Appunti dei corsi di Idraulica 1 e Idrodinamica 1 INTRODUZIONE

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1 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica INTRODZIONE I corsi di Meccanica dei luidi, Idraulica, Idrodinamica intendono fornire agli studenti di diversi corsi di laurea le basi per lo studio della dinamica dei fluidi, cioè gli strumenti utili per la descrizione del moto dei fluidi e per la predizione del loro movimento conoscendo le forze esercitate su di essi. I corsi citati hanno in comune i principi fondamentali e le equazioni di base, differenziandosi per i problemi particolari analizzati in dettaglio. Queste note hanno lo scopo di accompagnare lo studente durante i corsi di Idraulica e Idrodinamica offerti rispettivamente agli allievi dei corsi di laurea (di livello) in ingegneria civile e ambientale e ingegneria navale della acoltà di Ingegneria dell niversità di Genova. Esse sono altresì utilizzate, tutte o in parte per i corsi di Meccanica dei fluidi (CL3 in Ingegneria Chimica) e Idraulica (CL3 in Ingegneria dell Ambiente SV) La forma di queste note è sintetica. In esse vengono riassunti i contenuti fondamentali delle lezioni svolte, cercando di seguire, per quanto possibile, la loro cronologia. Esse devono essere intese come un ausilio alla preparazione dell esame che presuppone la frequenza al corso e un approfondimento dei temi trattati su testi facilmente reperibili nella biblioteca della acoltà e in quella del Dipartimento di Ingegneria Ambientale. - -

2 . Appunti del corso di Idraulica INDICE INTRODZIONE Pag. LEZIONE Lo schema di continuo Pag. 3 LEZIONE orze agenti su un continuo (fluido) Pag. 7 LEZIONE 3 luidi in quiete Pag. 3 LEZIONE 4 luidi in quiete: la distribuzione di pressione in un fluido a densita costante soggetto al campo di forze gravitazionali Pag. 7 LEZIONE 5 L equazione di stato Pag. LEZIONE 6 La distribuzione di pressione in un gas perfetto a temperatura costante soggetto al campo di forze gravitazionali Pag. 5 LEZIONE 7 enomeni di interfaccia Pag. 7 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una supeficie piana Pag. 3 LEZIONE 9 La spinta esercitata da un fluido su una supeficie gobba Pag. 45 LEZIONE La tensione in u fluido in movimento Pag. 5 LEZIONE Analisi dimensionale e teorema di Buckingam Pag. 55 LEZIONE Similitudine e modelli Pag. 6 LEZIONE 3 Descrizione del moto dei fluidi Pag. 65 LEZIONE 4 I principi della meccanica dei fluidi Pag. 73 LEZIONE 5 Le correnti fluide Pag. 79

3 LEZIONE 6 Il principio di conservazione della massa per una corrente: l equazione di continuità Pag. 85 LEZIONE 7 Il principio della quantità di moto: l equazione del moto Pag. 89 LEZIONE 8 La valutazione di j Pag. 93 LEZIONE 9 Alcuni problemi relativi a condotte a sezione circolare Pag. 97 LEZIONE Perdite concentrate di carico dovute a un brusco allargamento (perdite di borda) Pag. 3 LEZIONE Perdite concentrate di carico in un impianto Pag. 7 LEZIONE Problemi relativi ad alcuni semplici impianti Pag. LEZIONE 3 luidi ideali e teorema di Bernoulli per le correnti Pag. 3 LEZIONE 4 Il teorema di Bernoulli Pag. 7 LEZIONE 5 Teorie delle turbine Pelton Pag. 35 LEZIONE 6 I transitori negli impianti idraulici. Il moto vario nelle correnti Pag. 4

4 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione LO SCHEMA DI CONTINO I fluidi, come tutta la materia, hanno una struttura discontinua essendo formati da molecole (insieme di atomi) poste a distanze grandi rispetto alle loro dimensioni e animate da elevate velocità relative. In un punto arbitrario dello spazio non è quindi possibile definire con precisione le proprietà di un fluido (della materia) perché in tale punto potrebbe non esserci fluido (materia) o potrebbe trovarsi una particolare molecola dotata di una sua massa, di una sua velocità. Esempio: Nel punto individuato dal vettore posizione P p x (NOTA ) non è possibile definire alcuna velocità non essendo presente alcuna molecola. Nel punto P, occupato all'istante in esame dalla particella B, possiamo definire la velocità v B che tuttavia è molto diversa dalla velocità v D presente nel punto P3 ove transita la particella D. NOTA na lettera sottosegnata indica un vettore, una grandezza cioè individuata da un modulo, una direzione e un verso. Quindi v indica un vettore le cui componenti, rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano costituito dagli assi, x x, sono rispettivamente v, v v. x, 3, 3-3 -

5 LEZIONE Lo schema di continuo (Luglio ) Ciò che avviene a livello molecolare non è però di nostro interesse. E' possibile prescindere da questo carattere discontinuo della materia, se si prende in considerazione un volume che contiene un numero elevato di molecole e si definiscono delle grandezze medie. Ad esempio possiamo definire la densità ρ associata al volume V come il rapporto fra la massa M in esso contenuta e il volume stesso. M ρ V Similmente possiamo definire e in generale M ρ V ρ ρ La densità in un punto Consideriamo un punto P nello spazio individuato dal vettore posizione x (x, x, x 3) e un volume ' V che racchiude il punto P. Procedendo come prima possiamo associare al volume V ' ρ V ' una densità ρ ' V M ' V ' - 4 -

6 LEZIONE Lo schema di continuo (Luglio ) Scegliendo un altro volume nel punto ) piccoli (. V '' '' otterremo un valore della densità diverso: ρ. La densità ρ V P individuato dal vettore x è definita come il limite di ρ V per V tendente a valori ρ ( x) M lim V V La dimensione del volume deve essere piccola rispetto alle dimensioni di interesse ma comunque molto maggiore della distanza media fra molecole. Infatti l andamento di ρ in funzione di V è rappresentato in figura ove d rappresenta la distanza media fra le molecole. Le dimensioni della densità ρ sono quelle di una massa divisa per un volume 3 [ ρ ] ML e l unità di misura è il Kg/m 3. La densità di alcuni fluidi è riportata in una nota relativa alla lezione

7 LEZIONE Lo schema di continuo (Luglio ) In modo analogo possiamo definire qualunque altra grandezza di interesse, che risulterà una funzione continua della variabile x (funzione continua dello spazio). In questo modo il fluido (materia) assume una struttura continua. Considerando che le caratteristiche del fluido (materia) dipendono anche dal tempo, in generale avremo: ( x, t) ( x, x, x3, t) con lim ( x, t) ( x, t) x x lim ( x, t) ( x, t) t t essendo una qualunque proprietà

