2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

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1 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Utilizziamo la notazione f : A B f : a f(a) L insieme A è detto dominio di f e B è detto insieme di arrivo o codominio di f. Il sottoinsieme f(a) di B definito da f(a) = {b B : a A tale che f(a) = b} è detto immagine di f oppure immagine di A tramite f. Se a A e b = f(a), si dice che b è immagine di a mediante f e che a è la controimmagine di b. In particolare se A, B R si dice che f è una funzione reale di variabile reale. Esempio 2.2 Una operazione su un insieme A è una funzione da A A in A. Per esempio la somma e il prodotto sono funzioni da R R in R Campo di esistenza. Per definire una funzione occorre specificare sia la legge sia il dominio. Se, per definire una funzione reale di variabile reale, si assegna la legge senza specificare il dominio, si considera, per convenzione, come dominio l insieme di tutti i numeri reali per i quali ha senso la legge assegnata, tale insieme viene spesso chiamato campo di esistenza della funzione. Esempio 2.3 Le funzioni f : [0, + ) R g : R R f : 2 g : 2 sono diverse perchè hanno domini differenti. 10

2 Esempio 2.4 La funzione f : [0, + ) R f : + 1 ha dominio [0, + ) e immagine [1, + ). Esempio 2.5 Determinare il campo di esistenza di f() = La radice quadrata è definita quando il suo argomento è non negativo, quindi poniamo Il denominatore di una frazione deve essere diverso da zero, quindi poniamo Il campo di esistenza è quindi { R : 3 3, 1}. 2.2 GRAFICO DI UNA FUNZIONE Definizione 2.6 Il grafico di una funzione f : A B è il sottinsieme G f di A B definito da G f = {(, ) A B : A e = f()}. Se D R e B = R, il grafico di una funzione f : D R è il luogo dei punti del piano di coordinate (, ) che soddisfano l equazione = f(). Le rette verticali intersecano il grafico di una funzione in al più un punto. Esempio 2.7 La curva in figura non è il grafico di una funzione 11

3 Esempio 2.8 Grafico delle funzioni f : R R f : 2 e g : R R g : 3 g() = 3 f() = FUNZIONI LIMITATE Siano D R e f : D R. Definizione 2.9 (i) Si dice che f è limitata superiormente se M R tale che f() M D. (ii) Si dice che f è limitata inferiormente se m R tale che f() m D. (ii) Si dice che f è limitata se m, M R tali che m f() M D. In altre parole f è limitata superiormente, limitata inferiormente o limitata se e solo se l insieme f(d) è, rispettivamente, limitato superiormente, limitato inferiormente o limitato. È facile verificare che f è limitata se e solo se C R+ tale che f() C D. 12

4 Esempio 2.10 La funzione f() = 1 1, R, è limitata. Infatti 0 1, R = Esempio 2.11 La funzione f() = 1 2, R, è limitata solo superiormente. = 1 2 Esempio 2.12 La funzione f() = 2, R è limitata solo inferiormente. = 2 Esempio 2.13 La funzione f() = 3, R, è illimitata. = FUNZIONI SIMMETRICHE Sia D R simmetrico rispetto all origine. 13

5 Definizione 2.14 Una funzione f : D R si dice pari se f( ) = f() D. Una funzione è pari se e solo se la rappresentazione del grafico di f nel piano è simmetrica rispetto all asse delle ordinate. Esempio 2.15 Le funzioni f() = 2, f() = 2k, k N, R, sono pari. = 2 Definizione 2.16 Una funzione f : D R si dice dispari se f( ) = f(), D. Una funzione è dispari se e solo se la rappresentazione del grafico di f nel piano è simmetrica rispetto all origine degli assi. Esempio 2.17 Le funzioni f() = 3, f() = 2k+1, k N, R, sono dispari. = 3 14

