Geometria I A. Algebra lineare

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1 UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Geometria I A. Algebra lineare Prof.ssa Silvia Pianta Anno Accademico 22/23

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3 Indice Spazi vettoriali 7 Definizione ed esempi Prime proprietà Sottospazi vettoriali Combinazioni lineari e chiusura Indipendenza e dipendenza lineare Basi di uno spazio vettoriale Somme ed intersezioni di sottospazi Dipendenza e indipendenza lineare e matrici Cambiamento di base Sistemi lineari 53 Sistemi lineari a coefficienti in un campo K Risolubilità di un sistema Determinazione delle soluzioni di un sistema Sistemi quadrati Sistemi lineari omogenei Equivalenza di sistemi lineari ed eliminazione di Gauss Equivalenza di sistemi lineari Il metodo di eliminazione di Gauss A. Riduzione di un sistema quadrato ad un sistema triangolare superiore B. Sistemi rettangolari: riduzione a scala

4 4 INDICE 3 Applicazioni lineari o omomorfismi 77 Omomorfismi: definizione e prime proprietà Rappresentazione scalare degli omomorfismi Nucleo e immagine di un omomorfismo Sistemi lineari e omomorfismi vettoriali Composizione di omomorfismi Composizione di omomorfismi e prodotto di matrici Tecniche di calcolo Rappresentazione dei sottospazi Autovettori e autovalori; diagonalizzabilità 5 Autovettori, autovalori e autospazi Polinomio caratteristico Diagonalizzazione

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6 6 INDICE

7 Capitolo Spazi vettoriali Nel corso del seguente Capitolo, K = (K, +, ) indicherà un generico campo, i cui elementi verranno detti scalari. Definizione ed esempi (..) Definizione Sia V un insieme non vuoto, i cui elementi verranno detti vettori. Diciamo che V ha la struttura di spazio vettoriale su K se valgono i seguenti assiomi: (SV ) esiste un operazione binaria + definita su V tale che (V, +) è un gruppo abeliano; (SV 2) esiste un applicazione (detta moltiplicazione per uno scalare o prodotto esterno) definita da { K V V (k, v) kv, verificante le seguenti condizioni: per ogni a,b K e per ogni v,w V (a + b)v = av +bv ; a(v +w) = av +aw ; (ab)v = a(bv) ; v = v. 7

8 8 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI Nel seguito, denoteremo con V (K) un generico spazio vettoriale su K. (..2) Esempio Sia (K, +, ) un campo. Allora (K, +) è un gruppo abeliano. Se su K 2 = K K si definisce (x,y ), (x 2,y 2 ) K 2 : (x,y ) +(x 2,y 2 ) = (x + x 2,y + y 2 ) si può dedurre che (K 2, +) è un gruppo abeliano. Definiamo poi tra K e K 2 la seguente operazione: { K K 2 K 2 (k, (x,y)) (kx,ky). Allora tale operazione è un prodotto esterno, ovvero verifica le quattro proprietà della Definizione (..). Pertanto K 2 (K) è uno spazio vettoriale. Dimostrazione. Lasciamo per esercizio la dimostrazione che (K 2, +) è un gruppo abeliano. Siano a,b K e (x,y) K 2. Allora (a + b)(x,y) = ((a + b)x, (a + b)y) = (ax + bx,ay + by) = = (ax,ay) +(bx,by) = a(x,y) +b(x,y), da cui segue la prima proprietà del prodotto esterno. Inoltre: (x,y) = (x, y) = (x,y). Le rimanenti proprietà di tale operazione possono essere verificate per esercizio. (..3) Osservazione Siano n N con n 2 e (K, +, ) un campo. Sia K n := {(x,...,x n ) : x i K, i =,...,n}. Definiamo (x,...,x n ) +(y,...,y n ) := (x + y,...,x n + y n ). Allora (K n, +) è un gruppo abeliano. Inoltre, ponendo { K K n K n (k, (x,...,x n )) (kx,...,kx n ),

9 2. PRIME PROPRIETÀ 9 si ottiene un prodotto esterno. Pertanto, K n (K) è uno spazio vettoriale. Dimostrazione. La verifica può essere svolta per esercizio. (..4) Esempio Sia { n } R[x] := a h x h : a h R, n N, h= l insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali e nell indeterminata x. Allora R[x] è uno spazio vettoriale su R se definiamo la somma tra vettori come l usuale somma tra polinomi ed un prodotto esterno dato da ( n ) n k a h x h := ka h x h. h= h= Dimostrazione. La verifica può essere svolta per esercizio. 2 Prime proprietà (.2.) Proposizione Siano V (K) uno spazio vettoriale. Allora per ogni k,k,....,k n K e per ogni v,v,...,v n V risulta k(v v n ) = kv kv n, e (k...k n )v = k (k 2...(k n,v)). Dimostrazione. La verifica può essere svolta per esercizio. (.2.2) Proposizione Siano V (K) uno spazio vettoriale, k K e v V. Allora kv = se, e solo se, k = oppure v =.

10 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI Dimostrazione. Supponiamo che k = oppure v =. Sia dapprima k =. Allora per ogni µ K e per ogni v V, calcolando in due modi diversi ( + µ)v, risulta ( + µ)v = v +µv, e Allora, in (V, +) otteniamo: ( + µ)v = µv. v +µv = µv, da cui v =. Sia ora v =. Per ogni k K e per ogni w V risulta: k( +w) = k +kw, e k( +w) = kw. Pertanto, in (V, +), osserviamo che k +kw = kw, da cui k =. Supponiamo, viceversa, che kv =. Se k =, abbiamo la tesi. Supponiamo allora che k. Allore esiste k K. Pertanto, ricordando la proprietà prima dimostrata, otteniamo: kv = v = v = (k k)v = k (kv) = k =. (.2.3) Proposizione Siano V (K) uno spazio vettoriale, k K e v V. Allora risulta ( k)v = kv = k( v).

11 2. PRIME PROPRIETÀ Dimostrazione. Ricordando la proposizione precedente, abbiamo ( k)v +kv = ( k + k)v = v =, da cui ( k)v = kv. Inoltre, ricordando le proprietà del prodotto esterno, abbiamo: k( v) +kv = k( v +v) = k =, da cui k( v) = (kv), da cui la tesi. Esercizi. Si consideri R 2 e si stabilisca se è uno spazio vettoriale su R rispetto alle seguenti operazioni: per ogni (x,y ), (x 2,y 2 ), (x,y) R 2 e per ogni k R () (x,y ) + (x 2,y 2 ) = (x + x 2, ) e k(x,y) = (kx,ky); (2) (x,y ) + (x 2,y 2 ) = (x,y + y 2 ) e k(x,y) = (kx,ky); (3) (x,y ) + (x 2,y 2 ) = (x x 2,y y 2 ) e k(x,y) = ( x k,y k). 2. Siano K un campo ed A un insieme non vuoto. Si consideri l insieme V = {f : A K : f è funzione}. Definiamo su V le seguenti operazioni per ogni f,g V e per ogni k K: { A K f +g : x f(x) + g(x), e { A K k f : x kf(x). Dimostrare che (V, +, ) è uno spazio vettoriale su K.

