Diario del corso di Analisi Matematica 2

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1 Dirio del corso di Anlisi Mtemtic 2 G. Orlndi Vengono qui di seguito elencti gli rgomenti trttti lezione. Il dirio servirà nche per definire il progrmm d esme. Lezione del 5/1/11 (2 ore). Proprietà ssiomtiche di un funzione distnz su un insieme: positività, simmetri, diseguglinz tringolre. Spzi metrici. Esempi: R ed R n dotti dell distnz euclide. Distnz geodetic sull sfer. Proprietà ssiomtiche di un norm su uno spzio vettorile: positività, positiv 1-omogeneità, disuguglinz tringolre. Esempi: il vlore ssoluto su R, l norm euclide su R n. Definizione di norm l su R n : per x = (x 1,..., x n ) R n, x l = sup{ x i, i = 1,..., n.}. Defnizione di norm l 1 su R n : x l 1 = n i=1 x i. Un norm su uno spzio vettorile V induce un distnz d su V definit d d(x, y) = x y per x, y V. Se V è uno spzio euclideo, dotto cioè di un prodotto sclre,, quest ultimo definisce un norm (dett norm euclide) v = v, v 1/2. Lo spzio vettorile C ([, b]; R) delle funzioni f : [, b] R continue sull intervllo [, b] R può essere dotto dell norm l (dett norm dell convergenz uniforme) definit d f l = sup{ f(t), t [, b]}. Si può definire su C ([, b]; R) nche l norm l 1 (dett norm dell convergenz in medi) ponendo f l 1 = b f(t) dt. Definizione di norm l 2 su C ([, b]; R): b f l 2 = f(t) 2 dt. Si trtt di un norm euclide, indott dl prodotto sclre f, g l 2 = b f(t)g(t)dt, definito per f, g C ([, b]; R). Quest norm (dett dell convergenz in medi qudrtic) è spesso ust in problemi di minim distnz (cfr. metodo dei minimi qudrti). Osservzione: si f C ([, b]), f(x) per ogni x [, b] e b f(x)dx =. Allor f(x) = per ogni x [, b]. D ciò discende che se g C ([, b]) h norm l 1 (o l 2 ) null, llor g(x) = per ogni x [, b]. 1

2 Lezione del 6/1/11 (1 or) Motivzione dell uso dell norm l 2 per problemi di minim distnz (generlizzzione del metodo dei minimi qudrti, in uso d es. per il clcolo di regressioni lineri in sttistic, nei modelli di pprendimento, l regolrizzzione di Tychonoff, l pprossimzione medinte sviluppi di Fourier, JPEG...), come d esempio l pprossimzione di un funzione f C ([, b]) medinte polinomi di grdo (inferiore o ugule ) n. Il polinomio che relizz l minim distnz (ovvero l migliore pprossimzione in medi qudrtic) di f è l proiezione ortogonle di f (rispetto l prodotto sclre l 2 ) sul sottospzio finito-dimensionle V :=spn< v, v 1,..., v n >, dove per i =, 1,..., n si è posto v i (x) = x i, x [, b]. Pertnto, il polinomio P f che relizz l minim distnz è dto d n n [ b ] P f (x) = f, e i l 2 ([,b]) e i (x) = f(t)e i (t)dt e i (x), x [, b], i= i= dove {e i } i=,...,n è un bse ortonormle di V, costruibile pplicndo il processo di ortonormlizzzione di Grm-Schmidt ll bse {v, v 1,..., v n } di V. A lezione bbimo svolto il cso prticolre [, b] = [, 1], n = 1. Osservzione: C ([, b]; R) (e in genere gli spzi di funzioni che si considerno in nlisi) è uno spzio vettorile infinito dimensionle: inftti per ogni n N, l insieme E n = {1, x,..., x n } è linermente indipendente, in qunto un combinzione linere non null di elementi di E è un polinomio, e per il Teorem fondmentle dell Algebr si nnull solo in un numero finito di punti (inferiore o ugule d n), e non può pertnto coincidere con l funzione identicmente null su [, b]. Lezione del 7/1/11 (3 ore). Nozione di limite di successione in uno spzio metrico (X, d): dti x n, x X, si dice che x n x in X se d(x n, x ) per n +. Definizione di funzione continu tr spzi metrici: f : (X, d X ) (Y, d Y ) è continu in x X se ɛ > δ > tle che d X (x, x ) < δ implic d Y (f(x), f(x )) < ɛ. Crtterizzzione dell continuità: f : X Y è continu in x X se e solo se per ogni successione x n x in X si h f(x n ) f(x ) in Y. Esempio di un funzione continu su C ([, b]): l funzione F : C ([, b]; R) C ([, b]; R) che ssoci d f l su funzione integrle F (f) definit d F (f)(x) = x f(t)dt è un funzione continu rispetto ll norm l. Inftti, si h l seguente stim: F (f)(x) F (g)(x) = F (f g)(x) = x x f(t) g(t) dt [f(t) g(t)] dt x f g dt f g (x ) x b, d cui i ricv, pssndo l sup su x [, b] d mbo i membri, F (f) F (g) (b ) f g, 2

3 d cui si deduce che se f g, llor F (f) F (g). ovvero l continuità dell funzione F. Topologi in uno spzio metrico (X, d). Definizione di intorno sferico perto (o pll pert) di centro x X e rggio r > : B(x, r) = {y X, d(x, y) < r}. Un insieme A X si dice perto se x A r > tle che B(x, r) A. L collezione dei sottoinsiemi perti di X si dice topologi di X. Un insieme C X si dice chiuso se il complementre X \ C è perto. Crtterizzzione: C è chiuso se per ogni successione di punti x n C convergente x X si h che x C. Due distnze su X si dicono equivlenti se inducono l stess topologi su X (ovvero gli stessi insiemi perti). In prticolre, un successione in X converge rispetto ll prim distnz se e solo se converge rispetto ll second distnz, e un funzione definit su X è continu rispetto ll prim distnz se e solo se è continu rispetto ll second distnz. Si può dimostrre che due distnze d 1, d 2 sono equivlenti se e solo se per ogni B 1 (x, r) (pll pert reltiv ll distnz d 1 ) esiste B 2 (x, s) (pll pert reltiv ll distnz d 2 ) intermente contenut in B 1 (x, r) e reciprocmente. Anlogmente, due norme su uno spzio vettorile V si dicono equivlenti se le distnze ssocite sono equivlenti. Crtterizzzione: due norme N 1, N 2 su V sono equivlenti se e solo se esistono delle costnti C 1, C 2 > tli che per ogni v V si bbi N 2 (v) C 1 N 1 (v) e N 1 (v) C 2 N 2 (v) (ovvero l norm N 1 controll l norm N 2 e vicevers). In R n (o in uno spzio vettorile normto finito dimensionle) tutte le norme sono equivlenti. In prticolre per v R n si h ( lezione bbimo visto il cso n = 2): v v v 1 n v n v. Lezione del 12/1/11 (2 ore). Su uno spzio V dimensione infinit, le norme non possono essere tutte equivlenti tr di loro. Ad esempio, su C ([, b]) l norm l controll l norm l 1, (ovvero f l 1 ([,b]) (b ) f l ([,b]) per ogni f C ([, b])), m l norm l 1 non controll l norm l, come dimostr l esempio dell successione di funzioni f n C ([, 1]), definite ponendo f n (x) = n x per x 1/n, f n (x) = 2 n x per 1/n x 2/n, e f n (x) = per 2/n x 1, che converge in medi ll funzione identicmente null ( f n l 1 = 1/n per n + ) m non vi converge uniformemente (si h f n l = 1 per ogni n, quindi non può tendere ). L norm l 2 ([, b]) controll l norm l 1 ([, b]), per l disuguglinz di Cuchy- Schwrz. Definizione di convergenz uniforme: dte f, f n : I R R si dice che le f n convergono uniformemente d f in I se lim sup f n (x) f(x) lim f n f l n + n + (I) =. x I Defininzione di convergenz puntule: le f n convergono puntulmente d f in I se x I, lim n f n (x) f(x) =. 3

