Unità Didattica 1. Sistemi di Numerazione

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1 Unità Didattia Sistemi di Numerazione

2 Sistemi di Numerazione Posizionali Criterio per la rappresentazione di un insieme infinito di numeri mediante un insieme limitato di simoli. Un sistema di numerazione posizionale è ostituito da: Una ase ; Un insieme ordinato di ifre; 3 Un odie di interpretazione interpretazione posizionale; 4 Un insieme di algoritmi per le 4 operazioni aritmetihe fondamentali.

3 Sistemi di Numerazione in Base Il odie di interpretazione speifia he ad ogni posizione è assoiato un peso; Ogni ifra assoiata ad una posizione india il numero delle volte he deve essere onsiderato il peso orrispondente alla quella posizione; Sistema di numerazione in ase : sistema di numerazione posizionale la ui ase per i pesi è ; ovvero: sistema di numerazione posizionale in ui i pesi sono espressi ome potenze della ase. 3

4 Sistemi di Numerazione in Base Numero in ase : Numero rappresentato utilizzando il sistema di numerazione in ase ed una sequenza di ifre del tipo: n- n-. - -m ; Il simolo. punto di separazione separa la parte intera da quella frazionaria; ha peso

5 Forma Polinomia Vale la relazione onseguenza della definizione di numero in ase : n- n-. - -m n- n- n- n m -m Tale somma di prodotti è detta Forma Polinomia 5

6 Sistema di Numerazione in Base Base : Cifre i {,,, 9} Esempio:

7 Sistema di Numerazione in Base Base : Cifre i {,} Binary digit it Esempio: Conseguenza: La forma polinomia rappresenta l algoritmo di onversione inario deimale; In generale: Forma Polinomia sistema in ase sistema deimale 7

8 Algoritmi di Conversione Deimale - Binario Si distinguono due asi: Numeri interi Algoritmo delle Divisioni Suessive; Numeri frazionari Algoritmo delle Moltipliazioni Suessive; In aso di numeri reali on parte intera e frazionaria i due algoritmi vengono appliati separatamente e ominati i risultati. 8

9 Metodo delle Divisioni Suessive Dato N N determinare la suessione di ifre inarie n- n- tale he: N n- n- n- n- Dividendo per entrami i memri: Essendo N QR N/ QR/ R o Si ha: N/ Q R/ n- n- n- n-3 - Q R/ Quindi R ovvero è il resto della divisione di N per. 9

10 Metodo delle Divisioni Suessive Q n- n- n- n-3 Dividendo per entrami i memri: Essendo Q Q R Q/ Q R / R o Si ha: Q/ Q R / n- n-3 n- n-4 - Q R / Quindi R ovvero è il resto della divisione di Q per.

11 Metodo delle Divisioni Suessive 3 I oeffiienti della forma polinomia in ase di N intero, sono rappresentati dai resti delle divisioni suessive di N per. L algoritmo termina quando si ottiene un quoziente uguale a zero.

12 Metodo delle Divisioni Suessive es. N 3 N/ 3/ Q 6 R Q/ 6/ Q 3 R Q/ 3/ Q R Q/ / Q R 3 N 3 N N N 3 3

13 Metodo delle Moltipliazioni Suessive Dato F,parte frazionaria di un numero reale, det. la suessione di ifre inarie - - -m tale he: F... m Moltipliando entrami i memri per : F m { m P M Parte Intera Parte Frazionaria m P M P -, ovvero la parte intera del prodotto F rappresenta la ifra inaria di F immediatamente suessiva al punto 3

14 Metodo delle Moltipliazioni Suessive M... 3 m m Moltipliando entrami i memri per : M { m... 3 m P ' M ' P ' M ' P - ovvero la parte intera del prodotto M rappresenta la seonda ifra inaria di F immediatamente suessiva al punto 4

15 Metodo delle Moltipliazioni Suessive 3 I oeffiienti della forma polinomia in ase di F frazionario, sono rappresentati dalle parti intere delle moltipliazioni suessive di F per L algoritmo termina: quando si ottiene una parte frazionaria uguale a zero approssimazione esatta; Oppure: - dando un numero massimo di moltipliazioni da eseguire n massimo di it da alolare approssimazione per difetto Per un approssimazione migliore oorre iterare ulteriormente il proedimento on nuove moltipliazioni. 5

16 Metodo delle Moltipliazioni Suessive es. F. 3 P M. 3 M P M. 6 M P M. 4 M P 3 M. 48 M P 4 M. 96 M P 5 F. 3 F. M.9 Approx per difetto 5 F. F. 85 6

17 7 Relazioni deimale-inario Qual è il numero massimo rappresentaile on n it? Tale valore si ottiene dalla forma polinomia su n it, ponendo i : n n n n n...