12 2 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI 3 Sottospazi vettoriali (.3.) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e W V, con W. Diciamo che W è un sottospazio vettoriale di V (K) (e scriveremo W V ) se (a) per ogni w,w 2 W si ha w + w 2 W ; (b) per ogni w W e per ogni α K si ha αw W. (.3.2) Osservazione La definizione precedente implica che W(K) è esso stesso uno spazio vettoriale. Infatti (W, +) è un gruppo abeliano poichè W è chiuso rispetto alla somma, la proprietà associativa viene ereditata da V (K), l elemento neutro di W coincide con che appartiene a W poichè per ogni w W si ha w =, l elemento opposto di w W risulta essere w = w W. Inoltre W è chiuso rispetto al prodotto esterno ereditato da V (K) e le properietà di prodotto esterno sono anch esse ereditate. É interessante considerare anche alcuni casi particolari: se W = V, parleremo di sottospazio improprio, mentre se W = {}, parleremo di sottospazio banale. (.3.3) Proposizione (Criterio di riconoscimento per i sottospazi) Siano V (K) uno spazio vettoriale e W V con W. Allora sono fatti equivalenti: (a) W è un sottospazio vettoriale di V (K); (b) per ogni w,w 2 W e per ogni α,β K risulta αw + βw 2 W. Dimostrazione. (a) = (b). Supponiamo che W V. Siano w,w 2 W e α,β K. Dal fatto che W è un sottospazio vettoriale di V (K) risulta αw W e βw 2 W. Pertanto, αw + βw 2 W. (b) = (a). Scegliamo in particolare α = β =. Allora w +w 2 = w +w 2 W. Se ora β =, abbiamo αw + w 2 = αw W. Da queste due proprietà e per l arbitrarietà di w,w 2 W e α K, segue la tesi. D ora in poi poniamo scriveremo w + w 2 per indicare w +w 2.

13 3. SOTTOSPAZI VETTORIALI 3 (.3.4) Esercizio Nello spazio vettoriale R 2 (R) si consideri W = { (x,y) R 2 : y = 2x }. Provare che W è un sottospazio vettoriale di R 2 (R). Soluzione. Osserviamo che W poichè (, ) W. Sia w = (x, 2x) W e w 2 = (y, 2y) W. Siano α,β R. Allora αw + βw 2 = α(x, 2x) + β(y, 2y) = (αx, 2αx) + (βy, 2βy) = = (αx + βy, 2(αx + βy)) = (z, 2z) W, pertanto W è un sottospazio vettoriale di R 2 (R). (.3.5) Esercizio Nello spazio vettoriale R[x] si consideri W = R 2 [x] = { a + a x + a 2 x 2 : a,a,a 2 R }. Provare che W è un sottospazio vettoriale di R[x]. Soluzione. Osserviamo che W poichè il polinomio nullo (indicato con R[x] ) e i polinomi di grado zero appartengono a W. Siano ora w = a + a x + a 2 x 2, w 2 = b + b x + b 2 x 2 due vettori di W. Siano inoltre α,β R. Segue che αw + βw 2 =... = (αa + βb ) + (αa + βb )x + (αa 2 + βb 2 )x 2 W, pertanto risulta che W è un sottospazio vettoriale di R[x]. Esercizi. Sia V (K) = R 2 (R). Si dica se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali: W = { (x,y) R 2 : x 2 + y 2 = },

14 4 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI W 2 = { (x,y) R 2 : x 2 + y 2 = }, W 3 = { (x,y) R 2 : x = 2y }. 2. Nello spazio vettoriale V (R) dei vettori geometrici, siano u,v due vettori non nulli ed aventi direzioni distinte ( u v ). Si dica se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di V (R): W = {λu : λ R}, W 2 = {u,v}, W 3 = W {v}. 3. Nello spazio vettoriale V (R) si considerino due vettori v v 2 tali che v v 2. Definiamo W = {λv + µv 2 : λ,µ R}. Provare che W è un sottospazio vettoriale di V (R). 4. In C 3, si dica se A = { (x,y,z) C 3 : x 2 + y 2 + z 2 = } è un sottospazio vettoriale. 5. In R[x], si dica se i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali (indichiamo con deg(f(x)) il grado del polinomio f(x) R[x]): W = {p(x) R[x] : deg(p(x)) = 3} ; W 2 = {p(x) R[x] : deg(p(x)) 3} ; W 3 = {p(x) R[x] : p() = } ; W 4 = {p(x) R[x] : p() = } ; W 5 = {p(x) R[x] : p(x) è irriducibile}.

15 4. COMBINAZIONI LINEARI E CHIUSURA 5 6. Sia V (K) uno spazio vettoriale su K, W un sottospazio di V (K) e v V (K). Dimostrare che l insieme v + W = {v + w : w W } è un sottospazio vettoriale di V (K) se e solo se v W. 7. Si determinino i polinomi p(t) R[t] in modo tale che il grafico Γ = {(t,p(t)) : t R} sia un sottospazio vettoriale di R Si dica se il sottoinsieme di R 2 X = { (x,y) R 2 : x = y 2} è un sottospazio vettoriale di R 2. 4 Combinazioni lineari e chiusura (.4.) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale, v,...,v n V e λ,...,λ n K. Chiamiamo combinazione lineare dei vettori v,...,v n a coefficienti λ,...,λ n il vettore n λ i v i. i= (.4.2) Esempio Si considerino in R 2 i vettori v = (, ), v 2 = (, ), v 3 = (2, ) e gli scalari λ =, λ 2 = e λ 3 =. Allora 3 λ i v i = (, ). (.4.3) Osservazione Se i coefficienti di una combinazione lineare sono tutti nulli, cioè se λ i = per ogni i =,...,n, allora n λ i v i =. (.4.4) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e A un sottoinsieme non vuoto di V. Chiamiamo chiusura di A (e la indichiamo con A ) 2 l insieme di 2 Alcuni Autori indicano la chiusura di A con Span(A) o con C(A). i= i=

16 6 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI tutti i vettori di V che si ottengono come combinazione lineare di un numero finito di vettori di A: { } n A := w = λ i v i : v i A, λ i K, n N. i= (.4.5) Osservazione Siano V (K) uno spazio vettoriale e A un sottoinsieme non vuoto di V. Supponiamo che A = {v,...,v n }. Allora A = {λ v λ n v n : λ,...,λ n K}. Se ora supponiamo che A = {}, risulta A = {}. (.4.6) Esempio In R 3 sia A = {(,, ), (2,, )}. Allora A = {λ(,, ) + µ(2,, ) : λ,µ R} = {{(λ + 2µ,λ, ) : λ,µ R}} = = {(x,y, ) : x,y R}. (.4.7) Esempio In R 2 sia A = {(, ), (, )}. Allora A = R 2. Infatti: A = {λ(, ) + µ(, ) : λ,µ R} = {(λ,µ) : λ,µ R} = R 2. Più in generale, in K 2 sia A = {(, ), (, )}. Allora A = K 2. Ancora più in generale, in K n sia A = {(,,...,), (,,,...,),...,(,...,, )}. con A = n. Allora A = K n. (.4.8) Teorema Siano V (K) uno spazio vettoriale e A un sottoinsieme non vuoto di V. Allora valgono i seguenti fatti: (a) A è un sottospazio vettoriale di V (K); (b) A è il più piccolo sottospazio vettoriale di V (K) che contiene A (ovvero per ogni W V tale che A W, risulta A W).

