TRAVE ELASTICA SU SUOLO ELASTICO (MODELLO ALLA WINKLER) Collana Calcolo di edifici in muratura (

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1 RAVE EASIA SU SUOO EASIO (MODEO AA WINKER) ollana alcolo di difici in muratura ( Articolo 7 uglio 5

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3 rav lastica su suolo lastico (modllo alla Winlr) In qusta trattaion la trav si considra dformabil flssionalmnt appoggiata su un suolo lastico alla Winlr (la prssion di contatto tra trav suolo di un punto si considra proporional allo spostamnto vrtical dl punto stsso). Figura rav lastica su suolo lastico Sviluppiamo la trattaion su una trav di lungha (vdi figura ), soggtta all strmo iniial alla fora momnto M, all strmo final alla fora momnto M d ad un carico distribuito lungo la lungha dlla stssa trav q(. Figura Elmntino infinitsimo di trav Scriviamo l quaioni di quilibrio su un lmntino di lungha infinitsima d (vdi figura ). Dall quilibrio alla traslaion vrtical si ottin: ( d) τ() d q() d () Data la raion dl trrno pr una gnrica ascissa: τ () B u() () dov B è la bas dlla trav di fondaion sostitundo nlla () si ottin:

4 d B u( q() () d Dall quilibrio alla rotaion intorno all strmo final dll lmntino si ottin: ( d τ( q d M d M dm () rascurando gli infinitsimi di ordin suprior smplificando si ottin: dm (5) d Ricordando il lgam tra momnti spostamnti sostitundo nlla (5) si ottin: d d du( EI d du( EI d (6) dov si indica con E il modulo lastico dlla trav con I il momnto d inria risptto all ass oriontal baricntrico dlla sion trasvrsal. Drivando la (6) sostitundo nlla () si ottin: Posto d u( B q( u( (7) d E I E I B E I (8) sostitundo nlla (7) si ottin: q( uiv ( u( (9) E I quaion diffrnial (9) govrna il problma dlla trav lastica su suolo lastico. a soluion dll quaion è data da du contributi, qullo dll omogna associata (u ) qullo dll intgral particolar (u p ) funion dl tipo di carico: u( u ( u p ( () a soluion dll omogna associata ha la sgunt sprssion: u ( () dov l quattro costanti (,, ) dvono ssr dtrminat in funion dll condiioni al contorno. imitandosi ai casi di carico ripartito con andamnto polinomial fino al tro ordin dl tipo: q( q q q q () l intgral particolar può ssr dl tipo:

5 up ( a a a a () ch sostituito nll quaion diffrnial (9) fornisc: q( u p( () B Nl caso in cui la trav è soggtta a carichi distribuiti, pr smpio con andamnto costant o linar, l sollcitaioni nlla trav sono null in quanto nullo è l intgral particolar dato dalla (). In prsna di carichi ripartiti, il modllo di Winlr cad compltamnt in diftto conducndo a soluioni ch rstituiscono carattristich di sollcitaion null. Pr qusto motivo, nl prosiguo dlla trattaion si fa rifrimnto a casi con carichi concntrati agli strmi dll lmnto (pr smpio il carico ripartito si approssima a più carichi concntrati). In dfinitiva, la soluion dlla trav si ottin dalla (), la qual può anch ssr scritta attravrso la sgunt forma matricial (i vttori vngono indicati con un singolo trattino collocato sotto il simbolo dllo stsso vttor mntr l matrici vngono indicat con un doppio trattino): u( ( (5) dov: [ ] ( (6) [ ] (7) ondiioni cinmatich al contorno condiioni cinmatich al contorno si ottngono dagli spostamnti rotaioni agli strmi dlla trav. Ricordando ch la rotaion si ottin dalla drivata dllo spostamnto si ha: u ϕ u ϕ () () ' ' () () (8) In forma compatta, la (8) può ssr scritta com sgu: u A (9) Pr dfinir la matric A occorr calcolar la drivata prima dlla () data dalla sgunt: u'( [ ] [ ] [ ] [ ] () alcolando la () la () pr l asciss d sostitundo nll (8) si ottin la matric A :

6 [ ] [ ] [ ] [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) A () om facilmnt dimostrabil, la matric A è smpr invrtibil (si omtt la dimostraion), pr cui è possibil scrivr la sgunt: u A () Noti gli spostamnti agli strmi dlla trav è possibil dtrminar l costanti. ondiioni mccanich al contorno condiioni mccanich al contorno si ottngono dai tagli dai momnti agli strmi dlla trav. Ricordando i lgami tra tagli, momnti spostamnti si ha: () () () () I E M M '' ''' '' ''' () In forma compatta, la () può ssr scritta com sgu: H F () Pr calcolar la matric H occorr ricavar la drivata sconda tra dlla (): u '( ' (5.a) [ ] [ ] [ ] [ ] u '( ' ' (5.b) alcolando la (5.a) la (5.b) pr l asciss d sostitundo nll () si ottin la matric H : ( ) ( ) ( ) ( ) c s c s c s s c s c c s I E H (6) Nlla prcdnt matric, pr motivi di spaio, si pon s ) c ). Sostitundo la () nlla () si ottin: u A H F (7)

