Problemi sulla retta. Alcune utili funzioni... Problemi (pag 442) n 92. Definiamo alcune funzioni utili per la risoluzione dei problemi:

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1 Problemi sulla retta Alcune utili funzioni... Definiamo alcune funzioni utili per la risoluzione dei problemi: Dist[p,p] calcola la distanza tra due punti Retta[p,p] determina l'equazione della retta per i punti p e p Pendenza[p,p] calcola il coefficiente angolare della retta per i punti p, p In[]:= Dist x_, y_, x_, y_ : x x ^ y y ^ Retta x_, y_, x_, y_ : Expand x x y y y y x x 0 Pendenza x_, y_, x_, y_ : y y x x Carichiamo in memoria un package per disegnare le equazioni: In[6]:= Graphics`ImplicitPlot` Problemi (pag ) n 9 Scrivere l'equazione della retta r che passa per i punti A(,) e B(,) e della retta t ad essa perpendicolare che passa per B. La retta r incontra l'asse delle ordinate in D e la retta t incontra l'asse delle ascisse in C. Calcola il perimetro e l'area del quadrilatero ODBC, essendo O l'origine degli assi. Definiamo i punti A, B In[7]:= A, B, In[9]:= r Retta A, B Out[9]= x y 0 Il punto D è 'intersezione della retta r e dell'asse y (eq x=0). Risolviamo il sistema: In[0]:= Solve r, x 0, x, y Out[0]= x 0, y Dunque D 0, (uso il simbolo D perchè D è un simbolo protetto) In[]:= D 0, Out[]= 0, La retta t la troviamo con il metodo del fascio: prima calcoliamo il cofficiente angolare della retta AB: In[]:= mab Pendenza A, B Out[]=

2 problemi retta.nb La retta t avrà equazione In[]:= t y mab x Out[]= y x Il punto C si trova intersecando la retta t con l'asse delle ascisse (y=0) In[]:= Solve t, y 0, x, y Out[]= x, y 0 In[5]:= C, 0 Out[5]=, 0 Il perimetro si trova sommando le distanze tra i punti ODBC, considerando che O è l'origine degli assi: In[6]:= O 0, 0 Out[6]= 0, 0 In[7]:= perimetro Dist O, D Dist D, B Dist B, C Dist C, O Out[7]= General::spell : Possible spelling error: new symbol name "perimetro" is similar to existing symbol "Perimetro" Facciamo un disegno sul piano cartesiano: In[8]:= g Graphics Hue, Thickness 0.0, Line O, D, B, C, O, Thickness 0.00, Dashing 0.0, Line B,, 0, PointSize 0.0, RGBColor 0, 0, 0, Point O, Point D, Point B, Point C, Point, 0, Text "O", 0., 0.05, Text "D", 0., 0.7, Text "B",.,, Text "C",., 0., Text "H",., 0. In[9]:= Show g, Axes True, AspectRatio Automatic B Out[9]=.5 D 0.5 O Graphics C H Per calcolare l'area tracciamo l'altezza dal vertice B e calcoliamo le aree dei due poligoni che si formano (un trapezio ed un triangolo): In[0]:= BH OD OH Out[]= AreaTrapezio 5 In[]:= HC Out[5]= AreaTriangolo BH OD OH BH HC

3 problemi retta.nb In[6]:= Area AreaTrapezio AreaTriangolo Out[6]= 9 n 9 Un parallelogramma ha centro in P(,) e due suoi lati consecutivi hanno per sostegno le rette di equazione y-x+=0 e x+=0. Calcola le coordinate dei suoi vertici. In[7]:= r y x 0 r x 0 P, Alcune istruzioni grafiche (dobbiamo costruire grafici di equazioni con ImplicitPlot e disegnare un punto con l'istruzione Graphics. Combiniamo il tutto con l'istruzione Show.) In[50]:= g ImplicitPlot r, r, x,, 6, y,, 8, DisplayFunction Identity g Graphics PointSize 0.0, Point P, Text "P",,. Show g, g, DisplayFunction $DisplayFunction 8 6 P Troviamo A (intersezione delle rette r e r) In[5]:= Solve r, r, x, y Out[5]= x, y In[5]:= A, C è il simmetrico di A rispetto a P. Dato che P è punto medio di AC, deve essere In[55]:= C P A Out[55]= 5, 7 Aggiorniamo il disegno:

4 problemi retta.nb In[56]:= g Graphics PointSize 0.0, Point A, Point P, Point C, Dashing 0.0, Line A, C, Text "A",,., Text "P",,., Text "C", 5, 7. Show g, g, Axes True, AspectRatio Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction 8 C 6 P Out[57]= - 6 A - Graphics Scriviamo le equazioni delle rette passanti per C e parallele ai due lati del parallelogramma. Il coefficiente angolare della retta r è / In[58]:= r x 5 retta verticale passante per C r y 7 x 5 retta per C parallela a r Determiniamo l'intersezione di r con r per avere le coordinate di B: In[60]:= Solve r, r, x, y Out[60]= x 5, y In[6]:= B 5, Con lo stesso metodo di prima determiniamo D: In[6]:= D P B Out[6]=,

5 problemi retta.nb 5 In[6]:= g Graphics PointSize 0.0, Point A, Point P, Point C, Point B, Point D, Hue, Thickness 0.0, Line A, B, C, D, A, RGBColor 0, 0, 0, Thickness 0.00, Dashing 0.0, Line A, C, Text "A",,., Text "P",,., Text "C", 5, 7., Text "D",,., Text "B", 5., Show g, Axes True, AspectRatio Automatic C 6 D P B - 5 A n 9 Un triangolo isoscele ha vertice in A(0,) e la sua base appartiene alla retta r di equazione y=x-, Un estremo della base sta, oltre che sulla retta r, anche sull'asse delle ascisse. Calcola le coordinate degli altri due vertici del triangolo In[65]:= a 0, r y x In[67]:= g ImplicitPlot r, x,, 5, DisplayFunction Identity g Graphics PointSize 0.0, Point a Show g, g, DisplayFunction $DisplayFunction Un estremo della base si trova nel punto di intersezione tra la retta r e l'asse delle ascisse (y=0) In[70]:= Solve r, y 0, x, y Out[70]= x, y 0 In[7]:= b, 0

6 6 problemi retta.nb Per determinare le coordinate del terzo vertice C abbiamo diverse possibilità: ne illustrerò due: ) Determiniamo H, il piede dell'altezza relativa al lato BC. Per fare questo dobbiamo calcolare l'intersezione tra la retta r e l'altezza. L'altezza ha equazione In[7]:= alt y x 0 Out[7]= y x Così il punto H si trova con il sistema In[7]:= Solve r, alt, x, y Out[7]= x, y In[7]:= h, C sarà il simmetrico di B rispetto ad H. Quindi In[75]:= c h b Out[75]=, In[76]:= g Graphics Hue, Thickness 0.0, Line a, b, c, a, Dashing 0.0, Line a, h, RGBColor 0, 0, 0, PointSize 0.0, Point a, Point b, Point c, Point h Show g, g, DisplayFunction $DisplayFunction ) L'altro metodo consiste nel risolvere un sistema di secondo grado: La distanza AB deve essere uguale alla distanza AC. In[78]:= AB Dist a, b Out[78]= 5 Ora, il punto C si trova sulla retta r (quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione di r) e deve verificare anche la condizione AC=AB: In[79]:= c x, y condizione Dist a, c AB Out[80]= x y 5 Basterà risolvere il sistema delle due equazioni: In[8]:= Solve r, condizione, x, y Out[8]= x, y 0, x, y Troviamo le due soluzioni (,0) e (,), corrispondenti ai due punti della base.