8 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione ORZE AGENTI S N CONTINO (LIDO) Le molecole che costituiscono la materia esercitano delle forze sulle molecole circostanti che vengono suddivise in due categorie: ) forze a corto raggio ) forze a lungo raggio Le prime (forze a corto raggio) assumono valori significativi solo quando le molecole si trovano a distanza dall ordine delle loro dimensioni. Le seconde (forze a lungo raggio) decadono molto lentamente e rimangono significative anche quando le molecole sono a distanze rilevanti cioè molto maggiori delle loro dimensioni. tilizzando lo schema di continuo illustrato nella LEZIONE, si tiene conto delle osservazioni sperimentali precedenti, introducendo due categorie di forze: ) forze di superficie ) forze di massa - 7 -

9 LEZIONE orze agenti su un continuo (fluido) (Luglio ) Le prime (forze di superficie) sono proporzionali alla superficie considerata e sono il risultato delle forze molecolari di corto raggio. Le seconde (forze di massa) sono invece proporzionali alla massa presa in considerazione e sono il risultato delle forze molecolari di lungo raggio. Consideriamo un ' ' volume V di un continuo (fluido) e una sua parte V. Denotiamo rispettivamente con S e S le ' superfici che delimitano V e V. Attraverso una porzione piccola continuo (fluido) all esterno di ' S ' ' ds (a rigori infinitesima) di normale n della superficie S, il esercita una forza d (anch essa piccola e a rigori infinitesima) sul continuo (fluido) all interno. Se raddoppiano precedentemente la forza è proporzionale alla superficie. Avremo quindi La quantità vettoriale t si dice tensione d tds ' ds la forza raddoppierà. Come detto Le dimensioni della tensione t sono quelle di una forza divisa per una superficie L unità di misura è il (NOTA ) [ t ] ML T m Kg s o anche il ( Kg ms ) m Nm denominata anche pascal (Pa). Nell ingegneria vengono ancor oggi utilizzate unità di misura diverse. In particolare: - il chilogrammo forza su metro quadro - un atmosfera normale Kg f / m 9.8 N / m 9. 8 Pa atm,35 5 Pa NOTA Kg indica il chilogrammo massa m indica il metro s indica il secondo N indica il newton ( N Kg ms ) - 8 -

10 LEZIONE orze agenti su un continuo (fluido) (Luglio ) - un bar 5 bar Pa ' La tensione t in generale dipende dalla posizione x della superficie infinitesima ds, dal tempo t (non confondere t con t ) e dalla normale n. In uno stesso punto e allo stesso tempo due ' superfici infinitesime di ugual area ds e diversa normale n saranno caratterizzati da valori diversi della tensione. ( ) ( ) ' d t ds ( ) ( ) ' d t si ha quindi ( x, t n) t t, ds La forza ' ' d tds descrive completamente l azione che il continuo (fluido) all esterno di V esercita su quello all interno attraverso la superficie ' ds (ASSIOMA DI CACHY). Volendo determinare la forza complessiva (risultante) che il continuo (fluido) all esterno di esercita su quello all interno è necessario: ' S ) suddividere la superficie S ' in parti infinitesime ' ds ) valutare su ciascuna parte la forza infinitesima d esercitata dall esterno: d ' tds 3) sommare tutti i contributi individuati ' S tds ' - 9 -

11 LEZIONE orze agenti su un continuo (fluido) (Luglio ) La forza ' ' tds rappresenta l azione del continuo (fluido) all esterno di V (ma nelle ' S immediate vicinanze di ' S ) sul continuo all interno. Tuttavia altra materia esiste anche a distanze elevate (molto maggiori delle dimensioni di rappresentazione nella figura. V ' ) e tali da non consentirne la ' ' Considerando una porzione piccola dv (a rigori infinitesima) del volume V, si assume che la materia molto distante da dv ' e non rappresentata in figura eserciti una forza d G sul continuo ' contenuto in dv ' proporzionale alla sua massa. Se raddoppiamo dv e quindi la massa in considerazione, la forza raddoppierà. Come detto precedentemente la forza è proporzionale alla massa. Per quanto illustrato nella LEZIONE, la massa dm contenuta in ' dv è esprimibile come dm ρ dv ' avremo quindi dg f ρ dv ' - -

12 LEZIONE orze agenti su un continuo (fluido) (Luglio ) La quantità vettoriale f è detta campo di forze Le dimensioni del campo di forze f sono quelle di una forza divisa per una massa cioè quelle di un accelerazione. L unità di misura di f è il ms [ f ] LT Il campo di forze f in generale dipende dalla posizione x e dal tempo t (non confondere t con t ). Volendo determinare la forza complessiva (risultante) che la materia lontana da V continuo (fluido) in esso contenuto è necessario: ' esercita sul ' ) suddividere il volume V in parti infinitesime dv ' ) valutare su ciascuna parte la forza infinitesima d G (NOTA ) esercita dall esterno dg f ρ dv ' 3) sommare tutti i contributi individuati G ν ' ρ f dv ' NOTA Benchè diversi campi di forze possano essere considerati, nel seguito il campo di forze che incontreremo maggiormente è il campo di forze gravitazionale in cui f g. Il vettore g è diretto verticalmente verso il basso e ha un valore che noi assumeremo costanti pari a 9.8ms. - -

13 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione 3 LIDI IN QIETE Come illustrato nella LEZIONE, la tensione t all interno di un continuo (fluido) dipende non solo dalla posizione individuata dal vettore x e dal tempo t (non confondere t con t ) ma anche dall orientamento della superficie infinitesima ' ds presa in esame. In generale ( x, t n ) t t, Nei fluidi in quiete, tuttavia, la tensione assume una forma particolarmente semplice (ASSIOMA DI ELERO). In particolare t risulta sempre ortogonale alla superficie in considerazione e diretta verso la superficie. La quantità scalare p si dice pressione t pn Le dimensioni della pressione p sono uguali a quelle della tensione [ p] misura. ( ML T ) così come le unità di La pressione p in generale dipende dalla posizione x e dal tempo ( x t) p p, t (non confondere t con t ) -3 -

