Richiami di microeconomia

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1 Capitolo 5 Richiami di microeconomia 5. Le preferenze e l utilità Nell analisi microeconomica si può decidere di descrivere ogni soggetto attraverso una funzione di utilità oppure attraverso le sue preferenze. Le due vie non sono identiche a meno che non esistano dei vincoli particolari sulle preferenze. Avendo a disposizione due possibili panieri x R n e y R n (entrambi composti da n beni) si può, allora, procedere in due modi:. stabilire una relazione di preferenza nella forma x % y, indicando con il simbolo % la preferenza debole (ovvero il fatto che tutti i beni contenuti in x non sono mai peggiori dei beni contenuti in y),. stabilire un livello di soddisfazione derivante dal consumo dei panieri x e y che sia misurabile da una funzione di utilità U (x) e U (y) rispettivamente. Ci si domanda sotto quali condizioni i due approcci forniscono lo stesso risultato (ovvero determinano la stessa scelta per il consumatore). Il risultato che si ottiene si può riassumere come nella Proposizione 5... Proposizione 5.. Se le preferenze sono un ordine (cioè complete, riflessive, transitive) e sono continue, allora esiste una sola funzione di utilità continua U : R n + R (a meno di una trasformazione monotòna crescente) tale che x % y U (x) U (y).

2 Richiami di microeconomia Ricordo, di seguito, la definizione di razionalità che viene data nei testi di microeconomia. Definizione 5.. Le preferenze deboli % sono razionali se e solo se sono un ordine (cioè complete, riflessive e transitive). Piccolo riassunto circa le tre proprietà di un «ordine»:. completezza: su tutto il dominio delle preferenze deve valere almeno una delle due relazioni: x % y, y % x; quando valgono entrambe allora x y indicando con la relazione di indifferenza;. riflessività: su tutto il dominio delle preferenze deve valere x x; 3. transitività: su tutto il dominio delle preferenze se x è preferito (debolmente) a y e y è preferito (debolmente) a z allora deve valere che x sia preferito (debolmente) a z. N.B. 5.. La riflessività vale se vale la completezza e, dunque, alcuni libri di testo non riportano la seconda condizione tra quelle necessarie per poter definire «razionali» le preferenze. Infatti, inserendo lo stesso bene nella definizione di completezza, si ha che deve valere sia x % x sia x % x ovvero x x. Le condizioni da rispettare affinché esista (almeno) una funzione di utilità in grado di descrivere le preferenze dei consumatori hanno suscitato non poche polemiche tra gli economisti. In particolare la transitività sembra essere decisamente un ipotesi forte. Nell ambito finanziario, la situazione diviene più complessa da un lato e più semplice da un altro. La semplificazione si ha poiché, anziché avere una pluralità di beni, si ha un bene solo che è il denaro (o la ricchezza); la complicazione deriva dal fatto che gli eventi da prendere in considerazione non sono certi ma sono delle variabili aleatorie. Osservo, nel paragrafo che segue, come affrontare questo caso.