4 L convergenz uniforme implic quell puntule, mentre il vicevers non è vero in generle. Proprietà dell convergenz uniforme: sino f n, f : I R tli che f n f l (I) per n +. 1) se le f n sono continue, llor f è continu. b 2) se I = [, b], lim n f n(t)dt = b lim n f n (t)dt = b f(t)dt (pssggio l limite sotto il segno di integrle). 3) se f n C 1 ([, b]; R) (ossi f n, f n C ([, b]; R)) e f n f, f n g uniformemente in [, b], llor g = f su [, b]. Lezione del 13/1/11 (1 or). Dimostrzione dei punti 1) 2) 3) dell lezione precedente: 2) Dll esempio dell lezione del 7/1/11 (continuità dell trsformt integrle F ) si deduce, ponendo g = f n ed x = b, che b b f(t)dt f n (t)dt (b ) f n f l ([,b]) per n +. 3) Si h f n (x) f n () = x f n(t)dt, ed il primo membro converge f(x) f() perchè le f n in prticolre convergono puntulmente, mentre il secondo membro converge b g(t)dt per l convergenz uniforme di f n su [, b] ed il pssggio l limite sotto il segno di integrle. 1) Per ogni ɛ > si h, per ogni n > n, f n f < ɛ. Si x [, b] e fissto n > n, si δ > tle che f n (x) f n (x < ɛ per x x < δ (tle δ esiste per l continuità di f n ). Allor, per ogni x [, b], x x < δ, si h, per l diseguglinz tringolre, f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) 3ɛ, ovvero f è continu in x, per ogni x [, b]. Nel cso prticolre delle serie di funzioni, cioè qundo f n (x) = n k= u k(x), con u k : [, b] R, le proprietà dell convergenz uniforme si trducono come segue: dte u k C ([, b]; R), se l serie k= u k(x) converge uniformemente in [, b], llor converge d un funzione continu. Inoltre, vle ( b ) b u k (t) dt = u k (t)dt (integrzione per serie). k= k= Se inoltre u k C 1 ([, b]; R) e k= u k (x) converge uniformemente in [, b] llor ( u k (x)) = k= u k(x) k= (derivzione per serie). 4

5 Lezione del 14/1/11 (3 ore). Successioni di Cuchy in uno spzio metrico. Un successione convergente è di Cuchy. Spzi metrici completi. Esempi: R ed R n, con l distnz euclide (o un qulunque norm). Completezz di C ([, b]; R) dotto dell norm. Dimostrzione: dt un successione di Cuchy {f n } C ([, b]; R), per ogni ɛ > n tle che n, m > n f n f m < ɛ. In prticolre, per ogni x b si h f n (x) f m (x) < ɛ, dunque {f n (x)} è di Cuchy in R x b, ed è dunque convergente per l completezz di R. Detto f(x) = lim m f m (x), si h f n (x) f(x) = lim m f n (x) f m (x) ɛ n > n, x b. Pssndo l sup su x [, b] si ottiene f n f ɛ n > n, ovvero f n f per n +. Inoltre, f C ([, b]; R) in qunto limite uniforme di funzioni continue. Pertnto l successione {f n } converge in C ([, b]; R) rispetto ll norm l. Osservzione (non svolto lezione): si L (I; R) = {f : I R, f < + } lo spzio delle funzioni limitte, definite su un intervllo I R. L prim prte dell dimostrzione dell completezz di C ([, b]; R) dimostr in reltà che L (I; R) dotto dell norm l è uno spzio metrico completo. Osservzione: lo spzio C ([, b]) non è completo rispetto ll convergenz in medi, o in medi qudrtic: si consideri d esempio l successione f n C ([ 1, 1]) e l funzione discontinu f definite rispettivmente d f n (x) = se 1 x 1/n, f n (x) = nx + 1 se 1/n x, f n (x) = 1 se x 1, e d f(x) = per 1 x < e f(x) = 1 se x 1. Si h f n f l 1 = (nx + 1) dx = 1/2n. Quindi f 1/n n è un successione di Cuchy rispetto ll norm l 1 (in qunto successione convergente), m il limite f non è un funzione continu. Osservzione: lo spzio metrico completo rispetto ll norm l 1 è lo spzio delle funzioni sommbili secondo Lebesgue L 1 ([, b]) = {f : [, b] R, b f(x) dx < + }. Anlogmente è completo rispetto ll norm l 2 lo spzio L 2 ([, b]) = {f : [, b] R, b f(x) 2 dx < + } delle funzioni qudrto sommbile secondo Lebesgue. Un criterio utile per l convergenz uniforme di un serie di funzioni è il criterio di convergenz totle (di Weierstrss). Lo enuncimo nel qudro più generle degli spzi normti. Teorem dell convergenz totle: si (X, ) uno spzio vettorile normto completo. Si {u k } X. Se l serie delle norme k= u k è convergente in R, llor l serie k= u k è convergente in X, ovvero lim n k=n u k =. Dimostrzione: dett y n = n k= u k l successione delle somme przili, dimostrimo che {y n } è di Cuchy in X: si h, per l disuguglinz tringolre, y n y m = m k=n+1 u k dto che l successione numeric s n m k=n+1 u k = s m s n. m k=n+1 u k < ɛ per ogni m > n > n, = n k= u k è di Cuchy in R per ipotesi, e 5

6 Appliczione ll convergenz delle serie di potenze. Si k= nx n un serie di potenze reli centrt in x =, e si r > il suo rggio di convergenz, ovvero r 1 = lim sup k k 1/k. L serie converge uniformemente in [ R, R] per ogni < R < r, e quindi in prticolre converge d un funzione continu. Dimostrzione: si h k= sup x R poichè per il criterio dell rdice lim sup k + k k R k = k x k = ( lim sup k + k R k < +, k= ) k k R = r 1 R < 1. Si può dunque pplicre il criterio di convergenz totle nello spzio C ([ R, R]; R) dotto dell norm l. In prticolre, per un serie di potenze vle il teorem di integrzione per serie. Si può così clcolre d esempio b e x2 dx = b ( ) ( 1) k x 2k dx = k! k= k= b ( 1) k x 2k dx = k! k= ( 1) k (b 2k+1 2k+1 ) (2k + 1)k! Inoltre, dto che l serie delle derivte di un serie di potenze è su volt un serie di potenze con lo stesso rggio di convergenz, vle nche il teorem di derivzione per serie. Iterndo il rgionmento si deduce che un serie di potenze converge d un funzione di clsse C (ovvero dott di derivte continue di ogni ordine). Osservzione: l regol di derivzione per serie di potenze può essere utilizzt d esempio per l ricerc di soluzioni di equzioni differenzili sotto form di serie di potenze k x k (esempio: equzioni lineri coefficienti polinomili come l equzione di Bessel (di ordine n) x 2 y +xy +(x 2 n 2 )y = ), trsformndo l equzione differenzile in un sistem tringolre per i coefficienti k. Oservzione: le stesse proprietà di convergenz si ottengono per le serie di potenze complesse c k (z z ) k. Lezione del 19/1/11 (2 ore). Sviluppi in serie di Fourier per funzioni 2π-periodiche. Ad un funzione f : [ π, π] R tle che π π f(t) 2 dt si ssoci l funziones n (f) che rppresent l migliore pprossimzione in norm l 2 ([ π, π]) di f medinte polinomi trigonometrici di grdo (inferiore o ugule ) n, ovvero un elemento dello spzio (2n+1)- dimensionle X = spn < 1, cos kt, sin kt > k=1,...,n. Osservndo che l bse di X è ortogonle, si ottiene l formul di rppresentzione S n (f)(t) = n 2 + k cos(kt) + b k sin(kt), con i coefficienti di Fourier di f dti d = 1 π π k=1 π f(t)dt, k = 1 π π π f(t) cos(kt)dt, b k = 1 π π π f(t) sin(kt)dt, k = 1,..., n.. 6

