Cognome e Nome... Ricerca Operativa 2 AA

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1 Compito A Esercizio. a) Si scrivano, esplicitamente (possono essere riportati in maniera compatta soltanto upper e lower bound sulle variabili), tutte le disequazioni lineari che definiscono il SUBTOUR POLYTOPE P L associato al grafo seguente b) Il punto x * = [x 2 =½, x 3 =½, x 5 =, x 23 =0, x 24 =, x 25 =½, x 34 =, x 35 =½] appartiene a P L? Si giustifichi la risposta data. Esercizio 2. A.) Per la prossima settimana, un agenzia di traduzione vuole organizzare dei corsi di aggiornamento di inglese tecnico per i suoi 200 traduttori appena assunti. I temi saranno: Arte, Botanica, Chimica, Diritto, Economia, Finanza,..., Veterinaria, e Zoologia. Ogni corso dura /2 giornata (l intera mattina o il pomeriggio). La sede dell agenzia è aperta dal Lunedì al Venerdì. Le aule sono tutte da più di 200 posti: la mattina ne sono disponibili 3, mentre il pomeriggio solo 2. Ogni traduttore ha espresso l intenzione a partecipare ad alcuni corsi: tali informazioni sono riassunte nella matrice A il cui generico elemento a ij vale se il traduttore i vuole frequentare il corso j, per i=..200, e j=a..z, e 0 altrimenti. A..) Formulare il problema in modo da massimizzare il numero dei corsi che verranno tenuti, facendo in modo che non si tengano contemporaneamente i corsi a cui vuole partecipare traduttore i, per i= A..2) Come cambierebbe la funzione obiettivo se volessimo massimizzare il numero dei partecipanti ai corsi? a) Si scrivano, in maniera esplicita (possono essere riportati in maniera compatta soltanto upper e lower bound sulle variabili) le disequazioni lineari per il poliedro P L, rilassamento lineare dell'involucro convesso dei vettori caratteristici dei matching del grafo seguente: b) Esiste un matching di cardinalità 5? Ed uno di cardinalità 6? Si giustifichino le risposte date.

2 Compito B Esercizio. B.) Un gruppo di 5 bambini scout (Aurora, Bruno, Costanza,..., Paola, Quintino) deve partire per una gita. Non potendo usare il pullman, si decide di utilizzare le 9 macchine dei capi-scout (ognuno guiderà la sua). In ogni macchina saliranno non più di 4 bambini. Si vuole minimizzare il numero delle macchine utilizzate, e stabilire l equipaggio di ciascuna di queste, sapendo che: Andrea vuole viaggiare insieme a Matteo e Francesco; Bruno e Leonardo non devono stare sulla stessa macchina; e se Nicola e Paola stanno nella stessa macchina, allora Giulio deve stare in una altra macchina. B..) Scrivere i vincoli del problema. B..2) Se si volesse minimizzare il numero delle macchine utilizzate, sarebbero adatte/sufficienti le variabili utilizzate per il punto B..? Motivare la risposta. E come cambierebbe la formulazione se non si potessero prendere entrambe le macchine dei capi-scout Giuseppe e Giovanni? Esercizio 2. a) Si scrivano, esplicitamente (possono essere riportati in maniera compatta soltanto upper e lower bound sulle variabili), tutte le disequazioni lineari che definiscono il SUBTOUR POLYTOPE P L associato al grafo seguente b) Il punto x * = [x 2 =½, x 24 =, x 34 =, x 35 =½, x 5 =, x 3 =½, x 23 =0, x 25 =½] appartiene a P L? Si giustifichi la risposta data. a) Si scrivano, in maniera esplicita (possono essere riportati in maniera compatta soltanto upper e lower bound sulle variabili) le disequazioni lineari per il poliedro P L, rilassamento lineare dell'involucro convesso dei vettori caratteristici degli stable set del grafo seguente: b) Esiste uno stable di cardinalità 5? Ed uno di cardinalità 6? Si giustifichino le risposte date.

3 Compito C Esercizio. Si scriva in forma di PLI il problema dello scheduling definito dalle 7 attività a,...,a 7 e tale che:. Non ci siano attività svolte in parallelo. 2. Vengano rispettate le precedenze definite dal grafo seguente. 3. L'attività a 2 inizi 3 unità di tempo dopo la fine dell'attività a. 4. Se l'attività a 2 precede la a 3, allora la a 5 precede la a Si voglia minimizzare il tempo di inizio dell'attività a I tempi di processamento delle attività siano definiti dal vettore p=[3,6,5,4,7,8]. a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 I vincoli lineari della formulazione (tranne upper e lower bound sulle variabili) devono essere scritti ESPLICITAMENTE. Esercizio 2. C.) Per il prossimo anno scolastico la scuola di quartiere vuole organizzare dei corsi extra-scolastici nei pomeriggi dal Lunedì al Venerdì, dalle 6 alle 7, dalle 7 alle 8, e dalle 8 alle 9. I possibili corsi sono 5 (per esempio Arte, Chitarra, Danza, Giardinaggio, Ginnastica, Teatro, Pallavolo,...). I corsi vengono divisi in 3 gruppi, che si chiamano S, L, e A: il gruppo S è quello delle attività sportive, il gruppo L è formato dai laboratori (per es. il laboratorio teatrale, quello cinematografico, o quello di giardinaggio), nel gruppo A, infine, troviamo tutte le altre attività. Le attività sportive (gruppo S) dovranno avere 2 lezioni a settimana, di un ora ciascuna, alla stessa ora di Lunedì e Giovedì, oppure di Martedì e Venerdì; i laboratori (gruppo L) hanno bisogno di una lezione a settimana, della durata di 3 ore consecutive; le altre attività (gruppo A) prevedono, invece, una sola lezione a settimana, della durata di ora. C..) Formulare il problema di massimizzare il numero di ore in cui c è qualche attività, in modo tale che nell arco dell intera settimana vi siano almeno 3 attività sportive, e almeno 2 laboratori, e che in ognuna delle ore non si tengano più di due attività contemporaneamente. C..2) Come cambia la formulazione se se vuole massimizzare il numero delle attività organizzate? Sono adatte/sufficienti le variabili utilizzate per il punto C..? a) Si scrivano, in maniera esplicita (possono essere riportati in maniera compatta soltanto upper e lower bound sulle variabili) le disequazioni lineari per il poliedro P L, rilassamento lineare dell'involucro convesso dei vettori caratteristici degli edge cover del grafo seguente: b) Esiste uno stable di cardinalità 8? Ed uno di cardinalità 7? Si giustifichino le risposte date.

4 Compito D Esercizio. a) Si scrivano, in maniera esplicita (possono essere riportati in maniera compatta soltanto upper e lower bound sulle variabili) le disequazioni lineari per il poliedro P L, rilassamento lineare dell'involucro convesso dei vettori caratteristici dei node cover del grafo seguente: b) Esiste un node cover di cardinalità 5? Ed uno di cardinalità 4? Si giustifichino le risposte date. Esercizio 2. Si scriva in forma di PLI il problema dello scheduling definito dalle 7 attività a,...,a 7 e tale che:. Non ci siano attività svolte in parallelo. 2. Vengano rispettate le precedenze definite dal grafo seguente. 3. L'attività a 3 inizi 6 unità di tempo dopo la fine dell'attività a. 4. Se l'attività a 2 precede la a 3, allora la a 4 precede la a Si voglia minimizzare il tempo di fine dell'attività a I tempi di processamento delle attività siano definiti dal vettore p=[6,5,7,4,8,3]. a 2 a 4 a a 3 a 5 a 6 I vincoli lineari della formulazione (tranne upper e lower bound sulle variabili) devono essere scritti ESPLICITAMENTE. D.) Andrea, Barbara, Carlo,..., e Vittorio (in tutto 20) si ritrovano per partire per una gita. Vi sono 8 macchine a disposizione, e sono le macchine di: Barbara, Davide, Giovanni, Luca, Matteo, Tommaso, Ugo, e Vittorio. Il viaggio è lungo, e per stare più comodi decidono di non essere più di 4 in ogni macchina. Si vuole stabilire l equipaggio di ciascuna macchina, sapendo quanto segue: il proprietario di una macchina utilizzata deve fare parte dell equipaggio di quella macchina, con l esclusione della macchina di Davide, che può essere guidata indifferentemente da lui o dal fratello Carlo; Andrea deve viaggiare per forza sulla macchina di Matteo; Francesco e Leonardo devono stare sulla stessa macchina; Nicola e Saverio preferiscono non stare nella stessa macchina; e se Nicola e Roberto sono entrambi sulla macchina di Davide, allora Paolo vuole viaggiare sulla macchina di Giovanno o su quella di Tommaso. D..) Scrivere i vincoli del problema. D..2) Se si volesse minimizzare il numero delle macchine utilizzate, sarebbero adatte/sufficienti le variabili utilizzate per il punto D..? Motivare la risposta. E come cambierebbe la formulazione se aggiungessimo il vincolo di non prendere entrambe le macchine di Barbara e di Davide?

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