UNIVERSITÀ degli STUDI di FERRARA IL PROBLEMA DELLA MISURA, INTEGRALE DEFINITO, PRIMITIVE E METODI DI INTEGRAZIONE

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1 UNIVERSITÀ degli STUDI di FERRARA SCUOLA DI SPECIALIZZAZION E PER L IN SEGN AMEN TO SECONDARIO IL PROBLEMA DELLA MISURA, INTEGRALE DEFINITO, PRIMITIVE E METODI DI INTEGRAZIONE ELABORATO DI MATEMATICA AN N O 007/008 1

2 RIEZZO VITTORIO Pro. Fio Mii, L.C. Ariosto, Ferrr Pro. Dvide Neri, L.S. Si, Bolog Pro. Luigi Tomsi, L.S. Glilei, Adri

3 DESTINATARI Secodo le vigeti direttive del Miistero dell Pulic Istruzioe questo rgometo può essere itrodotto el corso del quito o dei licei scietiici di ordimeto. PROGRAMMA DI MATEMATICA liceo scietiico di ordimeto: Si leggo gli vvertimeti e suggerimeti geerli premessi l progrmm di mtemtic del gisio. Si teg coto del prticolre vlore che deve vere l'isegmeto dell mtemtic el Liceo Scietiico. V o: Clcolre il vlore dell itegrle di uzioi ssegte. Ricorddo le primitive di lcue uzioi elemetri e ricvre le primitive di uzioi più complesse. Orrio: MATERIA Liceo scietiico I II III IV V Ligu e lettere itlie Ligu e lettere ltie Ligu e lettertur strier Stori 3 3 Geogri Filosoi Scieze turli, chimic e geogri Fisic

4 Mtemtic Disego 1 3 Religioe Educzioe isic Totli TEMI P.N.I. (Pio Nziole per l Iormtic) Nelle sottosezioi 7e, 7 del progrmm (che ell sezioe 7 trtt di lisi iiitesimle), si ivit d rotre 7e 7 il prolem dell misur: lughezz, re, volume ed itegrle deiito uzioe primitiv ed itegrle ideiito. Teorem odmetle del clcolo itegrle, itegrzioe per prti e per sostituzioe. Questi temi possoo essere rotti el quito o di scuol. Il prolem dell misur srà rotto co u pproccio molto geerle, prtire dlle coosceze già cquisite dllo studete el corso dei sui studi precedeti. 1 Prerequisiti: È ecessrio possedere i segueti requisiti Clcolo lgerico Equiscompoiilità tr poligoi Trsormzioi geometriche, cocetto di simmetri cocetto di successioe uzioi cotiue grico di u uzioe Limiti 1 Trtto dl testo origile. 4

5 Derivt di u uzioe re e volume Oiettivi geerli: Acquisire le coosceze, competeze e cpcità previste dll U.D. Aire le cpcità logiche procedimeti di strzioe e di ormlizzzioe dei cocetti rgiore iduttivmete e deduttivmete Cooscere e compredere l ozioe di itegrle deiito cquisedo termiologi e simologi speciic Cooscere e compredere il teorem odmetle del clcolo itegrle Acquisire ilità di clcolo elle operzioi sugli itegrli Cooscere e spere pplicre teciche per il clcolo degli itegrli Utilizzo lmeo przile dei sotwre presetti (oglio di clcolo, sotwre di mtemtic) Oiettivi trsversli: Sviluppre ttitudie ll comuiczioe e i rpporti iterpersoli voredo lo scmio di opiioi tr docete e llievo e tr gli llievi. Proseguire ed mplire il processo di preprzioe scietiic e culturle degli studeti Cotriuire sviluppre lo spirito critico e l ttitudie riesmire criticmete ed sistemre logicmete le coosceze cquisite. Cotriuire sviluppre cpcità logiche ed rgomettive Acquisire ilità di studio. Comuicre i modo eicce 5

