I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo

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1 I quadrilateri Capitolo Quadrilateri 1 erifica per la classe prima COGME ME Quesiti 1.a ero o falso? 1. La somma degli angoli interni di un ottagono vale Un parallelogramma è anche un trapezio. 3. Un rombo con tutti gli angoli uguali è un quadrato.. Un parallelogramma è anche un rettangolo. 5. Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è un rettangolo. 6. In un rombo gli angoli opposti sono uguali. 7. La somma degli angoli esterni di un pentagono è Un quadrilatero con due coppie di lati congruenti è un parallelogramma. 9. Un quadrilatero con due coppie di lati paralleli è un parallelogramma. 10. Nel parallelogramma le diagonali sono bisettrici degli angoli. 11. Un quadrilatero con i lati consecutivi congruenti è un rombo. Simmetrie 2.a Completare la seguente tabella: Quadrilatero Assi di simmetria Centri di simmetria (n....) (n....) (n....) (n....) (n....) Teorema 3.a Dato il quadrilatero ABCD, considerare i punti E e simmetrici rispettivamente di A e B rispetto a D, e i punti G e H simmetrici di A e B rispetto a C. Dimostrare che EGH è un parallelogramma. Per la dimostrazione si possono seguire i passi qui indicati: 1. Dimostrare che DC è parallelo a EG e che DC è parallelo a H. 2. Stabilire quale relazione sussiste tra H e EG oltre alla relazione di parallelismo. 3. Dedurne che il quadrilatero HGE è un parallelogramma. 201

2 Capitolo Quadrilateri 2 I quadrilateri erifica per la classe prima COGME ME Trapezio 1.a Definire il trapezio. 1.b Dimostrare il seguente teorema: Se un trapezio ha gli angoli alla base congruenti, allora è isoscele. Dopo aver indicato ipotesi e tesi completare la dimostrazione seguente: Siano H e K le... di D e C sulla.... Consideriamo i triangoli AHD e KBC: essi sono... per il... criterio di... perché: per perché entrambi perché... Allora avranno... tutti gli elementi corrispondenti, e in particolare AD..., c.v.d. Parallelogramma Rettangolo Quadrato 2.a Definire il parallelogramma. 2.b Dimostrare il seguente teorema: Dato un parallelogramma ABCD, si prolunghi il lato minore AB di un segmento BE in modo tale che risulti AE BC. Dimostrare che, preso un punto P sul segmento DE, la distanza di P dal lato AD è uguale alla distanza di P dal lato DC. 3.a Definire il rettangolo. 3.b Quanto sono ampi gli angoli formati dalle diagonali di un rettangolo che ha un lato pari alla metà delle diagonali stesse?.a Definire il quadrato..b È dato il quadrato ABCD in cui E,, G e H sono punti appartenenti rispettivamente ai lati AD, AB, BC e DC e tali che A BG HC DE. Che tipo di quadrilatero è EGH? Perché? 202

3 I quadrilateri Capitolo Luoghi geometrici - Teorema di Talete - erifica per la classe prima COGME ME Luoghi geometrici Talete notevoli 1.a Completare: 1. Un luogo geometrico è La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti L asse di un segmento è il luogo dei punti b Trovare una condizione che permetta di definire una coppia di rette parallele come luogo geometrico. 1.c Trovare una condizione che permetta di definire una coppia di rette perpendicolari come luogo geometrico. 1.d Considerate due rette incidenti qualsiasi, da quanti punti è costituito il luogo geometrico dei punti che hanno la stessa distanza d assegnata dalle due rette? Dove si trovano? 2.a Dopo aver esplicitato ipotesi e tesi, completare la dimostrazione del seguente teorema: La retta passante per il vertice B e per il punto medio P della mediana del lato AB del triangolo in figura divide il lato AC in due parti, una doppia dell altra. Si costruisce la retta passante per M e parallela al segmento.... Essendo MB MA per..., applicando il teorema di Talete alle due rette parallele... tagliate dalle trasversali... segue che AO.... Essendo MP PC per..., applicando il teorema di Talete alle due rette parallele... tagliate dalle trasversali... segue che ON.... Dunque..., c.v.d. 2.b Completare: 1. In un triangolo, il segmento che ha per estremi i punti medi di due lati è... al terzo lato. 2. In un triangolo, il segmento che ha per estremi i punti medi di due lati misura... del terzo lato. 3.a Completare: 1. Il circocentro di un triangolo è equidistante L ortocentro di un triangolo è il punto comune alle tre Il baricentro di un triangolo è il punto comune alle tre..... L incentro di un triangolo è equidistante b Dimostrare il seguente teorema: In un triangolo rettangolo baricentro, ortocentro e circocentro sono allineati. 203

