STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI ASTE. Vincenzo Auletta Università di Salerno

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1 STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI ASTE Vincenzo Auletta Università di Salerno

2 ASTE Le aste (auctions) sono un altro importante ambito in cui possiamo applicare il framework della teoria dei giochi Come devo comportarmi nel fare un offerta? Quale meccanismo debbo utilizzare per vendere un oggetto tramite un asta Le aste sono un meccanismo economico estremamente diffuso e sono diventate molto popolari in ambito e-commerce Vendita di obbligazioni e titoli di stato Affidamento di concessioni Vendita di beni di cui non è noto il valore Internet marketplace e-bay Quasi tutta la raccolta pubblicitaria di giganti come Google avviene tramite aste E un campo in cui la ricerca è stata molto attiva negli ultimi anni 1

3 ASTE PER RICERCA SPONSORIZZATA Risultati della ricerca Ads: ricerca sponsiruzzata 2

4 ASTE PER RICERCA SPONSORIZZATA Quando eseguiamo una ricerca su Google il sistema lancia un asta online per vendere gli spazi pubblicitari all interno della pagina dei risultati La pubblicità è particolarmente efficace se È mirata È proposta all utente quando più gli serve (sta cercando informazioni) Il modello di business di Google è basato su aste pay-per-click Il prezzo dell inserzione viene definito dinamicamente L inserzionista paga solo se l utente effettivamente visualizza il messaggio 3

5 MARKET DESIGN L advertisement è la voce di gran lunga più importante nel bilancio di Google e vale svariati miliardi di dollari L implementazione del meccanismo di aste è fondamentale I dettagli su come sono implementate queste aste li vedremo in una delle prossime lezioni Problemi non banali da risolvere Enormi problemi di scalabilità Gli inserzionisti sono egoisti e tendono a manipolare il sistema Le principali aziende Internet stanno assumendo economisti per disegnare correttamente I loro mercati utilizzando la teoria delle aste 4

6 DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Supponiamo di dover vendere un singolo oggetto Poi generalizzeremo al caso di più oggetti Non conosciamo il valore del bene in vendita Conosciamo il nostro valore personale Possiamo eventualmente fissare un prezo di riserva (prezzo al di sotto del quale non si vende) Ogni inserzionista ha una sua propria valutazione dell oggetto in vendita Rappresenta il massimo prezzo che è disposto a pagare I valori sono privati ed indipendenti È un gioco a informazione incompleta Come dobbiamo comportarci? Sia come inserzionista che venditore 5

7 VALUTAZIONI NOTE Supponiamo di conoscere le valutazioni di tutti gli inserzionisti Non serve l asta Se il valore per il venditore è x La valutazione dell acquirente è y Surplus = y-x I giocatori si impegnano ad affidarsi ad un meccanismo Se uno dei due giocatori controlla il meccanismo si prende tutto il surplus Se il meccanismo è controllato da entrambi i giocatori parte una contrattazione (non coperta in questa lezione) 6

8 VALUTAZIONI NON NOTE Il venditore non conosce le valutazioni dei giocatori e non sa quanto sono disposte a pagare Se fissa un prezzo potrebbe essere troppo alto e non trovare acquirenti Troppo basso e vendere l oggetto a meno del suo valore Il venditore deve chiedere agli acquirenti quanto sono disposti a pagare Gli acquirenti potrebbero mentire per manipolare il meccanismo in modo da guadagnare il surplus Come si fa a motivare gli acquirenti a dichiarare le loro vere valutazioni? 7

9 MECHANISM DESIGN La teoria delle aste è una parte del Mechanism Design Branca della Teoria dei Giochi che si occupa di come progettare meccanismi in modo da avere come equilibri del gioco gli esiti desiderati Nel nostro caso vogliamo che per gli acquirenti dichiarare la propria vera valutazione sia una strategia dominante Truthful mechanism Rende ininfluente la mancanza di informazione sulle valutazioni degli altri acquirenti 8