17 4. COMBINAZIONI LINEARI E CHIUSURA 7 Dimostrazione. (a) Usiamo il criterio di riconoscimento per provare che A è un sottospazio. Osserviamo A perchè tra le combinazioni lineari c è anche quella a coefficienti tutti nulli, pertanto A. Siano ora u = n α i u i A e v = m β j v j A, con u i,v j A per ogni i =,...,n e per ogni j =,...,m. Allora, per ogni λ,µ K abbiamo: ( n ) ( m ) λu + µv = λ α i u i + µ β j v j = i= i= j= = (λα )u (λα n )u n + (µβ )v (µβ m )v m. Poichè u i,v j A per ogni i =,...,n e per ogni j =,...,m, questa è ancora una combinazione lineare di un numero finito di vettori di A, quindi è un vettore di A. (b) Innanzi tutto proiamo che A A. Infatti, sia w A. Allora j= w = w + v v n, comunque si scelgano v 2,...,v n A. Segue che w A. Sia A W V. Sia dunque n λ i v i A (con v i A per ogni i =,...,n). i= Poichè v,...,v n W e W V, allora λ i v i W per ogni i =,...,n e pertanto n λ i v i W, da cui A W. i= A norma di questo teorema, diremo che A è il sottospazio generato da A. (.4.9) Proposizione (Proprietà della chiusura) Siano V (K) uno spazio vettoriale e A,B due sottoinsiemi non vuoti di V. Allora valgono i seguenti fatti: (a) se A B risulta A B ; (b) A = A ; (c) se A B e B A risulta A = B.

18 8 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI Dimostrazione. Si lasciano come esercizio la verifica delle proprietà (a) e (b). Dimostriamo la (c). Dalla (a) si ha che A B. Inoltre, per ipotesi B A, quindi dalla proprietà (a) si ha B A = A per la proprietà (b). Segue quindi la tesi. (.4.) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e B un sottoinsieme non vuoto di V. Diremo che B è in sistema (o insieme) di generatori di V (K) se B = V. Più in generale, se W V (K) è un sottospazio vettoriale e G un sottoinsieme non vuoto di W, diremo che G è in sistema di generatori di W se G = W. (.4.) Definizione Sia V (K) uno spazio vettoriale. Diciamo che V (K) è finitamente generato se possiede un sistema finito B di generatori. Esercizi Nella risoluzione dei seguenti esercizi si osservi che in alcuni di essi si è ricondotti a discutere sull esistenza di soluzioni di un opportuno sistema di equazioni lineari.. Si dica se R 2 e K n sono finitamente generati. 2. In R 3 si dica se l insieme B = {(, 2, ), (,, )} è un insieme di generatori. 3. In R 3 sia B = {(2,, ), (,, ), (,, )}. Verificare che B = R Si determinino in R 3 le chiusure dei seguenti sottoinsiemi di vettori: A = {(,, ), (2,, ), (3,, ), (,, )} ; B = {(2,, ), (,, /2), (,, )} ;

19 5. INDIPENDENZA E DIPENDENZA LINEARE 9 C = {(x 3,x, + y) : x,y R}. 5. Siano V (R) uno spazio vettoriale e v,v 2,v 3 V (R). Si dimostri che v,v 2,v 3 = v,v 2 + kv 3,v 3 per ogni k R. 5 Indipendenza e dipendenza lineare Siano V (K) uno spazio vettoriale e A = {v,...,v n } un insieme di n vettori di V (K). (.5.) Definizione Diciamo che i vettori di A sono linearmente indipendenti o liberi quando l unica combinazione lineare dei vettori di A che dia il vettore nullo è quella a coefficienti tutti nulli, ossia n λ i v i = = λ =... = λ n =. i= (.5.2) Definizione Diciamo che i vettori di A sono linearmente dipendenti o legati quando esiste una combinazione lineare dei vettori di A a coefficienti non tutti nulli che dia il vettore nullo, ossia esistono λ,...,λ n K non tutti nulli, tali che n λ i v i =. i= (.5.3) Esercizio Si consideri in R 2 l insieme A = {(, ), (2, 3)}. Verificare se l insieme A è libero. Soluzione. Siano α,β R con α (, )+β (2, 3) = (, ). Allora (α+2β,α+3β) = (, ), da cui { α + 2β =, α + 3β =. Segue che α = β =, pertanto A è libero, ovvero i vettori (, ) e (2, 3) sono linearmente indipendenti in R 2.

20 2 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI (.5.4) Esercizio Si consideri in R 2 l insieme A = {( 4, 6), (2, 3)}. Verificare se l insieme A è libero. Soluzione. Impostiamo la stessa relazione vista nell esercizo precedente per capire se A è un insieme libero o legato. Siano α,β R con α( 4, 6) + β(2, 3) = (, ). Precedendo in modo analogo all esercizio precedente si perviene al sistema { 2α 4β =, 3α 6β =. Tale sistema ha per soluzione α = 2β, per ogni β R. Tale sistema ha, quindi, infinite soluzioni: oltre ad α = e β =, anche tutte le coppie della forma (2, ), (4, 2),... sono soluzioni del sistema. Dunque i vettori di A sono legati. Si noti che nello svolgimento di ciascuno dei due esercizi precedenti è stato necessario impostare un sistema lineare omogeneo di cui si è discussa l unicità della soluzione. (.5.5) Osservazione Siano V (K) uno spazio vettoriale e A = {v}. Allora, ricordando la Proposizione (.2.2), λv = implica che v = oppure λ =. Quindi, se v =, allora λ può essere uno scalare qualunque, anche non nullo, e ciò significa che in questo caso l insieme A è legato; se invece v, allora deve necessariamente essere λ =, dunque A è libero. Supponiamo ora che A = {,v 2,...,v n }. Allora + v v n =, pertanto, ogni insieme di vettori che contiene il vettore nullo è legato. In generale, possiamo provare il seguente (.5.6) Teorema Sia V (K) uno spazio vettoriale e v,...,v n n vettori in V. Allora sono fatti equivalenti: (a) i vettori v,...,v n sono linearmente dipendenti; (b) esiste un j {,...,n} tale che v j si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti (n ) vettori.

