RICORSIVITA. Vediamo come si programma la soluzione ricorsiva al problema precedente: Poniamo S 1 =1 S 2 =1+2 S 3 =1+2+3

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1 RICORSIVITA 1. Cos è la ricorsività? La ricorsività è un metodo di soluzione dei problemi che consiste nell esprimere la soluzione relativa al caso n in funzione della soluzione relativa al caso n-1. La soluzione del caso n-1 in funzione della soluzione del caso n-2, e cosi via. Procedendo a ritroso in questo modo si arriva ad un caso dipendente dall intero k (che generalmente vale 0 od 1) di cui è nota la soluzione. Si consideri il seguente problema: sommare i primi n interi positivi. Vediamo come si programma la soluzione ricorsiva al problema precedente: Poniamo S 1 =1 S 2 =1+2 S 3 =1+2+3 Si vede subito che Sn=S n-1 +n Allora si può utilizzare la soluzione ricorsiva che segue: int somma(int n) { int sum; if (n==1) sum=1; else sum= somma(n-1)+ n; return sum; //se n=1 non si hanno più chiamate ricorsive 2. Può fare un altro semplice esempio? Generare l ennesimo numero di Fibonacci. La serie di Fibonacci è la seguente: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, Allora: F 0 =1; F 1 =1; F n =F n-1 +F n-2 ; int fibonacci(int n) { int fb; if (n==0 n==1) fb=1; else fb=fibonacci(n-1)+ fibonacci(n-2); return fb; { int n=10; for(int i=0;i<n;i++) cout<<fibonacci(i)<<endl; 1

2 3. Un altro semplice esempio? Un altro tipico esempio di problema risolubile ricorsivamente è il calcolo del fattoriale: si ha: fatt(1)=1 fatt(n)=n*fatt(n-1) Allora: int fatt(int n) { int f; if (n==1) f=1; else f=n*fatt(n-1); return f; { cout<<fatt(4); 4. E possibile scrivere un programma ricorsivo che determini l ennesimo numero primo? Cerchiamo di ragionare in termini ricorsivi: Un numero è primo quando non è divisibile per alcun numero primo che lo precede che sia minore od uguale della sua radice Il primo numero primo è 2 Basandoci sulla precedente definizione possiamo scrivere il seguente programma che calcola i primi numeri primi in un tempo brevissimo (l esecuzione, una volta compilato il programma, è istantanea) const int DIM=10000; void primo(int v[],int &n) { int m=v[n-1]; bool divisibile; do { m++; divisibile=false; for(int i=0;i<n,v[i]<=sqrt(m);i++) if (m%v[i]==0){divisibile=true;break; if(!divisibile) { v[n]=m; n++; primo(v,n); while (n<dim); { int v[dim],n=1; v[0]=2; primo(v,n); for(int i=0;i<dim;i++) cout<<v[i]<<" "; 2

3 L efficienza del programma consiste nel fatto che per verificare se un numero n è primo l algoritmo normale divide per tutti i dispari minori della radice. Mentre il presente algoritmo divide per tutti i numeri primi inferiori alla radice. Quindi fa meno divisioni. 5. I problemi risolubili ricorsivamente sembrano solo quelli di tipo numerico. E corretto? No. Si consideri il seguente problema: Si hanno N dischi forati, di dimensioni decrescenti, posti su un palo A. Occorre spostarli su un palo finale C servendosi di un palo intermedio B. Durante gli spostamenti non deve mai accadere che un disco stia sopra un disco più piccolo. La soluzione ricorsiva è semplice: Se n=2 si sposta il disco 1 in B, il disco 2 in C, il disco 1 in C. Se n>2 si utilizza la soluzione relativa ad n-1 per spostare gli n-1 dischi su B. Si sposta il disco n su C. Si utilizza la soluzione relativa ad n-1 per spostare n-1 dischi da B a C. La soluzione ricorsiva è allora: void sposta (char iniziale, char finale, char intermedio, int n) { if (n==2) { cout<<1<<intermedio<<endl; cout<<2<<finale<<endl; cout<<1<<finale<<endl; else { sposta(iniziale, intermedio, finale, n-1); cout<<n<<finale<<endl; sposta(intermedio, finale, iniziale,n-1); { sposta('a','c','b',4); Se si tenta di risolvere questo problema in modo iterativo, ovvero senza la ricorsività, ci si renderà conto dell utilità di quest ultima. 6. Esiste anche una ricorsione indiretta? Si, la funzione A può chiamare la funzione B che a sua volta chiama la funzione A. Si consideri il seguente esempio: void seconda (int n); int prima (int n) { cout<<"\n prima "; if (n!=1) seconda(n); return 0; void seconda(int n) { cout<<"\n seconda"; prima(n-1); { prima(10); 3