7 Teorem di Fourier: se f L 2 ([ π, π]) (d es. f continu trtti) llor f S n (f) l 2 ([ π.π]) per n +, ovvero l serie di Fourier di f, definit d 2 + k=1 k cos(kt) + b k sin(kt) converge in medi qudrtic d f. Lezione del 2/1/11 (1 or). Diseguglinz di Bessel: ( ) π n f S n (f) 2 l 2 ([ π.π]) = f(t) 2 dt π π 2 k + b 2 k n N. π In prticolre, fcendo tendere n + si otiene il decdimento zero dei coefficienti di Fourier k, b k per k + (lemm di Riemnn-Lebesgue). Dl Teorem di Fourier si ottiene inoltre l identità di Prsevl π π k=1 f(t) 2 dt = π π 2 k + b 2 k. Form compless dei coefficienti di Fourier: posto c j = j ib j per, c 2 j = j + ib j per j >, c = 2, si h n S n (f)(t) = c k e ikt, con c k = 1 π f(t)e ikt dt. 2π π k= n Coefficienti di Fourier delle funzioni pri e delle funzioni dispri. Osservzione: l norm l 2 (come l norm l 1 ), essendo un norm integrle, non distingue due funzioni i cui vlori differiscono su un numero finito di punti del dominio (in prticolre un lmeno delle due funzioni non può essere continu), quindi non è un norm in senso stretto su L 2 ([, b]) (rispettivmente L 1 ([, b])), mentre lo è in senso stretto su C ([, b]) (cfr. osservzione mrgine dell Lezione del 5/1/11). Il Teorem di Fourier fferm che l differenz in norm l 2 tr l serie di Fourier di f e l funzione stess f è null: per qunto osservto, questo non signific priori che l serie di Fourier converg puntulmente d f su tutto l intervllo [ π, π]. Esempio (ond qudr): si f definit d f(x) = 1 se < x < π, f(x) = 1 se π < x < e sino f(), f(±π) definite d rbitrio. L serie di Fourier di f converge puntulmente d f per x, ±π. Inoltre, in, ±π l su somm vle zero, indipendentemente di vlori ssunti d f(), f(±π). Lezione del 21/1/11 (3 ore). Convergenz puntule delle serie di Fourier: se (l estensione periodic di) f è continu trtti in R (e le discontinuità sono di tipo slto), e per ogni x in cui f è continu esistono finite l derivt destr e sinistr, llor l serie di Fourier di f converge puntulmente ll medi dei limiti destro e sinistro di f (in prticolre converge d f nei punti di continuità di f). Coefficienti di Fourier dell derivt: si f L 2 ([ π, π]) derivbile con derivt f L 2 ([ π, π]). Detti k, b k (o, in form compless, c k ) i coefficienti di Fourier di f, e rispettivmente α k, β k e γ k i coefficienti di Fourier di f si h l relzione α =, k=1 7

8 α k = kb k, β k = k k e γ k = ( ik)c k, ossi d un operzione differenzile su f corrisponde un operzone lgebric (moltipliczione) sui suoi coefficienti di Fourier. Dll identità di Prsevl si ottiene in prticolre π αk 2 + βk 2 = π k=1 k 2 ( 2 k + b 2 k) = k=1 π π f (t) 2 dt, d cui si deduce che qunto più un funzione è regolre (ossi qunte più derivte possegg) tnto più rpido è il decdimento zero dei suoi coefficienti di Fourier. Convergenz uniforme delle serie di Fourier: si f 2π- periodic, di clsse C 1 trtti (ossi f continu trtti e con derivt continu trtti. In reltà bst f continu trtti e f L 2 ([ π, π])). Allor l serie di Fourier di f converge uniformemente d f in ogni intervllo [, b] in cui f è continu. Dimostrzione nel cso f C ([ π, π]) e f L 2 ([ π, π]): dllo studio dell convergenz totle dell serie di Fourier di f si ricv k=1 sup t [ π,π] k cos(kt) + b k sin(kt) = k + b k k=1 k=1 k=1 k=1 1 k 2 + k2 2 (2 k + b 2 k) 1 k π π π 1 k (k k + k b k ) f (t) dt < +, d cui l convergenz uniforme dell serie di Fourier su [ π, π] (e, per periodicità, su tutto R) d un funzione periodic g C ([ π, π]). Quest coincide con f, come si può dedurre invocndo il teorem di convergenz puntule, o quello di Fourier di convergenz in medi qudrtic: si h inftti g S n (f) l 2 ([ π.π]) 2π g S n (f) l ([ π,π]) per n +, ossi g f l 2 ([ π,π]) =, come si deduce d g f l 2 ([ π,π]) g S n (f) l 2 ([ π.π]) + S n (f) f l 2 ([ π.π]) per n +. Dll condizione π π g(t) f(t) 2 dt = si deduce, per l continuità di g(t) f(t), che g(t) f(t) = per ogni t [ π, π], ossi g = f. Il principio delle contrzioni in uno spzio metrico completo (teorem di punto fisso di Bnch-Cccioppoli): dto (X, d) spzio metrico completo, T : X X un contrzione (ossi K < 1 tle che d(t (x), T (y)) K d(x, y) x, y X), llor esiste un unico punto fisso x X di T (ovvero un unic soluzione x in X dell equzione x = T (x)). L dimostrzione è costruttiv, medinte uno schem itertivo, e fornisce nche un stim dell errore. Si x X, definimo per ricorrenz l successione x n+1 = T (x n ), 8

9 per n N. Due i csi: o x n+1 = x n per un certo n N, e quindi x n = x n+1 = T (x n ) è punto fisso di T, oppure rimne definit un successione {x n } X, che risult essere di Cuchy in X. Inftti, si h d(x n+1, x n ) = d(t (x n ), T (x n 1 )) K d(x n, x n 1 ) K n d(x 1, x ), d cui si deduce che, per m > n + 1 > n, per l disuguglinz tringolre, d(x m, x n ) m 1 j=n d(x j+1, x j ) K n d(x 1, x ) j= m 1 j=n m n 1 K j d(x 1, x ) = K n d(x 1, x ) K j K n d(x 1, x ) 1 K < ɛ per n sufficientemente grnde, e per ogni m > n + 1 > n, ovvero {x n } è di Cuchy in X. Si lim m x m = x X per l completezz di X. Pssndo l limite per m + nell disuguglinz precedente, si ottiene l stim dell errore d( x, x n ) K n d(x 1,x ). Inoltre, pssndo l limite per n + nell 1 K relzione di ricorrenz x n+1 = T (x n ), dto che x n+1 x e T (x n ) T ( x) per l continuità di T (dt dll stim d(t ( x), T (x n )) K d( x, x n )), si deduce x = T ( x), e dunque x è un punto fisso di T. Supponendo ˆx X si un qulunque punto fisso di T, si h d(ˆx, x) = d(t (ˆx), T ( x)) K d(ˆx, x), ossi (1 K) d(ˆx, x), d cui d(ˆx, x) e dunque ˆx = x, ovvero l unicità del punto fisso. j= K j Il principio delle contrzioni si pplic nelle più svrite situzioni: d esempio, per dimostrre il Teorem di Cuchy-Lipschitz di esistenz e unicità locle per soluzioni di problemi di Cuchy (per equzioni e sistemi di equzioni differenzili), oppure il Teorem del Dini delle funzioni implicite/inverse (esistenz e unicità locle per soluzioni di sistemi di equzioni lgebriche non lineri), o nche per provre l dipendenz continu delle soluzioni di equzioni differenzili di dti del problem. Funzioni vettorili di un vribile rele: derivzione per componenti, interpretzione geometric dell derivt come vettore tngente ll curv immgine. Interpretzione fisic come vettore velocità ssocito ll legge orri di un punto mterile. Equzione prmetric dell rett tngente ll curv immgine: un prmetrizzzione cnonic è dt dllo sviluppo di Tylor di f rrestto l primo ordine. Funzioni di più vribili reli. Domini (si considerernno domini D che sino insiemi perti, o contenuti nell chiusur di insiemi perti). Insiemi di livello, sottolivello, soprlivello. Funzioni continue. Gli insiemi di livello di un funzione continu sono chiusi nel dominio dell funzione. Grfico Γ f di un funzione di più vribili f : D R n R: Γ f = {(x 1,..., x n, x n+1 ) : (x 1,..., x n ) D, x n+1 = f(x 1,..., x n )}. Insiemi comptti per successioni. Teorem di Weierstrss: un funzione continu su un insieme comptto per successioni di R n (in generle, su uno spzio metrico comptto 9