14 LEZIONE 3 luidi in quiete (Luglio ) L EQAZIONE INTEGRALE DELLA STATICA ' Consideriamo un volume di fluido V e una sua porzione arbitraria V. Per il principio della quantità di moto (la derivata della quantità di moto di una massa in movimento rispetto al tempo R t ds ' S ' ν ' è uguale alla risultante delle forze esercitate sulla massa dall esterno), la risultante delle ' forze che l esterno esercita su V deve annullarsi. Infatti in un fluido in quiete la quantità di moto è sempre nulla, essendo nulla la velocità. Per quanto esposto nella LEZIONE, la risultante ' esercitate dall esterno su V sarà ρ f dv ' R delle forze o, tenendo conto che t pn Deve quindi risultare R ' pn ds ' S ν ' ρ f dv ' R oppure ' p n ds ' ' S ν ρ fdv ' L equazione precedente è detta equazione integrale della statica e deve valere qualunque volume ' V

15 LEZIONE 3 luidi in quiete (Luglio ) L EQAZIONE PNTALE DELLA STATICA L equazione della statica in forma integrale può essere trasformata utilizzando il teorema del gradiente che porge ' S pnds ' ν ' pdv ' si ottiene quindi ( p ρ f ) dv ν ' Considerando che l equazione della statica in forma integrale vale qualunque porzione V ' di V si consideri, l equazione precedente può essere soddisfatta solo se si annulla la funzione integranda; se cioè p ρ f L equazione precedente, detta equazione puntuale della statica, è un equazione vettoriale che corrisponde a tre equazioni scalari p x p p ρ f ; ρ f ; ρ f x x 3 3 Essa descrive come cambia sullo spazio la pressione p. Tale equazione può essere integrata una volta noto il campo di forze f e l equazione di stato che lega la densità allo stato del fluido

16 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Appunti del corso di Idraulica Lezione 4 LIDI IN QIETE: LA DISTRIBZIONE DI PRESSIONE IN N LIDO A DENSITA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI ORZE GRAVITAZIONALE In molte circostanze, discusse nella LEZIONE 5, la densità di un fluido può essere considerata costante. Qualora il campo di forze sia quello gravitazionale, è possibile integrare facilmente l equazione puntuale della statica e ottenere la distribuzione spaziale della pressione. Esempio: Consideriamo il fluido, all interno del contenitore in figura, supposto di densità costante ρ. Il campo di forze sia quello gravitazionale e l accelerazione g sia diretta verticalmente verso il basso, l equazione puntuale della statica porge p x ; p x ρ g ; p x 3 e impone quindi che la pressione non dipenda né da né da x : la pressione è costante su un piano orizzontale. x 3-7-

17 LEZIONE 4 luidi in quiete: la distribuzione di pressione in un fluido a densità costante soggetto al campo di forze gravitazionale (Luglio ) La seconda equazione si trasforma in un equazione alle derivate ordinarie che può essere facilmente integrata d p dx ρ g p ρ gx γ c x c La pressione aumenta linearmente all aumentare della profondità. Il valore della costante c può essere determinato solo se è nota la pressione in un punto. Il prodotto γ ρ g è detto peso specifico e le sue dimensioni sono quelle di una forza divisa per un volume L unità di misura è il cubo. 3 Nm 3 [ γ ] ML LT ML T. Nell ingegneria viene talvolta utilizzato il chilogrammo forza su metro Kg f m 3 9.8Nm 3 Con riferimento agli assi in figura, denotiamo con p la pressione nel piano z che risulta essere l interfaccia fra due fluidi. Non consideriamo per il momento il fluido sovrastante, che possiamo pensare essere aria, e focalizziamo l attenzione su quello sottostante di peso specifico γ. Al fine di analizzare un caso reale possiamo pensare quest ultimo come acqua. Si ha dunque p p γ z - 8 -

18 LEZIONE 4 luidi in quiete: la distribuzione di pressione in un fluido a densità costante soggetto al campo di forze gravitazionale (Luglio ) Essendo ρ (NOTA ) pari a Kg / m 3 ed essendo p pari alla pressione atmosferica cioè circa 5,3 Pa riportato in figura., l andamento della pressione è quello La pressione raddoppia ad una profondità di circa m p mentre diviene 3 a una profondità di circa m e così via. Dal grafico risulta evidente quanto già detto in precedenza e sintetizzato dalla formula: la pressione aumenta in modo lineare con la profondità. Per motivi che saranno chiari nel seguito, introduciamo la quantità detta carico piezometrico. h z p γ In un fluido in quiete h risulta costante Si ha infatti c γ z γ h z c NOTA La densità ρ dell acqua, che in generale dipende dalla pressione e dalla temperatura (vedi LEZIONE 5), in molti casi può essere assunta costante e pari a Kg/m 3. Il peso specifico γ risulta quindi pari a 98 N/m 3. Talvolta γ viene espresso in chilogrammi forza su metro cubo. In questo caso si ha γ Kg f / m 3-9 -

19 LEZIONE 4 luidi in quiete: la distribuzione di pressione in un fluido a densità costante soggetto al campo di forze gravitazionale (Luglio ) L equazione della statica per un fluido a densità costante soggetto al campo di forze gravitazionale d p d z ρ g γ porge anche p A p γ B ( z z ) Cioè la differenza di pressione fra due punti è pari a γ per la differenza di quota. Chiaramente il punto a quota più bassa ha la pressione maggiore. A B - -

20 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione 5 L EQAZIONE DI STATO Per i cosidetti fluidi termodinamici, lo stato del fluido (le sue caratteristiche) dipende da due variabili, dette variabili di stato. Le due variabili di stato possono essere scelte arbitrariamente, essendo tutte le altre caratteristiche del fluido legate alle due scelte da equazioni dette equazioni di stato. Spesso come variabili di stato vengono scelte: ) la pressione p ) la temperatura T Si ha quindi ρ ρ ( p,t ) che è l equazione di stato che lega la densità alla pressione e alla temperatura. L equazione evidenzia che variando la pressione e/o la temperatura varia la densità del fluido. Ogni fluido è caratterizzato da una diversa equazione; cioè la sua densità può variare in modo più o meno significativo al variare della pressione e della temperatura. In forma differenziale l equazione di stato può essere scritta nella forma ρ ρ dρ dp dt p T L equazione precedente può essere riscritta introducendo il coefficiente di comprimibilità isotermo e quello di dilatabilità isobaro - Coefficiente di comprimibilità isotermo - -

21 LEZIONE 5 L equazione di stato (Luglio ) ρ ρ p - Coefficiente di dilatabilità isobaro α ρ ρ T L equazione diviene dρ ρ ( d p α dt ) Essendo proprietà del fluido, e α a loro volta dipendono da p e T. Tuttavia se le variazioni di p e T non sono elevate, e α possono essere considerati costanti e pari a, α. Segue dρ ρ d p α dt ρ n ( p p ) α ( T T ) ρ ρ ρ e - ( p p ) α ( T T ) dove ρ è la densità alla pressione p e alla temperatura T. - -

