LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA

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1 LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe VB Anno Scolastico Insegnante: Prof.ssa La Salandra Incoronata 1

2 Nozioni di topologia su Intervalli; Estremo superiore ed inferiore di un insieme limitato di numeri reali; Intoni di un numero o di un punto; Numeri o punti di accumulazione; Punti interni, esterni ; Funzioni reali di una variabile reale Concetto di una funzione reale di una variabile reale; Rappresentazione analitica di una funzione; Grafico di una funzione; Osservazioni sulla costruzione dei grafici di alcune funzioni; Funzioni monotone); Funzioni invertibili; Funzioni inverse delle funzioni circolari; Limiti delle funzioni di una variabile Limite delle funzioni reali di una variabile reale; Limite finito per una funzione in un punto; Definizione di limite infinito per una funzione in un punto; Limite destro e sinistro di una funzione; Definizione di limite per una funzione all infinito; Definizione più generale di limite; Procedura per la verifica del limite; Presentazione unitaria delle diverse definizioni di limite; Teoremi fondamentali sui limiti; Teorema della unicità del limite ; Teorema della permanenza del segno ; Teorema del confronto ; Teoremi relativi alle operazioni sui limiti; Dimostrazione che : lim sen x 1 x 0 x Esercizi sul calcolo dei limiti; Dimostrazione che: lim sen g g 0 g 180 Forma indeterminata (+; -); Tabelle riassuntive sui teoremi relativi alle operazioni sui limiti;

3 Esempi di indeterminazione della funzione somma e della funzione prodotto; Studio dei limiti: lim f ( x) lim f ( x) x 0 g( x) x g( x) con f(x) e g(x) funzioni algebriche; Teorema del limite della funzione potenza; Teorema dell esponenziale di due funzioni; Esercizi sul calcolo dei limiti; Il numero di Nepero; Teorema del limite della funzione composta; Teorema del limite della radice; Teorema del limite del logaritmo; Teorema del limite di una funzione esponenziale; Un caso notevole di funzione: le successioni; Limite di una successione; Definizione di successione convergente; Definizione di successione divergente; Definizione di successione indeterminata; Calcolo dei limiti notevoli. LE SUCCESSIONI E LE SERIE Le successioni; Alcuni tipi di successioni; Il limite di una successione; I teoremi sui limiti di una successione; I limiti delle progressioni; Che cos è una serie numerica; Serie convergenti, divergenti,indeterminate. Funzioni continue La continuità delle funzioni elementari; Teorema della permanenza del segno per le funzioni continue; Teorema sulla continuità delle funzioni composte; Verifica di alcune funzioni continue; Teorema sulla continuità delle funzioni inverse; Risoluzione di problemi di massimo e di minimo. Le proprietà globali delle funzioni continue Teorema di Bolzano-- Weierstrass; Teorema degli zeri di una funzione continua; Risoluzione approssimata di equazioni di terzo e quarto grado applicando il teorema degli zeri. Discontinuità di una funzione Definizione di punto di discontinuità di prima specie; Definizione di punto di discontinuità di seconda specie; Definizione di punto di discontinuità di terza specie; Esempi relativi. 3

4 Gli asintoti Asintoti verticali; Gli asintoti in generale: Criterio per verificare se una retta assegnata r : y = m x + q è un asintoto obliquo per f(x); Considerazione necessaria e sufficiente perché una funzione ammette asintoti obliqui; Asintoti orizzontali; Studio del grafico probabile di una funzione; Esercizi relativi. Derivate delle funzioni di una variabile Definizione di rapporto incrementale di una funzione; Interpretazioni del rapporto incrementale di una funzione; Definizione di derivata di una funzione; Definizione di derivata destra; Definizione di derivata sinistra; Interpretazione geometrica della derivata; Equazione della tangente ad una curva; Continuità e derivabilità; Definizione di funzione derivata; Derivazione di alcune funzioni elementari; Operazioni con le derivate; Derivate del prodotto di una costante per una funzione; Derivate della somma di due funzioni; Derivate del prodotto di due funzioni; Derivate della potenza di una funzione; Derivate del rapporto di due funzioni; La derivata di una funzione composta; Derivata della potenza reale di una funzione; Derivata della funzione: y [ f ( x)] g( x) Derivata logaritmica; Derivata della funzione inversa di una funzione; Derivata di arcsen x Derivata di arccos x Derivata di arctg x Derivata di valore assoluto di una funzione; Derivate successive; Le applicazioni delle derivate alla Fisica. 4