6 Oiettivi speciici: Coosceze: Cooscere come e perché si rriv ll ecessità di studire i limiti e gli itegrli Cooscere u metodo geerle per determire l re di u supericie pi quluque. Are del trpezoide. Cooscere il cocetto di itegrle deiito Cooscere le proprietà dell itegrle deiito Cooscere il teorem dell medi Cooscere i pricipli itegrli otevoli Cooscere il cocetto di uzioe primitiv Cooscere il cocetto di uzioe itegrle Cooscere il teorem odmetle del clcolo itegrle Competeze: Sper clcolre l re del trpezoide Sper deiire l itegrle deiito Sper eucire le proprietà dell itegrle deiito Sper eucire il teorem dell medi Sper deiire il cocetto di uzioe primitiv Sper deiire il cocetto di uzioe itegrle Sper eucire e dimostrre il teorem odmetle del clcolo itegrle. Cpcità: Sper determire l lughezz di u curv di equzioe y x Sper clcolre l re di u supericie di rotzioe, il volume e il ricetro di u igur di rotzioe Sper pplicre il cocetto di itegrle deiito i ltre disciplie 6

7 Sper estedere l deiizioe di itegrle deiito l cso i cui l uzioe o si cotiu i qulche puto dell itervllo d itegrzioe (o i u estremo, o i u puto itero) Sper pplicre il clcolo itegrle per l risoluzioe di prolemi rigurdti l isic Sper ricooscere quli soo le ppliczioi di tli cocetti ll isic Coteuti: Necessità storic dell itegrle Determizioe dell re di u trpezoide L itegrle deiito e le sue proprietà L uzioe itegrle e il teorem di Torricelli - Brrow L ormul per il clcolo dell itegrle deiito Il clcolo delle ree Il clcolo del volume di u solido di rotzioe e il suo ricetro Il clcolo dell lughezz dell rco di u lie pi Il clcolo dell re di u supericie di rotzioe Strumeti utilizzti: Liro di testo Dispese Lvg Sotwre didttico ( Excel, Crì, Z.U.L/C.A.R ) Tempi dell iterveto didttico Previste 18-0 ore. Metodologi: 7

8 Lo svolgimeto dell ttività didttic vverrà ttrverso lezioi dilogte e iterttive, co uspicili osservzioi, domde lsh poste i sigoli lui. È odmetle che ogi qul volt si preseti l ecessit di richimre cocetti che soo stti già spiegti, vego richiesti gli lui. No dre mi per scotto ciò che si è spiegto le volte precedeti. L pproccio grico, che tr l ltro i questo cso è usto costtemete, risult di grde iuto. L uso di sotwre è uspicile per l su grde cpcità di iterttività ed immeditezz. Veriic e vlutzioe: L se di veriic e vlutzioe è prte itegrte del processo eductivo e permette di moitorre si il rggiugimeto degli oiettivi preissti, si l eicci dell strtegi didttic ttut. Le modlità pricipli di veriic soo: osservzioe dilogic (domde e risposte dl co); osservzioe del lvoro tto i clsse o cs (esme dei quderi, giro tr i chi); veriiche l clcoltore (di cooscez, pdroz dello strumeto e del sotwre mtemtico utilizzto); Veriiche scritte Il test di veriic ormtiv che verrà svolto durte il percorso didttico, cosiste i diversi quesiti volti d ccertre d prte dell luo le coosceze di se. Attrverso l veriic sommtiv ioltre, si vuole rilevre se gli studeti ho cquisito e memorizzto i cocetti e li sppio esprimere correttmete. Gli esercizi proposti durte l veriic, itti, rigurdero il complesso degli rgometi trttti e sro volti costtre l eicci dell iterveto didttico e del percorso proposto. 8

9 Aiché l ttività didttic risulti eicce e complet, si prevede di svolgere evetuli ttività di recupero o esercizi riepilogtivi. Per idividure gli rgometi che ecessito di recupero, si livello collettivo che livello idividule, ci si vvrrà dell veriic ormtiv, delle prove orli e delle ttività di collorzioe isegte-llievo. Attività di recupero: Recupero d eetture i clsse durte le ore curricolri, ttrverso l ripres dei cocetti o e compresi e lo svolgimeto di esercizi rigurdti tli rgometi Assegzioe sigolo studete di esercizi mirti. CONTENUTI 9