22 LEZIONE 5 L equazione di stato (Luglio ) L equazione precedente può essere considerata come equazione di stato in quelle situazioni in cui le variazioni di p e T non sono rilevanti. Per valori della pressione e della temperatura pari a quelli ambientali 5 (es.: p,3 Pa, T C ), i valori di e α per l acqua sono molto grandi e molto piccoli rispettivamente (.78 N/ m, α K ). Per variazioni di pressione piccole rispetto a e per variazioni di temperatura piccole rispetto a α, è possibile approssimare e ( p p ) α ( T T ) con e considerare il valore di ρ costante e pari a ρ. Considerazioni analoghe possono essere fatte anche per altri fluidi tenendo presente che per assumere ρ ( T ) α. T p p / e ρ è necessario che siano piccole (molto minori di ) le quantità ( ) Esistono altre forme di equazione di stato, valide per fluidi o casi particolari. Ad esempio per un gas perfetto che subisce una trasformazione isoterma l equazione di stato diviene p p ρ ρ essendo e p ρ la pressione e la densità di riferimento. (NOTA ) NOTA A temperatura T 5 C e pressione p Densità dell acqua uguale a Kg / m Densità dell olio lubrificante uguale a Densità dell aria uguale a. Kg / m Densità del mercurio uguale a.3 5 Pa si ha: Kg / m Kg / m - 3 -

23 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione 6 LA DISTRIBZIONE DI PRESSIONE IN N GAS PERETTO A TEMPERATRA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI ORZE GRAVITAZIONALE L equazione puntuale della statica impone dp dz ρ g tilizzando l equazione di stato dei gas perfetti a temperatura costante (LEZIONE 5), si ottiene dp dz p ρ p g dp p ρ g γ dz p p dz n p p γ p ( z z ) p p e γ ( z z o ) p 5 Se consideriamo aria a una temperatura di 5 C e assumiamo p pari a,3 Pa con z, il valore di γ risulta pari a. N / m 3. La figura riporta l andamento di p e di ρ con la quota

24 LEZIONE 6 La distribuzione di pressione in un gas perfetto a temperatura costante soggetto al campo di forze gravitazionale (Luglio ) Se tuttavia le variazioni di quota sono modeste (per esempio se z z è inferiore a m.), la quantità γ ( z z )/ p risulta molto minore di uno γ ( ) ( z z / p. per z z m) e sia la pressione che la densità possono essere assunte costanti. Infatti per valori piccoli di ( z z ) γ / p si può scrivere ( z z ) γ ( z z ) γ p p... p p. Quindi se ( z z ) è pari a m o inferiore, p può essere assunta pari a con un errore di ordine o minore. E per questo motivo che nei problemi che noi affronteremo, in cui le variazioni di quota sono modeste, riterremo la pressione atmosferica costante con la quota. p 4-6 -

25 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione 7 ENOMENI DI INTERACCIA LA TENSIONE SPERICIALE I fenomeni che hanno luogo all interfaccia fra due fluidi sono molto complessi e legati alla struttura molecolare della materia. Cerchiamo di dare una semplice spiegazione di tali fenomeni. Con riferimento alla figura supponiamo che la densità del fluido sia inferiore a quella del fluido. La particella B del fluido è attirata dalle particelle limitrofe. Anche la particella A del fluido è attirata dalle particelle limitrofe. Tuttavia, essendo la densità del fluido inferiore a quella del fluido, la risultante non sarà nulla ma verso il basso. E evidente quindi che in prossimità della superficie le particelle tenderanno a formare uno strato più denso. Situazione analoga si avrà nel fluido. A livello macroscopico il fenomeno può essere schematizzato assumendo che l interfaccia sia una superficie soggetta ad uno stato di tensione. Con riferimento alla figura, la superficie S sia l interfaccia fra due fluidi e C una curva chiusa su S che abbraccia l origine O degli assi cartesiani ( x, x, x3 ). Il fenomeno descritto precedentemente può essere schematizzato pensando che sul tratto dc, la superficie esterna alla zona delimitata dalla curva C eserciti una forza, sulla superficie all interno, di modulo pari a σ dc, diretta ortogonalmente all elemento di linea dc e tangente alla superficie. La quantità σ è detta tensione superficiale ed è una proprietà dell interfaccia fra due -7-

26 LEZIONE 7 enomeni di interfaccia (Luglio ) fluidi. Esisterà quindi la tensione superficiale aria acqua, aria olio, olio acqua ma non la tensione superficiale di un singolo fluido. Dimensionalmente la tensione superficiale è una forza per unità di lunghezza [ ] σ MLT L MT L unità di misura è il Nm o alternativamente il Kg f m. Nel seguito sono riportati alcuni valori della tensione superficiale di diversi liquidi con l aria a una temperatura di 5 C e alla pressione di un atmosfera Acqua 7.3 N / m Glicerina 7. N / m Benzene.8 N / m Mercurio 47.3 N / m - 8 -

27 LEZIONE 7 enomeni di interfaccia (Luglio ) CONTINITA DELLA PRESSIONE ATTRAVERSO NA SPERICIE PIANA Consideriamo l interfaccia piana fra due fluidi rispettivamente di peso specifico γ e γ e analizziamo l equilibrio di un cilindro a sezione circolare (vedi figura) di area Ω e altezza a per metà immerso nel primo fluido e per l altra metà immerso nel secondo fluido. Si denoti con p Ω Ω Ω pressione (costante per quanto visto precedentemente nella LEZIONE 4) sulla base superiore del cilindro e con la la pressione sulla base inferiore. Il fluido all esterno del cilindro eserciterà quindi una forza verso il basso pari a forze infinitesime infinitesima p p p Ω dovuta alla somma di tante p dω esercitate sull area d Ω. Analogalmente sarà presente una forza verso l alto pari a p Ω. Infine, sempre nella direzione verticale, è presente il peso del fluido contenuto dentro al cilindro pari a γ a Ωa. Non esiste altra forza Ω γ nella direzione verticale; quindi l equilibrio in tale direzione impone che ( γ ) p a γ Nel limite di a tendente a zero si ottiene p p Dunque all interfaccia, la pressione nel fluido è uguale alla pressione del fluido

28 LEZIONE 7 enomeni di interfaccia (Luglio ) IL SALTO DI PRESSIONE ATTRAVERSO NA SPERICIE GOBBA Qualora l interfaccia fra due fluidi non sia piana la pressione p all interfaccia nel fluido sarà diversa dalla pressione p all interfaccia nel fluido. E possibile mostrare che il salto di pressione p p p è pari a ± σ R R essendo e R i raggi principali di curvatura nel punto in considerazione. La pressione sarà R maggiore sul fluido che si trova dalla parte concava della superficie

