientamento degli angoli viene detta affinità inversa. se ae bd >, l affinità è diretta; se ae bd <, l affinità è inversa.. Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà: trasforma rette in rette; se tre punti P, Q, R sono allineati, i loro corrispondenti in un'affinità P', Q', R' sono anch'essi allineati; a rette parallele corrispondono rette parallele e a rette incidenti corrispondono rette incidenti; conserva il rapporto fra segmenti paralleli (in particolare al punto medio di un segmento corrisponde il punto medio del segmento trasformato); se la figura F' è l'immagine corrispondente di una figura F, allora: dove det ae bd. Area(F') Area(F) det A In generale un'affinità: non conserva la forma delle figure. Infatti l'immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma, così come l'immagine di una circonferenza è un'ellisse.

2 non conserva gli angoli, per esempio rette perpendicolari non necessariamente vengono trasformate in rette perpendicolari. Le isometrie Def. Le isometrie sono affinità che conservano le distanze. Dati due punti A, B l'isometria fa ad essi corrispondere due punti A' e B' tali che AB A'B'. a b Un affinità di matrice è un isometria se e solo se sono verificate le seguenti condizioni: d e ab + de = ; a 2 + d 2 = b 2 + e 2 =. Sono isometrie: la traslazione, la simmetria centrale, la simmetria assiale e la rotazione. Traslazione Def. Traslazione di vettore v (a; b) è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che il vettore PP ' è uguale al vettore v. Una traslazione è descritta da un sistema di equazioni lineari del tipo: x' x a y' y b, det una traslazione diversa dall identità non ha punti uniti; le rette parallele al vettore traslazione sono rette unite; qualunque retta viene trasformata in una retta ad essa parallela; una traslazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data, ma traslata. Simmetria centrale Def. La simmetria centrale di centro C è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che C è il punto medio del segmento PP '. Una simmetria centrale è descritta da un sistema di equazioni lineari del tipo: x' 2x x con C(x ; y ), det y' 2y y x 2x x' Le equazioni della trasformazione inversa sono: y 2y y' Com'è evidente la trasformazione e la sua inversa sono formalmente identiche salvo lo scambio apice non apice, trattandosi di una trasformazione involutoria. Si può dimostrare che una simmetria centrale gode delle seguenti proprietà: La simmetria centrale ha un solo punto unito: il centro C. Tutte le rette passanti per C sono unite. La simmetria centrale è un isometria. La simmetria centrale è un isometria diretta. La simmetria centrale è involutoria. Rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono parallele. 2

3 Simmetria assiale Def. La simmetria assiale di asse: ax + by + c = è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che il segmento PP' è perpendicolare all'asse e il punto medio M di PP' appartiene all'asse. Esprimendo le condizioni imposte dalla definizione nei termini delle coordinate, si possono dedurre immediatamente le equazioni della trasformazione: Per scrivere le equazioni della trasformazione in forma esplicita si dovrà risolvere il sistema rispetto a x' e y'. Per il calcolo dei casi più semplici si consiglia di utilizzare il metodo di sostituzione, altrimenti è preferibile il metodo di Cramer. Dal punto di vista analitico le equazioni di una simmetria assiale sono del tipo: In particolare se l'asse passa per l'origine i termini noti si annullano. Si può dimostrare che una simmetria assiale gode delle seguenti proprietà: Tutti i punti dell'asse di simmetria sono uniti: l'asse è quindi una retta unita luogo di punti uniti. Tutte le rette perpendicolari all'asse sono unite, ma non costituite da punti uniti. La simmetria assiale è involutoria, pertanto le equazioni della trasformazione e quelle della sua inversa sono formalmente identiche salvo lo scambio apice non apice (valgono le stesse considerazioni fatte per la simmetria centrale) La simmetria assiale è un isometria. La simmetria assiale è un isometria inversa. La simmetria assiale, come tutte le isometrie, conserva le relazioni di perpendicolarità e parallelismo. Si può dimostrare che componendo due simmetrie assiali rispetto ad assi perpendicolari si ottiene una simmetria centrale, con centro nel punto d'intersezione tra i due assi. Simmetrie rispetto ad assi particolari Nel caso di assi di simmetria particolari (assi cartesiani, rette parallele agli assi cartesiani o bisettrici dei quadranti) non è necessario ricorrere alla definizione per ottenere le equazioni della simmetria assiale, ma è sufficiente visualizzare graficamente la situazione per ottenere i risultati seguenti: x' x Simmetria rispetto alla retta y = y : y' 2y x' 2x Simmetria rispetto alla retta x = x : y' y y x Simmetria rispetto all asse delle ascisse ( y =): x' x y' y, det -, det - Simmetria rispetto all asse delle ordinate ( x = ): x' x y' y Simmetria rispetto alla bisettrice I, III ( y = x ): x' y y' x Simmetria Rispetto alla bisettrice II, IV ( y = x ): x' y y' x 3