3 5.. Preferenze sui titoli-lotterie Preferenze sui titoli-lotterie Nella teoria del rischio, anziché scegliere su particolari beni o panieri di beni, si devono effettuare scelte su «giochi» o «lotterie» che forniscono, come risultato, una vincita o una perdita misurabile in termini monetari (o di beni). La tipica «lotteria» dell approccio microeconomico coincide esattamente con un qualsiasi titolo sul mercato finanziario (il prezzo del titolo, inoltre, coincide con il costo di partecipare alla lotteria). Si può, allora, riprendere l iniziale formulazione di un mercato finanziario indicando con S (t) il prezzo di un titolo e con S (t +,j) il prezzo del titolo, nel periodo successivo, e nello stato del mondo j. Il titolo, ovviamente, può essere l oggetto di preferenze da parte dei consumatori i quali sono chiamati, per esempio, a scegliere quale titolo acquistare tra due possibili. Sembra estremamente conveniente, ancora una volta, come nel paragrafo precedente, cercare di tradurre le preferenze in una funzione di utilità. Se prendiamo in considerazione i singoli stati del mondo, sappiamo che quando si verifica lo stato del mondo j un soggetto ottiene l utilità U (S (t +,j)) e questo accade con una certa probabilità che possiamo chiamare π j. Evidentemente, dunque, possiamo calcolare l utilità attesa della lotteria come E t [U (S (t +))]= nx π j U (S (t +,j)). j= Ora ci poniamo questa domanda: esiste (almeno) una funzione di utilità per cui l utilità di una lotteria coincide con la sua utilità attesa (detta di Von Neumann-Morgenstern)? Ovvero: esiste Û (S (t +))tale che Û (S (t +))= nx π j U (S (t +,j))? j= La risposta è affermativa ma solo sotto una condizione aggiuntiva rispetto a quelle già elencate nella Proposizione 5... Riporto di seguito il principale risultato riguardante la teoria delle scelte in condizioni di incertezza.

4 Richiami di microeconomia Teorema 5.. (dell utilità attesa) Se le preferenze sulle lotterie sono razionali (cioè complete, riflessive e transitive), continue e soddisfano l assioma di indipendenza, allora esiste una sola funzione di utilità continua U : R n + R (a meno di una trasformazione affine crescente) tale che S º S nx π j U (S,j ) j= nx π j U (S,j ). j= Che cos è l assioma di indipendenza (esso è anche detto «assioma di indipendenza dalle alternative irrilevanti»)? La definizione è quella che segue. Assioma 5.. (indipendenza dalle alternative irrilevanti) Dati tre titoli S, S e S 3 eunnumerorealeα (0, ) vale S % S αs +( α) S 3 % αs +( α) S 3. Questo assioma chiede che un soggetto basi le sue scelte solo sulle parti diverse di due lotterie. Nei seguenti paragrafi mostro alcuni importanti risultati riguardanti l attendibilità dell assioma dell indipendenza. 5.3 Il paradosso di Allais Allais propose a Von-Neumann e Morgenstern il seguente gioco per mettere alla prova la loro teoria dell utilità attesa. Si considerino queste due lotterie: A = A = π = B = B =5 B = B 3 =0 π =0. π =0.89 π 3 =0.0 quale si sceglie? Secondo la teoria dell utilità attesa si preferisce A rispetto a B se vale A % B U () 0.U (5) U () + 0.0U (0) 0.U () 0.U (5) + 0.0U (0).

5 5.3. Il paradosso di Allais 35 Il giocatore, poi, viene messo di fronte a un altra scelta (questa volta tra due lotterie vere e proprie e non degeneri) C = A = A =0 π =0. π =0.89 D = D =5 D =0 π =0. π =0.9 da cui C è preferito a D se vale C % D 0.U () U (0) 0.U (5) + 0.9U (0) 0.U () 0.U (5) + 0.0U (0). La teoria dell utilità attesa ci fa dunque concludere che la lotteria A è preferita a B seesoloselalotteriac èpreferitaad. Una tale scelta, tuttavia, non è molto comune. Infatti i soggetti sottoposti a esperimento tendono a scegliere A rispetto a B ma, posti di fronte a C e D, tendono a preferire D. Il principale problema che sorge nella percezione delle due coppie di lotterie si deve alla presenza di un guadagno certo nella prima. Questo altera significativamente il comportamento dei soggetti. La «certezza», infatti, risulta sempre assai preferita da coloro che sono avversi al rischio. Una possibile soluzione al paradosso di Allais è stata trovata indebolendo l assioma di indipendenza. L assioma che viene suggerito al suo posto è quello detto betweenness (che potremmo tradurre con «via di mezzo»). Assioma 5.3. (betweenness) Dati due titoli S, S eunnumeroreale α (0, ) vale S S αs +( α) S S. L assioma richiede che, mischiando due lotterie indifferenti attraverso una combinazione lineare, si ottenga una lotteria anch essa indifferente a quelle iniziali. Appare evidente come questo assioma sia un caso particolare di quello di indipendenza (basta porre z = y in quello e assumere x y). Tuttavia l assioma dell indipendenza non può essere tratto da quest ultimo (il quale, evidentemente, pone delle condizioni meno restrittive). Vedremo successivamente come il meccanismo dei mercati finanziari possa contribuire a eliminare gli operatori le cui preferenze non rispettano l assioma di indipendenza.