29 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione 8 LA SPINTA ESERCITATA DA N LIDO S NA SPERICIE PIANA In primo luogo mostriamo (come assunto precedentemente nella LEZIONE 7) che la spinta su una superficie piana S prodotta da una distribuzione di pressione costante p è una forza ortogonale alla superficie stessa diretta verso la superficie e di modulo pari al valore della pressione per l area della superficie. Per quanto esposto nella LEZIONE e nella LEZIONE 3 si ha S pn ds Nella situazione in esame p p e n sono costanti. Segue dunque p n ds np S La forza è quindi diritta come n, ha verso opposto e il suo modulo è pari a p S. S Consideriamo ora il problema illustrato in figura dove a sinistra del piano ( x, è presente un liquido di peso specifico γ. Al di sopra del y) S in esso contenuta. liquido e a destra della superficie è presente aria supposta a pressione costante pari alla pressione atmosferica p atm. Nel disegno è anche raffigurato il piano ( x, y) ribaltato sul foglio in modo tale da visualizzare la superficie - 3 -

30 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) essendo la profondità η del generico punto del piano ( y) Si voglia determinare la forza esercitata dal liquido sulla superficie. Nella figura accanto è rappresentato l andamento della pressione sul piano ( x, y). Da quanto esposto nella LEZIONE 4 e nella LEZIONE 5 emerge che p patm γ xsenθ x, rispetto al pelo libero pari a x senθ. Volendo determinare la forza esercitata dal liquido sulla superficie S, è necessario determinare ( p γx sen ) nds pn ds atm θ S S Tenendo conto che n è costante, la forza può essere scomposta facilmente in due parti n p atm S n S γx sen θ ds La forza np S è esattamente bilanciata atm da una forza uguale e contraria esercitata dall aria sulla superficie. Per questo motivo il problema di determinare viene trasformato nella determinazione di S ( p p ) nds atm La pressione p diminuita dalla pressione atmosferica è detta pressione relativa p r. Considerando che l uso della pressione relativa è più diffuso di quello della pressione assoluta, nella rimanente parte di questa lezione e nelle lezioni seguenti indicheremo con p la pressione relativa e con la forza da essa indotta

31 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) Dalla relazione n S γx sen θds emerge chiaramente che la forza è ortogonale alla superficie (la direzione di coincide con quella di n ) è diretta dal liquido verso la superficie e ha intensità pari a γx θds γ sen θ xds γ sen θx G S γη G S S sen p S (NOTA ) S ove con il pedice G si sono indicate quantità riferite al baricentro G della superficie. Da quanto ricavato emerge inoltre che l intensità della forza esercitata dal liquido sulla superficie può essere ricavata moltiplicando l area della superficie per il valore della pressione (relativa) nel baricentro della superficie stessa. Nel seguito ricaviamo le coordinate x, y del baricentro di alcune semplici superfici piane ) Rettangolo G G G h b xg xds xdx dy S bh S h b b bh b h b h h yg yds ydy dx S bh bh S NOTA S xds è detto momento statico della superficie S rispetto all asse y. Si ha quindi xds x S essendo G

32 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) ) Triangolo y mx h, h m y mh h mb ( x b) y G S yds S bh h y y m ( h mb ) mh b ydx dy ( h mb h) h 3 h mb h h bh mbh / 3bh bh h yg y b y dy b bh mh m bh 3 mh bh 3m / 3bh 3 La coordinata y G non dipende dal valore di m! Ripetendo il calcolo ruotando il triangolo è facilmente verificabile che il baricentro G dista dalla base sempre un terzo dell altezza qualunque lato sia scelto come base. 3) Semicerchio x R y x R y x G la coordinata x del baricentro della superficie S

33 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) y G R R y R 4 ( R y ) 3 R yds y dxdy y R y dy S πr πr πr 3 3π S R y R Nota la direzione, il verso e il modulo della forza, per risolvere completamente il problema è necessario determinare la retta di applicazione di. La forza deve essere infatti equivalente alla somma delle forze infinitesime npds esercitate dal compongono S. fluido sulle superfici infinitesime ds che sarà equivalente se avrà la stessa risultante e lo stesso momento rispetto ad un qualsiasi polo. Indicando con C il punto di incontro della retta di applicazione di con la superficie S si deve avere x C pxds S y C pyds S essendo ( C yc x, ) le coordinate del punto C detto centro di spinta. Le formule precedenti, insieme alla relazione pds precedentemente ricavata, evidenziano un importante risultato: le coordinate x C, y C coincidono con le coordinate del baricentro del cosidetto solido delle pressioni, cioè di un solido, nello spazio ( x y, p),, individuato dall intersezione delle superfici p e p γxsenθ con un cilindro a generatrici parallele all asse p e con una direttrice coincidente con il contorno di (vedi figura). E importante anche notare che il valore S Baricentro del solido delle pressioni Solido delle pressioni

34 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) di coincide con il volume del solido delle pressioni. I risultati illustrati precedentemente suggeriscono una procedura semplice e rapida per il calcolo della forza e della sua retta di applicazione ) Nello spazio ( x y, p, con il piano, ) ( y) ortogonale, tracciare l andamento di ) Individuare il solido delle pressioni. x, contenente la superficie S e l asse p a esso ( x y) p,. 3) Scomporre il solido delle pressioni in parti di cui sia semplice valutare il volume e la posizione del baricentro. 4) Valutare il volume V i ( i,,..., N ) delle N parti così individuate. 5) Valutare le coordinate ( x, dei baricentri degli N volumi. 6) Calcolare la forza ci y ci 7) Calcolare le coordinate (, ) c c ) N i ( V n i ) x y del centro di spinta x C N ( V x ) ( V y ) i N i ci i i i ; yc N N V i i V i ci

35 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) Consideriamo le relazioni già ottenute e discusse x C pxds y C S pyds Discende x C γx sen θds pxds pxds x ds S S S S pds γx sen θds xds S S S S x x G ds S S La quantità x ds è il momento d inerzia della superficie S rispetto all asse y e viene indicato con. E inoltre noto che J J S x, essendo il momento d inerzia rispetto ad J yy yy y y G G G J yg y G un asse parallelo all asse y e passante per il baricentro G. Segue x C J x G yy S Sx G J x G S yg yg xg J x yg yg G S Tale risultato mostra in particolare che il centro di spinta è sempre a una profondità maggiore o al più uguale al baricentro. In modo analogo si mostra che y C S pyds pds γxy sen θds γx sen θds xyds xds J x G xy S y G J x xg yg G S essendo J e J i momenti centrifughi della superficie S rispetto agli assi x, y e ad assi a essi xy x G yg paralleli passanti per il baricentro G di S