21 5. INDIPENDENZA E DIPENDENZA LINEARE 2 Dimostrazione. (a) = (b). Poniamo A = {v,...,v n }. Supponiamo che A sia legato, ossia esistono λ,...,λ n K, non tutti nulli, tali che (.5.7) λ v λ n v n =. Non è restrittivo supporre λ. scalarmente la (.5.7) per λ, otteniamo: ovvero da cui che è la tesi. Allora esiste λ K. Moltiplicando λ (λ v λ n v n ) = λ =, λ λ v + λ λ 2 v λ λ n v n =, v = λ λ 2 v 2... λ λ n v n, (b) = (a). Supponiamo, ad esempio, v = α 2 v α n v n. Segue che v α 2 v 2... α n v n =. Questa è una combinazione lineare dei vettori v,...,v n che dà e i cui coefficienti sono non tutti nulli, poichè il primo è. Allora l insieme A = {v,...,v n } è legato, ovvero i vettori v,...,v n sono linearmente dipendenti. (.5.8) Osservazione Il Teorema (.5.6) afferma che, se i vettori di A sono linearmente dipendenti, allora un opportuno vettore di A è combinazione lineare dei rimanenti. Ciò non significa che un qualsiasi vettore di A sia combinazione dei rimanenti. Dalla dimostrazione del teorema precedente risulta infatti che in un insieme di vettori linearmente dipendenti è possibile esprimerne uno come combinazione lineare

22 22 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI degli altri, purchè il suo coefficiente nella combinazione lineare che dà il vettore nullo sia diverso da zero. (.5.9) Esempio In R 3 si consideri l insieme A = {v = (,, ),v 2 = (2,, ),v 3 = (, 2, ),v 4 = (,, )}. Risulta allora che 2v v 2 +v 3 +v 4 =. Quindi i vettori di A sono linearmente dipendenti e infatti, per esempio, il vettore v 3 è combinazione lineare degli altri: v 3 = v 2 2v + v 4, ma v 4 non è combinazione lineare di v, v 2 e v 3. (.5.) Proposizione Siano V (K) uno spazio vettoriale, A = {v,...,v n } B, con B sottoinsieme finito di V. Se A è legato allora anche B è legato. Dimostrazione. Per ipotesi, esistono α,...,α n K non tutti nulli tali che n α i v i =. Poniamo i= B = {v,...,v n,w...,w k }. Tuttavia n k = α i v i + w j, i= j= e i coefficienti della precedente combinazione lineare non sono tutti nulli. Segue che B è legato. (.5.) Osservazione La precedente proposizione equivale ad affermare che se un sottoinsieme finito B V è libero, allora ogni suo sottoinsieme non vuoto è libero. D altra parte, se consideriamo un sottoinsieme finito B V, se ogni suo sottoinsieme non vuoto è libero risulta banalmente che B stesso è libero. Ha perciò senso estendere nel seguente modo la definizione di sottoinsiemi liberi e legati anche al caso in cui questi non siano necessariamente finiti:

23 5. INDIPENDENZA E DIPENDENZA LINEARE 23 (.5.2) Definizione Diciamo un sottoinsieme A V è libero (o che i suoi vettori sono linearmente indipendenti) quando ogni sottoinsieme finito di A è libero. In caso contrario, diremo che A è legato (o che i suoi vettori sono linearmente dipendenti). (.5.3) Proposizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e A = {v,...,v n }, A = {v,...,v n,w} due sottoinsiemi di V. Supponiamo che A sia libero ed A sia legato. Allora w è combinazione lineare di v,...,v n. In altre parole, w A. Dimostrazione. Per ipotesi, esistono α,...,α n,α n+ K non tutti nulli tali che (.5.4) α v α n v n + α n+ w =. Considerando il coefficiente α n+, osserviamo che se fosse α n+ = la (.5.4) diventerebbe n α i v i = a coefficienti non tutti nulli, per cui A sarebbe legato, i= contro l ipotesi. Allora è necessariamente α n+, pertanto esiste αn+ K e w = α n+α v... α n+α n v n, cioè w è combinazione lineare di v,...,v n. Le due osservazioni che seguono cominciano a gettare luce sull importanza della nozione di indipendenza lineare pur in ambiti apparentemente distinti, quali sono quello degli spazi vettoriali e quello dei sistemi lineari. (.5.5) Osservazione Siano V (K) uno spazio vettoriale ed A = {v,...,v n } un sottoinsieme di V. Supponiamo che V (K) = A. Ci chiediamo se i v i sono tutti essenziali per generare V. Se, per esempio, v n è combinazione lineare di v,...,v n, allora v n {v,...,v n }, e quindi, da {v,...,v n,v n } {v,...,v n }, ricordando la (c) della Proposizione (.4.9), otteniamo: {v,...,v n } = {v,...,v n,v n } = A = V. Pertanto, per generare V bastano v,...,v n.

24 24 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI (.5.6) Osservazione Nel sistema lineare x + y + z =, 2x y + z =, 3x + 2z =, la terza equazione è combinazione lineare delle prime due. Allora ogni terna (x,y,z) che è soluzione di { x + y + z =, 2x y + z =, è soluzione anche del sistema di partenza. Indipendenza lineare corrisponde dunque ad essenzialità ed economia. Non è poi casuale l aver scelto di trattare come esempio un sistema lineare: si capirà più avanti quanto stretto e indissolubile sia in realtà il legame fra la teoria degli spazi vettoriali e quella dei sistemi di equazioni lineari. Del resto qualche cenno su questo legame si è già visto in precedenza, quando sono stati utilizzati sistemi lineari per risolvere questioni riguardanti generatori, chiusure, indipendenza e dipendenza lineare (Esercizi di pag 7 ed.5.3,.5.4) Esercizi. In R 2 (R) si verifichi se gli insiemi A = {(, ), (, )} B = {(, ), (, ), (, )} sono liberi o legati. 2. In R[x] si stabilisca se l insieme A = {x,x + x 2,x 2 + 4x} è libero o legato. 3. Nello spazio vettoriale reale V delle funzioni f : R R, si dica se i seguenti sottoinsiemi sono liberi o legati: A = {α, cos, sin} B = {β, cos 2, sin 2 },

25 6. BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE 25 dove, per ogni x R, si ha α(x) = 2 e β(x) =. 4. In C 2 (R) si stabilisca se l insieme A = {( + i,i), ( + i, )} è libero o legato. 5. Siano w,w 2,w 3 tre vettori di uno spazio vettoriale V (K). Supponiamo che w, w 2 e w 3 siano linearmente indipendenti. Si può affermare che (w w 2 ), (w + w 2 ) e w 3 sono linearmente indipendenti? 6 Basi di uno spazio vettoriale (.6.) Definizione Sia V (K) uno spazio vettoriale. Una base di V (K) è un insieme non vuoto B di vettori tali che: (a) B = V, ovvero B è un insieme di generatori per V (K); (b) B è libero, cioè ogni suo sottoinsieme finito è libero (cfr. (.5.2). Se B = {e,...,e n } è una base finita ed introduciamo un ordinamento tra i vettori di B, ovvero consideriamo B come una n-upla ordinata di vettori, parliamo di base ordinata B = (e,...,e n ). (.6.2) Osservazione Se V = {}, allora V non ha vettori linearmente indipendenti e quindi non ha base. (.6.3) Esempio In R 2 (R) l insieme B = {(, ), (, )} è una base. In modo analogo, in K 2 (K) l insieme B è una base di K 2 (K). In generale, in K n (K), l insieme B = {(,,...,), (,,,...,),...,(,...,, )}, B = n,

