Cenni di geometria differenziale delle superfici.

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1 Cenni di geometria differenziale delle superfici. 1. Superfici parametrizzate nello spazio. Definizione. Una superficie parametrizzata in IR 3 è un applicazione S: Ω IR 3, (u, S 1(u, S 2 (u,, S 3 (u, doe Ω è un sottoinsieme di IR 2 ed S 1 (u,, S 2 (u,, S 3 (u, sono funzioni a alori reali delle ariabili (u, Ω. La superficie parametrizzata S: [0, 1] [0, 1] IR 3, data da S(u, = ( sinh 1.6(2 1 sin π(2u 1 sinh 1.6(2 1 sin π(2u 1. π(2u 1 Le funzioni S 1 (u,, S 2 (u,, S 3 (u, sono le componenti della superficie. Per semplicità consideriamo superfici S le cui componenti sono infinitamente differenziabili. Assumiamo anche che l applicazione S, ristretta alla parte interna di Ω, sia iniettia. L immagine S(Ω dell applicazione S è il supporto della superficie (a olte comunque per semplicità di linguaggio chiamiamo superficie sia S che S(Ω. Osseriamo che una stessa superficie geometrica in IR 3 può essere parametrizzata in diersi modi. Lo scopo sarà quello di ottenere informazioni sulla geometria della superficie S(Ω, a partire dalle funzioni che ne definiscono una parametrizzazione. 1

2 2. Cure su una superficie. Una cura sulla superficie S(Ω è una cura i cui punti appartengono tutti ad S(Ω. Una cura su S(Ω può sempre essere espressa come la composizione di una cura in Ω con l applicazione S ( u(t I Ω S(Ω, t γ(t = S 1(u(t, (t S (t 2 (u(t, (t. S 3 (u(t, (t Esempi di cure su S(Ω sono le cosidette linee coordinate S(u, 0, al ariare di u, S(u 0,, al ariare di. Esse sono rispettiamente le immagini tramite S delle cure in Ω date dall intersezione di Ω con le rette orizzontali (u, 0, u IR, e con le rette erticali (u 0,, IR. Per ogni punto S(u 0, 0 sulla superficie, passano due linee coordinate, precisamente S(u, 0 ed S(u 0,. Il paraboloide S(u, = u e le linee coordinate 1 u e ( , per il punto S(2, 1. L iperboloide S(u, = u 2 2 e le linee coordinate 1 u 2 1 e ( 2 4 2, per il punto S(2, 1. 2

3 3. Superfici parametrizzate regolari. Definizione. Una superficie si dice regolare se per ogni (u, Ω i ettori S u (u, = S 1 u S 2 u S 3 u sono linearmente indipendenti, ossia generano un piano. (u, (u, S (u, = (u, S 1 S 2 S 3 (u, (u, (1 (u, Per ogni u 0 fissato, il ettore S u (u 0, 0 è parallelo alla retta tangente alla linea coordinata S(u, 0 in S(u 0, 0 ; in modo simile, per ogni 0 fissato, il ettore S (u 0, 0 è parallelo alla retta tangente alla linea coordinata S(u 0, in S(u 0, 0. Le rette tangenti alle linee coordinate passanti per un punto P = S(u 0, 0. Sia γ una cura su S(Ω γ(t = S 1(u(t, (t S 2 (u(t, (t. S 3 (u(t, (t Per le regole di deriazione di funzioni composte, ale d dt S i(u(t, (t = S i u (u(t, (tu (t + S i (u(t, (t (t, i = 1, 2, 3, e il ettore tangente a γ in γ(t risulta γ (t = u (ts u (u(t, (t + (ts (u(t, (t. (2 In altre parole, al ariare di t, il ettore tangente γ (t è combinazione lineare di S u (u(t, (t e S (u(t, (t, con coefficienti u (t e (t. Il piano tangente alla superficie TS(u 0, 0 in un punto S(u 0, 0 è il piano costituito dalle rette tangenti in S(u 0, 0 a tutte le cure su S passanti per S(u 0, 0. 3