10 Not storic: U itroduzioe storic è spesso il miglior modo di comicire spiegre qulcos di cui gli lui o ho lcu ide, questo perché si compredere come le coquiste itellettuli e scietiiche spesso vego ecessrimete ricercte e solo dopo comprese. Sppimo che già i tempi tichissimi si è cercto u metodo per clcolre co precisioe sempre mggiore l lughezz delle cose, le distze dei luoghi e le estesioi degli oggetti (ree di oggetti, cmpi gricoli, piure). I primi studi rudimetli rislgoo tempi ssi remoti, egizi e greci si posero il prolem di misurre l estesioe dei cmpi o delle costruzioi che o vessero orme regolri come qudrti, trigoli, trpezi, etc. Tr i mtemtici mosi che si soo occupti del prolem del clcolo delle ree vi è Eudosso d Cido (408?-355?.C.), llievo di Pltoe. Ache il moso prolem dell qudrtur del cerchio i qulche mier si può ricodurre l prolem di voler clcolre l estesioe del cerchio, quidi l su re o supericie cooscedo uo dei suoi prmetri crtterizzti ossi il rggio o il dimetro. Itti il clcolo itegrle può spesso essere ccostto l clcolo delle ree di igure che complesse, che se i modo rigoroso vedremo che si devoo re opportue cosiderzioi. Se pplichimo lo stesso rgiometo tto per l determizioe dell re di u igur pi, delle uzioi ci ccorgeremo che il procedimeto è logo. Dllo studio di uzioe simo i grdo di clcolre l dmeto qulittivo di u curv, i limiti e i puti otevoli dell stess, sppimo ioltre clcolre l derivt i questi puti e grzie ll derivt prim e secod, di determire i quli itervlli l uzioe è l prolem risle ll'ivezioe dell geometri, e h teuto occupti i mtemtici per secoli. Fu solo el 188 che l'impossiilità vee provt rigorosmete, che se i geometri dell'tichità vevo errto molto ee, si ituitivmete che i prtic, l su itrttilità. Si deve otre che è solo l limitzioe d usre u rig (o grdut) e u compsso che rede il prolem diicile. Se si possoo usre ltri semplici strumeti, come d esempio qulcos che può disegre u spirle rchimede, llor o è così diicile disegre u qudrto ed u cerchio di re ugule. U soluzioe richiede l costruzioe del umero, e l'impossiilità di ciò deriv dl tto che è u umero trscedete, ovvero o-lgerico, e quidi o-costruiile. L trscedez di vee dimostrt d Ferdid vo Lidem el 188. Risolvere il prolem dell qudrtur del cerchio, sigiic ver trovto che u vlore lgerico di - il che è impossiile. Ciò o implic che si impossiile costruire u qudrto co u're molto vici quell del cerchio dto. 10

11 crescete o decrescete e qudo l cocvità è rivolt verso l lto o verso il sso. Adesso cosiderimo il prolem di dover determire l re delimitt d u curv, dll sse delle scisse e lterlmete d u itervllo chiuso. I igur vedimo u curv (ovvero u uzioe limitt) che è delimitt d due vlori i x= e x= e dll sse delle scisse. (Figur 1) Ci chiedimo quto vlg l re rcchius dll curv. Il prolem come, risult chiro è simile quello proposto ell ppedice m i questo cso ci trovimo clcolre u re che è delimitt d u uzioe di cui cooscimo l dmeto, si qulittivo che qutittivo. Storicmete sppimo che questo prolem è stto risolto d Cuchy che propose u risoluzioe co l usilio di rettgoli di spessore iiitesimo. Ossi si divide l re sottes ll curv i tti rettgoli di spessore ugule sempre più piccolo e co u ltezz tle d essere tgete ll curv (o i eccesso o i dietto). Vedimo gricmete cos sigiic. 11