6 35 5. Richiami di microeconomia 5.4 Il paradosso di Ellsberg Ci viene detto che un urna contiene 300 palline di cui 00 sono rosse e 00 sono blu o verdi. Ci vengono proposte le seguenti lotterie A = 000 A A = =0 B = 000 B B = =0 rosso non rosso blu non blu e la nostra scelta viene effettuata nei termini seguenti: A % B µ 3 U (000) + U (0) P (blu) U (000) + ( P (blu)) U (0) 3 3 P (blu) U (000) 3 P (blu) U (0). Ci viene poi data la possibilità di scegliere tra le due lotterie C = 000 C C = =0 D = 000 D D = =0 non rosso rosso non blu blu sulle quali la scelta implica C % D µ U (000) + U (0) ( P (blu)) U (000) + P (blu) U (0) P (blu) U (000) 3 P (blu) U (0) La conclusione è che se un soggetto sceglie A rispetto a B allora deve scegliere D rispetto a C. I soggetti a cui è stato proposto l esperimento hanno spesso scelto A rispetto a B epoic rispetto a D mostrando una scelta incoerente con il metodo dell utilità attesa. La spiegazione psicologica del comportamento descritto da Ellsberg risiede nell errata valutazione che si fa delle probabilità. In particolare si attua un processo logico diverso per valutare la probabilità che qualcosa accada rispetto alla probabilità che qualcosa non accada. 5.5 Il paradosso di Machina Siano dati i seguenti eventi: A = vincere una gita a Venezia; B = vincere una videocassetta su Venezia; C = nessuna vincita. Supponiamo che le

7 5.6. Il paradosso di S. Pietroburgo-Menger 353 preferenze di un soggetto siano: U (A) > U(B) > U(C). Adesso vengono proposte due lotterie X = A B Y = A C L assioma di indipendenza ci obbliga a scegliere la prima lotteria. La vincita di A, infatti, avviene nelle due lotterie con la stessa probabilità mentre esse differiscono solo per il risultato alternativo. Poiché U (B) > U(C) ciascun agente le cui preferenze soddisfacciano l assioma di indipendenza deve concludere che U (X) >U(Y ). Supponiamo, quindi, che l agente scelga la lotteria X e che, con un colpo di sfortuna, non vinca il viaggio a Venezia. Potrebbe sentirsi piuttosto miserabile a guardare il documentario in videocassetta. Questo significa che prima di giocare vale U (B) >U(C) ma, una volta che si è giocato e si è perso, le preferenze si modificano. Faccio notare al lettore che questo non è propriamente un paradosso poiché si tratta di una drastica violazione dell ipotesi che l utilità rimanga la stessa in tutti gli stati del mondo. 5.6 Il paradosso di S. Pietroburgo-Menger La lotteria che si propone qui è la seguente: si lancia una moneta fino a quando non compare croce. Quando all ennesimo lacio compare croce, la lotteria paga una cifra x n. La probabilità di ricevere x è dunque (probabilità che esca subito croce). La probabilità di ricevere x è cioè la probabilità che esca prima testa e poi croce. Lo schema della lotteria è allora il seguente: x x... x n... X = n L utilità attesa di questa lotteria è X i U (x i ). i= C è da domandarsi, ovviamente, se il valore di questa utilità attesa sia finito o infinito. Nel caso, infatti, in cui tale valore sia infinito, un giocatore sarebbe disposto a pagare qualsiasi somma pur di giocare.