5 Teoremi fondamentali sul calcolo differenziale Teorema di Rolle ; Interpretazione geometrica del teorema di Rolle; Teorema di Lagrange o del valore medio; Interpretazione geometrica del teorema di Lagrange; Dimostrazione della prima e seconda conseguenza del teorema di Lagrange; Teorema d i Cauchy; Teorema di De L Hospital; Calcolo delle forme indeterminate: la regola di De L'Hospital; Le prime applicazioni del calcolo differenziale: gli estremi di una funzione Massimi e minimi relativi Definizione di punto massimo relativo o locale; Definizione di massimo relativo o locale; Definizione di punto minimo relativo o locale; Definizione di minimo relativo o locale; Definizione di punto estremante; Definizione di punto critico o stazionario di una funzione; Teorema di Fermat. Definizione di punto regolare; Criterio per la ricerca del massimo e del minimo assoluti di una funzione; Enunciato del teorema delle funzioni crescenti e decrescenti (terza conseguenza del teorema di Lagrange); Primo criterio generale per la ricerca degli estremi relativi di una funzione; Definizione di flesso orizzontale ascendente; Definizione di flesso orizzontale discendente; Concavità e convessità; Caratterizzazione di una funzione convessa; Caratterizzazione di una funzione concava; Definizione di punto di flesso ascendente; Definizione di punto di flesso discendente; Secondo criterio generale per la ricerca degli estremi relativi; Problemi di massimo e minimo; Calcolo dei limiti con le regole di De L Hopital; Forme 0 0 ; 1 ; 0, + ; Caratteristiche più importanti da determinare nello studio del grafico di una funzione; Studio del grafico di funzioni razionali intere; Studio del grafico di funzioni razionali fratte; Studio del grafico di funzioni trascendenti; Studio del grafico di funzioni col valore assoluto; Definizione di punto di diramazione di una funzione algebrica irrazionale; Studio del grafico di funzioni irrazionali. 5

6 Differenziali Definizione di differenziale; Significato geometrico di differenziale; Regole per la differenziazione; Integrali indefiniti Funzioni primitive di una funzione; Dimostrazione del teorema sulle funzioni primitive; Integrale indefinito; Integrali indefiniti immediati; Metodi elementari di integrazione indefinita; Integrazione per scomposizione; Integrazione per cambiamento di variabile (o per sostituzione); Integrazione per parti; Integrazione indefinita delle funzioni razionali fratte; Esercizi relativi. Integrali definiti Definizione di integrale definito; Proprietà dell integrale definito; Area delimitata dal grafico di due funzioni; Funzione integrale; Relazione tra funzione integrale e l'integrale indefinito; Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale o teorema di Torricelli- Barrow; Formula fondamentale del calcolo integrale o di Newton - Leibniz; Calcolo di integrali definiti; Esempi di determinazione di aree; Valore medio di una funzione; Il teorema della media e il suo significato geometrico (dimostrazione); Volume di un solido di rotazione; Enunciato della formula: V [ f ( x)] dx b a Esempi particolari di calcolo di volumi: Calcolo del volume della sfera di raggio r; Calcolo del volume del cono; Volume del toroide. Dimostrazione della formula per il calcolo del volume di un solido nota la funzione S(x) che esprime l area della generica sezione del solido al variare di x Lunghezza di un arco di curva piana; Dimostrazione della formula: L 1 [ f '( x)] dx b a Lunghezza di un arco di curva piana nel caso in cui l equazione della curva è data in forma parametrica; Dimostrazione della formula: x'( t) y'( t) dt L 6

7 -Dimostrazione della formula per il calcolo dell area di una superficie di rotazione. Teorema di Guldino (enunciato); Calcolo del baricentro di una figura piana omogenea; Applicazione del calcolo integrale alla fisica: il lavoro di una forza; Integrali impropri. Applicazione dello studio del grafico di una funzione: discussione di un equazione parametrica. Risoluzione di problemi di minimo assoluto e di massimo assoluto. Risoluzione di quesiti assegnati agli esami d i Stato. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI -Le equazioni differenziali del primo ordine; -Le equazioni differenziali del tipo y = f(x); -Le equazioni differenziali a variabili separabili; -Le equazioni differenziali del primo ordine; -Le equazioni differenziali del secondo ordine; - Applicazioni delle equazioni differenziali alla Fisica. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Le variabili casuali discrete e le distribuzioni di probabilità. La funzione di ripartizione; Operazioni sulle variabili casuali; I giochi aleatori. La speranza matematica. Foggia Maggio 015 Gli studenti L insegnante Prof.ssa 7

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