12 (Figur ) Rettgoli tgeti per dietto: sigiic che i rettgoli che sceglimo di spessore piccolo picere soo sempre tutti l disotto dell curv. Rettgoli tgeti per eccesso: sigiic che i rettgoli che sceglimo di spessore piccolo picere cotegoo l curv. Usdo le ormule già viste ell ppedice 1, possimo clcolre l re dei rettgoli ei due csi, dove quest volt m1 e m soo le ltezze reltive dei rettgoli. s m 1 m m 1 m S M 1 M M 1 M E cile covicersi che l re del trpezoide è certmete compres tr l re s e S. L ide che st ll se del clcolo itegrle, ossi del clcolo delle ree dei trpezoidi è proprio quest, clcolre l somm delle ree dei rettgoli cedo tedere l misur del loro spessore zero. 3 3 Si d eiisc e tr p ezoid e l igur delimitt dll c urv di uzioe (x) l sse d elle sc isse e i v lori d ell itervllo. 1

13 Nelle igure si soo dimiuiti gli spessori dei rettgoli i modo tle d clcolre l somm delle ree co u errore miore. Questo è stto tto si per eccesso che per dietto. Co rierimeto lle equzioi precedeti, imo umetto il umero di rettgoli. (Figur 3,4) Not: Usimo u Mcro trtt dl sotwre Z.u.L 7. 4 per osservre cos sigiic dimiuire lo spessore dei rettgoli o i modo del tutto equivlete umetre il umero dei rettgoli ell itervllo cosiderto. L ormul che imo utilizzto ltro o è che u successioe. Le successioi soo u miorte e u mggiorte. Itti u certmete h u vlore che è miore dell somm del trpezoide (miorte) e l ltr h u vlore mggiore (mggiorte). L cos che ci spettimo e che le due somme covergo d u vlore uico col tedere di dove è l deomitore ed idic i umero di rettgoli ell itervllo. A questo puto possimo itrodurre u teorem che ormlizz quto ppe detto. Teorem: Le successioi miorte {si} e mggiorte {Si} soo covergeti e covergoo etrme llo stesso limite: lim s lim S Ovvimete, come imo detto, il vlore cui tedoo le due successioi è ugule ll re del trpezoide. 4 Per mggiori iormzioi vedi Cpitolo sui sotwre didttici e i iliogri. 13

14 Adesso possimo itrodurre u uov simologi. Il limite dell somm dei rettgoli di spessore iiitesimo viee comuemete idict co l seguete otzioe 5. x dx L e l che si trovo ll estremità del simolo di itegrle soo detti estremi di itegrzioe e sto sigiicre l itegrle viee clcolto ell itervllo delimitto di due vlori. (x) è detto rgometo dell itegrle e il dx è dett vriile di itegrzioe. Qui vedimo che corrispodez c è tr le ormule viste prim e quell che imo ppe itrodotto. S lim s lim S lim i m i lim i M i ( x) dx Regole di itegrzioe: Nel XVIII secolo lo studio dei metodi di itegrzioe rrivò delle ritezze e precisioe che prim di llor ero lscite ll empirismo mtemtico. Si comprese e presto u cos ssi importte, cioè che l itegrzioe e l derivzioe ero dei processi l uo iverso dell ltro. Si cpì che qudo si itegr u uzioe si ottiee l così dett primitiv e se si deriv l primitiv 6 si ottiee l itegrle. I lisi possimo distiguere gli itegrli i due tipologie: itegrli ideiiti e itegrli deiiti o limitti. 5 Quest otzioe u itrodott per l prim volt d Gottried Wilhelm vo Leiiz (Lipsi, 1 luglio 1646 Hover, 14 ovemre 1716) el 1684 el suo scritto di mggiore rilevz mtemtic, Nov Methodus. Il simolo h u orm di S deormt, che st proprio sigiicre Somm. Si legge itegrle d di (x) i dx (deics) 6 Più vti si d u deiizioe di primitiv di u uzioe. 14