10 per successioni) mmette mssimo e minimo. Dimostrzione: si f : D R n R con D comptto per successioni. Dt un successione mssimizznte {p n } D (ossi f(p n ) sup D f) esiste un sottosuccessione p nk p D, d cui f(p nk ) f( p) per continuit di f. D ltr prte, si h nche f(p nk ) sup D f, d cui l tesi. Definizione: dto X spzio metrico, A X si dice limitto se A B(x, r) per un certo x X ed r >. L insieme A si dice totlmente limitto se ɛ > esiste un ɛ-rete di A, ovvero x 1,..., x N X (con N dipendente d ɛ) tle che A j B(x j, ɛ). Crtterizzzione degli insiemi comptti per successioni: in R n, un insieme è comptto per successioni se e solo se è chiuso e limitto; in generle, uno spzio metrico (X, d) è comptto per successioni se e solo se è completo e totlmente limitto. Lezione del 26/1/11 (2 ore). Derivbilità per funzioni di più vribili. Derivt direzionle di un funzione f : Ω R 2 R in p Ω: dt un direzone e R 2 (ossi e = (, b) con 2 + b 2 = 1), l rett pssnte per p = (x, y ) vente direzione e è dt d t r(t) = (x + t, y + tb), e l derivt nell direzione e di f in p è definit d D e f(p ) = d dt t=f(r(t)) = d dt t=f(x + t, y + tb). Se e = (1, ) (risp. e = (, 1)) si pone D e f(p ) = f (x x, y ) (risp. D e f(p ) = f (x y, y )), e tle derivt si chim derivt przile rispetto x (risp. rispetto y). Esempi di clcolo di derivte przili. Interpretzione geometric delle derivte direzionli: si Γ f = {(x, y, f(x, y)) R 3, (x, y) Ω } il grfico di f. L mpp t (x + t, y + tb, f(x + t, y + tb)) h come immgine l curv costituit dll restrizione del grfico di f ll rett r(t) di cui sopr, pssnte per (x, y, f(x, y )) per t =. Il vettore d dt (x + t, y + tb, f(x + t, y + tb)) = (, b, D e f(x, y ) ), t= pplicto nel punto (x, y, f(x, y )), è dunque un vettore tngente l grfico di f in (x, y, f(x, y )), l cui componente orizzontle è l direzione e = (, b), e l cui componente verticle è l derivt direzionle di f nell direzione e in p. Esempio di un funzione che mmette derivte przili m non è continu. Esistono esempi di funzioni f che mmettono tutte le derivte direzionli in un certo punto p, m non sono continue in p. Funzioni differenzibili. Differenzile df(p ) : R n R di un funzione f : Ω R n R in un punto p Ω. Si trtt di un ppliczione linere che verific f(p) f(p ) df(p ) (p p ) lim p p p p =. In ltre prole, per un funzione differenzibile in p vle lo sviluppo di Tylor l primo ordine f(p) = f(p ) + df(p ) (p p ) + o( p p ). Se f è differenzibile in p llor esistono le derivte direzionli di f in p e si h D e f(p ) = df(p ) e per ogni direzione e R n. 1

11 Se f è differenzibile in p, l equzione crtesin del pino tngente l grfico di f in (p, f(p )) R n+1 è dt d x n+1 = f(p ) + df(p ) (p p ), ovvero n x n+1 = f(p ) + (x i x,i ) f (p ), dove p = (x 1,..., x n ) e p = (x,1,..., x,n ). x i i=1 Dett e 1,..., e n, e n+1 l bse cnonic di R n+1, il pino tngente l grfico è generto di vettori {e i + e n+1 f x i (p )} i=1,...,n ( lezione bbimo visto il cso n = 2). Un vettore normle l pino tngente in (p, f(p )) è dto dl vettore N p = ( f x 1 (p ),..., f x n (p ), 1) R n+1. Il differenzile df(p ) si rppresent medinte il grdiente f(p ) = ( f x 1 (p ),..., f x n (p )) R n, ovvero si h df(p ) v = f(p ), v per ogni v R n. Il grdiente individu l direzione di mssim crescit di f in p, ossi mx D ef(p ) = mx f(p ), e = f(p ), per e = f(p ) e =1 e =1 f(p ). Lo schem di flusso grdiente per l determinzione di mssimi locli: dto p = (x,1,..., x,n ) Ω R n, si trtt di risolvere il problem di Cuchy { dp dt = f(p) p() = p, ovvero il sistem di equzioni differenzili ordinrie dx 1 = f dt x 1 (x 1,..., x n ). dx n = f dt x n (x 1,..., x n ) x i () = x,i i = 1,..., n. Detto p = lim t + p(t), se p Ω llor f( p) =, ossi p è un punto critico, che, per un scelt generic del dto inizile p risult essere di mssimo locle. L nlogo schem dp = f(p) per i minimi locli nche detto schem di disces grdiente. dt Lezione del 27/1/11 (1 or). Continuità di un funzione differenzibile. Condizioni sufficienti per l differenzibilità, teorem del differenzile totle: se in un intorno B(p, r) esistono le derivte przili di f e sono continue in p, llor f è differenzibile in p. Dimostrzione del teorem del differenzile totle. Funzioni di clsse C 1. Differenzile di funzioni vettorili. Se f = (f 1,..., f m ) : Ω R n R m, p Ω e v = (v 1,..., v n ) R n, si h l rppresentzione medinte l mtrice Jcobin Df(p ) {f 1,...,f m} (p {x 1,...,x n} ): f 1 f 1 x 1 (p ) x n (p ) v 1 df(p ) v = f m f x 1 (p ) m x n (p ) v n 11

12 Esempi di funzioni vettorili: trsformzioni di coordinte. Mtrice Jcobin {x,y} {r,θ} dell trsformzione in coordinte polri. Coordinte cilindriche (r, θ, z) e sferiche (r, θ, φ) per (x, y, z) R 3 e rispettive mtrici Jcobine. Lezione del 28/1/11 (3 ore). Cmpi vettorili. Espressione del cmpo grvitzionle generto d un mss puntiforme post nell origine: F (p) = Kp/ p 3 = Kr 2 î r, dove r = p, î r = p/ p e K > opportuno. Superfici prmetriche e crtesine, vettori tngenti, vettore normle. Dt l prmetrizzzione (di clsse C 1 ) r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R 3, con (u, v) D R 2, i vettori colonn dell mtrice Jcobin D r(p ) x r (p x u (p u ) ) y (p u ) r (p, z (p v (p v ) ) y (p v ) z u ) (p v ) sono vettori tngenti ll superficie S = { r(u, v), (u, v) D} R 3 nel punto r(p ) S, e ne generno il pino tngente qulor sino linermente indipendenti. Un vettore N(p ) normle ll superficie in r(p ) S si ottiene, in modo cnonico, medinte il prodotto vettorile N = r r. u v Regol dell cten per il differenzile composto: se f : Ω R n R m e g : U R m R k sono funzioni differenzibili rispettivmente in p Ω e q = f(p ) U, llor h = g f : Ω R k è differenzibile in p e vle dh(p ) = d(g f)(p ) = dg(f(p )) df(p ). In termini delle mtrici Jcobine, [ ] [ ] [ ] hi gi fl (p ) = (f(p )) (p ), ossi x j y l x j h i x j (p ) = m l=1 g i y l (f(p )) f l x j (p ). Dt un funzione f C 1 (D; R), e dto l insieme di livello f 1 (c), c R, se p f 1 (c) e f(p ), quest ultimo vettore risult ortogonle f 1 (c) in p. Dimostrzione (cso n = 2): supponendo che intorno p l insieme di livello si poss descrivere medinte un curv prmetric p(t) = (x(t), y(t)) di clsse C 1, dett g(t) = f((x(t), y(t)) l funzione compost, si h, pplicndo l regol dell cten: = dg dt = f x dx dt + f y dy dt =< f, dp dt >, ovvero l condizione di ortogonlità. L ipotesi che l insieme di livello si prmetrizzbile intorno p è sempre soddisftt nel cso f(p ), in virtù del Teorem delle funzioni implicite. Derivte przili di ordine superiore. Mtrice Hessin delle derivte przili seconde.teorem di Schwrz: se f C 2 (Ω; R) (ovvero esistono le derivte przili seconde e sono continue in D) llor l mtrice Hessin D 2 f(p) = [ 2 f x j x i (p)] è simmetric per ogni p D. 12