36 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) Resta da sottolineare che le formule precedentemente ricavate sono valide per una distribuzione continua di p e con riferimento ad un sistema di assi coordinati tali che la pressione si annulli nell origine e lungo tutto l asse y. ESERCIZI SLLA DETERMINAZIONE DELLA SPINTA S NA SPERICIE PIANA ) Si consideri il serbatoio in figura riempito di un liquido di densità ρ e si determini il momento M necessario a mantenere in equilibrio la paratoia ABCD incernierata (e quindi in grado di ruotare ma non traslare) lungo il lato AD. Dati: a.5m, b.7m, c.m ρ Kg/m 3 (acqua) Soluzione: Si introduca il sistema di riferimento in figura. Si ha p ρ gx

37 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) sua semplice scomposizione. Quindi il solido delle pressioni è quello riportato nella figura seguente insieme a una Emerge quindi che b c γ γabc Il risultato ottenuto coincide con la relazione p G S Infatti la pressione nel baricentro G della superficie è pari a b p G γ a mentre S bc

38 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) Segue bc b abc γ γ che coincide con la relazione già trovata. Sapendo che il baricentro di un triangolo si trova a una distanza dalla base pari ad un terzo dell altezza e che il baricentro di un rettangolo si trova a una distanza dalla base pari a metà dell altezza è facile verificare che ( ) x x x C C C / / b a b b a b a b b a b a b a b a a b b a b b a b a a b a b abc c b b a abc b a c b x C γ γ γ γ Il valore di appena determinato coincide con quello ricavabile dalla relazione x C S x S x x G y y G C G G sapendo che il momento d inerzia di un rettangolo rispetto ad un asse baricentrale è pari a un dodicesimo del prodotto della base con il cubo dell altezza. Segue infine che la forza è ortogonale alla superficie (quindi parallela all asse ),diretta verso la superficie e di intensità pari a z ( ) N N Il momento da applicare per mantenere in equilibrio la paratoia sarà un vettore diretto lungo l asse, nel verso positivo, di modulo pari a y ( ) / / / b a b b a b a x b a M C - 4 -

39 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) E facile verificare che la quantità precedente coincide con M b c b b γ γ abc 3 γ cb b a 6 Segue quindi.7.5 M 9.8. Nm 79Nm 6 ) Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, calcolare la forza esercitata dai fluidi sulla superficie AB. Siano γ e γ il peso specifico del fluido sovrastante e sottostante rispettivamente. Kg f Kg f Dati: γ 8 3 ; γ 3 m m a.5m, b.3m, θ π 4 Soluzione: Con riferimento agli assi in figura, la distribuzione di pressione risulta descritta da: a p γ xsenθ per x sinθ a a p γ γ a x senθ per x senθ senθ - 4 -

40 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) E conveniente scomporre il solido delle pressioni come indicato in figura. Risulterà dunque a ab γ γ γ senθ sinθ b senθ Sostituendo i valori numerici K f 375 π sen π g Kg sen 4 4 f Kg f Kg f Dati: γ 3, γ m 3 3 m m 3) Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, determinare il momento M necessario a mantenere in equilibrio la paratoia ABC incernierata in C. Si trascuri il peso specifico del gas (si assuma quindi costante la sua pressione). La pressione del gas viene misurata attraverso il tubo manometrico contenente il liquido di peso specifico γ m rilevando il dislivello. Sia γ il peso specifico del liquido all interno del 5 cm, a 5cm, b 35cm serbatoio Soluzione: Il momento M è un vettore ortogonale al piano del disegno ( M (,, )) componente M negativa. ocalizziamo ora l attenzione sul calcolo del modulo di M. z e con una M z - 4 -

41 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) Con riferimento alla figura la pressione nel gas è pari alla pressione nel punto P che a sua volta p è uguale alla pressione nel punto P. Si ha dunque p γ m Sulla superficie AB la distribuzione di pressione sarà dunque quella qui rappresentata p A p γa p B p γ (a b) p B p γ (a b) Sulla superficie BC la distribuzione di pressione sarà

42 LEZIONE 8 La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana (Luglio ) La forza esercitata dal liquido sulla superficie AB sarà dunque orizzontale diretta da destra verso sinistra e pari alla somma di due contributi p Ab ( p γ a)b b b ( pb pa) γ Il primo contributo ( ) è applicato ad una distanza da B pari a b/, il secondo ( ) è applicato ad una distanza da B pari a b/3. Sulla superficie BC la distribuzione di pressione è costante e quindi il liquido eserciterà una forza diretta verticalmente verso il basso di intensità 3 tale che [ p ( a b) ]b pb b γ 3 Inoltre 3 è applicata ad una distanza da C pari a b. Il modulo di M risulterà quindi 3 b b b b b b M 3 ( p γa) γ p γ ( a b) pb γab γ b (.35).5 (.35) (.35) Kg fm 39Kg fm

43 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione 9 LA SPINTA ESERCITATA DA N LIDO S NA SPERICIE GOBBA Come illustrato nella LEZIONE e nella LEZIONE 3, la forza esercitata da un fluido in quiete su una superficie S risulta S pnds Mentre per una superficie piana n è indipendente dalla posizione sulla superficie e quindi costante, facilitando la valutazione dell integrale, nel caso di una superficie gobba n risulta variabile. Non è possibile illustrare una procedura generale per la valutazione dell integrale considerando che essa dipende dalla forma della superficie. Consideriamo il caso particolare illustrato in figura (assunto piano). Poniamoci l obbiettivo di determinare la forza esercitata dal liquido di peso specifico γ sulla superficie AB assunta di larghezza unitaria. In primo luogo è opportuno valutare separatamente la componente lungo la direzione x e quella lungo la direzione y. x y S S pn ds x pn ds y Per valutare gli integrali è conveniente utilizzare un sistema di coordinate polari con l origine nel punto O. Nel generico punto P della superficie AB si ha n ( cosθ, senθ )