4 Rotazione Def. La rotazione di centro C(x ; y ) e angolo α è la trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che PC P' C e l'angolo P ĈP'. Le equazioni analitiche di una rotazione di angolo α in senso antiorario sono: x' (x x y' (x x )cos (y y )sin (y y )sin x )cos y cos sin sin cos, det A=. Se il centro della rotazione coincide con l origine degli assi cartesiani, le equazioni analitiche della rotazione sono: x' x cos ysin y' x sin ycos Si può dimostrare che per una rotazione valgono le seguenti proprietà: l'origine è l'unico punto unito; una rotazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data. Le similitudini Def. Le similitudini sono affinità che conservano il rapporto tra segmenti corrispondenti, cioè se: AB, A B e CD, C D sono due coppie qualsiasi di segmenti corrispondenti, risulta: A' B' AB C' D' k CD La matrice di una similitudine ha sempre la forma: a b a b se è diretta, b a se è inversa. b a Le sue equazioni generali sono della forma: x' ax by m x' ax by m oppure y' bx ay n y' bx ay n k x' ax by c Una affinità: 2 2 a b rapporto di similitudine. ab de è una similitudine se: y' dx ey f a d b e Def. Sia C un punto del piano e k un numero reale non nullo. Si definisce omotetia di centro C(x ; y ) e rapporto k la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo unico il punto P tale che: Le sue equazioni generali sono della forma: CP' kcp x' k(x x y' k(y y ) x ) y k k, det k 2. 4

5 Se il centro dell omotetia coincide con l origine degli assi cartesiani, le equazioni analitiche dell omotetia sono: x' kx y' ky Casi particolari: se k > l'omotetia si dice diretta. P e P' si trovano dalla stessa parte rispetto ad O; se k < l'omotetia si dice inversa. P e P' si trovano da parti opposte rispetto ad O; se k si ha una dilatazione della figura; se k si ha una contrazione della figura; se k = si ha l'identità; se k = si ha la simmetria rispetto all'origine.. Si può dimostrare che un'omotetia gode delle seguenti proprietà: l'omotetia trasforma una retta in una retta parallela alla retta data; le rette che passano per il centro di omotetia sono rette unite; l'omotetia è una similitudine; se k il centro di omotetia è l'unico punto unito; l'omotetia trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data; Area(F') se la figura F ' è l'immagine corrispondente di una figura F, allora Area(F) Dilatazioni Def. Si definisce dilatazione di centro C(x ; y ) e rapporti h e k con h e k, la trasformazione che ad ogni punto P(x; y) del piano fa corrispondere un punto P (x ; y ) in modo che valgano le equazioni: 2 k x' k(x x y' h(y y ) x ) y ovvero x' kx p y' hy q Osservazione. Se C(; ) le equazioni diventano: x' kx y' hy 5

Trasformazioni geometriche del piano. 3 marzo 2013

Trasformazioni geometriche del piano. 3 marzo 2013 Trasformazioni geometriche del piano 3 marzo 2013 1 Indice 1 Trasformazioni geometriche del piano 3 1.1 Affinità............................... 4 1.2 Isometrie.............................. 8 1.2.1 Simmetrie..........................