13 Sviluppo di Tylor l secondo ordine per f C 2 (D; R) in p D R n : si v = (v 1,..., v n ) R n, p p(t) = p + tv D per t t. Posto g(t) = f(p(t)), si h g (t) = n i=1 f x i (p(t))v i = f(p), v, g (t) = n i,j=1 2 f x j x i (p(t))v j v i = D 2 f(p) v, v. Dllo sviluppo di Tylor g(t) = g() + tg () + t2 2 g () + o(t 2 ) si ottiene f(p) = f(p ) + f(p ), p p D2 f(p ) (p p ), (p p ) + o( p p 2 ). Studio dell ntur dei punti critici di f C 2 (D, R): se p è un punto critico di f (ossi f(p ) = ), llor lo sviluppo di Tylor l secondo ordine si riduce f(p) = f(p ) D2 f(p ) (p p ), (p p ) + o( p p 2 ). Si R O(n) tle che R t D 2 f(p ) R =dig (λ 1,..., λ n ), con λ 1,..., λ n R utovlori di D 2 f(p ), e si p p = R w, con w = (w 1,..., w n ) R n. Si h D 2 f(p ) (p p ), (p p ) = D 2 f(p ) R w, R w = R t D 2 f(p ) R w, w n = λ i wi 2. Ottenimo dunque, tenendo conto che w 2 = Rw 2 = p p 2, i=1 f(p) = f(p ) n λ i wi 2 + o( w 2 ), i=1 d cui si deduce che se gli utovlori di D 2 f(p ) sono tutti positivi (risp. negtivi) llor p è un punto di minimo (risp. mssimo) locle per f. Se vi sono utovlori di segno discorde, p è detto un punto di sell. Se qulche utovlore di D 2 f(p ) risult nullo (e gli ltri non sono di segno discorde), llor il solo sviluppo di Tylor l secondo ordine non permette di decidere sull ntur del punto critico. Lezione del 2/11/11 (2 ore). Alcune regole per l determinzione dei segni degli utovlori dell mtrice Hessin. Mssimi e minimi di funzioni su domini D R n chiusi e limitti: vnno ricercti tr i punti critici interni D e tr i mssimi e minimi vincolti ll frontier (o bordo) D. Espressione del vincolo in form prmetric o in form implicit (ovvero come insieme di livello). Risoluzione di problemi di mssimo e minimo vincolto qundo il vincolo è espresso in form prmetric. Introduzione l metodo dei moltiplictori di Lgrnge. Lezione del 3/11/11 (1 or). Appliczione del metodo dei moltiplictori di Lgrnge l clcolo dei mssimi e minimi vincolti di un form qudrtic sull sfer unitri 13

14 di R n. Per p = (x 1,..., x n ) R n, A mtrice simmetric, si dt l form qudrtic n Q(p) = p t A p = ij x i x j. i,j=1 Considerimo il problem di mssimo (risp. minimo) vincolto mx Q(p), p =1 min Q(p). p =1 Il vincolo può essere espresso dll equzione g(p) =, con g(p) = p 2 1 = n i=1 x2 i 1. Impostndo il problem con i moltiplictori di Lgrnge, simo condotti risolvere il sistem Q(p) = λ g(p), g(p) =, ovvero, effettundo i clcoli, 2A p = 2λp, p 2 = 1. Pertnto i punti di estremo vincolto (tr cui il mssimo ed il minimo) sono gli utovettori unitri di A. Osservndo che, se p è un utovettore unitrio, si h Q(p) = p t A p =< A p, p >= λ < p, p >= λ, si h che i vlori estremi corrispondono gli utovlori di A. In prticolre il mssimo ed il minimo utovlore relizzno rispettivmente il mssimo ed il minimo di Q sull insieme { p = 1}. Un esempio di progrmmzione linere: si d mssimizzre (minimizzre) l funzione f(x 1, x 2 ) = 2 i=1 ix i + b sotto le condizioni r k (x 1, x 2 ), con r k (x 1, x 2 ) = 2 i=1 c ikx i + d k, per k = 1,..., N. Il vincolo imposto d f rppresent l intersezione di N semipini, ovvero un insieme convesso (ossi, per ogni coppi di punti dell insieme, il segmento che li unisce è intermente contenuto nell insieme) frontier poligonle. Non essendoci punti critici interni ( f = ( 1, 2 ) (, )), il mssimo ed il minimo sono ssunti ll frontier poligonle, ed in generle nei vertici del poligono: inftti, per dti generici si h che i vettori (c 1k, c 2k ), che rppresentno le normli i lti del poligono, non sono prlleli ( 1, 2 ) = f, ossi non possono esistere punti critici vincolti sui lti del poligono. Lezione del 4/11/11 (1 or). Il Teorem dei moltiplictori di Lgrnge: se f, g C 1 (Ω; R), e p g 1 () Ω è tle che g(p ), llor p è un punto di estremo vincolto per f ristrett g 1 () se e solo se esiste λ R tle che f(p ) = λ g(p ). Ciò equivle dire che (p, λ) Ω R è punto critico dell funzione (di Lgrnge) ψ : Ω R R definit d ψ(p, µ) = f(p) µ g(p). L dimostrzione del Teorem dei moltiplictori di Lgrnge segue dl Teorem del Dini delle funzioni implicite. Enuncito nel cso di due vribili: se Ω R 2 e g : Ω R 14

15 è di clsse C 1 (Ω), p (x, y ) g 1 () e g y (p ), llor esistono δ, σ >, ed un intorno R = [x δ, x +δ] [y σ, y +σ] tle che g 1 () R = {(x, y) R, y = φ(x)}, dove φ : [x δ, x + δ] R è un funzione di clsse C 1. Si h inoltre l formul φ (x) = G x G y (x, φ(x)). (x, φ(x)) Il teorem del Dini dà delle condizioni ffinchè l insieme di livello g 1 () poss rppresentrsi, loclmente, come grfico di un opportun funzione φ, l qule risult definit implicitmente dll equzione g =, e le cui derivte possono essere clcolte derivndo implicitmente l relzione g =. Dimostrzione del Teorem dei moltiplictori di Lgrnge: se g(p ) llor lmeno un delle sue componenti g x i non è null. Supponimo per semplicità che si g x n (p ). Per il Teorem del Dini, si h intorno p g(x 1,..., x n ) = x n = φ(x 1,..., x n 1 ), per cui, se p è un estremo vincolto di f, si h, dottndo le notzioni di cui sopr, = f (x 1,..., x n 1, φ(x 1,..., x n 1 )) x i = f(p ), τ i f(p ) = λ g(p ) p per un certo λ R: inftti, dto che nche g(p ), τ i = per ogni i = 1,..., n 1, l insieme { g(p ), τ i } i=1,...,n 1 form un bse ortogonle di R n, e quindi, posto λ = f(p ), g(p ) g(p, si h necessrimente f(p ) 2 ) = λ g(p ). Dimostrzione del Teorem delle funzioni implicite nel cso di due vribili. Supponendo G(x y, y ) >, esiste σ > tle che G(x, y) > per x y σ x x + σ e y σ y y + σ. Possimo nche supporre senz perdit di generlità che inf{ G y (x, y), x σ x x + σ, y σ y y + σ} = l >. In prticolre, l funzione t G(x, t) è strettmente crescente per y σ t y +σ, e dunque vle G(x, y σ) < e G(x, y +σ) >. Per l continuità di G esiste < δ < σ tle che G(x, y σ) < e G(x, y + σ) > per ogni x δ x x + δ. Per ogni x δ x x +δ, l strett monotoni dell funzione t G(x, t) implic che esiste un unico punto y φ(x) [y σ, y + σ] tle che G(x, y) = G(x, φ(x)) =. Verifichimo che l funzione implicit φ si di clsse C 1 : sino x e x+h in [x δ, x +δ], considerimo l restrizione di G l segmento di estremi p = (x, φ(x)) e q = (x + h, φ(x + h)), ovvero l funzione f(t) = G(p + t(q p)) = G(x + th, φ(x) + t(φ(x + h) φ(x))), t 1. Per il teorem di Lgrnge del vlor medio, si h, per un certo < τ < 1, f(1) f() = f (τ) = G x (p τ) h + G y (p τ) (φ(x + h) φ(x)), 15