4 Le rette tangenti alle cure su S passanti per un punto P = S(u 0, 0. Il piano tangente ad S in un punto P = S(u 0, 0. In forma parametrica è dato da Il ersore normale a tale piano è per definizione S(u 0, 0 + Span{S u (u 0, 0, S (u 0, 0 }. N(u 0, 0 = S u(u 0, 0 S (u 0, 0 S u (u 0, 0 S (u 0, 0. 4

5 4. Prima forma fondamentale di una superficie. Sia S: Ω IR 3, (u, S 1(u, S 2 (u, S 3 (u, una superficie parametrizzata regolare in IR 3. Per ogni punto S(u, S(Ω, la restrizione del prodotto scalare canonico di IR 3 al piano Span{S u (u,, S (u, } definisce su di esso una forma bilineare simmetrica definita positia. Questa forma esprime il prodotto scalare X Y tra due ettori X, Y Span{S u (u,, S (u, } in funzione delle loro coordinate nella base {S u (u,, S (u, }. Infatti, se scriiamo X = x 1 S u +x 2 S e Y = y 1 S u +y 2 S, per le proprietà di bilinearità e di simmetria del prodotto scalare canonico di IR 3, troiamo X Y = (x 1 S u + x 2 S (y 1 S u + y 2 S = x 1 y 1 S u S u + x 2 y 2 S S + (x 1 y 2 + x 2 y 1 S u S = ( ( E F y1 = ( x 1 x 2, F G doe i coefficienti della matrice simmetrica ( E F F G sono dati da E = S u S u = S u 2, G = S S = S 2, F = S u S. Tali coefficienti dipendono da (u,. Similmente, la norma di un ettore X Span{S u (u,, S (u, } è data dalla forma quadratica definita positia ( ( E F x1 X X = ( x 1 x 2 = Ex Gx F x F G 1 x 2, (3 e il coseno dell angolo fra X e Y è dato da cos XY = x 2 X Y X Y = x 1 y 1 E + x 2 y 2 G + (x 1 y 2 + x 2 y 1 F Ex Gx F x 1x 2 Ey Gy F y. 1y 2 La matrice simmetrica, funzione del punto S(u,, ( E F F G è chiamata la prima forma fondamentale della superficie S. Tutte le misurazioni sulla superficie S(Ω, quali lunghezze di cure, angoli fra ettori tangenti e aree di regioni, possono essere espresse in termini dei suoi coefficienti. Ricordiamo che data una cura sulla superficie γ(t = S 1(u(t, (t S 2 (u(t, (t, S 3 (u(t, (t le coordinate del ettore tangente a γ in un punto S(u(t, (t, relatie alla base {S u (u(t, (t, S (u(t, (t}, sono date da u (t, (t (edi formule (2. Ne segue ad esempio che le linee coordinate per un punto S(u(t, (t sono ortogonali fra loro se e solo se per quel alore di t ale F (u(t, (t = 0. Inoltre, la lunghezza di un arco di cura sulla superficie è dato da L γ (t = = t a t γ (τ dτ = doe E, F e G sono funzioni di (u(τ, (τ, con τ [a, t]. a E(u (τ 2 + G( (τ 2 + 2F u (τ (τdτ, y 2 5