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Le trasformazioni geometriche nel piano cartesiano. x = ϕ(x', y') τ 1 : G(x', y') = 0. la sua inversa.

Le trasformazioni geometriche nel piano cartesiano. x = ϕ(x', y') τ 1 : G(x', y') = 0. la sua inversa. τ : P P' oppure P'=τ(P) P immagine di P trasformato di P secondo τ se α è una figura geometrica α =τ(α) è la figura geometrica trasformata x' = f (x, y) τ : y' = g(x, y) espressione analitica della trasformazione

Dettagli

I I. è un affinità, avente la matrice della trasformazione uguale a: A 1 x A2. Proprietà invarianti

I I. è un affinità, avente la matrice della trasformazione uguale a: A 1 x A2. Proprietà invarianti TRAFORMAZON Una trasformazione (geometrica) è una funzione iunivoca fra i punti del piano. Un punto si dice unito rispetto ad una data trasformazione se il suo corrispondente è se stesso. Una retta si

Dettagli

Lezione 5 Geometria Analitica 1

Lezione 5 Geometria Analitica 1 Lezione 5 Geometria Analitica 1 Donato A Ciampa In questa lezione richiameremo alcune nozioni della geometria analitica, quali le trasformazioni del piano in se stesso e le varie equazioni relative alla

Dettagli

Trasformazioni geometriche

Trasformazioni geometriche Trasformazioni geometriche Generalità sulle trasformazioni geometriche Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca, quindi una funzione, che associa a un punto P del piano in un punto

Dettagli

in forma matriciale: X = A X + B, cioè Se il det A = ad - bc è diverso da zero, la trasformazione è invertibile e quindi biunivoca; in tal caso la

in forma matriciale: X = A X + B, cioè Se il det A = ad - bc è diverso da zero, la trasformazione è invertibile e quindi biunivoca; in tal caso la TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO Sono trasformazioni lineari tutte le trasformazioni del tio: a b c d q in forma matriciale: X A X B, cioè a c b d q Dove a A c b d è la matrice della trasformazione. Se

Dettagli

TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO

TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO Sono trasformazioni lineari tutte le trasformazioni del tio: a b c d in forma matriciale: X A X B, cioè a c b d Dove a A c b d è la matrice della trasformazione. Se il

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E FUNZIONI

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E FUNZIONI TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E FUNZIONI La trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti di un piano; è indicata con t ed è un applicazione del piano in se che trasforma

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ( 1 ) Risolvendo il sistema lineare ( 1 ) rispetto alle incognite x, y si ottiene: = e

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ( 1 ) Risolvendo il sistema lineare ( 1 ) rispetto alle incognite x, y si ottiene: = e Generalità sulle affinità TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Chiamasi affinità o trasformazione lineare una corrisondenza biunivoca tra due iani o tra unti dello stesso iano che trasforma rette in rette conservando

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE pag. 1 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Trasformazione geometrica Movimento rigido Traslazione Simmetria Costruzione di due punti simmetrici rispetto ad una retta Poligoni aventi assi di simmetria Rotazione

Dettagli

ˆ b, si usa la convenzione di prendere. come verso positivo quello antiorario e come verso negativo quello orario.

ˆ b, si usa la convenzione di prendere. come verso positivo quello antiorario e come verso negativo quello orario. Capitolo 4 Le rotazioni 4.1 Richiami di teoria E' opportuno ricordare che, dato un angolo orientato ao ˆ b, si usa la convenzione di prendere come verso positivo quello antiorario e come verso negativo

Dettagli

Nei capitolo precedenti sono state studiate le isometrie e le similitudini del piano; si è visto

Nei capitolo precedenti sono state studiate le isometrie e le similitudini del piano; si è visto CAPITOLO 7 LE AFFINITA 7. Richiami di teoria Nei capitolo precedenti sono state studiate le isometrie e le similitudini del piano; si è visto che questi due tipi di trasformazioni hanno alcune proprietà

Dettagli

Lavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 )

Lavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 ) Testo 1: Lavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 ) Lavoro di gruppo T1: discuti assieme ai tuoi compagni il significato di quanto hai letto

Dettagli

PP ', stessa direzione e stesso verso.