15 È chiro che l itegrle ideiito è u itegrle che o h estremi di itegrzioe cioè u volt clcolto ( estrtto dll itegrle ) restituisce u uzioe che è dett pputo primitiv, metre l itegrle deiito è detto tle proprio perché è deiito o delimitto d u itervllo oto, deiito dgli estremi di itegrzioe.. Si us dire che qudo si clcol u itegrle ideiito si st cercdo l primitiv dell uzioe, quest primitiv è idividut simolicmete co F(x). Quidi qudo si clcol u itegrle sez estremi di itegrzioe si ottiee l primitiv dell uzioe (x) che si trov sotto il simolo di itegrzioe, qudo ivece clcolimo u itegrle deiito (quidi che possiede estremi di itegrzioe) e clcolimo u vlore umerico e questo vlore come detto è proprio l re sottes ll curv i quell itervllo 7. Le teciche di estrzioe dell itegrle o di clcolo soo idetiche ell uo e ell ltro cso solo che el primo (itegrle ideiito) otteimo u uzioe, dett primitiv e el secodo cso (itegrle deiito) utilizzimo l primitiv stess per il clcolo umerico dell itegrle. Deiizioe di primitiv: Si dice che l uzioe F(x) è u primitiv dell uzioe (x), ell itervllo [;], se F(x) è derivile i ogi puto di questo itervllo e ivi risult che F (x)=(x) Aggiugimo che : l totlità delle primitive di u uzioe dt (x) è detto itegrle ideiito dell uzioe (x) il qule si idic come visto co l otzioe seguete Metodo di itegrzioe per prti: 7 Bisog otre u cos importte. Come imo detto qudo si clcol l primitiv di u uzioe si ottiee u ltr uzioe, ed c h ess s rà gr ic ile c ome u qulsisi ltr uzioe. Ci soo lcue eccezioi che però esulo di ostri iteressi. 15

16 Il metodo seguete è spesso utilizzto qudo il primo o port cili risoluzioi, itti spesso le uzioi complicte o riescoo essere portte d u orm ot, ecco perché operdo co questo metodo si possoo risolvere molti itegrli. Sio (x) e g(x) due uzioi cotiue e dotte etrme di derivt cotiu e sio (x) e g (x) le loro derivte se l uzioe itegrd si preset come segue Allor possimo spezzre l itegrle i questo modo Come si vede l risoluzioe è stt semplice, st re le opportue cosiderzioi. Clcolo dell itegrle deiito: Or ci poimo il prolem di clcolre umericmete l itegrle deiito u volt determit l su primitiv. U volt clcolt l uzioe primitiv è cile clcolre il vlore umerico dell itegrle, itti i geerle si h t dt F x All primitiv si sostituiscoo ll vriile di itegrzioe orditmete gli estremi di itegrzioe prim e poi. t dt F x F( ) F( ) 16

17 Bisog re ee ttezioe l tto che l itegrle deiito è u vlore umerico e che quidi o h ull che re co l vriile di itegrzioe, cioè u volt clcolt l primitiv dell uzioe itegrd si sostituiscoo i vlori esteri dell itervllo e se e l dierez, D questo mometo i poi il vlore trovto è solo u umero che idic l re del trpezoide o il vlore dell uzioe itegrt el puto di sciss dt. Fccimo degli esempi per veriicre l otà del metodo e per covicerci che stimo clcoldo delle ree. Prtimo d u esempio ssi semplice e orse le. Alcue proprietà degli itegrli deiiti: Se Se gli estremi di itegrzioe soo uguli (=) il vlore dell itegrle è ullo Se dto u itervllo [;] e u puto c itero questo itervllo si h Iie trttimo u teorem odmetle del clcolo itegrle ossi il teorem dell medi Teorem dell medi: Deiizioe: L itegrle deiito di u uzioe cotiu (x) è ugule ll mpiezz dell itervllo d itegrzioe, moltiplict per il vlore che l uzioe itegrd ssume i u coveiete puto di questo itervllo, ovvero Dove co x1 si itede quel puto coveietemete preso ll itero di [;]. Not sull uzioe itegrle: Aimo visto che qudo si clcol l itegrle di u uzioe e otteimo u ltr che imo chimto primitiv e che idichimo co F(x). Sppimo clcolre i limiti e le 17

