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1 LEZIONE Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento ha, dunque, m componenti, che indicheremo con f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n ), cioè f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) R m. Ciascuna delle componenti f i può essere pensata a sua volta come una funzione definita su U e a valori in R. Quindi, ad ogni funzione f: U R m rimangono associate m funzioni f i : U R, dette funzioni componenti di f. Esempio Sia B = (B 1,..., B n ) R m. Una funzione della forma B: R n R m (x 1,..., x n ) (B 1,..., B m ) è detta funzione costante. Le sue componenti sono le funzioni Si considerino A = (a i,j ) 1 i m 1 j n un applicazione lineare R n R m x t (A t x) = ( B i : R n R (x 1,..., x n ) B i R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita a 1,j x j,..., a m,j x j ). Le sue componenti sono le funzioni associate alle matrici riga A i = (a i,j ) 1 j n R 1,n R n R (x 1,..., x n ) A i X = a i,j x j. Molto spesso, come già visto nel primo corso di Analisi, una funzione f viene descritta semplicemento dando la regola che la definisce, sottointendendo che il suo dominio è, per definizione, il più grande sottoinsieme di R n dove tale regola ha senso. 1 Typeset by AMS-TEX

2 DOMINI DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Esempio Si consideri la funzione definita da Il dominio naturale di tale funzione è l insieme Tale insieme è aperto. Il dominio della funzione è x 4 + y 2. { (x, y) R 2 x 4 + y 2 0 } = R 2 \{ (0, 0) }. ln(xy) { (x, y) R 2 xy > 0 }, cioè è l unione del primo e terzo quadrante senza gli assi coordinati. Anche in questo caso abbiamo a che fare con un insieme aperto. Si consideri la funzione x 2 + y 2 2x 4 x 2 y 2. Il suo dominio D è l insieme { (x, y) R 2 Tale insieme è unione dei due insiemi x2 + y 2 } 2x 4 x 2 y 2 0. U 1 = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 2x 0, x 2 + y 2 4 < 0 }, U 2 = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 2x 0, x 2 + y 2 4 > 0 }. In particolare i punti di U 1 sono quelli interni all intorno sferico di raggio 2 di (0, 0) e nel complementare dell intorno sferico di raggio 1 di (1, 0). Quindi U 1 = B((0, 0), 2) \ B((1, 0), 1). Tale insieme non è aperto perché i punti (x, y) tali che x 2 + y 2 2x = 0 appartengono a U 1 \ U 1. Invece i punti di U 2 sono quelli esterni all intorno sferico di raggio 2 di (0, 0) e nella chiusura dell intorno sferico di raggio 1 di (1, 0). Quindi U 2 =. Più in generale si consideri ora una funzione f della forma (x 1,..., x n ) (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) R m. È chiaro che il massimo sottoinsieme di R n dove una tale f è definita è l intersezione degli insiemi di definizione delle sue funzioni componenti.

3 Esempio Si consideri la funzione definita da LEZIONE 31 3 ( x2 + y 2 2x, 4 x 2 y 2 ). Allora il dominio U di f è l intersezione dei domini delle due funzioni In particolare x 2 + y 2 2x, 4 x 2 y 2. U = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 2x 0 } { (x, y) R 2 x 2 + y } = = ( R 2 \B((1, 0), 1) ) B((0, 0), 2) = B((0, 0), 2) \ B((1, 0), 1) Limiti e continuità di funzioni di più variabili. Definizione Siano U R n, f: U R m, x U e L R m. Diciamo che L è il limite di f al tendere di x a x e scriviamo lim f(x) = L, x x se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x (B(x, δ) \ { x }) U, allora f(x) B(L, ε). Sia L = (L 1,..., L n ). Poiché f i (x) L i f(x) L, f(x) L f i (x) L i, i=1 segue immediatamente che lim f(x) = L lim f i(x) = L i, i = 1,..., m. x x x x Tutti i classici teoremi sui limiti per funzioni di una variabile continuano a valere per funzioni di più variabili. Per esempio limite della somma, somma, del prodotto, della composizione, teorema del confronto etc.. In particolare, se U = U 1 U 2 e supponiamo che x U 1 U 2, è facile verificare che x U e che lim f(x) = L lim f U 1 (x) = lim f U2 (x) = L i. x x x x x x In generale, calcolare il limite di una funzione di più variabili può risultare difficile.