PP ', stessa direzione e stesso verso. 1 ISOMETRIE Trasformazione geometrica: corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa un altro punto P' dello stesso piano. Se il punto trafformato P' (immagine del punto P) coincide con

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

La composizione di isometrie

La composizione di isometrie La composizione di isometrie Quello che è più interessante in una trasformazione geometrica è studiare quali effetti ha sulle figure e soprattutto valutare quali proprietà delle figure di partenza si conservano

Dettagli

CONOSCENZE e COMPETENZE per MATEMATICA

CONOSCENZE e COMPETENZE per MATEMATICA e COMPETENZE per MATEMATICA LA MISURA DELLE GRANDEZZE GEOMETRICHE E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI definizione di classe di grandezze geometriche; conoscere le classi geometriche: lunghezze, ampiezze, aree;

Dettagli

Copyright Esselibri S.p.A.

Copyright Esselibri S.p.A. Un isometria è perciò una trasformazione geometrica che conserva la distanza tra due punti. onsideriamo alcune particolari trasformazioni isometriche. 2.1.1. Traslazioni hiamiamo vettore un segmento sul

Dettagli

Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE

Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE LICEO LAURA BASSI - BOLOGNA Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE MATEMATICA ARGOMENTI: EQUAZIONI

Dettagli

Ricordiamo brevemente come possono essere rappresentate le rette nel piano: 1) mediante un'equazione cartesiana. = ( p 1

Ricordiamo brevemente come possono essere rappresentate le rette nel piano: 1) mediante un'equazione cartesiana. = ( p 1 Introduzione Nella computer grafica, gli oggetti geometrici sono definiti a partire da un certo numero di elementi di base chiamati primitive grafiche Possono essere punti, rette e segmenti, curve, superfici

Dettagli

C C B B. Fig. C4.1 Isometria.

C C B B. Fig. C4.1 Isometria. 4. Isometrie 4.1 Definizione di isometria Date due figure congruenti è possibile passare da una all altra con una trasformazione. Una trasformazione geometrica in un piano è una funzione biunivoca che

Dettagli

SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO

SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO SIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI ASSE X: P ( x,y ) a P1 ( x, y ) ; punto medio: M1 ( x,0) ASSE Y: P ( x,y ) a P ( x, y ),

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 3

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 3 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Parte 3 Le Isometrie trasformazioni geometriche che lasciano invariate la forma e le dimensioni delle figure I movimenti Traslazioni Rotazioni Ribaltamenti Principali

Dettagli

punti uniti rette di punti uniti rette unite qual è la trasformazione inversa

punti uniti rette di punti uniti rette unite qual è la trasformazione inversa 3) Dì quali sono i punti uniti, le rette di punti uniti, le rette unite di una a) simmetria centrale b) simmetria assiale c) traslazione d) rotazione e) omotetia Simmetria centrale: si ha un solo punto

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

RELAZIONI e CORRISPONDENZE

RELAZIONI e CORRISPONDENZE RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: X x Y = {(x,y): x X, y Y} L insieme costituito dai primi (secondi)

Dettagli

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 016/017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Gli esercizi vanno svolti e consegnati, anche su un quaderno, il giorno dell esame per il

Dettagli

IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA ESERCIZI 1. Le coordinate di un punto su un piano 1 A Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. 1 B Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. Rappresenta

Dettagli

Simmetrie Ad ogni simmetria delle Natura corrisponde una quantità conservata (Emmy Noether).

Simmetrie Ad ogni simmetria delle Natura corrisponde una quantità conservata (Emmy Noether). Simmetrie Ad ogni simmetria delle Natura corrisponde una quantità conservata (Emmy Noether). Simmetria centrale DEF. Sia P( x, y ) un punto del piano cartesiano e sia C( x, y ) il centro di simmetria.