26 26 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI è una base. Tale base viene chiamata base canonica di K n. (.6.4) Esempio Si consideri { n } K n [x] := h= a h x h : a i K, i =,...,n. Allora una possibile base per K n [x] è data da B = {,x,x 2,...,x n }, con B = n+. Se consideriamo ora { n } K[x] := h= a h x h : n N, a i K, i =,...,n, abbiamo che una possibile base per K[x] è data da B = {,x,x 2,...,}, pertanto B =. (.6.5) Esercizio In R 2 (R) si consideri l insieme B = {(, ), (, 2)}. Si dica se B è una base di R 2 (R). Soluzione. Sia v = (a,b) R 2 un generico vettore. Ci chiediamo se esistono x,y R tali che x(, ) + y(, 2) = v. Basta scegliere x = a (a b)/3 e y = (a b)/3. Segue che B = R 2. Verifichiamo ora che i vettori di B sono linearmente indipendenti. Sia = x(, ) + y(, 2). Con semplici calcoli, si può verificare che risulta necessariamente x = y =, da cui B è una base di R 2 (R). (.6.6) Teorema Sia V (K) uno spazio vettoriale finitamente generato e non banale. Allora V (K) ammette almeno una base. Dimostrazione. Diamo una traccia della dimostrazione. Per ipotesi, esiste un insieme A = {v,...,v n }

27 6. BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE 27 con A = V e v,...,v n non sono tutti nulli poichè V (K) {}. Se A è libero, allora A è la base cercata. Se A è legato, allora uno dei vettori di A è combinazione lineare dei rimanenti. Sia v n = n α i v i. Consideriamo allora l insieme i= A = {v,...,v n }, quindi A A e A A, pertanto A = A = V. Deduciamo che anche A è un insieme di n elementi che genera V. Ripetiamo su A le considerazioni fatte su A: se A è libero, allora A è una base per V, altrimenti uno dei vettori di A è combinazione lineare dei rimanenti n 2 vettori. Supponiamo che v n = n 2 β i v i. Consideriamo allora l insieme i= A 2 = {v,...,v n 2 }, quindi A 2 A e A A 2, pertanto A 2 = A = V, cioè anche A 2 è un insieme di generatori per V. Se A 2 è libero, allora è una base per V, altrimenti si continua come nei passi precedenti. Il processo deve avere un termine perchè A è finito: esisterà quindi un insieme A p = {v,...,v p } tale che A p = V ed A p è libero. Allora A p è la base cercata. (.6.7) Corollario Sia V (K) uno spazio vettoriale e A un sottoinsieme finito di generatori per V (K). Allora si può sempre estrarre da A una base per V (K). Dimostreremo ora alcune proprietà fondamentali degli spazi vettoriali finitamente generati (accenniamo solo che alcune di queste proprietà possono essere estese anche al caso non finitamente generato) e delle loro basi. (.6.8) Teorema Siano V (K) uno spazio vettoriale e B = (v,...,v n ) una base ordinata per V (K). Allora ogni vettore di V (K) si può scrivere in uno ed un solo modo come combinazione lineare dei vettori di B.

28 28 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI Dimostrazione. Per ipotesi si ha B = V. Sia v V un generico vettore. Allora v = n x i v i, i= per certi x,...,x n K. Supponiamo che v = n y i v i. i= Segue che n n n = v v = x i v i y i v i = (x i y i )v i. i= i= i= Dal fatto che B è un insieme libero, deve essere x i y i = per ogni i =,...,n, da cui x i = y i per ogni i =,...,n. Il teorema appena dimostrato è di importanza fondamentale nella teoria degli spazi vettoriali finitamente generati, in quanto, come illustriamo nella seguente osservazione, permette, una volta effettuata la scelta di una base, di identificare ciascun vettore dello spazio con una n-upla ordinata di elementi di K (dove n è la cardinalità della base), ovvero di identificare lo spazio dato con lo spazio K n. (.6.9) Osservazione Siano V (K) uno spazio vettoriale e B = (e,...e n ) una base ordinata di V (K). Per ogni v V (K) si ha v = n x i e i e la n-upla ordinata (x,...,x n ) è univocamente associata a v. Ne nasce un applicazione V K n ϕ B : v = n x i e i (x,...,x n ). i= Chiamiamo la n-upla (x...,x n ) =: x le componenti del vettore v rispetto alla base B. L applicazione ϕ B è una bijezione: infatti ogni n-upla ordinata (x,...,x n ) K n individua una ed una sola controimmagine ϕ B (x,...,x n ) = v = i= n x i e i V. i=

29 6. BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE 29 Tale biiezione ϕ B, che dipende dalla scelta di una base ordinata B = (e,...,e n ) di V (K), ci permette di identificare ogni vettore v = n x i e i di V (K) con la n-upla ordinata delle sue componenti (x,...,x n ) K n. Se ora si sceglie un altra base B di V (K), cambierà ovviamente la rappresentazione del vettore v come combinazione lineare rispetto agli elementi di B, cambierà la biiezione ϕ B, cambieranno quindi le componenti del vettore v rispetto alla nuova base. Ci poniamo quindi due domande: i= () tali componenti cambieranno anche in numero (cioè i vettori di B possono essere in numero diverso da quelli di B)? (2) come si esprimeranno le nuove componenti in funzione delle precedenti? Alla seconda domanda risponderemo in seguito. Per rispondere alla prima domanda, enunciamo il seguente teorema e i successivi corollari (in particolare il terzo). (.6.) Teorema (di Steinitz o del completamento della base) Siano V (K) uno spazio vettoriale finitamente generato e B = {e,...,e n } una sua base. Se A = {v,...,v p } è un insieme di p (p n) vettori linearmente indipendenti, allora è possibile formare una nuova base aggiungendo n p vettori opportunamente scelti in Bai vettori di A. Tralasciamo la dimostrazione di questo teorema, ma per comprenderne meglio il contenuto rimandiamo al successivo esercizio.6.6. (.6.) Corollario Siano V (K) uno spazio vettoriale, B = {e,...,e n } una base di V (K) ed A = {v,...,v n } un sottoinsieme libero di n vettori di V. Allora A è una base per V (K). Dimostrazione. É una conseguenza immediata del Teorema (.6.). Infatti, in questo caso, p = n e quindi n p =.

30 3 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI (.6.2) Corollario Siano V (K) uno spazio vettoriale, B = {e,...,e n } una base di V (K) ed A = {v,...,v n } un sottoinsieme di generatori per V (K), ossia A = V. Allora A è una base per V (K). Dimostrazione. Dal Corollario (.6.7) deduciamo che si può estrarre da A una base A = {v,...,v p } con p n e, poichè A è già una base, ad essa possiamo aggiungere = n p vettori per formare una nuova base. Segue che p = n, da cui A = A. (.6.3) Corollario Siano V (K) uno spazio vettoriale finitamente generato e A, B due basi di V (K). Allora A = B. Dimostrazione. Supponiamo che A = p e B = n, con p n. Dal Teorema di Steinitz segue subito che p = n. L ultimo corollario ci assicura dunque che in uno spazio vettoriale finitamente generato tutte le basi hanno la stessa cardinalità (si noti che tale risultato si può ottenere, con i metodi dell aritmetica transfinita, anche per spazi non finitamente generati; per una trattazione completa di questo caso si rimanda per esempio ai Complementi al Capitolo 4 del testo M. Abate, Geometria, McGraw-Hill, Milano, 996). Sarà quindi ben posta la seguente (.6.4) Definizione Sia V (K) uno spazio vettoriale. Se esiste un n N tale che V (K) ammetta una base di n vettori, chiamiamo dimensione di V (K) lo scalare n. Indicheremo la dimensione di V (K) con dim(v (K)) oppure con dim K (V ) o, più semplicemente, con dimv. Se V (K) = {}, conveniamo che la dimensione di V (K) sia zero. Se tale intero n non esiste, diremo che V (K) ha dimensione infinita. Se dim(v (K)) = n, useremo anche la notazione V n (K). (.6.5) Osservazione Sia V n (K) uno spazio vettoriale di dimensione n. Allora:

31 6. BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE 3 (a) ogni insieme di n vettori linearmente indipendenti è una base di V n (K) (è il corollario (.6.); (b) in V n (K), n è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti. La parte (b) dell Osservazione può essere dimostrata per esercizio dal lettore. Vediamo ora un esercizio che illustra il Teorema di Steinitz. (.6.6) Esercizio In R 4 si considerino i vettori v = (,,, ), v 2 = (, 2, 3, 4). Si dimostri che A = {v,v 2 } è un sottoinsieme di R 4 libero. Si completi poi A ad una base di R 4. Soluzione. I vettori v e v 2 sono linearmente indipendenti. Infatti il sistema α + β =, 2β =, α + 3β =, 4β =, ammette come unica soluzione α = β =. Completiamo ora A ad una base di R 4, procedendo nel modo seguente: Scriviamo v come combinazione lineare dei vettori della base canonica di R 4, indicata con B = {e,...,e 4 }: v = e + e 2 + e 3 + e 4. Sostituiamo, nella base B, il vettore v al posto di uno qualunque degli e i che compaiono con coefficiente non nullo nella combinazione lineare che esprime v : B = (v,e 2,e 3,e 4 ). Scriviamo v 2 come combinazione lineare dei vettori di B : v 2 = v + 2e 2 + 2e 3 + 4e 4.

32 32 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI Sostituiamo v 2 al posto di uno qualunque dei vettori di B (escluso v ) che compaiono con coefficiente non nullo: B 2 = (v,v 2,e 3,e 4 ). Abbiamo così completato A alla nuova base B 2. Si lascia come esercizio di controllare che in effetti B e B 2 sono basi per R 4. I vari passi dello svolgimento del precedente esercizio ricalcano i passi della dimostrazione del Teorema di Steinitz. Elenchiamo ora alcune proprietà dei sottospazi legate al concetto di dimensione. (.6.7) Proposizione Sia V n (K) uno spazio vettoriale. Allora esistono sottospazi vettoriali W di V n (K) tale che dimw = h per ogni h n. Dimostrazione. Se n =, scegliamo W = {} = V. Sia ora n >. Per h =, sia W = {} V. Basterà poi prendere una base {e,...,e n } di V n (K) e, per ogni h n, considerare W h := e,...,e h. (.6.8) Proposizione Siano V n (K) uno spazio vettoriale e W un sottospazio vettoriale di V n (K). Allora dimw n. In particolare, ogni sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione finita n ha dimensione finita m n. Dimostrazione. Sia m = dimw e sia B = {w,...,w m } una base per W. Ragioniamo per assurdo. Supponiamo quindi che m > n. Dal fatto che B è libero, abbiamo che B = {w,...,w n } è a sua volta libero per.5. e quindi è una base per V n (K): da ciò segue che w n+,...,w m sono esprimibili come combinazione lineare di w,...,w n. Ne segue che B è un insieme legato, il che è assurdo.

33 6. BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE 33 (.6.9) Proposizione Siano V n (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi vettoriali di V n (K). Supponiamo che U W e dimu = dimw. Allora U = W. Dimostrazione. Sia dimu = m e sia B = {u,...,u m } una base di U. Dal fatto che U W, segue che B W. Inoltre, poichè dimu = dimw, risulta che B è base anche di W. Allora W = B = U. Esercizi. Verificare che l insieme B = {,x,x 2,...,x n } è una base per K n [x]. 2. Determinare la dimensione di C(R) e di C(C). 3. Sia Mat 3 (R) l insieme delle matrici 3 3 a coefficienti reali. Determinare una base per Mat 3 (R). 4. In R 3 si consideri il vettore v = (4, 8, 8). Determinare le componenti di v rispetto alla base canonica di R 3 e rispetto alla base B = {v = (, 2, ),v 2 = (,, 2),v 3 = (,, )}. 5. Verificare se i seguenti sottoinsiemi sono generatori per R 3 [x]: A = {x,x +,x 2 }, B = {x 2 +, 2x,x 3,x + 2}, C = {x +,x 2 + x,x 3 + x,x 3 + x 2, 2x}.

34 34 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI 6. Dimostrare che le funzioni sin t, sin(2t),..., sin(nt) sono linearmente indipendenti su R, qualunque sia l intero n. 7. Si consideri lo spazio vettoriale di tutte le funzioni reali definite per t ], + [. Dimostrare che le seguenti coppie di funzioni sono linearmente indipendenti: t, t, et, log t. 8. Si determinino i valori di t R affinchè l insieme A = {(2,t), (t, 2)} sia una base di R Si dimostri che l insieme A = {(a,c), (b,d)} è una base di R 2 se e solo se ad bc. 7 Somme ed intersezioni di sottospazi (.7.) Teorema Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi vettoriali di V (K). Allora U W è un sottospazio vettoriale di V (K). Dimostrazione. Notiamo innanzi tutto che U W. Possiamo quindi usare il criterio di riconoscimento di sottospazi. Siano v,v 2 U W e α,β K. Allora v,v 2 U e v,v 2 W. Dal fatto che sia U sia W sono sottospazi di V (K), segue che αv +βv 2 U e αv +βv 2 W. Pertanto αv +βv 2 U W, da cui la tesi. Generalizzando ad un numero finito qualsiasi n N di sottospazi:

35 7. SOMME ED INTERSEZIONI DI SOTTOSPAZI 35 (.7.2) Corollario Siano V (K) uno spazio vettoriale e W,...,W t sottospazi vettoriali di V (K) Allora t W i = W... W t è un sottospazio vettoriale di V (K). Dimostrazione. La verifica può essere svolta per esercizio. i= (.7.3) Osservazione Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi di V (K). Allora, in generale, non è detto che U W sia un sottospazio vettoriale di V (K). (.7.4) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi di V (K). Si definisce somma dei due sottospazi l insieme U + W := {u + w : u U, w W }. (.7.5) Osservazione Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi di V (K). Allora U W U + W. Dimostrazione. La verifica è immediata se si considera che U = {u + : u U} U + W e W = { + w : w W } U + W. (.7.6) Teorema Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi di V (K). Allora valgono i seguenti fatti: (a) U + W è un sottospazio vettoriale di V (K); (b) U + W è il più piccolo sottospazio vettoriale di V (K) che contiene sia U che W, dunque U + W = U W.