18 derivte delle uzioi o per lo meo di u uo prte delle uzioi semplici. Voglio r otre (orse u lità) che l uzioe primitiv h u grico e che è possiile quidi Itegrle improprio: Spesso cpit di trovre delle uzioi che soo cotiue i lcui itervlli m posseggoo delle discotiuità i puti prticolri. Ad esempio l uzioe (x)=1/x è u uzioe sempre cotiu m el puto x=0 i limiti destro e siistro tedoo rispettivmete più iiito e meo iiito. Quidi i x=0 l uzioe preset u discotiuità. Ci chiedimo llor se e come si possiile clcolre l itegrle di queste uzioi qudo ell itervllo si presete uo o più puti di discotiuità. O più i geerle qudo l uzioe o è cotiu ell itervllo di itegrzioe. Terremo comuque vlid l'ipotesi che, se che l uzioe o è cotiu, ess i u umero iito di puti di discotiuità. Itegrli deiiti di questi tipi, qudo esistoo, si dicoo itegrli impropri. Cosiderimo u uzioe che i uo degli estremi di itegrzioe h u limite che tede iiito. Cosiderimo l uzioe (x) e u itervllo [;] e si duque No possimo usre l deiizioe di itegrle che cooscimo perché i l uzioe o è iit; tuttvi se ess è cotiu i ogi itervllo del tipo possiile clcolre lim x, co 0, llor è x x dx Fccimo or tedere zero, clcolimo cioè lim 0 x dx Se tle limite esiste ed è iito, si dice llor che l uzioe (x) é itegrile i poe x dx lim 0 x dx, e si 18

19 Se ivece tle limite o esiste o o h u vlore iito, si dice che l uzioe o è itegrile i,. Si di ee che l primitiv è possiile clcolrl m il vlore umerico dell itegrle o diverge (cioè è iiito) oppure o può essere determito. Se poi l uzioe o è cotiu i u puto c itero d puto di due limiti.,, si poe x dx lim 0 x dx lim 0 c, m lo è i quluque ltro x dx supposto che esisto iiti i Clcolo dei volumi e superici tridimesioli. Fio questo mometo imo cosiderto sempre delle igure che giccioo su u pio m sppimo ee che è possiile vere uzioi che soo uzioe di due più vriili. Cosiderimo il cso di oggetti che si trovo ello spzio tridimesiole e vedimo che grzie lle teciche di itegrzioe srà possiile clcolre l supericie e che il volume. È ovvio che i queste lezioi coideremo csi semplici e di cile risoluzioe m sti spere che co l uso di clcoltori e delle teciche di itegrzioi è possiile clcolre qusi ogi tipo di oggetto tridimesiole. Per u questioe di semplicità cosidereremo oggetti tridimesioli che soo rutto di u rotzioe complet itoro d u sse e vedremo come si possiile clcolre l loro supericie e il loro volume, ioltre vedremo lcue ppliczioe ll isic e ll igegeri co il teorem di Guldio. Come visto per il clcolo delle ree delle igure pie che le ote ormule per il clcolo dei volumi di solidi regolri (cilidro, coo, ser) si possoo dedurre che dl clcolo itegrle. Itti questi solidi soo rutto di rotzioi rigide ttoro d u sse di simmetri. Utilizzdo il clcolo itegrle si ottegoo le stesse ormule. M cpimo ee che el cso di solidi che soo origiti d curve l cos si complic mggiormete. Cosiderimo u uzioe (x) cotiu i u itervllo, ; suppoimo che i tle itervllo ess si o egtiv e idichimo co T il trpezoide idividuto dll curv e 19