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Isometrie. Tipi di isometrie

Isometrie. Tipi di isometrie Isoetrie Una Isoetria è una corrispondenza biunivoca del piano in sé che conserva le distanze. : 1) Una retta viene trasforata in una retta, un segento in un segento congruente, un cerchio in un cerchio

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica a.a

Formulario di Geometria Analitica a.a Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1 GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO + x 1 Punto medio d'un segmento, y + y 1 Distanza tra due punti ( - x 1 ) + (y - y 1 ) Condizione di appartenenza di un punto P (x p ;y p ) ad una curva di equazione f(x,y)

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

LE COORDINATE CARTESIANE

LE COORDINATE CARTESIANE CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Lezione 8 3/11/2017 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Narciso di Caravaggio I sette tipi di fregi TRASFORMARE Ogni giorno facciamo esperienza di trasformazioni nello spazio: ci si sposta nello spazio si

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema

Dettagli

Corso di Matematica II

Corso di Matematica II Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica

Dettagli

CLASSE II A LICEO LINGUISTICO A.S. 2015/2016. Prof.ssa ANNA CARLONI

CLASSE II A LICEO LINGUISTICO A.S. 2015/2016. Prof.ssa ANNA CARLONI CLASSE II A LICEO LINGUISTICO A.S. 2015/2016 Prof.ssa ANNA CARLONI OBIETTIVI la scomposizione dei polinomi le frazioni algebriche X X X scomposizione in fattori dei Scomporre a fattor comune polinomi Calcolare

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E I GRAFICI DELLE FUNZIONI

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E I GRAFICI DELLE FUNZIONI LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E I GRAFICI DELLE FUNZIONI LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E I GRAFICI DELLE FUNZIONI 1. LE EQUAZIONI DI UNA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DEFINIZIONE Una trasformazione geometrica

Dettagli

Geometria analitica piana

Geometria analitica piana Geometria analitica piana 1. La geometria analitica Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica

GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEZIONE DISTACCATA DI CEFALÙ CLASSE V C GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate

Dettagli

Le isometrie Capitolo

Le isometrie Capitolo Le isometrie Capitolo Simmetria centrale e assiale erifica per la classe prima COGNOME............................... NOME............................. Classe.................................... Data...............................

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un

Dettagli

Quadro riassuntivo di geometria analitica

Quadro riassuntivo di geometria analitica Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive

Dettagli

risoluzione di problemi da risolvere tramite la risoluzione di sistemi ed equazioni di 1^ grado. 5 R ed i Radicali

risoluzione di problemi da risolvere tramite la risoluzione di sistemi ed equazioni di 1^ grado. 5 R ed i Radicali ORD. MODULO MODULO ARGOMENTO 1 Disequazioni disequazioni di 1^ grado disequazioni fratte disequazioni di grado superiore da risolvere con la scomposizione in fattori sistemi di disequazioni 2 Geometria

Dettagli

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni:

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni: ultima modifica /0/0 ESERCIZI PROPOSTI IL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE DI UN PUNTO NEL PIANO CARTESIANO A Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura? B Quali sono le coordinate dei punti indicati

Dettagli

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2 Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

Le Isometrie e il piano cartesiano

Le Isometrie e il piano cartesiano Le Isometrie e il piano cartesiano Generalità piano Gli enti geometrici del piano come punti, rette, angoli, poligoni,... possono essere spostati sul TRSLTI v RILTTI RISPTTO UN RTT r Francesca Incensi

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

1 L omotetia. i punti O, A e A siano allineati

1 L omotetia. i punti O, A e A siano allineati 1 L omotetia DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A tale che

Dettagli

Problemi sull iperbole

Problemi sull iperbole 1 ricerca dell equazione dell iperbole Scrivere l equazione, riferita agli assi, dell iperbole che ha l asse delle ascisse come asse traverso, le rette xx yy = 0, xx + yy = 0 come asintoti e passa per

Dettagli

CONVITTO NAZIONALE CARLO ALBERTO Scuole annesse: Primaria Secondaria I grado Liceo Scientifico

CONVITTO NAZIONALE CARLO ALBERTO Scuole annesse: Primaria Secondaria I grado Liceo Scientifico CONVITTO NAZIONALE CARLO ALBERTO Scuole annesse: Primaria Secondaria I grado Liceo Scientifico Baluardo Partigiani n 6 28100 - Novara Tel. 0321/620047 - Fax. 0321/620622 Email: novc010008@istruzione.it

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

(f g)(x) = f(g(x)), (f (g h))(x) = f(g(h(x))) = ((f g) h)(x).