10 OBBIETTIVI DELL ASTA Il banditore può avere vari obbiettivi Influenzano il disegno del meccanismo Massimizzare il guadagno (revenue) Massimizzare il social welfare Somma delle utilità ottenute da tutti i giocatori Massimizzare l equità (fairness) Nel resto della lezione il nostro obbiettivo sarà il social welfare Massimizzare la valutazione dei giocatori che vincono l asta 9

11 PRINCIPALI TIPI DI ASTE Il venditore offre prezzi via via crescenti Ad ogni round quelli che non sono disposti a pagare quel prezzo si ritirano Ascending auction (asta inglese) L asta termina quando rimane un solo acquirente Le aste su e-bay sono un tipo particolare di asta inglese 10

12 PRINCIPALI TIPI DI ASTE Descending auction (asta olandese) Il venditore offre prezzi via via decrescenti Se nessuno accetta di pagare quel prezzo si prosegue L asta termina quando un acquirente accetta il prezzo offerto Il tesoro americano usa un asta olandese per vendere i Buoni del Tesoro 11

13 PRINCIPALI TIPI DI ASTE Sealed-bid Auctions Gli acquirenti scrivono le loro offerte in busta chiusa e le danno al meccanismo Il venditore apre tutte le buste e decide chi vince e quanto paga Aste first-price Il vincitore paga quello che ha offerto Aste second-price Il vincitore paga la seconda offerta più alta 12

14 ASTE DI VICKREY Le aste di secondo prezzo sono anche dette aste di Vickrey Meccanismo di asta definito da William Vickrey nel 1961 Vickrey ha vinto il Nobel per l economia nel

15 RELAZIONI TRA I VARI TIPI DI ASTE Aste di primo prezzo sono strategicamente equivalenti alle aste olandesi Durante l asta olandese il giocatore non apprende nulla sulle valutazioni degli altri giocatori fino a quando qualcuno alza la mano Ogni giocatore deve decidere a quale prezzo alzerà la mano sapendo che potrebbe doverlo pagare Equivalente a decidere quale prezzo scrivere nella busta Aste di secondo prezzo sono strategicamente equivalenti alle aste inglesi Durante l asta inglese il giocatore vede ad ogni round quanti si ritirano Ad ogni giocatore conviene restare nel gioco fino a che il prezzo raggiunge la propria valutazione Anche nell asta di secondo prezzo conviene dichiarare la propria vera valutazione 14

16 ASTE SEALED-BIDS Senza perdita di generalità considereremo solo aste sealed bid Quale asta conviene utilizzare? Ad una prima occhiata sembrerebbe che Nell asta di primo prezzo il venditore incassa di più ma i giocatori tendono a fare offerte inferiori alla loro vera valutazione Nell asta di secondo prezzo i giocatori sono incentivati a dichiarare le loro vere valutazioni (truthful) 15

17 ASTE COME GIOCHI STRATEGICI Gli n acquirenti sono i giocatori Le strategie sono le possibili offerte da mettere nella busta Tutti i giocatori fanno la loro offerta contemporaneamente Ogni giocatore fornisce al meccanismo un offerta b i i giocatori giocano solo strategie pure Ogni giocatore ha la propria valutazione v i dell oggetto in vendita La valutazione è privata Il meccanismo decide chi vince l asta ed il prezzo p che deve pagare Il payoff del giocatore i è u i = v i p (se vince l asta) u i = 0 (se non vince l asta) 16

18 STRATEGIE Un acquirente deve decidere la propria strategia di offerta Cosa scrive nella busta? Dipende dalla valutazione Assumiamo valutazioni private ed indipendenti Ogni giocatore non sa nulla delle valutazioni degli altri Nel modello con common value le valutazioni sono estratte da una distribuzione di probabilità comune e nota a tutti I giocatori possono farsi un idea delle valutazioni degli altri Possibili strategie b i (v i ) = v i b i (v i ) = v i /2 b i (v i ) = v i /n If v i <10 b i (v i ) = v i then b i (v i ) = v i