6 5. Curatura normale di una cura su una superficie. Sia S: Ω IR 3 una superficie parametrizzata regolare, sia P = S(u 0, 0 un punto su S(Ω. Vogliamo determinare la forma della superficie S(Ω nell intorno di P analizzando le cure su S(Ω passanti per P. Non possiamo aspettarci che cure qualsiasi ci diano informazioni sulla forma della superficie che le contiene. Basta pensare che un piano in IR 3 contiene cure con curatura arbitraria. Per ottenere informazioni sulla forma di S(Ω nelle icinanze di P, dobbiamo considerare sezioni normali di S(Ω in P, ossia cure ottenute tagliando S(Ω con piani ortogonali ad S in P (ossia ortogonali al piano tangente ad S(Ω in P. Le sezioni normali sono caratterizzate dal fatto che il loro piano osculatore in P è ortogonale ad S in P. Facciamo ciò nel modo seguente. Sia γ una cura su S(Ω γ(s = γ 1(s γ 2 (s = S 1(u(s, (s S 2 (u(s, (s, s I, γ 3 (s S 3 (u(s, (s passante per P, parametrizzata rispetto alla lunghezza d arco. Poiché γ è in particolare una cura dello spazio, possiamo calcolare la sua curatura in P mediante le formule γ (s = κ(sn(s, κ(s = γ (s. Decomponiamo il ettore γ (s 0 come combinazione lineare di S u (P, S (P, N(P γ (s 0 = κ(s 0 n(s 0 = κ N (s 0 N(P + λs u (P + µs (P e consideriamo la sua proiezione κ N (s 0 N(P sul ersore normale alla superficie in P. Definizione. La quantità κ N (s 0 è per definizione la curatura normale di γ in P. Poiché i ettori S u (P, S (P sono perperndicolari a N(P, risulta κ N (s 0 = κ(s 0 n(s 0 N(P = κ(s 0 cos θ, doe θ è l angolo formato dai ersori n(s 0 e N(P. Ne segue in particolare che la curatura normale è minore o uguale della curatura standard di γ in P. Inoltre, curatura normale e curatura standard di una cura γ in un punto P coincidono se e solo se in quel punto il ersore normale alla cura e il ersore normale alla superficie coincidono. Una sezione normale del paraboloide S(u, = u in P = (

7 Una sezione non normale del paraboloide S(u, = u in P = ( Il prossimo teorema ci garantisce che, considerando la curatura normale delle cure su S(Ω passanti per P, di fatto stiamo considerando le sezioni normali di S(Ω in P. Teorema (Meusnier. Tutte le cure su una superficie S(Ω, passanti per un punto P ed aenti in P lo stesso ettore tangente, hanno la stessa curatura normale in P. Tale curatura normale coincide con la curatura di una sezione normale ottenuta tagliando S(Ω con un piano per P, parallelo a Span{, N(P }.. 6. Seconda forma fondamentale di una superficie. Rispetto ad una parametrizzazione qualunque, la curatura normale di una cura γ = γ 1(t γ 2 (t = S 1(u(t, (t S 2 (u(t, (t γ 3 (t S 3 (u(t, (t su S(Ω in P = γ(t 0 risulta Deriando le formule (2 rispetto a t troiamo κ N (γ, P = γ (t 0 N(P γ (t 0 2. (4 γ (t 0 = S uu (u (t S ( (t S u u (t 0 (t 0 + S u u (t 0 + S (t 0, (5 doe le deriate S u, S, S uu = u S u,...etc...sono tutte calcolate in (u(t 0, (t 0. Sostituendo le formule (3 e (5 nell espressione (4, troiamo che al ariare di γ la curatura normale in P è data da doe κ N (γ, P = e(u 2 + g( 2 + 2fu E(u 2 + G( 2 + 2F u e = S uu (u(t 0, (t 0 N(P, g = S (u(t 0, (t 0 N(P, f = S u (u(t 0, (t 0 N(P e per semplicita abbiamo scritto u e al posto di u (t 0 e (t 0. La funzione κ N (γ, P è data dal rapporto tra due forme quadratiche, di cui quella al denominatore è definita positia. Dunque il segno di κ N (γ, P dipende esclusiamente dal segno della forma quadratica al numeratore. 7