44 LEZIONE 9 La spinta esercitata da un fluido su una superficie gobba (Luglio ) Inoltre ds Rd θ avendo assunto la larghezza della superficie unitaria. Infine la pressione p nel punto P risulterà Segue quindi p [ a R R sen θ ] γ a γ ( sen θ ) γ R x γ Π / Π / [ γ a γ R( senθ )]( cosθ ) Rdθ γ ( a R) R[ senθ ] γ R [ cos θ ] γr R ( a R) R γ a R 4 Π / y γ Π / ( a R) [ γ a γ R( senθ )]( senθ ) Rdθ γ ( a R) R[ cosθ ] πr R γ 4 Π / γ R θ sen θ 4 Nel caso in esame si è riusciti facilmente a valutare gli integrali che forniscono e. Tuttavia x y Π / quando la geometria del problema è più complessa, la valutazione di utilizzando l espressione S p nds può risultare difficile. na procedura alternativa che spesso consente il rapido calcolo di è quella illustrata nel seguito - tilizzando superfici piane e la superficie gobba in esame, isolare un volume di fluido. - Determinare le forze,,..., N che il fluido all esterno del volume esercita sulle superfici piane. - Calcolare la forza esercitata dal fluido sulla superficie gobba, imponendo l equilibrio del volume isolato, su cui l esterno esercita Risulterà,,..., N, e la forza peso G Da cui N i i G G N i i

45 LEZIONE 9 La spinta esercitata da un fluido su una superficie gobba (Luglio ) Al fine di illustrare chiaramente la procedura, applichiamola al problema considerato precedentemente. Consideriamo il volume di fluido delimitato dalla superficie gobba AA B ' B ', dalle superfici piane AA ' O ' O, OO ' B ' B, OAB, ' ' ' O A B. Considerando l orientamento delle superfici piane e indicando con i, j, k i versori degli assi x, y, z rispettivamente, è facile vedere che ; i; j 3 3 k; 4 4 k G G j L equilibrio del volume considerato alla traslazione lungo i tre assi impone avendo denotato con (, ) x y z x ; G y ;, il vettore. tilizzando i risultati illustrati nella LEZIONE 8 è possibile determinare R γ a R ; γ ( a R)R 4 3. Si ha i 3 4 4R πr γ a R 3Π 4 Inoltre πr G γ 4 Segue x γ a R R; y πr 4 ( a R) R γ ; z

46 LEZIONE 9 La spinta esercitata da un fluido su una superficie gobba (Luglio ) I risultati ottenuti coincidono con quelli ricavati precedentemente. Nel caso di una superficie gobba, il sistema equivalente alla somma delle forze infinitesime pnds è in generale fornito da una forza e da una coppia. Per individuare la retta di applicazione di e il valore della coppia è necessario imporre l equilibrio alla rotazione del volume in esame. Nel nostro caso, considerando che le forze infinitesime passano per la retta ' ' OO e per la simmetria del problema, si può affermare che la forza passa per la retta OO in un punto equidistante da O e da ' O e il valore della coppia è nullo. ESERCIZI SLLA DETERMINAZIONE DELLA SPINTA S NA SPERICIE GOBBA ) Si consideri il problema piano rappresentato in figura e costituito dalla determinazione della forza esercitata dal fluido di peso specifico γ sulla superficie unitaria. AB supposta di larghezza Soluzione: si consideri il volume isolato dalla superficie gobba AB e dalla superficie piana AB, come evidenziato nella figura accanto. Per quanto spiegato precedentemente G Da cui x γ ( a R) R

47 LEZIONE 9 La spinta esercitata da un fluido su una superficie gobba (Luglio ) y π R G γ con i G G j i x y j E evidente inoltre che la forza passa per il punto O. ) Si consideri il problema piano rappresentato in figura e costituito dalla determinazione della forza esercitata dal fluido di peso specifico γ sulla superficie AB supposta di larghezza unitaria. Soluzione: il modo più rapido per risolvere il problema è quello di considerare il serbatoio evidenziato nella figura a lato e imporre l equilibrio del volume tratteggiato e costituito dalla superficie gobba AB e da quella piana AB. Su tale volume l esterno eserciterà le seguenti forze:, G, Si ha inoltre Segue ( ); ( sen θ, cos ); G ( O G ), x, y θ G ( ) ( sen θ, cos ) ( O G ) θ x, y,

48 LEZIONE 9 La spinta esercitata da un fluido su una superficie gobba (Luglio ) oppure ove x senθ, y cosθ G ( a Rsen ) R γ θ πr G γ - 5 -

49 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione LA TENSIONE IN N LIDO IN MOVIMENTO Abbiamo visto (LEZIONE 3) che in un fluido in quiete la tensione t è sempre ortogonale alla superficie. In altre parole se un fluido è in quiete t pn Nei fluidi in movimento, tuttavia, la direzione di t non coincide con quella di n e in generale si manifestano delle componenti tangenti alla superficie. Esaminiamo la situazione rappresentata in figura: due piastre parallele fra di loro sono poste ad una distanza d e costituiscono così un meato riempito di un fluido di densità ρ. La piastra inferiore è ferma mentre quella superiore viaggia con una velocità in una direzione parallela alla piastra stessa

50 LEZIONE La tensione in un fluido in movimento (Luglio ) Introduciamo il sistema di riferimento in figura. Se misurassimo il campo di moto, ci accorgeremmo che la velocità ha un unica componente nella direzione x che si annulla in corrispondenza y, assume il valore per y d e varia linearmente con y u d y Per mantenere la piastra superiore in movimento con velocità è necessario applicare una forza nella direzione x che, rapportata alla superficie della piastra, porge un valore che indicheremo con τ. E evidente che il valore di τ è uguale e contrario alla componente nella direzione x della tensione t esercitata dal fluido sulla parete. Misure di τ mostrano che ) τ è proporzionale a ) τ è inversamente proporzionale a d Si ha cioè τ ~ La costante di proporzionalità dipende dal fluido contenuto all interno del meato ed è denominata viscosità dinamica ( µ ) d τ µ (NOTA ) d Le dimensioni di µ sono quelle di una massa divisa per una lunghezza e per un tempo [ µ ] ML T mentre l unità di misura è il Kg ( ms) Pa s, anche se talvolta viene utilizzato il centipoise (cp), essendo ( ) 3 cp Kg ms NOTA Il legame τ µ d è valido per i fluidi cosidetti newtoniani. L aria, l acqua e molti fluidi di interesse ingegneristico sono newtoniani. Per altri fluidi il legame fra τ,, d può essere più complicato