16 dove p τ = p + τ(q p). Essendo f(1) = f() =, si ottiene in prticolre G x φ(x + h) φ(x) = (p τ) G (p y τ) h. Dll relzione precedente si ricv, dto che p τ [x δ, x + δ] [y σ, y + σ], φ(x+h) φ(x) h M l con M = mx{ G x (x, y), x δ x x +δ, y σ y y +σ }. Fcendo tendere h zero, si ottiene così l continuità di φ per ogni x δ x x +δ. Or, stbilito che φ è continu, si può dedurre che per h il punto p τ = (x + τh, φ(x) + τ(φ(x + h) φ(x))) tende effettivmente p = (x, φ(x)), d cui, pssndo l limite per h nell relzione φ(x + h) φ(x) h si ottiene che φ è derivbile e vle l formul φ (x) = G x G y G x = (p τ) G (p y τ), (x, φ(x)). (x, φ(x)) D ltr prte, il secondo membro dell precedente relzione è costituito dll composizione di funzioni continue, pertnto è continuo. Si deduce pertnto che φ è in reltà di clsse C 1. Lezione del 9/11/11 (2 ore). Il teorem del Dini delle funzioni implicite: si G : A R n+k R k un funzione di clsse C 1 nelle vribili (x, y) (x 1,.., x n, y 1,..., y k ) R n+k, e si (x, y ) A tle che G(x, y ) = e det {G 1,...,G k } {y 1,...,y k. Allor δ, σ >, ed } esiste φ : B δ (x ) R n B σ (y ) R k tli che G 1 () (B δ (x ) B σ (y )) = {(x, y) : x B δ (x ), y = φ(x)}. Inoltre, φ è di clsse C 1 e vle Dφ(x) = [ ] 1 {G1,..., G k } {y 1,..., y k } ovvero vle l formul di derivzione implicit x j (G i (x, φ(x))) = G i x j (x, φ(x)) + [ ] {G1,..., G k }, {x 1,..., x n } y=φ(x) m l=1 G i y l (x, φ(x)) φ l x j (x). Alcune ppliczioni del teorem delle funzioni implicite: descrizione delle soluzioni di sistemi di equzioni non lineri, esistenz e unicit per equzioni differenzili estte, teorem dei moltiplictori di Lgrnge nel cso di k vincoli: si G = (G 1,..., G k ) : A R n+k R k di clsse C 1, si f C 1 (A; R). Se p G 1 () è un estremo vincolto 16

17 per f ristrett G 1 () e se DG(p ) h rngo mssimo k, llor λ 1,..., λ k R tli che f(p ) = λ 1 G 1 (p ) λ k G k (p ). Progrmmzione non linere: nelle ipotesi precedenti, posto p = (x 1,..., x n+k ), se si deve ottimizzre f ristrett i vincoli G 1 (p),..., G k (p), il punto critico vincolto p = (x 1,..., x n+k ) risult essere un punto critico (libero) dell lgrngin Ψ(x 1,..., x n+k, λ 1,..., λ k, u 1,..., u k ) = f(p) k λ i (G i (x, y) + u 2 i ). Il sistem corrispondente Ψ = è detto sistem delle condizioni di Kuhn-Tucker: f x 1 (p ) = k i=1 λ i G i(p ) x 1. f x n+k (p ) = k i=1 λ i G i(p ) x n+k G 1 (p ) = u 2 1. G k (p ) = u 2 1 λ 1 u 1 =. λ k u k =. Lezione del 1/11/11 (1 or). Teorem dell funzione invers: se g : D R k R k è di clsse C 1 e se detdg(p ) (ovvero [Dg(p )] 1 ), llor U D intorno di p e V R k intorno di q = g(p ) tle che g : U V è invertibile. Inoltre, l invers g 1 è di clsse C 1 (si dice che g è un diffeomorfismo locle), e [Dg 1 (q )] = [Dg(p )] 1. Esempio: l trsformzione in coordinte polri x = r cos θ, y = r sin θ verific det {x,y} = r r >, θ R. Tle trsformzione è dunque un diffeomorfismo {r,θ} locle. Si osservi che l trsformzione non è globlmente invertibile, in qunto (r, θ) ed (r, θ + 2kπ) hnno l stess immgine k Z. Lezione dell 11/11/11 (3 ore). Dimostrzione del teorem dell funzione invers. Richimo preliminre: per A, B mtrici tli che si definito A B, si h A B 1 A 1 B 1 (comptibilità dell norm l 1 con il prodotto di mtrici). Inoltre, per v R k, si h v v 1 k v. Si q B(q, s), e si consideri lo schem di tipo Newton p n+1 = f(p n ), con i=1 f(p) = p + [Dg(p )] 1 (q g(p)). Si h p = f(p), ossi p è punto fisso di f, se e solo se q = g(p). In ltre prole, se il punto fisso p esiste ed è unico, llor p = g 1 (q), l immgine invers di q secondo g, ossi g è invertibile. 17

18 Dimostrimo che f è un contrzione se p è sufficientemente vicino p, in modo d grntire esistenz e unicità del punto fisso di f, ovvero l invertibilità locle di g intorno p. Dimostrimo preliminrmente l stim f(p) f(p ) M k p p p, p B r (p ), con M = sup Df(p) 1. p B r(p ) Si h, per il teorem fondmentle del clcolo pplicto t f(p + t(p p)) 1 f(p) f(p ) = d dt f(p + 1 t(p p))dt = [Df(p + t(p p)] (p p)dt Df(p + t(p p)) (p p) dt Df(p + t(p p)) (p p) 1 dt Df(p + t(p p)) 1 p p 1 dt M k p p dt M k p p. Or clcolimo Df(p) per ogni p B r (p ), e dimostrimo che si h Df(p) per ogni p B k r(p ) ptto di scegliere r sufficientemente piccolo (in prticolre M k < 1/2 e duque f è un contrzione). Si h d cui Df(p) = I [Dg(p )] 1 [Dg(p)] = [Dg(p )] 1 [Dg(p ) Dg(p)], Df(p) 1 = [Dg(p )] 1 [Dg(p ) Dg(p)] 1 Dg(p ) 1 1 Dg(p ) Dg(p) 1, e dto che g è di clsse C 1 si h che per p p vle Dg(p ) Dg(p) 1, d cui discende che Df(p) 1 può essere reso piccolo picere per p sufficientemente vicino p. Mostrimo or che per q sufficientemente vicino q (ovvero per s sufficientemente piccolo) si h che f è un contrzione di B(p, r) in sè, ossi che p p r f(p) p r. Si h f(p) p f(p) f(p ) + f(p ) p 1 2 p p + Dg(p ) 1 1 k q q r se si sceglie s in modo che Dg(p ) 1 1 ks r/2. Fissti dunque in tl modo s ed r, e ponendo V = B(q, s) ed U = g 1 (B(q, s)) B(p, r), si h che g ristrett d U è un diffeomorfismo di U su V. 18