18 Relazioni deimale-inario Dato N intero qual è il numero n di it neessario per la orrispondente rappresentazione inaria? n È il più piolo n tale he: N essendo n - il massimo valore rappresentaile on n it, ed essendo n- - < N per definizione di n. log n N n log N n N 8

19 Operazioni elementari in ase Qualunque sia la ase è possiile definire le regole per le operazioni elementari mediante una taella in ui è riportato il risultato di tutte le possiili ominazioni tra due ifre del sistema di numerazione rispetto all operazione onsiderata. In generale per esempio per l addizione, essendo i, i,, ifre del sistema di numerazione in ase i i j j l se se i i j j > Riporto 9

20 Somma e sottrazione in ase Regole per la somma Regole per la sottrazione Riporto Prestito

21 Moltipliazione e divisione in ase Regole per la moltipliazione Divisione: La divisione inaria è alolata in maniera analoga alla divisione deimale.

22 Sistemi di numerazione in ase 8 e 6 Sistema ottale ase 8: ifre: {,...,7 } i es. forma polinomia: Sistema esadeimale ase 6: ifre: {,...,9, A, B, C, D, E F } i, es. forma polinomia: D 3. B Le regole per le operazioni fondamentali sono analoghe a quelle inarie

23 Conversione Binario-Ottale Osservazione: se i {, } 7 Al variare di in {,}, il trinomio preedente rappresenta una ifra d i {,,, 7} del sistema di numerazione di ase 8 3

24 4 Conversione Binario-Ottale La forma polinomia mettendo in evidenza 3p, p,, ogni 3 elementi onseutivi a partire da destra, può essere sritta nel modo seguente: N N n n n n... p p N d d d d d d d d Forma polinomia in ase 8 di N

25 Conversione Binario Ottale 3 Binario Ottale La onversione inario - ottale diretta si esegue nel modo seguente:. Raggruppamento della parte intera per gruppi di 3 ifre a partire da destra, aggiungendo eventualmente it a sinistra;. Raggruppamento della parte frazionaria a gruppi di 3 ifre da sinistra a destra, se neessario si aggiungono it a destra; 3. Conversione di iasun gruppo di 3 ifre nella orrispondente ifra ottale; 4. La sequenza di ifre ottali è il numero originario onvertito in ase 8. Ottale Binario Si sostituise ogni ifra ottale nella orrispondente rappresentazione inaria 5

26 Conversione Binario-Esadeimale Osservazione: se i {, } 3 3 F 5 Al variare di 3 in {,} il quadrinomio preedente rappresenta una ifra d i {,,, 9,A, F} del sistema di numerazione di ase 6; Si proede analogamente alla onversione inario-ottale, raggruppando le ifre inarie a gruppi di 4; Tali gruppi si onvertono nella orrispondente ifra esadeimale. 6

27 Esempi di Conversione Binario-Ottale Binario-Esadeimale Binario - Ottale Binario - Esadeimale. D

28 Il Complemento a Definizione: Dato N > N rappresentato in ase su ifre si definise omplemento a di N il numero C N in ase tale he: N C N Es: C su ifre 3 Osservazione:, 3... ifre Infatti la forma polinomia di in ase è:... da ui:..., 3 ifre 8

29 Il Complemento a - Definizione: Dato N N rappresentato in ase su ifre si definise omplemento a - di N il numero C - N in ase tale he: N C N Es: C su ifre 3 Osservazione:..., 444 ifre Infatti:

30 Proprietà del Complemento. Dalla definizione di omplemento si ha: N, C N C N. N N C C C C N N Dim: X C N N C X X N N C C N N Importante: Durante le sottrazioni per il alolo del omplemento a - non si devono effettuare operazioni di prestito. 3

31 Complemento a Es. di omplemento a su 4 it: C 3 4 Regole pratihe per il alolo del omplemento a : Regola a:. Copia dei it a partire da quello meno signifiativo fino al primo inluso;. Inversione dei it rimanenti. Regola :. Inversione di tutti i it e somma di. 3

32 Complemento a Es. di omplemento a su 4 it: C Regola pratia per il alolo del omplemento a :. Inversione di tutti i it. 3

33 33 Teorema del Complemento Ts Hp X, Y rappresentati su ifre; su ifre. Y C X Y X X Y Dimostrazione: Y Y C Y C X Y X Y X 3 ifre... X Y C Y C Y Y X Quindi sulla -esima ifra di XC Y è almeno e al più essendo un riporto della somma di due ifre di posto -esimo Y C X Y C X ifre su ifre su... Y C X Y C X

34 Sottrazioni on il Complemento. Completare se neessario il minuendo e il sottraendo on lo stesso numero di ifre ifre;. Calolare il omplemento a del sottraendo; 3. XC Y; 4. Si onsiderano le prime ifre della somma equivalente a sottrarre al risultato. Esempi: In ase su ifre C In ase su 4 ifre C su ifre 7 su 4 ifre 34