7 Posto K H A (8) sostituita nlla (7) si ottin: F K u (9) a (9) govrna il problma dlla trav lastica su suolo lastico. Il vttor F rapprsnta for momnti ai nodi, K è la matric di rigida d u il vttor di spostamnti rotaioni nodali. Poiché K è invrtibil, la soluion è data dalla sgunt: u K F () Noti gli spostamnti nodali, è possibil dtrminar gli spostamnti, la prssion sul trrno l carattristich dlla sollcitaion pr ogni punto dlla trav. Quanto visto fino a qusto punto si rifrisc ad un singolo lmnto, pr cui la matric K è la matric di rigida di ogni singolo lmnto. Rifrita al jsimo lmnto, la matric di rigida può ssr scritta com sgu: K j, j, j, j, j, j, j, j, j () j, j, j, j, j, j, j, j, a matric () può ssr considrata composta dall sgunti quattro sottomatrici dll quali vin riportato il significato: j, j, K j,, : rapprsnta l sollcitaioni al nodo iniial dll lmnto pr fftto dgli j, j, spostamnti dl mdsimo nodo. j, j, K j,, : rapprsnta l sollcitaioni al nodo iniial dll lmnto pr fftto dgli j, j, spostamnti dl nodo final. j, K j,, j, dl nodo iniial. j, j, : rapprsnta l sollcitaioni al nodo final dll lmnto pr fftto dgli spostamnti j, j, K j,, : rapprsnta l sollcitaioni al nodo final dll lmnto pr fftto dgli spostamnti j, j, dl mdsimo nodo. Una trav di fondaion può ssr composta da più lmnti (n), in quanto ci possono ssr carichi concntrati, variaioni di sioni, cc. In qusti casi la matric di rigida è di ordin (n) si ottin attravrso l tradiionali tcnich di assmblaggio di matrici. Nl caso dll fondaioni, poiché gnralmnt

8 compost da lmnti collgati in sri, l assmblaggio dlla matric di rigida global si ottin sommando i contributi di rigida dll matrici dll singol ast nll righ colonn di comptna dgli spostamnti agli strmi dll stss ast. Pr smpio, s l asta è composta da quattro lmnti (vdi figura ), la matric di rigida è di ordin (n) d è di sguito riportata: Figura rav di fondaion costituita da lmnti 5 nodi K,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, () Pr qusto mtodo, la complicaion più rilvant è qulla di dovr invrtir la matric di rigida K, opraion ch richid ncssariamnt l utilio di un laborator lttronico (oggigiorno anch i più smplici fogli di calcolo lttronici sono dotati di funioni ch invrtono matrici). Esmpio Data la trav riportata nlla figura, calcolar l sollcitaioni pr fftto di carichi concntrati N, N, N d N attravrso il modllo di Winlr. Dati ungha dlla trav () : 665 cm ostant di sottofondo () : 5 dan/cm Modulo lastico dl calcstruo (E) : 758 dan/cm Fora N : 986 dan Fora N : dan Fora N : 6965 dan Fora N : 5579 dan Soluion Poiché sulla trav agiscono l quattro for concntrat N, N, N d N applicati in punti intrmdi (vdi figura ), si considra costituita da cinqu lmnti finiti l cui dimnsioni sono riportat nlla figura 5. Ognuno di cinqu lmnti vin indicato con un numro progrssivo (da a 5), collgati agli strmi attravrso nodi anch ssi indicati con un numro progrssivo (da a 6).

9 Figura Gomtria dlla trav di fondaion Figura 5 rav di fondaion costituita da 5 lmnti 6 nodi Pr potr dtrminar la costant, occorr conoscr l carattristich dl trrno qull mccanich gomtrich dlla trav. Data la sion riportata in figura, il momnto d inria val: I 55 cm Sostitundo grand gomtrich mccanich di trav trrno nlla rlaion (8), si ottin la costant (tal costant è ugual pr tutti gli lmnti dlla trav in quanto l grand in gioco sono uguali pr tutti gli stssi lmnti): B /cm E I

10 Nota la costant la lungha di singoli lmnti, attravrso la (), è possibil dtrminar l matrici A pr ogni lmnto dlla trav ch vngono di sguito riportat: A A A A A Pr dtrminar la matric di rigida di ogni singola asta occorr dfinir l matrici H dat dalla (6) di sguito riportat. H H H