4 Capitolo I quadrilateri erifica per la classe prima COGME ME Problema. Costruire la retta di Eulero Costruire il Triangolo ABC. 2. Determinare il Punto medio L, M e N dei tre lati del triangolo. 3. Congiungere i vertici A, B e C del triangolo con i punti L, M e N e chiamare G il loro punto d intersezione ottenuto con il comando Intersezione di due oggetti.. Teoria.a Come si definisce G?.b In generale tre rette del piano si incontrano in tre punti distinti. Dimostrare che invece i segmenti ottenuti si incontrano sempre in un solo punto..c G divide ciascuno dei tre segmenti in due parti. In quale rapporto si trovano? 5. Costruire le Perpendicolari ai tre lati del triangolo che passano per i vertici A, B e C e chiamare H il loro punto d intersezione. 6. Teoria 6.a Come si definisce H? 6.b ariando il triangolo ABC, come si muove il punto H? È sempre interno al triangolo o può essere anche esterno? Può appartenere a un lato? Quando? 7. Congiungere G con H con lo strumento Retta. 8. Con il comando Mostra/Nascondi nascondere le costruzioni che hanno portato al punto G e al punto H (mantenendo visibili i punti G e H). 9. Costruire gli Assi dei lati del triangolo e chiamare O il loro punto d intersezione. 10. erifica della costruzione 10.a Come si definisce O? 10.b Come si muove il punto O modificando il triangolo ABC? 10.c Misurare i segmenti AO, BO e CO. Come sono fra loro le misure? 10.d Con lo strumento Allineato? verificare quali punti sono allineati, anche al variare del triangolo ABC. 10.e erificare se gli altri punti notevoli che non sono stati disegnati sono allineati sulla retta. acoltativo. Disegnare la circonferenza passante per i punti L, M e N. Per quali altri punti passa? Dove si trova il suo centro?

5 I quadrilateri Capitolo Quadrilateri erifica per la classe prima COGME ME Problema. Costruire un parallelogramma a partire da un parallelogramma dato. 1. Costruire il parallelogramma ABCD a partire dai suoi lati AB e AD. 2. Costruire la diagonale AC. 3. Determinare il Punto medio M.. Con lo strumento Punto su un oggetto disegnare un punto P sul lato CD. 5. Con lo strumento Simmetria centrale determinare il punto P simmetrico di P rispetto a M. 6. Con lo strumento Poligono evidenziare il quadrilatero AP CP. 7. Teoria 7.a erificare che P appartiene ad AB con il comando Appartiene a...?. 7.b Dimostrare che il quadrilatero AP CP è un parallelogramma. 8. Con lo strumento Punto su un oggetto disegnare un punto Q sul lato AD. 9. Con lo strumento Simmetria centrale determinare il punto Q, simmetrico di Q rispetto a M. 10. Con lo strumento Poligono evidenziare il quadrilatero QPQ P. 11. Teoria 11.a Dimostrare che il quadrilatero QPQ P è un parallelogramma.. 205

6 Capitolo Quadrilateri 1: verifica Obiettivi Soluzioni degli esercizi 1.a 2.a 1. ; 2. ; 3. ;. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. I quadrilateri Conoscere i teoremi sulla somma degli angoli interni (esterni) di un poligono Dimostrare/Applicare il teorema di Talete Definire il trapezio, il parallelogramma, il rettangolo, il rombo, il quadrato e conoscerne le proprietà Dimostrare/Applicare le proprietà del trapezio, del parallelogramma, del rettangolo, del rombo, del quadrato Quadrilateri 2: verifica assi: no, no, sì (2), sì (2), sì () centri: no, sì, sì, sì, sì erifica 1.a 3.a 1.a; 2.a; 3.a 3.a Lab. Cabri Teoria al paragrafo 1 9 3,, 5, 3,, 5, tempo previsto: 60 min Obiettivi Definire il trapezio, il parallelogramma, il rettangolo, il rombo, il quadrato e conoscerne le proprietà Dimostrare/Applicare le proprietà del trapezio, del parallelogramma, del rettangolo, del rombo, del quadrato Soluzioni degli esercizi 3.b.b 60 e 120 quadrato erifica 1.a; 2.a; 3.a;.a 1.b; 2.b; 3.b;.b Lab. Cabri Teoria al paragrafo 3,, 5, 3,, 5, tempo previsto: 60 min Luoghi geometrici - Teorema di Talete - : verifica e laboratorio di Cabri Obiettivi Definire il luogo geometrico Riconoscere se una figura è un luogo geometrico Costruire alcuni luoghi geometrici Dimostrare/Applicare il teorema di Talete Definire il baricentro, il circocentro, l incentro, l ortocentro di un triangolo Individuare i punti notevoli di un triangolo Dimostrare alcuni teoremi sui punti notevoli di un triangolo Soluzioni degli esercizi 1.d 2.b 3.a quattro punti; sulle bisettrici degli angoli formati dalle due rette 1. parallelo 2. metà erifica 1.a; 1.b 1.b; 1.c 1.d 2.a; 2.b 3.a 3.b Lab. Cabri 1. dai vertici 2. altezze 3. mediane. dai lati Teoria al paragrafo ; cap. 6 7 tempo previsto: 60 min 206

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