19 Integrli doppi e tripli per funzioni continue definite su un prodotto di intervlli. Teorem di Fubini-Tonelli (formul dell integrle iterto). Estensione l cso di domini normli rispetto gli ssi coordinti: nel cso degli integrli doppi, se d esempio h 1, h 2 C ([, b]; R) e D = {(x, y), x b, h 1 (x) y h 2 (x)}, ed inoltre f C (D; R), si h [ b ] h2 (x) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. D Nel cso degli integrli tripli, se esistono funzioni continue g 1 (x, y) e g 2 (x, y) ed h 1 (x) e h 2 (x) tli che D = {(x, y, z), x b, h 1 (x) y g 2 (x), g 1 (x, y) z g 2 (x, y)}, ed f C (D; R), llor si h [ b [ h2 (x) ] ] g2 (x,y) f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dy dx. D h 1 (x) h 1 (x) g 1 (x,y) Clcolo di ree e volumi. Per D R 2 si h Are(D) = dx dy. Per D D R3 si h Volume(D) = dx dy dz. Integrli di funzioni simmetriche su domini simmetrici. D Lezione del 16/11/11 (2 ore). Formul di cmbimento di vribile negli integrli multipli: se T : R R n D = T (R) R n, è di clsse C 1 ed iniettiv trnne l più sui punti dell frontier R del dominio, llor, per f C (D; R), posto x = (x 1,...x n ) = T (u 1,..., u n ) = T (u), vle l formul f(x) dx 1...dx n = f(t (u)) det {T 1,..., T n } {u 1,..., u n } (u) du 1...du n. D R Uno dei pssggi chive nell dimostrzione dell formul è l espressione del volume del prllelepipedo n-dimensionle P R n generto d n vettori v j = (v 1,j,...v n,j ) R n, per j = 1,..., n. Dett A = [v i,j ] l mtrice n n le cui colonne sono dte di vettori v j, si h vol (P ) = det A. Ide dell dimostrzione dell formul di cmbimento di vribile: dt un prtizione di R in cubetti n-dimensionli generti di vettori u 1 e 1,..., u n e n, quest induce un prtizione di D dt dlle immgini dei cubetti, il cui volume n- dimensionle è pprossimtivmente dto dl volume del prllelepipedo generto d dt (u) ( u 1 e 1 ),..., dt (u) ( u n e n ), ovvero di vettori u 1 T u 1 (u),..., u n T u n (u). Tle volume è dto d det DT (u) u 1... u n, e quindi l somm di Riemnn di f su D si può esprimere come f(t (u)) det DT (u) u 1... u n, che converge l secondo membro dell formul di cmbimento di vribili. Esempi di clcolo di integrli multipli utilizzndo trsformzioni di coordinte polri, sferiche e cilindriche. Volume dell sfer, re dell ellisse, momento d inerzi di un pll rispetto d un suo dimetro. 19

20 Clcolo di R 2 + e x2 dx: posto f(x, y) = e x2 e y2, si h R [ R ] [ + 2 e x2 e y2 dxdy = lim e y2 e x2 dx dy = e dx] x2. R + R R D ltr prte, trsformndo in coordinte polri, si h d cui l formul R 2 e (x2+y2) dxdy = lim R + + e x2 dx = π. R [ 2π ] e r2 r dθ dr = π, Lezione del 17/11/11 (1 or). Formul per il clcolo del bricentro di figure pine o solide. Integrli curvilinei di prim specie. Dt un funzione continu f : D R n R ed un curv prmetrizzt γ : [, b] D di clsse C 1 e iniettiv (ovvero un curv semplice), detto Γ = {γ(t), t b} il suo sostegno, si definisce l integrle curvilineo (di prim specie) di f lungo Γ come segue: b b fdl := f(γ(t)) γ(t) dt = f(x 1 (t),..., x n (t)) n ẋ 2 i dt. Γ Proprietà: indipendenz dll prmetrizzzione, linerità rispetto ll integrndo f, dditività rispetto ll curv Γ (ossi, se Γ = i Γ i con Γ i = {γ i (t), i t b i }, γ i di clsse C 1 e iniettiv, γ i 1 (b i 1 ) = γ i ( i ) per ogni i, si h fdl = Γ i Γ i fdl). L integrle curvilineo di prim specie è un integrle non orientto, e si utilizz per il clcolo di lunghezze di curve (cso f 1), msse di oggetti filiformi (se f rppresent l densità linere dell oggetto) o bricentri e/o momenti d inerzi (rispettivmente nel cso f(x 1,..., x n ) = x i, o f rppresenti l distnz l qudrto d un sse, come d esempio f(x, y, z) = x 2 + y 2, l distnz l qudrto dll sse z). Lezione del 18/11/11 (3 ore). Integrli superficili di prim specie. Dt un funzione f : D R 3 R di clsse C 1 ed un superficie S = { r(u, v), (u, v) R R 2 } D definit medinte un prmetrizzzione di clsse C 1 iniettiv, si definisce l integrle superficile di f su S come segue: fd := f( r(u, v)) r u r v dudv = f( r(u, v)) det([d r] t [D r]) dudv. S R Proprietà: invrinz rispetto ll prmetrizzzione, linerità, dditività. Clcolo di msse, bricentri, momenti d inerzi di figure bidimensionli. Formul per l re di superfici crtesine. R i=1 2

21 Cmpi vettorili. Integrle curvilineo (detto di second specie) per cmpi vettorili su curve orientte: se F : D R 3 R 3 è un cmpo di vettori continuo e Γ D è un curv orientt di primo estremo A e secondo estremo B, prmetrizzt medinte γ : [, b] D di clsse C 1, con γ() = A e γ(b) = B, si pone Γ F dl := b < F (γ(t)), γ(t) > dt. Notzione con le 1-forme differenzili: se F (x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)) e γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), si pone F dl = F 1 (x, y, z)dx + F 2 (x, y, z)dy + F 3 (x, y, z)dz = Γ = Γ b F 1 (x(t), y(t), z(t))ẋ(t) + F 2 (x(t), y(t), z(t))ẏ(t) + F 3 (x(t), y(t), z(t))ż(t) dt. L ppliczione (x, y, z) F 1 (x, y, z)dx + F 2 (x, y, z)dy + F 3 (x, y, z)dz si dice 1-form differenzile. Proprietà dell integrle curvilineo di second specie: indipendenz dll prmetrizzzione ( ptto che conservi l orientzione di Γ), linerità, dditività. L integrle curvilineo di second specie dipende dll orientzione di Γ: se indichimo con Γ AB l curv Γ orientt d A B e Γ BA l stess curv orientt d B d A, si h F dl = F dl. Γ BA Γ AB Teorem fondmentle del clcolo per gli integrli curvilinei di second specie: se F = φ, ovvero se F è il grdiente di un funzione (dett potenzile sclre) si h Γ AB φ dl = b φ(γ(t), γ (t) dt = b d (φ(γ(t))) dt = φ(b) φ(a). dt In prticolre, l integrle curvilineo di un grdiente dipende solmente dgli estremi dell curv Γ, e dunque non cmbi se clcolto lungo un qulsisi ltr curv che congiung A B. Lezione del 23/11/11 (2 ore). Cmpi conservtivi, potenzile sclre. Esempi di cmpi conservtivi: il cmpo elettrosttico/grvitzionle generto d un cric/mss puntiforme post nell origine, dto d F (x, y, z) = ± (x,y,z) è conservtivo. Si h F 1 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 = φ, con φ(x, y, z) = ±. Il cmpo di un forz di x 2 +y 2 +z2 richimo elstic F (x, y, z) = k(x, y, z) è conservtivo: si h F = φ con φ(x, y, z) = k 2 (x2 + y 2 + z 2 ). Condizioni equivlenti ll proprietà di essere conservtivo per un cmpo di vettori di clsse C : indipendenz dll triettori, circuitzione null. Determinzione di un 21