19 ASTE DI VICKREY SONO TRUTHFUL In un asta di secondo prezzo dichiarare la propria vera valutazione è una strategia dominante Vale anche per aste inglesi se le valutazioni sono indipendenti e private In un meccanismo truthful I giocatori non hanno nessun interesse a mentire indipendentemente da cosa fanno gli altri giocatori La scelta dell offerta è semplice Consente al meccanismo di selezionare il giocatore con la valutazione più alta Le aste di secondo prezzo sono truthful Semplici da implementare Massimizzano il social welfare 18

20 PROVA DI TRUTHFULNESS Consideriamo il giocatore 1 con valutazione v 1 b i (v i ) = v i Se 1 vince guadagna u i = v i p p = max j i b j Dichiarando b i (v i ) > v i vince ottenendo la stessa utilità Dichiarando b i (v i ) < v i o vince ottenendo la stessa utilità o perde guadagnando 0 Se 1 perde guadagna u i = 0 Dichiarando b i (v i ) > v i o perde guadagnando 0 oppure vince rischiando di pagare più della sua valutazione Dichiarando b i (v i ) < v i perde comunque e guadagna 0 19

21 ASTE DI PRIMO PREZZO Le aste di primo prezzo sono truthful? No L utilità del giocatore dipende dalla propria offerta Se il giocatore dichiara la sua vera valutazione guadagnerà 0 Equivalente a perdere l asta Il giocatore tende a fare un offerta inferiore alla sua valutazione Di quanto inferiore? Esistono strategie in Equilibrio Nash per aste di primo prezzo? 20

22 ASTE ALL-PAY Le aste all-pay sono un altro tipo di aste sealed-bid Tutti sottomettono un offerta Vince l offerta più alta Ognuno paga l offerta presentata Apparentemente controintuitive ma utilizzate in pratica Gare in cui bisogna sottomettere un progetto Tutti i partecipanti devono sostenere i costi di presentazione del progetto indipendentemente dall esito Concettualmente simili alle aste di primo prezzo I giocatori tendono a fare offerte molto più basse della loro valutazione Qual è la strategia ottimale? 21

23 STRATEGIE PER ASTE DI PRIMO PREZZO CON 2 GIOCATORI Assumiamo che ogni giocatore conosca il numero dei giocatori ed abbia un informazione parziale sulle loro valutazioni Valutazioni estratte da una distribuzione di probabilità nota a tutti Le distribuzioni di probabilità possono essere diverse tra I giocatori Assumiamo 2 giocatori e valutazioni distribuite indipendentemente e uniformemente tra 0 e 1 Una strategia è una funzione s(v) che decide l offerta in base alla valutazione Assumiamo che s() è una funzione strettamente crescente e differenziabile s(v) v (s(0) = 0) 22

24 ANALISI BAYESIANA E REVELATION PRINCIPLE Poiché il gioco è a informazione incompleta il concetto di soluzione utilizzato è Bayesian-Nash Equilibrium La strategia di ogni giocatore massimizza il suo payoff atteso rispetto alle strategie giocate dagli altri e alla distribuzione di probabilità che descrive la conoscenza parziale delle valutazioni Il Revelation Principle ci dice che ogni strategia alternativa a s() può essere vista come la strategia s() a cui forniamo una diversa valutazione Possiamo restringere la nostra analisi al caso in cui tutti i giocatori giocano la stessa strategia ma con valutazioni differenti 23

25 STRATEGIE IN EQUILIBRIO NASH PER ASTE DI PRIMO PREZZO 2 giocatori e valutazioni distribuite indipendentemente e uniformemente tra 0 e 1 b i = v i /2 è una soluzione BNE PROVA Assumiamo che il giocatore 2 usa la b 2 (v 2 )=v 2 /2 L utilità attesa del giocatore 1 è Prob[ b 1 > b 2 ] (v 1 -b 1 ) = Prob[ b 1 > v 2 /2 ] (v 1 -b 1 ) = 2b 1 * (v 1 -b 1 ) L utilità attesa è massimizzata per b 1 (v 1 )=v 1 /2 24

