Discutere la problematica connesssa alla massa inerziale e gravitazionale con particolare riferimento agli aspetti sperimentali della loro misura

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1 Discutere la problematica connesssa alla massa inerziale e gravitazionale con particolare riferimento agli aspetti sperimentali della loro misura Il termine massa si può riferire a due quantità: * La massa inerziale è la misura dell'inerzia di un corpo, che è la resistenza al cambiamento dello stato di movimento quando viene applicata una forza Un corpo con massa inerziale piccola cambia il suo movimento più prontamente, e un corpo con massa inerziale alta reagisce più lentamente * La massa gravitazionale è la misura della intensità di interazione di un corpo con la forza gravitazionale All'interno dello stesso campo gravitazionale, un corpo con massa gravitazionale piccola sperimenta una forza minore di quella di un corpo con massa gravitazionale grande La massa gravitazionale è proporzionale al peso, ma mentre quest'ultimo varia a seconda del campo gravitazionale, la massa resta costante La massa inerziale e quella gravitazionale sono state sperimentalmente provate come equivalenti, anche se concettualmente sono distinte Una delle conseguenze dimostrata da Galilei e poi da Evangelista Torricelli è la caduta dei gravi che viene spiegata di seguito Il riscontro a livello di teorie fondamentali del fenomeno della massa della fisica macroscopica è correntemente in via di studio Le teorie che cercano di dare una spiegazione della massa si occupano dello studio della teoria delle stringhe e del bosone di Higgs, ma nessuna teoria ha avuto, al momento, concrete conferme sperimentali Unità di misura La massa si misura in chilogrammi secondo il Sistema Internazionale Nel sistema CGS l'unità di massa è il grammo In fisica delle particelle si esprime la massa di una particella tramite la sua energia equivalente (E = mc 2 ) espressa in elettronvolt Per esempio un elettrone ha una massa di circa Si usa dire comunemente che l'elettrone ha una massa di 511 kev Per un fisico, il chilogrammo è l'unità di massa, ma nell'uso comune "chilogrammo" è un'abbreviazione per "il peso di un corpo di un chilogrammo di massa a livello del mare sulla terra" Tramite la legge di caduta dei gravi, Galileo iniziò a poter stimare la misurazione della massa Questa legge è stata posta alla base della meccanica, come legge empirica fondamentale, ancor prima che venisse chiaramente enunciato il secondo principio della dinamica Massa Inerziale La massa inerziale viene determinata dalla seconda e dalla terza legge della dinamica Dalla seconda legge ricaviamo subito che la massa è una costante di proporzionalità tra la forza risultante e l'accelerazione di un corpo Quindi la massa è ciò che si oppone alla variazione della velocità

2 Applicando poi la terza legge, arriviamo ad una definizione più completa di massa con questo procedimento: dato un corpo con massa inerziale conosciuta, possiamo ottenere la massa inerziale di un secondo corpo, facendo sì che i due esercitino una forza l'uno sull'altro In base alla terza legge di Newton, le forze sperimentate dai due corpi avranno pari intensità Questo ci permette di studiare come i due corpi resistono all'applicazione di forze simili Supponiamo di avere due corpi, A e B, con massa inerziale m A (che è conosciuta) e m B (che vogliamo determinare) Assumiamo queste masse come costanti Isoliamo i due corpi da tutte le altre influenze fisiche, in modo che le uniche forze presenti siano quelle esercitate da A su B, che indicheremo con F AB, e quelle esercitate da B su A, che indicheremo con F BA In base alla seconda legge di Newton, dove a A e a B sono le accelerazioni di A e B rispettivamente Per procedere, dobbiamo assicurarci che tali accelerazioni siano diverse da zero Questo si può ottenere, ad esempio, facendo in modo che i due corpi collidano ed eseguendo le nostre misurazioni durante la collisione La terza legge di Newton ci dice che le due forze sono uguali e opposte, ovvero: Quando sostituiamo nelle equazioni di cui sopra, si ha che la massa di B è: Quindi, misurando a A e a B siamo in grado di determinare m B in termini di m A, come desiderato Si noti che la nostra richiesta che a B sia diversa da zero, permette a questa equazione di essere ben definita Nella discussione di cui sopra, abbiamo assunto che le masse di A e B siano costanti Questa è un'assunzione fondamentale, conosciuta come conservazione della massa, ed è basata sull'aspettativa che la materia non possa mai essere creata o distrutta, ma solo suddivisa e ricombinata (Le implicazioni della relatività speciale sono discusse più avanti) È a volte utile trattare la massa di un corpo come variante nel tempo: ad esempio, la massa di un razzo, decresce con il consumo del combustibile Comunque, questa è un'approssimazione basata sulla non considerazione delle parti di materia che entrano o escono dal sistema Nel caso di un razzo queste parti corrispondono al propellente espulso; se potessimo misurare la massa del razzo e del suo propellente espulso, troveremmo che la somma delle masse corrisponde alla massa iniziale Massa gravitazionale [modifica] Si considerino due corpi A e B con massa gravitazionale M A e M B, alla distanza di r AB l'uno dall'altro La legge di gravitazione di Newton afferma che la forza di gravità che ogni corpo esercita sugli altri è:

3 dove G è la costante di gravitazione universale La legge sopra menzionata può essere riformulata nel seguente modo: data l'accelerazione g di una massa di riferimento in un campo gravitazionale (come il campo gravitazionale della Terra), la forza gravitazionale su un corpo di massa gravitazionale M è pari a: Questa è il modo in cui si determinano le masse a partire dal peso Si tenga presente, tuttavia, che la massa si differenzia dal peso perché mentre la prima è una proprietà intrinseca del corpo, la seconda non lo è e dipende dalla forza di gravità La legge è stata accettata da Newton come la sola che consentiva una descrizione corretta del moto dei pianeti Nei semplici pesapersone casalinghi, per esempio, la forza F è proporzionale allo spostamento di una molla collegata al piatto (vedi legge di Hooke) e la scala è calibrata per tenere conto di g, in modo da poter leggere direttamente la massa M Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale [modifica] Gli esperimenti hanno dimostrato che la massa inerziale e gravitazionale sono uguali, entro la precisione delle misure effettuate sinora Questi esperimenti sono essenzialmente misurazioni di fenomeni ben conosciuti, il primo fu osservato da Galileo: i corpi cadono ad una velocità indipendente dalla loro massa (in assenza di fattori come l'attrito) Supponiamo di avere un oggetto di massa inerziale e gravitazionale rispettivamente m ed M Se la gravità è la sola forza agente sugli oggetti, la combinazione della seconda legge di Newton e della legge di gravitazione universale ci permette di calcolare l'accelerazione a come: Quindi, tutti i corpi nello stesso campo gravitazionale cadono alla stessa velocità se e solo se il rapporto fra la massa gravitazionale ed inerziale è uguale ad una costante Un esperimento di verifica dell'equivalenza tra le due definizioni di massa potrebbe consistere, per esempio, nel misurare a per diversi corpi cercando eventuali variazioni È accertato che una particella elementare (ad esempio un protone),spinto ad una velocità v incrementa la sua massa a riposo m 0 di una quantità dm = m 0 /(1-v 2 /c 2 ) ½ - m Con c = velocità della luce nel "vuoto" L'incremento di massa, come si deduce dalla formula, è apprezzabile solo se si spinge una particella a velocità comparabili con quella della luce c È logico ritenere, che per quanto non verificabile sperimentalmente, l'incremento di massa per effetto della velocità, debba avvenire per qualsiasi velocità, perché, se così non fosse, dovremmo quantomeno fissare una velocità limite oltre la quale si ferifica detto fenomeno Se lancio un sasso ad una certa velocità, tutte le sue componenti elementari (protoni e neutroni), vedono aumentare la loro massa a riposo secondo quanto prima fissato, e dunque la massa del sasso deve aumentare con identica legge Se questo modesto e logico ragionamento ha un senso, le due masse non sono quantitativamente uguali, ma diverse a seconda della velocità a cui si muove il corpo in esame, perché la sua massa inerziale dipende da detta velocità Per le usuali velocità cui possono muoversi i corpi materiali la variazione di massa (desumibile dalla formula) è

4 dell'ordine di Kg e dunque non misurabile dalla bilancia a torsione di Eotvos che è tarata per variazioni massime di kg Conseguenze della relatività Nella relatività speciale, il termine "massa" si riferisce alla massa inerziale di un corpo così come viene misurata nel sistema di riferimento in cui è a riposo (che è detto sistema a riposo) Il metodo di cui sopra, per determinare la massa inerziale rimane valido, a patto che si faccia in modo che la velocità del corpo sia molto più piccola di quella della luce, così facendo sono valide le leggi della meccanica classica Storicamente, il termine "massa" venne usato per la quantità E/c² Questa venne chiamata la "massa relativistica", e m era la "massa a riposo" Questa terminologia viene ora disincentivata in ambito scientifico, poiché non c'è bisogno di due termini per descrivere l'energia di una particella, e perché crea confusione quando si parla di particelle senza massa In questo articolo, ci si riferisce alla massa a riposo ogni volta che si parla di "massa" Nella meccanica relativistica, la massa di una particella libera è legata alla sua energia e al momento dalla seguente equazione: Questa equazione può essere riarrangiata nel seguente modo: Il limite classico corrisponde alla situazione in cui il momento p è molto inferiore a mc, in questo caso possiamo espandere con una serie di Taylor la radice quadrata, ottenendo Il primo termine, che è il più grande, è l'energia a riposo della particella Posto che la massa non sia zero, una particella ha sempre un quantitativo minimo di energia indipendentemente dal suo momento L'energia a riposo è normalmente inaccessibile, ma può essere sprigionata dalla divisione o dalla combinazione delle particelle, così come accade durante la fusione nucleare e la fissione nucleare Il secondo termine è semplicemente la classica energia cinetica, come si può mostrare usando la definizione classica del momento e sostituendo nell'equazione di cui sopra:

5 La relazione relativistica tra massa, energia e momento resta valida anche quando le particelle sono senza massa, che nella meccanica classica è un concetto non valido Quando m = 0, la relazione si semplifica in dove p è il momento relativistico L'equazione governa la meccanica di particelle senza massa quali i fotoni