8 Richiami di microeconomia Il primo studio fatto su questo tipo di lotteria (nel 738) risale a Daniel Bernoulli il quale ne aveva studiato la versione in cui la vincita è x n = n. Il valore atteso della lotteria è E [X] = X µ i i = i= X =, e quindi Bernoulli concludeva che, in teoria, qualsiasi prezzo finito avrebbe reso la lotteria un gioco vantaggioso. Tuttavia la pratica gli dava torto. I marinai di S. Pietroburgo, che giocavano veramente a questo gioco, non erano disposti a pagare cifre troppo elevate per partecipare a questa lotteria. La risposta si trova proprio nella forma della funzione di utilità U (x). Mettiamoci nel caso di Bernoulli con x n = n e supponiamo che l utilità sia data dalla radice quadrata del suo argomento U (x) = x. In questo caso l utilitàattesaè i= U (x) = X i= i i =lim i= ³ i = =. 44. Ecco che, in questo caso, il paradosso si risolve perché un soggetto la cui utilità sia descritta da una radice quadrata non è disposto a pagare più di.4 unità monetarie per partecipare al gioco. 5.7 Il paradosso del quadrato magico Si definisce «magico» qualunque quadrato di dimensione n n formato dai primi n numerinaturalienelqualesianocostantilesommedituttele righe, di tutte le colonne e delle due diagonali. Prendiamo, per semplicità, il più piccolo dei quadrati magici: Il gioco che viene proposto su questo quadrato è il seguente: due giocatori estraggono a sorte un numero da una riga del quadrato a loro scelta e il Ricordo, per il lettore curioso, che la somma costante in un quadrato magico che contenga i primi n numeri è data da n n + /.

9 5.8. I mercati finanziari: uno sprone all efficienza 355 numero più alto vince. Come sono le preferenze dei giocatori sulle righe del quadrato? Lascio come esercizio per il lettore di verificare che un giocatore «razionale» preferisce la seconda riga alla prima (in questo modo si vince 5 volte su 9 possibili combinazioni). Inoltre si preferisce la prima riga alla terza (ancora, ci sono 5 vincite su 9 possibili combinazioni). Dall assioma di transitività, dunque, ci aspetterremmo di verificare che la seconda riga è preferita alla terza. Invece, facendo i conti, si conclude che la terza riga è preferibile alla seconda. Una possibile soluzione a questo paradosso (che viola l assioma di transitività) si propone nel paragrafo successivo. 5.8 I mercati finanziari: uno sprone all efficienza Riprendo il caso del paradosso di Allais. Esso è chiaramente un caso di violazione dell assioma di indipendenza. Coloro che violano tale assioma, tuttavia, imparano a loro spese a non violarlo più! Il meccanismo è il seguente. Supponiamo che esistano tre titoli X, Y e Z echevalga X Â Y, X Â Z, ma che, tuttavia, il soggetto in esame abbia la seguente preferenza (con α (0, )) αy +( α) Z Â X, chiaramente in violazione dell assioma di indipendenza. Un agente economico possiede il titolo X. Egli è disposto a pagare per avere, invece di X, un portafoglio di due titoli Y e Z. Valendo la transitività, tuttavia, il soggetto è disposto a vendere il portafoglio per comprare il titolo Y.PoichéX Â Y,infine, il soggetto vende Y per comprare X. In questo modo il nostro «merlo» ha pagato inizialmente per disfarsi di X e successivamente per riacquistarlo. Un soggetto del genere non dovrebbe durare a lungo sui mercati finanziari. Egli, infatti, troverebbe istantaneamente frotte di agenti di borsa disposti a fargli il «favore» di ridurlo al fallimento facendogli pagare il servizio di vendere e ricomprare sempre lo stesso bene. Ecco, allora, che i mercati finanziari tendono a eliminare i comportamenti che siano in disaccordo con l assioma dell indipendenza.

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