26 STRATEGIE IN EQUILIBRIO NASH PER ASTE DI PRIMO PREZZO n giocatori e valutazioni distribuite indipendentemente e uniformemente tra 0 e 1 b i = v i (n-1)/n è una soluzione BNE Prova simile Commenti per distribuzione uniforme delle valutazioni: All aumentare della competizione il giocatore tende a fare offerte più vicine alla loro vera valutazione Nella soluzione in equilibrio l asta è vinta dal giocatore con la valutazione più alta (max social welfare) Anche se l asta non è truthful possiamo aspettarci che al crescere del numero di giocatori i giocatori si comporteranno correttamente 25

27 STRATEGIE IN EQUILIBRIO NASH PER DISTRIBUZIONI ARBITRARIE Esistono strategie BNE anche nel caso di n giocatori e valutazioni distribuite arbitrariamente sull insieme dei reali non-negativi possiamo fornire un metodo generale per individuare tali strategie Basato sulla soluzione di un sistema di equazioni differenziali Per dare una formula chiusa di tale soluzione dobbiamo necessariamente definire la distribuzione di probabilità delle valutazioni 26

28 EQUIVALENZA DEI GUADAGNI PER IL VENDITORE Quanto guadagna il venditore in ogni tipologia di asta e quale tipo di asta gli conviene usare? Assumiamo valutazioni i.i.d in [0, 1] Nelle aste di primo prezzo e le aste olandesi I giocatori offrono (n-1)/n della loro valutazione L offerta più alta attesa è n/(n+1) Il guadagno atteso è (n-1)/(n+1) Nelle aste di secondo prezzo e le aste inglesi Il venditore si impegna a far pagare solo la seconda offerta più alta Fare offerte truthful è strategia dominante Considerando le due offerte più alte attese si ha che il guadagno atteso è è (n-1)/(n+1) Le due tipologie di asta sono equivalenti per il venditore Questa proprietà vale per molto tipologie di aste e classi di distribuzioni di probabilità se I giocatori utilizzano le lstrategie in equilibrio 27

29 RESERVE PRICE Abbiamo visto che per il venditore è conveniente scegliere di vendere un bene tramite un meccanismo di asta Si impegna a far pagare il bene quanto fissato dal meccanismo Il meccanismo deve essere vincolante per il venditore Se lui potesse rifiutarsi di vendere al prezzo fissato dal meccanismo gli acquirenti non troverebbero più conveniente dichiarare le loro reali valutazioni e non è chiaro quale sarebbe la soluzione in equilibrio Il venditore può fissare un reserve price Prezzo al di sotto del quale il bene non è venduto Il prezzo di riserva deve essere comunicato in anticipo a tutti I giocatori Per ogni distribuzione di probabilità delle valutazioni esiste un valore del reserve price in BNE 28

30 STRATEGIE BNE PER ASTE ALL-PAY Il tipo di analisi utilizzata per le aste di primo prezzo può essere applicato anche al caso all-pay L utile atteso di un giocatore dichiarando v i è v i n-1 (v i -s(v i ) + (1-v i n-1 )(-s(v i ) Per il revelation principle devo far vedere che questo utile è non minore di quello ottenuto con qualsiasi altra valutazione Facendo un po di conti otteniamo che la strategia in equilibrio è s(v i ) = (n-1)/n v i n L utile atteso per il venditore è (n-1)/(n+1) Commenti: Per il venditore questa asta è equivalente a quella di primo prezzo All aumentare del numero dei competitori ogni giocatore tenderà a ridurre la propria offerta Per esempio, ridurrà l impegno profuso per presentare il progetto 29

31 ASTE NEL MONDO REALE Abbiamo discusso un modello semplificato Nella vita reale le aste sono molto più complicate Spesso i giocatori conoscono le loro valutazioni e si lasciano influenzare Se tante persone sono disposte a pagare 100 per un oggetto probabilmente vale quella cifra In genere le aste sono ripetute Il giocatore può imparare dai round precedenti e ottenere informazioni sulle valutazioni e le strategie degli avversari I giocatori partecipano a più aste ed hanno dei budget limitati I giocatori possono manipolare il sistema anche in altri modi Collusioni offerte con falsi nomi I giocatori si comportano in maniera non totalmente razionale 30

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