36 36 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI Dimostrazione. (a) Utilizziamo il criterio di riconoscimento dei sottospazi poichè U + W (in quanto U,W U + W). Siano v,v 2 U + W e α,β K. Dal fatto che v U + W esistono u U e w W tali che v = u + w. Dal fatto che v 2 U + W esistono u 2 U e w 2 W tali che v 2 = u 2 + w 2. Allora αv + βv 2 = α(u + w ) + β(u 2 + w 2 ) = (αu + βu 2 ) + (αw + βw 2 ) U + W. (b) Esercizio. Generalizzando ad un qualunque t N: (.7.7) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e V,...,V t sottospazi vettoriali di V (K). Definiamo somma dei t sottospazi vettoriali l insieme V V t := {v v t : v i V i, i =,...t}. (.7.8) Teorema Siano V (K) uno spazio vettoriale e V,...,V t sottospazi vettoriali di V (K). Allora valgono i seguenti fatti: (a) V V t è un sottospazio vettoriale di V (K); (b) V V t = V... V t. Dimostrazione. É sufficiente imitare la dimostrazione del Teorema (.7.6). (.7.9) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi vettoriali di V (K). Diciamo che U e W sono in somma diretta se U W = {}, e in tal caso scriveremo U W V. In particolare V (K) è somma diretta di U e W se (a) V = U + W; (b) U W = {}.

37 7. SOMME ED INTERSEZIONI DI SOTTOSPAZI 37 In tal caso scriveremo V = U W e diremo che W (risp. U) è complemento diretto di U (risp. di W) in V. Diremo anche che V si fattorizza nei sottospazi U e W. (.7.) Teorema Siano V = V n (K) uno spazio vettoriale di dimensione finita n N e U un sottospazio vettoriale di V. Allora esiste un complemento diretto per U. Dimostrazione. Sia r = dimu. Sia B U = {u,...,u r } una base di U. Per il Teorema di Steinitz, si potrà completare B U ad una base B = {u,...,u r,w,...,w n r } di V. Allora V = U + W, dove W = {w,...,w n r }, con U W = {} perchè se ci fosse un vettore non nullo nell intersezione, questo sarebbe combinazione lineare sia degli u i che dei w i, il che implicherebbe che gli u i,w i siano linearmente dipendenti, in contraddizione col fatto che formano una base per V. Pertanto U + W = U W. Si noti che il complemento diretto di un sottospazio non è univocamente determinato. Osserviamo inoltre che il precedente risultato si può ottenere anche per spazi vettoriali non finitamente generati. (.7.) Esempio In K 2 siano U = {(x, ) : x K}, W = {(,y) : y K}. Allora K 2 = U W. (.7.2) Esempio In K 3 si considerino i sottospazi U = (,, ), (,, ) W = (,, ). Allora K 3 = U W. (.7.3) Esempio In K 3 si considerino i sottospazi U = (,, ), (,, ), W = (,, ), (,, ).

38 38 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI Allora K 3 = U + W, ma U W = (,, ) {}. Il seguente teorema chiarisce il l importanza del concetto di somma diretta mettendo in luce il significato del termine fattorizzarsi: (.7.4) Teorema Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi di V (K). Allora si ha V = U W se, e solo se, ogni vettore v V si può scrivere in uno ed un solo modo come somma di un vettore di U e di un vettore di W. Dimostrazione. Innanzi tutto osserviamo che ogni vettore v V si può scrivere come somma di un vettore di U e di un vettore di W se e solo se V = U + W per definizione di somma di sottospazi vettoriali. Dobbiamo dunque provare soltanto l equivalenza della condizione U W = {} con l unicità della rappresentazione di un generico vettore v V come somma di un vettore di U ed uno di W. Sia dunque U W = {}. Allora se v = u + w = u 2 + w 2 con u i U, w i W per i =, 2, risulta u u 2 = w 2 w U W, da cui u u 2 = e w 2 w =, pertanto u = u 2 e w = w 2. Viceversa, se ogni v V ammette un unica rappresentazione v = u+w con u U e w W e se x U W, abbiamo v = u + w = u + w dove u = u + x U e w = w x W. Allora, per ipotesi, deve essere u = u e w = w da cui x = e dunque U W = {}. Anche qui possiamo generalizzare la nozione ad un numero finito qualsiasi t N di sottospazi vettoriali. (.7.5) Definizione Siano V (K) uno spazio vettoriale e V,...,V t sottospazi vettoriali di V (K). Diciamo che V (K) è somma diretta di V,...,V t se (a) V = V V t ; (b) V i (V V i + V i V t ) = {} per ogni i =...t.

39 7. SOMME ED INTERSEZIONI DI SOTTOSPAZI 39 In tal caso scriveremo V = V... V t, oppure V = t V i. i= (.7.6) Teorema Siano V (K) uno spazio vettoriale e V,...,V t sottospazi vettoriali di V (K). Allora V = t V i se, e solo se, per ogni v V esistono e sono unici i vettori v V,...,v t V t tali che v = t v i. i= (.7.7) Osservazione Siano V (K) uno spazio vettoriale e U,W,V,...,V t sottospazi vettoriali di V (K). In generale scriveremo U W V anzichè U + W V, t t V i V anzichè V i V, i= i= i= quando U W = {} o, rispettivamente, V i V j = {} per ogni i,j =,...,t con i j e parleremo di somma diretta dei sottospazi dati. Ci chiediamo ora se dati due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V (K) è possibile calcolare la dimensione di U W e di U + W conoscendo le dimensioni di U e di W. (.7.8) Lemma Siano V (K) uno spazio vettoriale, U, W due sottospazi vettoriali di V (K) e G U, G W due sistemi di generatori rispettivamente per U e W. Allora G U G W è un sistema di generatori per U + W. Dimostrazione. Sia v U + W. Esistono u U e w W tali che v = u + w. Poniamo G U = {u,...,u r }, G W = {w,...,w s }. Allora u = r α i u i e w = s β j w j. Pertanto: i= j= v = r s α i u i + β j w j G U G W, i= j= da cui la tesi.

40 4 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI (.7.9) Osservazione Se dunque U e W sono due sottospazi vettoriali di V (K) e B U, B W due basi rispettivamente di U e W, risulta che B U B W è un sistema di generatori per U + W ma, si noti, non necessariamente una base. Infatti i vettori di B U B W potrebbero essere linearmente dipendenti ed anzi si dimostra che ciò avviene esattamente quando i due sottospazi hanno intersezione non banale. In tal modo si prova anche che la differenza fra dimu + dimw e dim(u + W) è data proprio dalla dimensione dell intersezione: tale risultato (di cui qui si omette la dimostrazione che si può trovare sui testi citati in bibliografia) si può esprimere enunciando il seguente (.7.2) Teorema (formula di Grassmann) Siano V (K) uno spazio vettoriale e siano U, W due sottospazi di V (K) finitamente generati. Allora si ha: dim(u W) < +, dim(u + W) < + e dimu + dimw = dim(u + W) + dim(u W). (.7.2) Osservazione Dalla formula precedente risulta che dim(u + W) = dim U + dim W se, e solo se, dim(u W) =, cioè la dimensione del sottospazio somma di due sottospazi U e V coincide con la somma delle dimensioni se e solo i due sottospazi U e V sono in somma diretta. Esercizi. Si considerino in R 3 i sottospazi U = { (x,y,z) R 3 : x 2y + z = }, W = { (x,y,z) R 3 : 2x + z = }. Si chiede di (a) determinare il sottospazio U W;