51 LEZIONE La tensione in un fluido in movimento (Luglio ) La viscosità dinamica di un fluido, essendo una sua proprietà, dipende dallo stato del fluido e quindi dalla pressione e dalla temperatura. Per l acqua in condizioni ordinarie (pressione atmosferica e temperatura pari a C) Spesso si utilizza la viscosità cinematica e la densità del fluido µ cp v v definita come il rapporto fra la viscosità dinamica µ ρ Le dimensioni di v sono quelle di una lunghezza al quadrato su un tempo mentre l unità di misura è m s. [ v] L T Anche la viscosità cinematica dipende da pressione e temperatura. Per l acqua in condizioni ordinarie v 6 m s (NOTA ) Il legame τ µ d è un caso particolare di una relazione più generale che nella geometria in considerazione può scriversi du τ µ dy La tensione tangenziale τ può infatti variare al variare di y. In geometrie più complesse la relazione fra t e il campo di moto, detta legame costitutivo, diviene più complessa. Si rimanda lo studente interessato a corsi successivi. NOTA Per aria secca alla pressione atmosferica e alla temperatura di C si ha 5 µ.8 Kg ms v.5 5 m ( ) s

52 Appunti dei corsi di Idraulica e Idrodinamica Lezione ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BCKINGAM I problemi a cui non siamo interessati e i problemi della fisica in generale, sono caratterizzati dalla ricerca della dipendenza di una grandezza fisica Q dalle altre grandezze fisiche Q Q,...,, Q N coinvolte nel fenomeno in esame. In altre parole si vuole determinare la funzione f che lega Q a Q, Q,..., Q N ( Q Q ) Q f,...,, n esempio tipico in idrodinamica è la ricerca della resistenza (forza nella direzione del moto) incontrata da un corpo (per esempio una sfera) che avanza in fluido fermo. tilizzando un sistema di riferimento solidale con il corpo (vedi figura), il problema è costituito dalla valutazione di R (modulo di R ). Q N

53 LEZIONE Analisi dimensionale e teorema di Buckingam (Luglio ) E evidente che il valore di R sarà influenzato - dalle caratteristiche del fluido (nel caso in esame dalla densità ρ e dalla viscosità cinematica v ) - dalle dimensioni della sfera (il diametro D ) - dalla velocità con cui il fluido investe la sfera ( ) Si cercherà quindi di valutare la funzione R f tale che f ( ρ, v, D, ) E evidente che la funzione f di cui sopra è un caso particolare di quella scritta inizialmente ( Q Q ) Q f,...,, Q N con Q R, N Q Q v Q D Q 4, ρ,, 3, 4 Alcune volte è possibile risolvere il problema in esame risolvendo le equazioni che governano il fenomeno. In tal caso è possibile fornire un espressione analitica di f. In altri casi ciò non è possibile e il legame fra Q Q,...,, Q N può essere cercato solo attraverso esperienze di laboratorio. Se il valore di N è elevato il numero di esperimenti da eseguire risulta estremamente alto. In tale situazione è utile il teorema di Buckingam, detto anche teorema Π. Teorema Π Il teorema Π stabilisce che la relazione ( Q Q ) Q f,...,, Q N fra N grandezze fisiche può essere trasformata in una nuova relazione fra N M numeri adimensionali ( Π Π Π ) Π f,...,, N M

54 LEZIONE Analisi dimensionale e teorema di Buckingam (Luglio ) essendo M (NOTA ) il numero massimo di grandezze dimensionalmente indipendenti che può essere individuato all interno delle N grandezze Q Q,..., e Π numeri adimensionali. Dimostrazione: Si voglia trasformare la relazione ( Q Q ) Q f,,...,, Q N i - Si scelga il massimo numero M di grandezze dimensionalmente indipendenti. Non si perde di generalità se si suppone che le grandezze scelte siano Q Q,...,. α β γ ω - Si individui il monomio Q Q... che abbia le stesse dimensioni di Q. Q N, Q M Q 3 Q M Dalla definizione di M e di grandezze dimensionalmente indipendenti i valori α, β, γ,..., ω non sono tutti nulli. α β γ ω - Si divida la relazione di partenza sia a destra che a sinistra per Q Q Q.... Si avrà Q α Q Q β... Q ω M Π f ( Q, Q,..., Q ) E evidente che il termine a sinistra della relazione precedente è un rapporto adimensionale. α M - Si individui il monomio β M... ω M Q Q che abbia le stesse dimensioni di Q M N 3 Q M Q. M - Laddove nella funzione f (evidentemente diversa da f ) compare Q M si sostituisca Q segue dunque α Q Q M α M β M ω M α M β M ω M Q Q... QM Π M Q Q... QM M β M ω M... Q Π M ( Q Q,..., Q, Π, Q Q ), M M M f,..., N NOTA M grandezze si dicono dimensionalmente indipendenti se il monomio α β γ ω Q Q Q... avente dimensioni nulle, implica α, β, γ,..., ω Se esistono valori α, β,..., ω diversi da zero e tali che il monomio 3 Q M α β γ Q Q Q3... ha dimensioni nulle, allora le M grandezze sono dimensionalmente dipendenti. Il valore massimo di M dipende dalla natura del fenomeno. In particolare se il fenomeno è geometrico M, se il fenomeno è cinematico M, se il fenomeno è di natura dinamica M 3 e così via. ω Q M

55 LEZIONE Analisi dimensionale e teorema di Buckingam (Luglio ) - Si ripeta il punto precedente per Q Q,..., Q per giungere alla relazione f M, M 3 N ( Q Q,..., Q, Π, Π Π ) Π N M, M M M,..., - Cambiando l unità di misura della sola Q (procedura possibile essendo Q Q,..., Q grandezze dimensionalmente indipendenti), i valori di N, Π, Π M, Π M,..., Π N non cambiano essendo M Π i numeri adimensionali. Neanche i valori di Q Q,..., Q, 3 M cambiano non essendo variate le loro unità di misura. Segue quindi che la funzione Q. f N M non può dipendere esplicitamente da - Cambiando l unità di misura e seguendo il ragionamento esposto al punto precedente si conclude che non può dipendere esplicitamente da Q. Q f N M fn M - Analogalmente si può concludere che non dipende esplicitamente da - E possibile quindi concludere che si trasforma in come si voleva dimostrare. ( Q Q ) Q f,,..., Q N ( Π Π Π ) Π f,...,, N M Q 3, Q4,..., Q M L utilità del teorema precedentemente. Π emerge chiaramente applicandolo all esempio considerato R Essendo il problema di natura dinamica M 3. Scegliamo f ( ρ, v, D, ) ρ,, D come grandezze dimensionalmente indipendenti. In primo luogo verifichiamo che ρ,, D siano dimensionalmente indipendenti, cioè che il monomio ρ D α β γ con dimensioni nulle implichi α, β, γ. Si ha segue dunque 3 [ ρ ] ML ;[ ] LT ;[ D] L α β γ α 3α β β γ [ ρ D ] M L L T L