Suono e musica: le basi fisiche dell armonia

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1 Suono e musica: le basi fisiche dell armonia Leonardo Castellani Università del Piemonte Orientale Torgnon, 14 Marzo 2013

2 Sentiamo un suono quando il timpano dell orecchio è posto in vibrazione da un onda sonora Un onda sonora è formata da zone di compressione e rarefazione dell aria, che si propagano in tutte le direzioni (se non ci sono ostacoli)

3 Alta pressione (compressione) Bassa pressione (rarefazione) Oscillazione del valore della pressione, nel tempo e nello spazio p Le molecole dell aria oscillano nella stessa direzione dell onda. Le oscillazioni sonore sono quindi longitudinali.

4 (a) Onda longitudinale (b) Onda trasversale

5 Le onde del mare non sono nè completamente trasverse nè completamente longitudinali

6 Riassunto: per qualsiasi onda che si propaghi a velocità v : p λ v = λ / T A λ = lunghezza d onda T = periodo = tempo impiegato nel percorrere λ f = frequenza = 1/ T = quante volte l onda oscilla in un secondo ALTEZZA del suono. Si misura in Hertz (Hz) A = ampiezza dell onda VOLUME del suono

7 La FORMA dell onda dà invece il TIMBRO del suono! ANDAMENTO PERIODICO ALTRIMENTI SUONO RUMORE

8 Le frequenze (fondamentali) delle corde del pianoforte Do 8 = 4186 Hz La 4 = 440 Hz La 0 = 27.5 Hz

9 Esperimento con oscilloscopio: le onde sonore di vari strumenti

10 Il VOLUME (o INTENSITA ) del suono (legato all ampiezza A) = energia trasmessa dall onda in un secondo attraverso una superficie di 1 m 2 W/m 2 Si misura in watt/m 2 Soglia del dolore I 0 Soglia della percezione

11 percezione dolore

12 Da cosa sono provocate le onde (oscillazioni) in natura? Da una eccitazione iniziale e da una forza di richiamo L eccitazione provoca uno spostamento x dalla posizione di equilibrio La forza di richiamo F tende a riportare alla posizione di equilibrio Per PICCOLI SPOSTAMENTI la forza di richiamo è proporzionale allo spostamento (es: molla) F = k x

13 Vediamo allora come oscilla una massa attaccata ad una molla: Il moto della massa in questo caso si chiama moto armonico. Per questo motivo la forma dell onda associata al movimento di m si chiama onda armonica (oppure onda pura o sinusoidale ) È l onda più semplice

14 Le onde si possono SOVRAPPORRE! Per esempio quando in mare si incontrano due onde, le loro ampiezze si SOMMANO

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17 Qualunque onda di frequenza f può ottenersi come sovrapposizione di onde armoniche, di frequenze n f (teorema di Fourier), con n = numero intero n = 1 FONDAMENTALE n = 2 PRIMA ARMONICA n = 3 SECONDA ARMONICA etc. Ampiezze delle armoniche

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19 Analisi spettrale

20 Sovrapposizione di armoniche: non viene percepita come un insieme di suoni a frequenze diverse, ma come un unico suono, con data frequenza fondamentale. La presenza di armoniche, variamente miscelate, produce il timbro del suono. Meccanismo che permette di assegnare un unica sensazione di altezza ad un tono complesso di strumento musicale Analisi spettrale con oscilloscopio

21 Abbiamo visto che una molla oscilla armonicamente, e può quindi emettere (spostando periodicamente le molecole di aria nelle sue vicinanze) un suono armonico. Esempio: diapason. Uno strumento musicale è molto più complesso di una molla o di un diapason. Vengono messe in vibrazione corde oppure colonne di aria in opportuni cilindri etc. Queste vibrazioni eccitano altre parti dello strumento (che entrano in risonanza). Perché gli strumenti musicali emettono suoni, cioè onde periodiche di compressione, e non rumori (aperiodici)?

22 A causa della riflessione delle onde, se fate vibrare una corda tenuta fissa a due estremi, l onda riflessa interferisce con l onda originaria, a meno che non si crei una ONDA STAZIONARIA

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24 In genere in una corda vibrante (corda di chitarra, di pianoforte, di clavicembalo ), o in una colonna d aria vibrante (canna d organo, o di flauto etc..) si creano sovrapposizioni di onde stazionarie, con un onda di frequenza minima (la fondamentale) accompagnata da varie armoniche (con frequenze multiple della fondamentale) Però lo spettro di frequenze emesse da una chitarra o da un violino non è semplicemente quello della corda che vibra. Infatti il corpo della chitarra o del violino RISUONA per alcune frequenze: le armoniche corrispondenti a quelle frequenze vengono esaltate.