4 Naturalmente affinché la prima funzione possa utilizzare la seconda (che non è stata ancora definita) è necessaria farla precedere dal prototipo della seconda. 7. Quale può essere l utilità della ricorsione indiretta? Quella di consentire di fare il parsing di un espressione, ovvero di verificare se un espressione soddisfa ad una grammatica definita ricorsivamente. Si consideri una semplice grammatica per le espressioni algebriche: espressione=termine termine+termine termine-termine termine=fattore fattore*fattore fattore/fattore fattore=numero (espressione) Nella precedente numero rappresenta un intero senza segno. Basandosi sulla ricorsività indiretta è facile scrivere funzioni che determinano se una stringa è una espressione /* espressione=termine termine+termine termine-termine termine=fattore fattore*fattore fattore/fattore fattore=numero (espressione) */ typedef char stringa[80]; int pos(char c, stringa s) //ritorna la posizione di un carattere in un stringa { for(int i=0;i<strlen(s);i++) if (c==s[i])return i; return -1; char* substr(stringa s, int posiniz, int lung) //ricava la sottostr a partire da posiniz per una certa lunghezza { int i; if (posiniz>=0 && posiniz<strlen(s)) { char* t=new char[80]; for(i=0;i<lung;i++) { t[i]=s[i+posiniz]; if(s[i+posiniz]=='\0')break; t[i]='\0'; return t; else return NULL; bool numero(stringa s) { for(int i=0;i<strlen(s);i++) if(!isdigit(s[i]))return false; return true; bool termine(stringa s); bool espressione(stringa s) { int pospiu,posmeno; char* testa=new char[80]; char* coda=new char[80]; if(termine(s))return true; pospiu=pos('+',s); if(pospiu>0) { testa=substr(s,0,pospiu-1); coda=substr(s,pospiu+1,strlen(s)-pospiu-1); if(termine(testa)&&termine(coda))return true; posmeno=pos('-',s); if(posmeno>0) { testa=substr(s,0,posmeno-1); coda=substr(s,posmeno+1,strlen(s)-posmeno-1); if(termine(testa)&&termine(coda))return true; return false; 4

5 bool fattore(stringa s); //prototipo della funzione fattore che sarà definita dopo bool termine(stringa s) { int posper, posdiv; char* testa=new char[80]; char* coda=new char[80]; if (fattore(s))return true; posper=pos('*',s); if(posper>0) {testa=substr(s,0,posper-1); coda=substr(s,posper+1,strlen(s)-posper-1); if (fattore(testa)&&fattore(coda))return true; posdiv=pos('/',s); if(posdiv>0) {testa=substr(s,0,posdiv-1); coda=substr(s,posdiv+1,strlen(s)-posdiv-1); if (fattore(testa)&&fattore(coda))return true; return false; bool fattore(stringa s) { if(numero(s))return true; if(s[0]=='(' && s[strlen(s)-1]==')' && espressione(substr(s,1,strlen(s)-2))) return true; return false; { stringa s; cout<<"\n Inserisci stringa:\n "; gets(s); if (espressione(s)) cout<<"espressione"; else cout<<"\n NON espressione"; 5