41 7. SOMME ED INTERSEZIONI DI SOTTOSPAZI 4 (b) provare che R 3 = U + W ma che R 3 non è somma diretta di U e di W; (c) dare un esempio di un sottospazio Z complemento diretto di U. 2. Si consideri lo spazio vettoriale R R delle funzioni di variabile reale a valori reali e siano P e D i sottoinsiemi di R R cosituiti rispettivamente dalle funzioni pari o dispari, cioè P = {f : R R : f(x) = f( x), x R}, D = {g : R R : g( x) = g(x), x R}. Provare che P e D sono sottospazi di R R. Dimostrare che R R = P D e rappresentare ogni funzione f R R come somma di una funzione pari e di una funzione dispari. (Suggerimento: si tenga presente che qualunque sia f R R si ha al variare di x R.) f(x) = 2 (f(x) + f( x)) + (f(x) f( x)), 2 3. Siano V (K) uno spazio vettoriale e U, W due sottospazi vettoriali di V (K). Dimostrare che valgono i seguenti fatti: (a) U W è un sottospazio vettoriale di V (K) se e solo se U W oppure W U; (b) U + W = W se e solo se U W. 4. Si consideri l insieme Mat n (R) delle matrici n n ad elementi reali di ordine n. (a) Verificare che Mat n (R) è uno spazio vettoriale reale rispetto alle operazioni si somma di matrici e di prodotto di un numero reale per una matrice. Di che dimensione è? (b) In Mat n (R) si considerino i sottoinsiemi Sym n (R) e Skw n (R) costituiti rispettivamente dalle matrici simmetriche e antisimmetriche. Si provi che Sym n (R) e Skw n (R) sono sottospazi vettoriali di Mat n (R) ed inoltre che Mat n (R) = Sym n (R) Skw n (R).

42 42 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI 5. Siano V (K) uno spazio vettoriale e S, S 2 due sottoinsiemi di V (K). Si dimostri che S S 2 = S + S Si considerino i sottospazi di R 4 U = (3,, 5, 2), (, 5, 2, ), (,,, ) e U 2 = (, 3, 2, 2), (, 3, 2, 4), (2, 6, 2, 5). Si dimostri che R 4 = U U 2. Sia ora e i l i-esimo vettore della base canonica di R 4, si ponga v = 4e + 8e 2 + 8e 3 + 3e 4. Trovare u U e u 2 U 2 tali che v = u + u Dati i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 U = (,, 3, ), (,,, ), W = (,, 4, ), (,, 2, ), (, 3, 5, 3), trovare una base per U, W, U + W e per U W. 8 Dipendenza e indipendenza lineare e matrici Le considerazioni che abbiamo appena fatto ci permettono di legare la dipendenza e indipendenza lineare di vettori ai determinanti di opportune matrici. Prima di mostrare questo legame, premettiamo un osservazione fondamentale: (.8.) Osservazione Se in V n (K) si fissa una base ordinata B e si considera la bijezione ϕ B : V K n definita nell osservazione (.6.9), si può provare con una semplice verifica che, v, w V (K), α K: () ϕ B (v + w) = ϕ B (v) + ϕ B (w), (2) ϕ B (α v) = α ϕ B (v).

43 8. DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE E MATRICI 43 Queste due proprietà si esprimono dicendo che ϕ B conserva le operazioni di spazio vettoriale (addizione vettoriale e moltiplicazione per scalari). (.8.2) Teorema Si consideri in uno spazio vettoriale V = V n (K) di dimensione n un insieme S = {v,...,v n } V di n vettori. Allora sono fatti equivalenti: (a) l insieme S è libero; (b) se A è la matrice che ha sulle colonne (o sulle righe) le componenti dei vettori di S rispetto ad una prefissata base B di V n (K), risulta det(a). Dimostrazione. L insieme S è libero se, e solo se, ϕ B (S) è un insieme libero di vettori di K n (si provi questa asserzione per esercizio!) se, e solo se, det(a). (.8.3) Osservazione Il Teorema (.8.2) è una caratterizzazione per insiemi S liberi (con S = n) in uno spazio vettoriale V n (K). Pertanto abbiamo anche che S è legato se, e solo se, det(a) =, essendo A la matrice che ha sulle colonne (o sulle righe) le componenti dei vettori di S rispetto ad una prefissata base B di V n (K). E importante notare fin da ora che è possibile e, vedremo presto, operativamente molto utile, identificare le n-uple ordinate di K n, componenti dei vettori di V n (K) rispetto ad una fissata base B, con matrici-colonna (vettori-colonna) di Mat n, (K): ciò è reso possibile dal fatto che, in tale identificazione, le operazioni vettoriali di addizione e moltiplicazione per scalari vengono conservate, esattamente come abbiamo notato per la ϕ B nell osservazione (.8.). (.8.4) Esempio Si consideri in R 4 l insieme S = 2,,, 2. Allora la matrice A che ha sulle colonne le componenti dei vettori di S rispetto

44 44 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI alla base canonica è data da A = 2 2. Si può verificare che det(a) = 3. Allora S è libero, quindi è una base di R 4. Sia ora V n (K) uno spazio vettoriale di dimensione n e sia S = {v,...,v m } un sottoinsieme di V n (K) con m n. Vogliamo anche in questo caso collegare la lineare indipendenza o dipendenza dei vettori di S ai determinanti di opportune matrici. (.8.5) Definizione Sia A Mat n,m (K). Chiamiamo minore di ordine p una matrice quadrata di ordine p ottenuta da A sopprimendo (n p) righe ed (m p) colonne (dove p min{n,m}). Un minore si dice singolare se il suo determinante è zero. (.8.6) Esempio Sia A Mat 2,3 (R) la matrice data da [ ] 2 5 A =. I minori di ordine uno corrispondono a ciascun elemento a ij della matrice A. I minori di ordine due si ottengono dalla matrice A sopprimendo una colonna: [ ] [ ] [ ] ,,. Osserviamo che l ultimo minore è singolare. Attenzione però: per ottenere i minori di ordine dato di una matrice è necessario rispettare rigorosamente la definizione; per esempio, facendo sempre riferimanto alla matrice A del precedente esempio, la seguente matrice [ ] 2 che si può estrarre da A non è un minore di A, in quanto è stata ottenuta sopprimendo due termini, rispettivamente dalla prima e dalla seconda riga di A, che

45 8. DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE E MATRICI 45 però non appartengono alla stessa colonna. (.8.7) Teorema Siano V n (K) uno spazio vettoriale di dimensione n e S = {v,...,v m } V un insieme di m vettori con m n. Allora sono fatti equivalenti: (a) l insieme S è libero; (b) nella matrice A Mat n,m (K) che ha per colonne (o per righe) le componenti dei vettori di S rispetto ad una prefissata base di V n (K), esiste un minore di ordine m non singolare. La dimostrazione di questo teorema viene proposta come esercizio (attenzione: non facile!). Il teorema precedente può essere formulato in modo equivalente mediante il seguente (.8.8) Teorema Siano V n (K) uno spazio vettoriale di dimensione n e S = {v,...,v m } V un insieme di m vettori con m n. Allora sono fatti equivalenti: (a) l insieme S è legato; (b) nella matrice A Mat n,m (K) che ha per colonne (o per righe) le componenti dei vettori di S rispetto ad una prefissata base di V n (K), tutti i minori di ordine m sono singolari. (.8.9) Osservazione Il Teorema (.8.2) è un caso particolare del Teorema (.8.7) quando m = n = dim(v n (K)). (.8.) Esercizio In R 4 si consideri l insieme S = 2, 2,. 2