22 funzione potenzile per un cmpo conservtivo F : D R 3 R 3 : fissto p D, si pone φ(p) = F dl, dove, per p D, Γ Γ p p p p è un curv orientt che colleg p p. L definizione è consistente, per l indipendenz dll triettori. Dimostrimo che d esempio φ (p) = F x 1(p), l prim componente di F : detto S = {p + te 1, t h} il segmento che unisce p p + he 1, si h φ(p + he 1 ) φ(p) h = 1 h = 1 h S F dl = 1 h h h < F (p + te 1 ), e 1 > dt F 1 (p + te 1 )dt = F 1 (p + te 1 ) per un certo t h. L conclusione segue pssndo l limite per h, stnte l continuità di F 1. Condizione necessri ffinché un cmpo F di clsse C 1 si conservtivo in un dominio A R 3 è che l mtrice Jcobin DF si un mtrice simmetric (inftti, se F = φ in A llor DF = D 2 φ, che è simmetric per il teorem di Schwrz). In dimensione due e tre, tle condizione si trduce nell condizione sulle derivte incrocite F 2 x = F 1 y, F 3 x = F 1 z, F 3 y = F 2 z. Nozione di insieme semplicemente connesso (viene qui dt l definizione in R 2 ): A R 2 è semplicemente connesso se per ogni Γ A curv semplice chius, si h Γ = D con D A (Γ è il bordo di un dominio intermente contenuto in A). Esempi di insiemi semplicemente connessi: plle, insiemi convessi, insiemi stellti. Esempi di insiemi non semplicemente connessi nel pino sono le corone circolri, ed in generle gli insiemi connessi privi di buchi. L condizione DF simmetric su un dominio A semplicemente connesso è sufficiente ffinchè F si conservtivo in A. Dimostrzione dell sufficienz dell condizione nel cso di domini stellti (Lemm di Poincré): si D R 2 stellto rispetto ll origine, e si p = (x, y) D. Definimo φ(x, y) = 1 xf 1(tx, ty)+yf 2 (tx, ty) dt (lvoro di F lungo il segmento di estremi (, ) e (x, y)). Grzie l teorem di derivzione sotto il segno di integrle, vlido per integrndi di clsse C 1 e l condizione F 2 = F 1 si ottiene x y φ 1 (x, y) = x x (xf 1(tx, ty) + yf 2 (tx, ty)) dt = = = F 1 (tx, ty) + tx F 1 x (tx, ty) + ty F 2 (tx, ty) dt x F 1 (tx, ty) + tx F 1 x (tx, ty) + ty F 1 (tx, ty) dt y d dt (tf 1(tx, ty)) dt = F 1 (x, y). 22

23 Anlogmente si ottiene φ y (x, y) = F 2(x, y). Metodi di clcolo del potenzile di un cmpo conservtivo. Lezione del 24/11/11 (1 or). Definizione di rotore di un cmpo vettorile in R 3. Cmpi irrotzionli. Un cmpo conservtivo in un dominio A R 3 è irrotzionle in A. Rotore di u cmpo vettorile in R 2. Esempio fondmentle: il cmpo F (x, y) = ( y x, ) è irrotzionle. Tuttvi x 2 +y 2 x 2 +y 2 non è conservtivo su tutto il suo dominio di definizione, R 2 \ {(, )} (un insieme non semplicemente connesso), in qunto il suo integrle curvilineo lungo un circonferenz di centro l origine è diverso d zero. Sul dominio A = R 2 \ {y =, x }, che è semplicemente connesso, si h F = θ, dove θ è l funzione ngolre definit dll funzione invers dell trsformzione in coordinte polri x = r cos θ, y = r sin θ ristrett (, + ) (, 2π). Formule di Guss-Green nel pino: si F = (F 1, F 2 ) : A R 2 R 2 un cmpo vettorile di clsse C 1, si D A un dominio tle che Γ = D si un curv semplice chius di clsse C 1 trtti. Allor vle ( F2 F 1 dx + F 2 dy = x F ) 1 dxdy, y Γ D dove Γ è orientt in senso ntiorrio. Appliczione del teorem di Guss-Green l clcolo di ree di figure pine. Lezione del 25/11/11(3 ore). Dimostrzione del teorem di Guss-Green nel cso di domini normli rispetto d entrmbi gli ssi coordinti. Estensione per dditività domini pini più generli. Rivisitzione del Teorem di Guss-Green nel pino ll luce degli integrli orientti: l formul si può scrivere F, τ dl = rot F, n d, D dove il dominio D gice in un pino orizzontle di R 3, è orientto dl versore normle diretto verso l lto n = e 3, ed il bordo D è un curv semplice di clsse C 1 trtti orientt in senso ntiorrio dl versore τ, ovvero n e τ soddisfno l regol dell mno destr, con n fcente le veci del pollice. Scritt in tle form, l fomul precedente è un cso prticolre del Teorem di Stokes. L integrle secondo membro è un integrle di flusso (se F è il cmpo di velocità di un fluido vente densità unitri, serve misurre l quntità di fluido che pss ttrverso D nell unità di tempo). Integrli superficili di second specie: si F : A R 3 R 3 un cmpo vettorile continuo, ed S A un superficie prmetrizzt d r(u, v), di clsse C 1, (u, v) R R 2. Si definisce F, n d := F ( r(u, v)), r S R u r (u, v) dudv. v D 23

24 Proprietà degli integrli orientti di superficie: prità di orientzione n, indipendenz dll prmetrizzzione r (conseguenz dell formul di cmbimento di vribili negli integrli doppi); linerità rispetto d F, dditività rispetto S. Teorem di Stokes nel cso di superfici C 1 regolri sino l bordo: si S R 3 un superfice con bordo S, entrmbi orientti d un prmetrizzzione dt r : R R 2 R 3 di clsse C 1, rngo D r mssimo, e iniettiv sino l bordo R, dove può risultre di clsse C 1 trtti. Allor si h F, τ dl = rot F, n d per ogni S S cmpo vettorile F di clsse C 1 definito in un intorno di S. Dimostrzione del teorem di Stokes: si sfrutt l invrinz per rotzioni degli integrli orientti per ottenere l vlidità dell formul di Guss-Green (nell versione Stokes) su un pezzo di superficie pin in R 3 (d es. un tringolo o un qudriltero). dopodichè si sfrutt l dditività degl integrli orientti per ottenere l vlidità dell formul su un superficie ottenut giustpponendo tringoli (o qudrilteri) non necessrimente complnri incollndoli tr loro lungo i rispettivi lti, dimostrndo l formul per superfici poliedrli tringolte in R 3. Per l dimostrzione nel cso di superfici di clsse C 1 regolri sino l bordo si consider un prtizione di R in qudrtini, e si consider l superficie poliedrle S formt di tringoli i cui vertici sono immgine dei vertici dei qudrtini secondo l prmetrizzzione r. Per il psso precedente, su S vle l formul di Stokes. Fcendo tendere il psso dell qudretttur di R zero, gli integrli su S e S convergono rispettivmente gli integrli su S e S, e in tl modo si ottiene l formul volut. Si dt Γ R 3 un curv semplice chius orientt. Supponimo Γ = S = D per due superfici S e D orientte in modo d rispettre l regol dell mno destr rispetto ll orientzione di Γ. Allor dl Teorem di Stokes si deduce che per ogni cmpo vettorile F, rot F, n d = rot F, n d, ovvero il flusso di un rotore S D ttrverso un superficie bordo fissto è indipendente dll superficie. Equivlentemente, se Σ è un superficie orientt chius, ovvero Σ =, rot F, n d =, Σ ovvero il flusso di un rotore ttrverso un superficie chius è nullo. Quindi i cmpi vettorili F che sono rotori di ltri cmpi vettorili A (ossi F =rot A), giocno dl punto di vist degli integrli di superficie di second specie lo stesso ruolo che giocno i cmpi conservtivi (ossi i grdienti) nel cso degli integrli curvilinei di second specie. Se F =rot A, il cmpo A viene detto potenzile vettore di F. L esempio clssico di un cmpo che mmette potenzile vettore è costituito dl cmpo mgnetico B. Lezione del 3/11/11 (2 ore). Divergenz di un cmpo vettorile F : Ω R 3 R 3. Si trtt dell quntità sclre div F = F 1 + F 2 + F 3. Un condizione necessri x y z ffinchè un cmpo di clsse C 1 si un rotore è che bbi divergenz null, ovvero che si solenoidle. Si h cioè che F =rot A in un dominio D R 3 implic div F = su D. Tle risultto è conseguenz del teorem di Schwrz. L condizione non è in generle sufficiente: si prend d esempio F (p) = ir il cmpo elettrosttico generto d un cric positiv puntiforme situt nell origine di R 3. Tle cmpo è solenoidle nel suo dominio di definizione R 3 \ (,, ), m non è il rotore di lcun cmpo vettorile definito sullo stesso dominio, in qunto dett Σ l = p r 2 p 3 24