11 H H a moltiplicaion dll matrici H con l invrsa dll matrici A (vdi rlaion 8), forniscono l matrici di rigida di ogni lmnto: K K K K K Assmblando l matrici K, K, K, K K 5 scondo quanto riportato sopra (vdi matric ()) si ottin la matric di rigida global K dll intra trav di fondaion. Poiché la trav è composta da 5 lmnti (vdi figura 5), l dimnsioni dlla matric sono (n) (in qusto contsto la matric non vin riportata pr motivi di dimnsioni). Il vttor u dgli spostamnti incogniti è di dimnsioni. Poiché pr ogni lmnto l incognit sono gli spostamnti l rotaioni dgli strmi, il vttor dv ssr rapprsntato com sgu (si indica con u i ϕ i rispttivamnt lo spostamnto la rotaion dll isimo nodo nl nostro smpio i..6):

12 [ ] u u u u u u u ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ () Poiché la trav è caricata dall sol for concntrat vrticali N, N, N d N d applicat rispttivamnt ni nodi,, 5 (vdi figura 5), il vttor dll for F assum la forma sgunt: N N N N F () Moltiplicando l invrsa dlla matric di rigida global K pr il vttor dll for F dato dalla (), si ottngono gli spostamnti incogniti di nodi: F K u cm (5) Noti gli spostamnti agli strmi dgli lmnti, è possibil calcolar l costanti di intgraion dat dalla (): Elmnto

13 Elmnto Elmnto Elmnto Elmnto Not l costanti,, pr ogni lmnto di trav, attravrso la () è possibil dtrminar gli spostamnti pr ogni punto dlla trav (vdi figura 6). Poiché si ha: du( M( E I (6.a) d du( ( E I (6.b) d dalla drivata sconda tra dlla (), attravrso l (6), si ottin il momnto flttnt d il taglio pr ogni punto dlla trav. andamnto dll sollcitaioni di taglio flssion sono riportat in figura 6.

14 Figura 6 arichi, spostamnti sollcitaioni dlla trav soggtta a carichi concntrati pr modllo alla Winlr asi particolari dl modllo di Winlr rav di lungha infinita Si considri una trav dformabil su suolo lastico alla Winlr sottoposta ad un carico concntrato in mria F. Si ipotia inoltr ch la lungha dlla trav sia sufficint da potr considrar nulli gli spostamnti agli strmi. Assunta l origin dl sistma di rifrimnto coincidnt con la posiion dlla fora F (vdi figura 7), poiché gli spostamnti di punti più distanti dlla trav dalla fora F sono nulli, dalla rlaion () si vinc ch l costanti sono anch ss null, pr cui la suddtta quaion assum la sgunt forma: u( (7) Pr la particolar condiion di carico (trav caricata simmtricamnt), si può ipotiar ch la rotaion all origin sia nulla, pr cui, tnndo prsnt il lgam tra spostamnti rotaioni (ϕ( u (), si vinc ch dv ssr nulla la drivata dgli spostamnti nll origin dgli assi. Prndndo in considraion la drivata dgli spostamnti data dalla rlaion () tnndo prsnt ch, si ha: u' ( [ ] [ ] (8) nndo conto ch in prossimità dl punto di applicaion dlla fora la rotaion è nulla, sgu: u '() (9) dalla qual si ottin ch. nndo prsnt la (6.b) si ottin: du() F () E I () d

15 Sostitundo la (5.b) nlla (), tnndo prsnt la (8) smplificando, si ottin: F () B In dfinitiva, l quaion ch govrna il problma dlla trav di lungha infinita su suolo lastico caricata da una fora concntrata in mria, si ottin dalla (7) sostitundo il valor dlla costant dato dalla (): [ ] F u( (.a) B Dalla drivata prima, sconda tra si ottngono rispttivamnt l rotaioni, i momnti flttnti d i tagli pr ogni punto dlla trav: F ϕ( (.b) B [ ] F M( (.c) F ( (.d) Naturalmnt, l quaioni così ottnut sono valid pr valori di positivi. a part di trav pr l ngativ si ottngono pr simmtria. Nlla figura 7 si riporta l andamnto dgli spostamnti, dll rotaioni dll sollcitaioni pr la tipologia di trav discussa. Ragionamnto analogo val anch pr il caso in cui la trav è soggtta ad una coppia applicata in mria. rav di lungha smi infinita Ipotiiamo in qusto caso ch la trav è soggtta ad un carico concntrato ad una strmità ch la lungha dlla stssa è tal da potr considrar valid l ipotsi assunt pr il caso prcdnt (trav di lungha infinita). Val smpr la condiion ch pr grandi valori di gli spostamnti sono nulli, pr cui si ottin anch in qusto caso ch sono nulli. Risptto al caso di lungha infinita cambiano l condiioni al contorno. Poiché all strmità dlla trav è applicata una fora concntrata si ha: d M() E I u() (.a) d d u() () E I F (.b) d Sostitundo l (5) nll () pr si ottngono i sgunti valori dll costanti: F (.a) E I (.b) pr cui, in dfinitiva si ottngono l quaioni ch govrnano il problma: F u( (5.a) B

16 F ϕ( B [ ] (5.b) F M( (5.c) [ ] ( F (5.d) Figura 7 Spostamnti sollcitaioni pr trav di lungha infinita ungha carattristica Si dfinisc lungha carattristica di una trav su suolo lastico la lungha ch dv avr la trav stssa, caricata con una fora F concntrata in mria, affinché vngano trasmssi al trrno solo aioni di comprssion. Figura 8 Dformata dlla trav caricata in mria dalla fora F

17 quaion ch govrna il problma è la (). Pr l ipotsi fatt, gli strmi dlla trav hanno spostamnti nulli, pr cui pr l strmo iniial valgono l sgunti condiioni al contorno: u() M() () u() u' '() u' ''() (6) Sostitundo l ascissa nll (), (5.a) (5.b) si ottin il sgunt sistma: ch risolto fornisc: (7) (8) a quarta condiion al contorno si ottin dalla simmtria dlla trav. In fftti, pr la suddtta simmtria, la trav in mria trasla ma non ruota, pr cui in tal punto la rotaion si considra nulla. Poiché la rotaion è lgata alla drivata dllo spostamnto, attravrso la (), applicata pr / tnndo prsnt l (8) si ottin: ( ) / / cos (9) dalla qual, affinché sia vra, dv ssr soddisfatta la sgunt: cos π (5) nndo prsnt la (8), si dfinisc lungha carattristica ( c ) dlla trav di fondaion la sgunt quantità: c E I π B (5) A scondo dl valor di, si possono far l sgunti affrmaioni: π (trav corta trav rigida su suolo lastico) (5.a) π < π (trav mdia modllo di Winlr) (5.b) > π (trav lunga modllo di Winlr smplificato) (5.c) Il modllo di Winlr applicato pr travi di fondaion di difici in muratura Il modllo di Winlr vin comunmnt utiliato pr risolvr travi di fondaion in c.a. l cui sovrastruttur sono lmnti ch scaricano sulla fondaion in modo puntual (pr smpio pilastri in c.a.). on alcuni accorgimnti, è possibil adattar il modllo alla Winlr anch all struttur in muratura ch

18 scaricano sull fondaioni non in modo puntual ma distribundo il carico su un tratto più o mno lungo di fondaion. Nll smpio ch sgu si riporta com sono stat valutat l for concntrat N, N, N d N riportat nll smpio. Esmpio Data la struttura riportata in figura 9, calcolar l for concntrat sulla fondaion trasmss dalla part. Figura 9 Gomtria dlla part diagramma dll tnsioni Dati ungha dlla trav () : 665 cm Sforo normal (N) : 9 dan Eccntricità dl carico () : cm Soluion a trav è soggtta a più carichi distribuiti la cui risultant è data dalla fora N il cui punto di applicaion è (/ ), dov rapprsnta l ccntricità dl carico N risptto al baricntro dlla trav (l ccntricità è stata valutata pari a cm, funion dlla gomtria dlla part, di carichi ch ci gravano dll aion sismica). a trav può ssr considrata soggtta a quattro carichi distribuiti in quanto sono prsnti tr aprtur (q, q, q q vdi figura 9), i quali, a sua volta, vngono approssimati a quattro carichi concntrati (N, N, N N vdi figura 9). Pr calcolar l intnsità di suddtti carichi distribuiti, si può prndr in considraion il trapio dll tnsioni (riportato in figura 9) dividrlo in quattro parti, dov il

19 confin di ognuna coincid con il punto mdio dll aprtura. on qusta procdura, il carico sarà ripartito sulla trav proporionalmnt all tnsioni. Indicando con a t l ara total dl trapio dll tnsioni con a, a, a d a l ara dll quattro parti si ha: (.86.) 665 a t 69.5 (.86.9) 5 a 77.6 (.9.9) 8 a 7.78 (.9.75) a (.75.) 6 a a risultant dll for su ognuna dll suddtt ar si ottin in modo proporional com riportato sotto: N a N a 69.5 t 986 dan N a N a 69.5 t dan a N N 6965 dan at 69.5 a N N 5579 dan at 69.5 prcdnti sono l for ch gravano sulla trav risolta nll smpio.