8 La matrice simmetrica, funzione del punto S(u,, ( e f f g è chiamata la seconda forma fondamentale della superficie S. Il segno di questa forma si riflette direttamente sulla geometria di S. Definizione. Un punto P su una superficie S si dice ellittico, iperbolico o parabolico se la seconda forma fondamentale di S in P è rispettiamente definita, indefinita o semidefinita. Un punto P si dice planare se la seconda forma fondamentale di S in P è identicamente nulla, ossia se e = f = g = 0 in P. Infine un punto P si dice si dice umbilicale se tutte le cure per P hanno la stessa curatura normale (non nulla, ossia se e E = f F = g G in P. Osserazione. Tutte le cure passanti per un punto ellittico hanno la concaità riolta dalla stessa parte. I punti di un ellissoide sono tutti punti ellittici. I punti di una sfera sono tutti punti ellittici e sono anche umbilicali. Fra le cure passanti per un punto iperbolico ce ne sono almeno due con la concaità riolta dalla parte opposta. I punti di una sella o di un iperboloide ad una falda sono tutti punti iperbolici. I punti di un piano in IR 3 sono tutti planari. I punti di un cilindro circolare sono tutti parabolici. Concludiamo la sezione con un teorema dal quale risulta che la prima e la seconda forma fondamentale di una superficie in IR 3 sono la generalizzazione della curatura e della torsione di una cura in IR 3. Teorema (Teorema fondamentale della teoria delle superfici dello spazio. Siano date E, F, G, e, f, g funzioni differenziabili definite su un dominio Ω di IR 2. Supponiamo che E e G siano positie, che la forma quadratica ( E F F G sia definita positia e che E, F, G, e, f, g soddisfino le condizioni di compatibilità di Gauss e Codazzi-Mainardi. Allora per ogni (u 0, 0 Ω esistono un intorno U di (u 0, 0 e una superficie S: U IR 3 le cui forme quadratiche fondamentali sono date rispettiamente da ( ( E F F G e e f f g. Tale superficie è unica, a meno di moimenti rigidi dello spazio. 8

9 Curature principali e linee di curatura. Consideriamo di nuoo la funzione che esprime la curatura normale delle cure su una superficie passanti per un punto P κ N (γ, P = e(u 2 + g( 2 + 2fu E(u 2 + G( 2 + 2F u. Osseriamo che κ N è una funzione omogenea di grado zero in (u,, ossia assume lo stesso alore su tutti i multipli non nulli di un dato (u, : κ N (u, = κ N (λu, λ, per ogni λ IR \ {0}. (6 Geometricamente questo significa che la curatura normale di una cura γ non dipende né dalla elocità né dal erso con cui è percorsa su S. Dalla (6 segue che κ N (u, assume tutti i suoi alori sulla sfera unitaria {(u, (u, = 1}. Poiché κ N è continua e la sfera è compatta, ale il seguente fatto: Al ariare di (u,, la curatura normale κ N (γ, P ha massimo e minimo. Il massimo κ 2 e il minimo κ 1 della curatura normale sono chiamate le curature principali della superficie in P. In un punto umbilicale e in un punto planare, algono rispettiamente κ 1 = κ 2 0 e κ 1 = κ 2 = 0. In un punto ellittico, κ 1 e κ 2 sono distinti, non nulli e dello stesso segno; in un punto iperbolico, κ 1 e κ 2 sono distinti, non nulli e di segno opposto; in un punto parabolico, κ 1 e κ 2 sono distinti ed uno di essi è zero. In un punto P non planare e non umbilicale, due cure su cui la curatura normale in P assume rispettiamente il massimo e il minimo, si tagliano perpedicolarmente in P. In altre parole, le rispettie tangenti in P sono perpendicolari fra loro. Sono chiamate direzioni principali o tangenti di curatura in P. Le cure su S le cui tangenti in ogni punto sono tangenti di curatura sono chiamate linee di curatura. Esempio. Sia S: Ω IR 3 una superficie regolare le cui forme quadratiche fondamentali sono diagonali in ogni punto, ossia F (u, = f(u, = 0, (u, Ω. Allora le linee di curatura di S sono le linee coordinate S(u, 0 e S(u 0,, al ariare di (u 0, 0 Ω. (Vedi Esercizio 2 ed Esercizio 3, del Foglio 6 di esercizi solti. Definizione. La curatura di Gauss e la curatura media della superficie in P sono date rispettiamente da K = κ 1 κ 2, H = 1 2 (κ 1 + κ 2. In termini dei coefficienti delle forme quadratiche fondamentali della superficie, la curatura di Gauss e la curatura media sono date da K = eg f 2 EG F 2, ge 2fF + eg H = 2(EG F 2. In un punto ellittico, la curatura di Gauss è positia; in un punto iperbolico, la curatura di Gauss è negatia; in un punto parabolico o in un punto planare, la curatura di Gauss è nulla. 9