20 dll'sse x i,. Ruotdo ttoro ll'sse x, T geer u solido di rotzioe del qule voglimo deiire e clcolre il volume. (Figur 8) Possimo seguire u rgiometo logo quello tto per determire l re di u trpezoide; dividimo cioè l itervllo, i u umero di prti uguli. Si c u puto di ogi itervllio x. Cosiderimo l isieme dei rettgoli veti per se i segmeti x e per ltezze i vlori c. Otteimo i questo modo u plurirettgolo l cui re, l tedere di ll iiito, sppimo che deiisce l re del trpezoide. Se or ccimo ruotre ciscuo di questi rettgoli di u giro completo ttoro ll sse x, otteimo u solido che è l somm di cilidri veti ltezze x e rggi di se c ; tle solido prede il ome di pluricilidro ed il suo volume è dto d i 1 i x Se or ccimo tedere ll iiito, il pluricilidro tede l solido di rotzioe; per questo motivo si ssume come suo volume l espressioe lim i 1 i x lim i 1 i x 0

21 Osservimo or che tle limite o è ltro che l itegrle deiito r e dell uzioe x. Il volume di u solido di rotzioe si trov duque co l ormul V x dx Lughezz di u rco di curv pi: Sez etrre ei dettgli e limitdoci cosiderzioi. Voglimo "dimostrre" l ormul per clcolre l lughezz di u rco di curv pi che si grico di u uzioe rele di vriile rele. Supporremo che l uzioe, (x), si derivile co derivt cotiu i u itervllo [,]. (Figur 1) Cosiderdo u suddivisioe di [.] i itervlli "iiitmete piccoli" dx, potremo riteere che l lughezz dell curv coicid co quell dell spezzt di lti idividuti dgli estremi e, co i = 0,1,,...,. L lughezz di quest spezzt è: 1

22 . L suppost derivilità dell uzioe ci cosete di pplicre il teorem di Lgrge, d cui otteimo ovvero, se l'mpiezz degli itervlli tede zero. Quest ormul richiede il clcolo di u itegrle solitmete o cile, odimeo è importte perché mostr come l teori dell'itegrle di Riem poss risolvere umerosi prolemi di misur, e o solo quello dell misur dei domii pii. Appliczioi ll Fisic : L isic e per estesioe tutte le scieze utilizzo il cocetto e il clcolo itegrle per risolvere iumerevoli prolemi che desso è superluo elecre. Le segueti ppliczioi che vegoo qui esposte soo solo lcue delle ppliczioi di uso comue e che comuque rietro el progrmm di studi, ovvero ciemtic e dimic. D quto segue risult stz chiro quto sio poteti il clcolo dierezile ed itegrle. Le otzioi che useremo soo quelle proposte ello studio delle ppliczioi delle derivte. Moti rettiliei: Poiché v(t) = x'(t) (oppure s'(t)), si h, ovvimete,

23 . Se si vuole l vrizioe di sciss i u itervllo di tempo sterà ovvimete re Si teg coto che, i geerle, l vrizioe di sciss o coicide co lo spzio percorso: I due vlori coicidoo ( meo evetulmete del sego) solo qudo il moto o h puti di iversioe. Se per esempio lcio u ssso verso l'lto, dopo u po' esso ripsserà per l posizioe di prtez: l vrizioe di sciss è ull, m lo spzio percorso ovvimete o! Essedo poi (t) = v'(t) si troverà. Qutità di cric: Se i u coduttore pss l correte i(t), l qutità di cric che ttrvers u su sezioe può essere clcolt immeditmete:. 3