7 problemi retta.nb 7 n 96 Un triangolo isoscele ha per base il segmento AB di estremi A(,) e B(-,5) mentre il suo vertice C si trova sull'asse x. Calcola le coordinate di C e l'area del triangolo In[8]:= a, b, 5 In[8]:= g Graphics Hue, Thickness 0.0, Line a, b, RGBColor 0, 0, 0, PointSize 0.0, Point a, Point b Show g, Axes True, AspectRatio Automatic Per avere il vertice dobbiamo prima calcolare l'asse del segmento AB. Determiniamo quindi il punto medio M di AB, il coefficiente angolare della retta AB e poi scriviamo l'equazione dell'asse (retta che passa per M ed è perpendicolare ad AB): In[86]:= m mab a Out[86]=, Out[87]= b In[88]:= asse y Pendenza a, b Out[88]= y x mab x Il terzo vertice del triangolo si trova intersecando l'asse di AB con l'asse delle x (y=0) In[89]:= Solve asse, y 0, x, y Out[89]= x, y 0 In[90]:= c, 0 L'area del triangolo si calcola con la nota formula: In[9]:= AB Dist a, b CM Dist c, m area AB CM Out[9]= 5 Out[9]= 5 Out[9]= 0 General::spell : Possible spelling error: new symbol name "area" is similar to existing symbol "Area".

8 8 problemi retta.nb n 00 Un triangolo isoscele di base BC ha vertice in A(,). Il punto medio M di BC ha coordinate (-,0) e la retta del lato AB passa per il punto P(-,). Calcola il perimetro e l'area del triangolo In[9]:= A, M, 0 P, In[97]:= g Graphics PointSize 0.0, Point A, Point M, Point P, Dashing 0.0, Line A, M, Text "A",,., Text "M",, 0., Text "P",., Show g, Axes True P A M La retta del lato AB passa per il punto P, quindi ha equazione In[99]:= rab Retta A, P Out[99]= x y 0 Determiniamo la retta sostegno del lato BC. Questa passa per M ed è perpendicolare ad AM In[00]:= mam Pendenza A, M rbc y mam x Out[00]= Out[0]= y x Per calcolare le coordinate di B risolviamo il sistema delle due rette rab e r BC: In[0]:= Solve rab, rbc, x, y Out[0]= x 5, y 6 In[0]:= B 5, 6 C M B coordinate di C Out[0]=, 6

9 problemi retta.nb 9 In[05]:= g Graphics PointSize 0.0, Point A, Point M, Point P, Point B, Point C, Line A, B, C, A, Dashing 0.0, Line A, M, Text "A",,., Text "M",, 0., Text "P",.,, Text "B", 5, 6., Text "C",, 6.5 Show g, Axes True, AspectRatio Automatic B 6 P A M C In[07]:= AM Dist A, M BC Dist B, C AB Dist A, B Area AM BC Perimetro AB BC Out[07]= 0 Out[08]= 0 Out[09]= 5 Out[0]= 0 Out[]= n 0 Determina la posizione di un punto P sulla retta di equazione y x in modo che, tracciata per P la retta di coefficiente angolare, il triangolo che le due rette formano con l'asse delle ordinate abbia area Dato che P appartiene alla retta di equazione y In[]:= r y x Clear t cancelliamo eventuali valori assegnati a t P t, t x Out[]= y Sia s la retta di coefficiente angolare passante per P: x possiamo parametrizzare le sue coordinate in questo modo

10 0 problemi retta.nb In[5]:= s y Out[5]= t t x t y t x Per fare una figura abbiamo bisogno di sostituire a t un valore numerico. Faremo la sostituzione t-> In[6]:= g ImplicitPlot y x, s. t, x,,, DisplayFunction Identity g Graphics PointSize 0.0, Point P. t Show g, g, Axes True, AspectRatio Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction Ora determiniamogli altri vertici del triangolo e calcoliamo la sua area. Il punto A è l'intersezione tra la retta r e l'asse delle y il punto B è intersezione della retta s con l'asse delle y: In[9]:= Solve r, x 0, x, y Solve s, x 0, x, y Out[9]= x 0, y Out[0]= x 0, y 6 7 t In[]:= A 0, 7 t B 0, Calcoleremo l'area del triangolo sulla base AB. L'altezza è data dall'ascissa di P (in valore assoluto!!) In[]:= AB Abs h Abs t 7 t L'area del triangolo deve essere uguale a : In[5]:= Out[5]= equazione 7 Abs t 6 AB h Risolviamo questa equazione rispetto a t: In[6]:= soluzione Solve equazione, t Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. Out[6]= t, t Sostituiamo i valori di t nelle coordinate di P In[7]:= P. soluzione Out[7]=,,,