4 LIMITI E CONTINUITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Esempio Si consideri la funzione x 2 + y 2. Ovviamente si ha che x 2 y x 2 y (x 2 + y 2 ) y. Pertanto x 2 y x 2 + y 2 (x 2 + y 2 )y x 2 + y 2 y. Quindi lim (x,y) (0,0) x 2 y x 2 + y 2 = 0. Invece xy lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 non esiste. Dimostreremo tale affermazione restringendo la funzione a due opportune rette per (0, 0) e verificando che i corrispondenti limiti delle funzioni di una variabile cosí ottenute hanno valori diversi. Siano U 0 = { (x, 0) R 2 }, U 1 = { (x, x) R 2 }. Allora lim f 0 U 0 (x,y) (0,0) x 0 x 2 = 0, lim f x 2 U 1 (x,y) (0,0) x 0 x 2 + x 2 = 1 2. Purtroppo non è detto che basti studiare il comportamento della funzione ristretta alle sole rette passanti per il punto in cui si sta calcolando il limite. Per esempio si consideri la funzione ( x 2 ) 2 y x 4 + y 2. Vogliamo dimostrare che il limite di tale funzione per (x, y) tendente a (0, 0) non esiste, anche se il limite della funzione ristretta ad ogni retta per (0, 0) esiste e vale 0. Infatti,er ogni t R, si consideri poi l insieme U t = { (x, tx) R 2 x 0 }. Allora ( ) tx 3 2 ( ) 2 tx lim f U t (x,y) (0,0) x 0 x 4 + t 2 x 2 = lim x 0 x 2 + t 2 = 0. Per esercizio verificare che se U = { (0, y) R 2 y 0 }, allora lim (x,y) (0,0) f U (x, y) = 0. Invece, si consideri l insieme U = { (x, x 2 ) R 2 x 0 }. Allora ( ) x 4 2 lim f 1 U (x,y) (0,0) x 0 x 4 + x 4 = lim x 0 4 = 1 4. Deduciamo che lim (x,y) (0,0) f(x, y) non esiste. Passiamo ora a generalizzare la nozione di continuità.

5 LEZIONE 31 5 Definizione Siano U R n, f: U R m, x U. Diciamo che f è continua in x se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x B(x, δ) U, allora f(x) B(f(x), ε). La funzione f si dice continua su U se e solo se è continua in tutti i punti di U Anche in questo caso è facile dimostrare che f: U R m è continua in x U se e solo se tali sono tutte le sue componenti. In particolare, così come per i limiti, anche tutti i classici teoremi sulle funzioni continue di una variabile continuano a valere per funzioni di più variabili. Per esempio somma, prodotto, composizione, etc. di funzioni continue, sono ancora funzioni continue. Per questo motivo, se U R n, l insieme C 0 (U, R m ) = { f (R m ) U f continua in tutto U } è un sottospazio di (R m ) U. Se poi x U U, confrontando le Definizioni e , si deduce anche che f è continua in x se e solo se lim f(x) = f(x). x x Esempio È facile verificare che funzioni costanti o lineari sono sempre continue su tutto R n. Anche la funzione ( x 2 y x 4 + y 2 dell Esempio è continua su tutto R 2 \{ (0, 0) }, ma non può essere estesa con continuità a tutto R 2. Invece la funzione x 2 + y 2 può essere prolungata con continuità a tutto R 2 ponendo f(0, 0) = 0. ) 2

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