6 2.5 OPERAZIONI SUI GRAFICI DI FUNZIONI Grafico di f( ) Conoscendo il grafico di una funzione f : A B, come possiamo disegnare il grafico della funzione f( )? Esempio 2.18 Siano f() = 2 e g() = f( ) = 2. g() = 2 f() = 2 Il grafico di g() = f( ) è il simmetrico del grafico di f rispetto all asse delle ordinate Grafico di f() Conoscendo il grafico di una funzione f : A B, come possiamo disegnare il grafico della funzione f()? Esempio 2.19 Siano f() = 1 2 e g() = (1 2 ) = 2 1. = (1 2 ) = 1 2 Il grafico di g() = f() è il simmetrico del grafico di f rispetto all asse delle ascisse Grafico di f( + a) Conoscendo il grafico di una funzione f : A B, come possiamo disegnare il grafico della funzione f( + a)? 15

7 Esempio 2.20 Sia f() = , R e sia g() = 1 = f( 1). Allora il grafico di g è 1 + ( 1) 2 traslato a destra di uno. Per esempio se = 1 abbiamo e g(1) = f(0) = 1. = = 1+( 1) 2 1 Sia g() = f( + a), a > 0, allora per ottenere il grafico di g si trasla a sinistra di a il grafico di f. g a f Se g() = f( a), a > 0, allora per ottenere il grafico di g si trasla a destra di a il grafico di f Grafico di f() + a Conoscendo il grafico di una funzione f : A B, come possiamo disegnare il grafico della funzione f() + a? 1 Esempio 2.21 Sia f() = 1 + 2, R e sia g() = = f() + 1. Allora il grafico di g è traslato verso l alto di uno. Per esempio per = 0 abbiamo f(0) = 1 e g(0) = f(0) + 1 = 2. = =

8 Se g() = f() a, a > 0, allora per ottenere il grafico di g si trasla verso il basso di a il grafico di f. f g Se g() = f() + a, a > 0, allora per ottenere il grafico di g si trasla verso l alto di a il grafico di f Grafico di f(a) Conoscendo il grafico di una funzione f : A B, come possiamo disegnare il grafico della funzione f(a)? Esempio 2.22 Sia f() = , R e sia g() = 1 ( = f. Allora il grafico di g si ottiene 1 + 3) 2 9 allargando opportunamente il grafico di f. Per esempio per = 0 abbiamo f(0) = 1 e g(0) = f(0) = 1, mentre abbiamo f(1) = 1 2 = g(3). = = Se g() = f(a), 0 < a < 1, allora il grafico di g si ottiene allargando opportunamente il grafico di f. Se g() = f(a), a > 1, allora il grafico di g si ottiene stringendo opportunamente il grafico di f Grafico di af() Conoscendo il grafico di una funzione f : A B, come possiamo disegnare il grafico della funzione af()? 17

9 Esempio 2.23 Sia f() = 1 2, R e sia g() = = 2f(). Allora il grafico di g si ottiene allungando opportunamente il grafico di f. Per esempio per = 0 abbiamo f(0) = 1 e g(0) = 2 f(0) = 2. = = Se g() = a f(), a > 1, allora il grafico di g si ottiene allungando opportunamente il grafico di f. Se g() = a f(), 0 < a < 1, allora il grafico di g si ottiene schiacciando opportunamente il grafico di f Grafico di f( ) Conoscendo il grafico di una funzione f : R R, come possiamo disegnare il grafico della funzione g : f( )? Osserviamo che g è una funzione pari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate, infatti g( ) = f( ) = f( ) = g(), inoltre f() 0 g() = f( ) < 0. Quindi per ottenere il grafico di g si elimina il grafico di f per < 0, si lascia invariato il grafico di f per > 0 e si ricopia questo grafico simmetricamente rispetto all asse delle ordinate per < 0. Esempio 2.24 Sia f() = 2 e g() = f( ) = 2. f() = 2 g() = 2 18

10 2.5.8 Grafico di f() Conoscendo il grafico di una funzione f : R R, come possiamo disegnare il grafico della funzione g : f()? Osserviamo che g è sempre non negativa, inoltre f() se f() 0 g() = f() se f() < 0. Quindi per ottenere il grafico di g si lascia invariato il grafico di f per > 0, si ricopia il grafico di f per < 0 simmetricamente rispetto all asse delle ascisse e si elimina il grafico di f per < 0. Esempio 2.25 Sia f() = 1 2 e g() = 1 2. = 1 2 = FUNZIONI MONOTONE Sia D R. Definizione 2.26 Una funzione f : D R si dice: (i) monotona non decrescente o monotona crescente se, D : < f() f(); (ii) strettamente crescente se, D : < f() < f(); (i) monotona non crescente o monotona decrescente se, D : < f() f(); (ii) strettamente decrescente se, D : < f() > f(). 19