24 Lvoro di u orz: I u moto rettilieo si F(x) u orz, vriile co l'sciss del puto moile, e vete sempre l stess direzioe e verso dello spostmeto. Il lvoro tto dll orz, ello spostmeto d u posizioe A u posizioe B è dto d ove e soo le scisse di A e B. Propoimo che u esempio di uso di u termiologi, comue ei testi di isic, che dl puto di vist mtemtico è lquto pprossimtiv, che se il risultto otteuto è perettmete corretto. Ci rierimo l clcolo del lvoro dell orz elettrosttic prodott d u cric putiorme Q, qudo u cric "spi" q si spost d u posizioe A d u posizioe B ello spzio. Si cosideri l igur qui sotto. I ess soo rppresetti, ell ipotesi di criche cocordi: l curv lugo l qule si spost l cric q dl puto iizile A l puto ile B, l sorgete Q del cmpo, l orz F di iterzioe tr le criche i u dt posizioe P dell cric q, lo spostmeto elemetre dp (cioè uo dei trtti iiitesimi i cui deve essere diviso lo spostmeto per il clcolo del lvoro), i due rchi di circoerez di cetro Q pssti per l origie e il secodo estremo del vettore dp. Per il clcolo del lvoro si dovrà re il prodotto sclre tr F e dp e poi sommre i risultti otteuti (co u itegrle, ovvimete). 4

25 (Figur 13) Il modulo dell orz F è, il prodotto del modulo di dp per il coseo dell golo tr dp ed F è, meo del sego, ugule ll vrizioe dr di rggio tr le due circoereze di igur. È cile costtre che, i ogi cso, vle, purché Q, q e dr sio presi co il loro sego (per esempio el cso di igur il prodotto sclre deve essere egtivo e il vlore di dr è proprio egtivo). Il risultto segue or immeditmete dl clcolo dell itegrle:.. Sotwre per l didttic: L utilizzo di sotwre didttici è sempre uspicile qudo si h che re co uzioi, derivte ed itegrli, oltre l vstissimo impiego che se e el cmpo dell geometri pi e solid e i ltri umerossissimi cmpi dell isic e dell mtemtic. Qui preseto solo lcui dei sotwre didttici, quelli che più comuemete soo utilizzti e che quidi oroo tr le ltre cose che u vstissim sitogri dedict co muli esercizi e mcro già compilte, che ll occorrez possoo essere modiicte ed dttte i propri scopi. Alcui di questi sotwre o comuque quelli più utilizzti soo tutti coperti d CopyRight e quidi ecessito di licez pgmeto, che se lcui di questi possoo essere utilizzti ell versioe tril, ossi u versioe limitt o elle uzioi o el tempo. Questi sotwre soo spesso cpci di rotre i diversissimi prolemi dell didttic trdiziole grzie ll loro lessiile iterttività. È possiile itti comporre delle costruzioi o disegre uzioi e poi dimicmete osservre il loro comportmeto 5

26 sottoliedo lcue crtteristiche che spesso co l uso di lvg e gesso o è possiile re. I sotwre di geometri che ho utilizzto soo due Crì Geomètre II Plus e Z.u.L. C..R.. Possimo dire che è riduttivo ermre che soo sotwre per l geometri, visto che co lcui ccorgimeti possoo essere utilizzti oltre che per l costruzioe ssiomtic delle igure e dei teoremi dell geometri euclide, che per l costruzioe di uzioi litiche, clcolo pprossimto di derivte ed itegrli, e molto ltro. Nell igur si vede che è possiile costruire delle uzioi e poi determire il vlore dell itegrle deiito e oltre questo l prmetrizzzioe è dimic. Co Crì Geomètre II Plus : 6

27 (Figur 14) Co Z.u.L. C..R: (Figur 15) 7

28 U sotwre ssi utile i lisi mtemtic è sicurmete Derive che è u potete progrmm per il clcolo di uzioi, mtrici, derivte, itegrli, successioi, e moltissimo ltro. I questo elorto ho preerito o usre questo sotwre poiché già quelli che ho presetto soo più che suicieti per il rggiugimeto dello scopo. C è d dire comuque che quest ctegori di sotwre o prte che progrmmi più poteti e complessi co i quli è possiile risolvere qusi ogi tipo di prolem mtemtico, per citre solo lcui Mple, MthCAD, Mthemtic, MthL, MiiT. 8

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