(f g)(x) = f(g(x)), (f (g h))(x) = f(g(h(x))) = ((f g) h)(x). Trasformazioni geometriche di R In questo paragrafo studiamo alcune trasformazioni geometriche del piano R Per trasformazioni si intendono sempre delle applicazioni bigettive f : R R Le trasformazioni

Dettagli

2. Coordinate omogenee e trasformazioni del piano

2. Coordinate omogenee e trasformazioni del piano . Coordinate omogenee e trasformazioni del piano Nella prima sezione si è visto come la composizione di applicazioni lineari e di traslazioni porta ad una scomoda combinazione di prodotti matriciali e

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE

1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Facoltà di Farmacia e Medicina - Corso di Laurea in CTF 1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE Consideriamo il seguente problema: trovare l area del parallelogramma

Dettagli

Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia

Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia Classe III sez. A Modulo 1 Unità didattica 1 Ripetizione della risoluzione delle equazioni di

Dettagli

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE. Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti

Dettagli

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Per ricordare H Consideriamo una retta orientata r, fissiamo su di essa un punto O e prendiamo un segmento u come unitaá di misura; consideriamo un punto

Dettagli

Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune

Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune Capitolo 1 Richiami sulle funzioni 1.1 Richiami di teoria Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune nozioni sulle funzioni e sui vettori. Per tale motivo in

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli

10 ottobre Marina Bertolini Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano

10 ottobre Marina Bertolini Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 10 ottobre 2007 Marina Bertolini (marina.bertolini@mat.unimi.it)

Dettagli

Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica

Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica

Dettagli

Cosa puoi dire del quadrilatero ABCD? Come sono i lati, le diagonali, gli angoli?

Cosa puoi dire del quadrilatero ABCD? Come sono i lati, le diagonali, gli angoli? Dal parallelogramma al rombo (fase 1 e 2) Fase 1 Disegna due circonferenze concentriche c e c di centro O; disegna su c un punto A e su c un punto B; traccia la retta r passante per i punti A e O, chiama

Dettagli

ANNO SCOLASTICO CLASSE II E DISCIPLINA: MATEMATICA DOCENTE: Romio Silvana A. PROGRAMMA SVOLTO A.S

ANNO SCOLASTICO CLASSE II E DISCIPLINA: MATEMATICA DOCENTE: Romio Silvana A. PROGRAMMA SVOLTO A.S ANNO SCOLASTICO 2014-2015 CLASSE II E DISCIPLINA: MATEMATICA DOCENTE: Romio Silvana A. PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2014-2015 ALGEBRA Ripasso sulle equazioni di I grado (tutti i tipi). Disequazioni intere (numeriche

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE: RICHIAMI, ESERCIZI ED APPROFONDIMENTI

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE: RICHIAMI, ESERCIZI ED APPROFONDIMENTI TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE: RICHIAMI, ESERCIZI ED APPROFONDIMENTI Appunti presi dalle lezioni del Prof. Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe B) February 1, 008 1 TRASFORMAZIONI Consideriamo

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione

1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione 1 La traslazione Per poter applicare una traslazione ad una generica figura geometrica si deve: ± creare il vettore di traslazione AB mediante il comando Vettore tra due punti; ± cliccare con il mouse

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

Proprietà focali delle coniche.

Proprietà focali delle coniche. roprietà focali delle coniche. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 2014 Indice 1 Coniche 1 1.1 arabola....................................... 1 1.1.1 roprietà focale

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo

Dettagli

Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 Trasformazioni geometriche

Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 Trasformazioni geometriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi

Dettagli

1 Distanza di un punto da una retta (nel piano)

1 Distanza di un punto da una retta (nel piano) Esercizi 26/10/2007 1 Distanza di un punto da una retta (nel piano) Sia r = {ax + by + c = 0} una retta. Sia P = (p 1, p 2 ) R 2 un punto che non sta sulla retta r. Vogliamo vedere se si può parlare di

Dettagli

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).