11 Esempio 2.27 La funzione g : R R, g : 3 è monotona crescente, anzi strettamente crescente. g() = 3 Esempio 2.28 La funzione f() = ( ) > 0 è monotona non crescente. 2.7 MASSIMI E MINIMI Sia a < b + e sia f : (a, b) R. Definizione 2.29 (i) Diciamo che c (a, b) è un punto di massimo relativo (o massimo locale) per f se esiste δ > 0 tale che f(c) f() (c δ, c + δ) (a, b). (ii) Diciamo che c (a, b) è un punto di massimo assoluto per f se f(c) f() (a, b). In modo analogo si definiscono i punti di minimo relativo (minimo locale) e di minimo assoluto. 20

12 Un punto di massimo (o di minimo) assoluto è ovviamente anche punto di massimo (o di minimo) relativo. Il viceversa non è vero. Se c è un punto di massimo assoluto per f, allora f(c) è il massimo della funzione f, ovvero f(c) = ma{ R : = f(), (a, b)} = ma ( f(a, b) ) = ma (a,b) f(). Esempio 2.30 Sia f() = 2 1, allora 1 è un punto di massimo assoluto ( e quindi anche relativo) per f; il massimo di f è f(1) = 2. Esempio 2.31 La funzione con il grafico in figura ha un massimo locale (non assoluto) in = 0 e un minimo assoluto in =

13 Esercizio 2.32 Osserviamo il grafico della funzione f che ha il grafico dell esempio 2.30 e deduciamo le caratteristiche di f. f ha come dominio tutta la retta reale. Intersezioni con gli assi: punti di coordinate (0,1), (1.3,0), (2.5,0). f() > 0 per < 1.3 e > 2.5; f() < 0 per 1.3 < < 2.5. f è crescente negli intervalli (, 0) e (2, + ); f è decrescente nell intervallo (0, 2). 2.8 FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE Esempio 2.33 Sia A l insieme di tutte le persone in vita o meno e sia B l insieme di tutte le donne in vita o meno. Consideriamo la funzione f : A B che associa ad ogni persona di A la propria madre. Osserviamo che la madre è unica, quindi la funzione f è ben definita. Possono esistere due persone distinte, diciamo a 1, a 2 A (a 1 a 2 ) che hanno la stessa madre, cioè tali che f(a 1 ) = f(a 2 ), quindi la funzione f non è iniettiva, secondo la seguente definizione. Definizione 2.34 Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B si dice iniettiva se vale la seguente implicazione f() = f() =, A; ovvero se z f(a)! A : f() = z. È importante notare che l iniettività dipende dal dominio, come si vede dagli esempi seguenti. Esempio 2.35 Sia A l insieme di tutti i filgli unici e sia B l insieme di tutte le donne in vita o meno. Consideriamo la funzione g : A B che associa ad ogni persona di A la propria madre. Allora g è iniettiva perchè non possono esistere due figli unici con la stessa madre. Esempio 2.36 La funzione f : [0, + ) R, f() = 2, è iniettiva, ma g : R R, g() = 2, non è iniettiva. = f() = g() 22

14 Le rette parallele agli assi intersecano il grafico di una funzione iniettiva in al piú un punto. Assegnata una funzione f con dominio D, non è sempre possibile restringere il dominio D in modo da ottenere una funzione iniettiva, come si vede dall esempio seguente. Esempio 2.37 La funzione f : (0, a) R, f() = sin 1, non è iniettiva per qualsiasi a > 0. Proposizione 2.38 Sia D R. Se f : D R è strettamente monotona (crescente o decrescente), allora f : D R è iniettiva. Esempio 2.39 La funzione g : R R g : 3 è strettamente monotona crescente ed è quindi iniettiva. g() = 3 Esempio 2.40 La funzione 1 0 f() = ) > 0 ( 1 2 è monotona non crescente e non è iniettiva. f() = ( ) 1 2 Esempio 2.41 Esempi di funzioni iniettive da R in R: f() = ; f() = 3 ; f() = a, a > 0; f() = 2k+1, k N. Esempi di funzioni non iniettive da R in R: f() = 2 ; f() = 2k, k N. Esempio 2.42 Riprendiamo l esempio Sia A l insieme di tutte le persone in vita o meno e sia B l insieme di tutte le donne in vita o meno. Consideriamo la funzione f : A B che associa ad ogni persona di A la propria madre. Allora f non è suriettiva, secondo la definizione che segue, perchè possono esistere donne che non sono madri. 23

15 Definizione 2.43 Una funzione f : A B si dice suriettiva da A in B se B A : f() = ; ovvero se f(a) = B. Esempio 2.44 Sia A l insieme di tutte le persone in vita o meno e sia B l insieme di tutte le madri in vita o meno. Consideriamo la funzione φ : A B che associa ad ogni persona di A la propria madre. Allora φ è suriettiva perchè da ogni madre B corrisponde un figlio A tale che φ() =. Osserviamo che φ non è iniettiva, come la funzione f dell esempio 2.33 Esempio 2.45 La funzione g dell esempio 2.35 non è suriettiva. Una funzione f con dominio A è sempre suriettiva da A in f(a). il codominio di una funzione in modo che essa sia suriettiva. È quindi sempre possibile restringere Il grafico di una funzione f suriettiva da A in B interseca le rette orizzontali del tipo = b, b B, in almeno un punto. Esempio 2.46 La funzione f : R [0, + ), f() = 2, è suriettiva, ma g : R R, g() = 2, non è suriettiva. = 2 Esempio 2.47 Esempi di funzioni suriettive da R in R: f() = f() = 3. Esempi di funzioni non suriettive da R in R: f() = 2 f() = 2. Definizione 2.48 Una funzione f : A B si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva. 24

16 Quando esiste una funzione biettiva da A in B, si dice che gli insiemi A e B sono in corrispondenza biunivoca. Esempio 2.49 Esempi di funzioni biiettive da R in R: f() = f() = 3. Esempi di funzioni non biiettive da R in R: f() = 2 f() = 2. Esempi di funzioni biiettive da R + in R + : f() = 2 f() =. Esempio di funzione biiettiva da R in R + : f() = FUNZIONE COMPOSTA Definizione 2.50 Siano D ed E due insiemi e siano f : D f(d) e g : E : g(e) due funzioni, con f(d) E. La funzione g f : D g(e) definita da g f : g(f()) si dice funzione composta e si legge g composta con f. Può accadere che siano definite sia g f sia f g, ma in generale g f f g Esempio 2.51 Consideriamo f() = 3, g() = 2, R. Si ha g f() = g(f()) = g(3 ) = (3 ) 2 = 3 2 = 9 f g() = f(g()) = f( 2 ) = 3 2, quindi g f f g. Può accadere che sia definita f gma non g f. 25

17 Esempio 2.52 Consideriamo f() = 2, g(t) = t, R, t [0, + ). Essendo f(r) [0, + ) =, non è possibile definire g f, ma è possibile definire f g(t) = 2 t, t [0, + ) FUNZIONE INVERSA Siano A e B due insiemi. Definizione 2.53 Una funzione f : A B si dice invertibile se esiste g : B A tale che g f(a) = a a A f g(b) = b b B. la funzione g è detta inversa di f ed è denotata con f 1. f : A B è invertibile f : A B è biiettiva. Proposizione 2.54 Sia D R. Se f : D R è strettamente monotona (crescente o decrescente), allora f : D f(d)è invertibile. Il grafico della funzione inversa f 1 è simmetrico al grafico della funzione f rispetto alla bisettrice =. Esempio 2.55 f() = f 1 () =, R f() = 2 f 1 () = 0 0 f() = a f 1 () = log a () R, > 0, a > 0, a 1. 26

18 Esempio 2.56 La funzione f : [0, + ) [0, + ), f : 2 è invertibile e f 1 : [0, + ) [0, + ) è data da f 1 : t t. f() = 2 f 1 () = Esempio 2.57 La funzione f : R R +, f : 2 è invertibile e f 1 : R + R è data da f 1 : t log 2 t. f() = 2 f 1 () = log 2 () 27

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