25 Il fenomeno della risonanza: Esempio: diapason su cassa di risonanza. Le onde sonore emesse da un diapason possono mettere in vibrazione un altro diapason inizialmente fermo, se le frequenze proprie dei due diapason sono uguali Esempio: altalena che oscilla con frequenza propria di 1 Hz. Spinte di frequenza 1, 1/2, 1/3 Hz (una spinta ogni una, due, tre, oscillazioni) possono metterla in movimento ed ampliarne l ampiezza di oscillazione! Tacoma Narrows Bridge, 1940

26 Così nel pianoforte il La 3 (220 Hz) mette in risonanza il La 4 (440 Hz ) dell ottava superiore La 4 (440 Hz) La 3 (220 Hz)

27 Con tecniche di interferometria olografica si ottengono immagini delle onde stazionarie sul corpo dello strumento: Ampiezza delle oscillazioni 10-5 cm

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29 La serie armonica Pizzicando una corda (Sol 2 ), si eccitano in generale più armoniche. L altezza corrisponde alla fondamentale Sol 2 L ampiezza delle varie armoniche determina la forma dell onda stazionaria sulla corda, cioè il timbro Le prime otto armoniche, in notazione musicale: Sperimentare col pianoforte!

30 Consonanza e dissonanza sensazione soggettiva associata a due o più toni suonati simultaneamente due suoni all unisono (stessa frequenza della fondamentale) hanno le stesse armoniche Cosa succede se modifichiamo gradatamente l altezza (cioè la frequenza) di uno dei due suoni? 1) un solo suono, battimenti (si percepiscono bene fino a circa Δf = 10 Hz) 2) oltre 15 Hz: spariscono i battimenti, e ruvidezza del suono 3) quando Δf raggiunge un certo valore critico Δf D : si distinguono due toni separati. Rimane la ruvidezza. 4) quando Δf raggiunge un certo valore critico Δf CB : scompare la sensazione di ruvidezza

31 Dalla sovrapposizione di due onde di frequenze vicine: battimenti Frequenza dei battimenti = differenza delle frequenze delle due onde

32 L orecchio 35 mm Frequenze diverse mettono in vibrazione diverse zone di questa membrana Δf CB corrisponde a circa 1.2 mm

33 La cochlea è un raffinatissimo analizzatore di spettro quando un onda sonora raggiunge la cochlea, la sua membrana inizia a vibrare nelle varie zone corrispondenti alle armoniche presenti nel suono. Quando vibrano zone diverse della membrana che distano meno di circa 1.2 mm, si ha sovrapposizione parziale delle zone, con relativa fatica del cervello per decodificare le frequenze Sensazione di spiacevolezza

34 due suoni sono sentiti come consonanti se le loro fondamentali e le loro principali armoniche non sono nella situazione di vicinanza fastidiosa nella cochlea.

35 Quali sono gli intervalli musicali per cui questo accade? In ordine di consonanza: 1/1 unisono 2/1 ottava 3/2 quinta 4/3 quarta 5/3 sesta maggiore 5/4 terza maggiore 6/5 terza minore 8/5 sesta minore Consonanze perfette Consonanze imperfette Rapporto tra le frequenze

36 A. Frova, Le Scienze, gennaio 2000

37 Le scale musicali Un certo numero di note (insieme discreto di frequenze) scelte in modo da fornire il maggior numero possibile di combinazioni consonanti quando due o più note vengano suonate contemporaneamente Con questo criterio si costruiscono immediatamente due scale: Consonanze perfette e imperfette scala giusta Solo consonanze perfette scala pitagorica

38 Esempio: costruzione della scala pitagorica Costruita con l ottava (2/1), la quinta (3/2) e la quarta (4/3) 1/2 Scala pentatonale 3/2 4/3 3/2 4/3 do re sol la do f 9/8 f 3/2 f 27/16 f 2 f

39 Scala pitagorica do re mi fa sol la si do 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/ /8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243 9/8 = = tono pitagorico 256/243 = = semitono diatonico pitagorico Poi generiamo fa# (quarta sotto si), do# (quarta sotto fa#), sol# (quinta sopra do# ), la# (quarta sopra fa) e re# (quinta sotto la#) Appare un nuovo semitono (per es. fa - fa#) 2187/2048 = = semitono cromatico pitagorico

40 12 note do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si NB (9/8) I CENTS

41 Per un analisi quantitativa dei rapporti di frequenze: i CENTS. L ottava = 1200 CENTS. SEMITONO TEMPERATO = 100 CENTS = 12 2 do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si Intervalli puri (matematici): quinta = 3/2 = 702 cents terza minore = 6/5 = 316 cents quarta = 4/3 = 498 cents sesta maggiore = 5/3 = 884 c. terza maggiore = 5/4 = 386 cents sesta minore = 8/5 = 814 cents

42 Scala giusta (o naturale) basata su rapporti semplici costruita per ottave, quinte, terze pure do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do re : 9/8 = 204 cents re mi : 10/9 = 182 cents problema anche per melodie senza accordi

43 Problemi: consonanze solo in poche tonalità Restrizioni alle trasposizioni e alle modulazioni! Problemi risolti con la scala TEMPERATA Necessario un compromesso: si rinuncia alla giustezza degli intervalli musicali, per ottenere invece un rapporto di frequenze SEMPRE UGUALE tra i semitoni della scala Questo rapporto è dato da semitono temperato 12 2 = = 100 cents

44 Paragone tra le varie scale: I cents

45 Frequenze della scala temperata C D E F G A B do re mi fa sol la si

46 Quinta: do-sol deviazioni da consonanza matematica: 0,0,-5,-2 (temp) sol# - mib deviazioni: -24 (lupo),-2,+35,-2 Terza maggiore: do - mi deviazioni : + 22, 0, 0, +14(temp) Sesta maggiore : do la deviazioni: +22, 0, +6, +16(temp)

47 Scala pitagorica: Scala giusta: Scala temperata: si apprezzano meno le differenze quando non ci sono accordi!

48 Vari temperamenti Pitagorico (per quinte pure): apprezzabile per stili armonici in cui si favoriscono quinte e quarte (polifonia in Cina e Europa medioevale) Perotin, Adam de la Halle, Petrus de Cruce, XIII secolo. Guillaume de Machaut, XIV secolo. Terze maggiori e minori non sono pure. Una quinta del lupo. Quando un intervallo musicale si allontana troppo dalla consonanza matematica, diventa troppo stonato per essere utilizzato (si dice allora del lupo ). Nei temperamenti antichi si tollerano circa 22 cents sulle terze (come nelle terze pitagoriche) e circa 11 cents sulle quinte. Un orecchio moderno è forse più esigente. Nel XV secolo lo stile musicale evolve con maggiore enfasi su terze e seste necessità di temperamenti diversi ( meantone tunings : triadi maggiori quasi pure)

49 Temperamenti regolari (tutte le quinte temperate con lo stesso numero di cents): Aaron s meantone, Silbermann. Temperamenti irregolari: Kirnberger, Vallotti, Werckmeister, il ben temperamento (quello del Clavicembalo ben temperato ) - ogni tonalità è usabile - no lupi - ottave pure - tutti gli accordi suonano bene. Ben temperamento: terze maggiori e quinte quasi pure per tonalità vicino a do, intervalli meno puri, ma sempre accettabili, per tonalità lontane da do. - ogni tonalità ha un suo colore. Si può scrivere musica assecondando il colore della tonalità scelta. Bach: clavicembalo ben temperato, 48 preludi e fughe, 2 in ogni tonalità (maggiore e minore)

50 Temperamento equabile Si diffonde dalla metà dell 800 (proposto da Mersenne verso la metà del XVIII secolo). Ogni scala suona nello stesso modo. Tutti gli accordi sembrano ugualmente intonati. Solo ottave pure Tutte le tonalità abbastanza interessanti, ma tutte uguali tra loro come colore. Il migliore dei mondi? Bach in ben temperamento Musica medioevale in accordatura pitagorica Chopin e romantica: temperamento equabile.

51 Frammenti musicali in vari temperamenti Schubert: temperato giusto pitagorico Bach: clavicembalo organo (pitagorico 1/6 comma) Buxtehude Handel temperato Senfl: pitagorico

52 Musica nella fisica? esempio contemporaneo: teoria delle stringhe (per spiegare le interazioni fondamentali tra i componenti ultimi della materia)

53 LA MATERIA: QUARKS LEPTONI LE INTERAZIONI e le particelle mediatrici Elettromagnetica: fotone γ Forte: gluone Debole: Z 0, W ± Gravitazionale gravitone Particelle puntiformi, senza struttura interna (fino a metri) Ragioni per una fisica oltre il modello standard. Ulteriori unificazioni

54 e - e - γ Per es: l interazione elettromagnetica tra elettroni è mediata dai fotoni NOTA: le zone di interazione sono puntiformi e - e - Per la gravitazione, lo stesso schema porta a inconsistenze matematiche E necessario superare il concetto di particella elementare PUNTIFORME

55 Gli oggetti elementari sono STRINGHE, di estensione ~ m aperta chiusa Le zone d interazione sono estese I vari modi di vibrazione corrispondono alle varie particelle

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57 Illusioni acustiche: effetto Schepard R. Shepard, J. Acoust. Soc. Am 36 (1964) 2346

58 Bibliografia: J. G. Roederer, The Physics and Psychophysics of Music, 1995 Springer J. Jeans, Science and Music, 1937 (Dover 1968) H. Helmholtz, On the sensations of tone, 1885 (Dover 1954) J. Backus, The acoustical foundations of music, Norton 1969 M. Critchley, R.A. Henson, La musica e il cervello, Piccin 1987 A. Schönberg, Manuale di armonia, 1922 (Il Saggiatore 1963)