Dettagli

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga;

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga; ^ - TETI compito n 2-2014-2015 1 Il triangolo ha come lati le rette r : y=x 2, s: x 4=0, t : x y 22=0 Disegna le rette r, s, t e determina: a le coordinate dei vertici =r s, =s t, =t r ; b l'area del triangolo;

Dettagli

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un verso di percorrenza;

Dettagli

PIANO CARTESIANO E RETTA

PIANO CARTESIANO E RETTA PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = (

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

Disegna la figura di cui vuoi la trasformata e gli oggetti (asse o centro di simmetria, vettore,...) che caratterizzano la trasformazione

Disegna la figura di cui vuoi la trasformata e gli oggetti (asse o centro di simmetria, vettore,...) che caratterizzano la trasformazione LE TRASFORMAZIONI IN CABRI Per ottenere la figura immagine di una figura data in una trasformazione Disegna la figura di cui vuoi la trasformata e gli oggetti (asse o centro di simmetria, vettore,...)

Dettagli

Problemi sull ellisse

Problemi sull ellisse 1 equazione dell ellisse Determina l equazione di un ellisse che ha i fuochi sull asse delle ascisse, semiasse maggiore lungo 6 e distanza focale uguale a 6 + yy Scrivi l equazione dell ellisse con i fuochi

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE FILIPPO LUSSANA - BERGAMO. PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO a. s. 2014/15

LICEO SCIENTIFICO STATALE FILIPPO LUSSANA - BERGAMO. PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO a. s. 2014/15 LICEO SCIENTIFICO STATALE FILIPPO LUSSANA - BERGAMO PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO a. s. 2014/15 CLASSE : 3N indirizzo scienze applicate DOCENTE: CAPRI MATTEO MATERIA: MATEMATICA Libro di testo utilizzato:

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA

PROGRAMMA DI MATEMATICA A.S. 2015/2016 ALGEBRA - Equazioni letterali fratte PROGRAMMA DI MATEMATICA - Disequazioni di 1 grado ad una incognita intere e frazionarie - Sistemi di disequazioni di 1 o grado in una incognita - Sistemi

Dettagli

GEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche

GEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche GEOMETRIA ANALITICA EUCLIDEA Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili Studio delle figure (nel piano/spazio) Funzioni elementari Problemi algebrici sulle figure geometriche Grafici al servizio dell

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO II LB Matematica 2015/2016

PROGRAMMA SVOLTO II LB Matematica 2015/2016 PROGRAMMA SVOLTO II LB Matematica 2015/2016 Sistemi di equazioni lineari: metodo di sostituzione, metodo del confronto, riduzione e Cramer. Cenni a matrici e operazioni con esse. Interpretazione grafica

Dettagli

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti ppunti: il piano cartesiano Distanza tra due punti Come determinare la distanza tra i punti ( ; ) e ( ; ): Se i due punti e hanno la stessa ascissa = allora (-3;1) (-3; 5) d()= d()= 1 5 4 4 Se i due punti

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica

Formulario di Geometria Analitica Formulario di Geometria Analitica Indice degli argomenti Retta Circonferenza Paraola Ellisse Iperole 1 Retta Equazione della retta in forma implicita ax + y + c = 0 a = 0 x = 0 y Se retta parallela all'asse,

Dettagli

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da

Dettagli

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso

Dettagli

Mugno Eugenio Matematica 2F

Mugno Eugenio Matematica 2F Docente Materia Classe Mugno Eugenio Matematica 2F Programmazione Preventiva Anno Scolastico 2012/2013 Data 25/11/2012 Obiettivi Cognitivi OBIETTIVI MINIMI U.D.1: FRAZIONI ALGEBRICHE conoscere la definizione

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ F a.s. 2013/14 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli