Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria

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1 Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui F é C 1 ;. Si verifichi che F è irrotazionale; 3. Si dica a priori se il campo vettoriale è conservativo ed in tal caso se ne determini il potenziale U tale che U 1, 1 ) Soluzione 1. Per determinare il dominio di F si cercano i punti x,y) R in cui sono definite le funzioni che costituiscono le componenti del campo. Si procede dunque come per lo studio di funzioni. Si vede subito che le componenti del campo sono definite per: 1 > x + y x y 1

2 ovvero nei punti del piano interni al disco centrato nell origine e raggio 1 meno i punti in cui si annullano o x o y. In {x,y) R x +y < 1, x, y } il campo è definito e continuo. Per provare che F è C 1 dobbiamo verificare che anche le sue derivate prime sono continue nello stesso dominio. Facendo tutti i calcoli si trova che: F 1,x 1 + y 1 x y ) 3/ 1 x F 1,y F,x xy 1 x y ) 3/ F 1,x xy 1 x y ) 3/ 1 + x 1 x y ) 3/ 1 y. Come si vede, le derivate di F sono continue nell insieme che è dunque il dominio che cercavamo rappresentato in figura 1). y x Figure 1: Rappresentazione del dominio in cui F è C 1. Il dominio è costituito dall unione delle quattro regioni piane 1,, 3 e 4. Le linee tratteggiate sono escluse.. Ricordiamo che, in R, un campo è irrotazionale nel suo dominio) se vale l uguaglianza: F 1,y F,x x,y). 1) al punto precedente vediamo che l uguaglianza sopra è verificata per ogni punto del dominio, dunque il campo vettoriale è irrotazionale.

3 3. Per potenziale di un campo vettoriale F intendiamo una funzione U tale che U F, ovvero U x x,y) F 1 U y x,y) F. ) Per determinare se un campo vettoriale è conservativo facciamo uso del seguente Teorema 1. Un campo vettoriale C 1 irrotazionale in un dominio semplicemente connesso o un rettangolo) è conservativo in. Il campo F è C 1 e irrotazionale, ma il dominio in cui è definito non è semplicemente connesso, quindi non è conservativo in tutto. Tuttavia se ci limitaimo alla regione 1 {x,y) R x + y < 1, x >, y > } abbiamo che 1 è semplicemente connesso e quindi F è conservativo in 1. Osservazione 1. In realtà F è conservativo in ciascuna regione i per i 1,, 3, 4 ma non nell unione delle regioni per i motivi sopra esposti). Il motivo per cui abbiamo scelto 1 viene dal fatto che 1 contiene il punto 1/, 1/) in cui dobbiamo calcolare il potenziale U. Per trovare U integriamo rispetto a x la prima di queste relazioni: ) x Ux, y) Ux,y)dx 1 x y + 1 x 1 x y + ln x + hy) dove la funzione h che dipende solo da y) viene dal fatto che in questa fase abbiamo integrato rispetto a x. Quindi abbiamo trovato che Ux,y) 1 x y + ln x + hy). Per determinare h, e, quindi, U, deriviamo rispetto a y ottenendo: U y x,y) y 1 x y + h y). 3) Affinché U sia il potenziale che cerchiamo, imponiamo la seconda delle y 1 x y +h y) U y x,y) F x,y) y 1 x y + 1 y. 4) 3

4 alla relazione sopra si vede che h deve soddisfare h y) 1 y hy) ln y + c con cr costante. Quindi abbiamo trovato: Ux,y) 1 x y + ln x + ln y + c che al variare di c definisce una famiglia di funzioni che sono potenziali per F. obbiamo adesso determinare c in modo che U 1, 1). Quindi abbiamo: U 1, 1 ) { } ln + ln { } 1 + c da cui c ln { } 1 ln. Quindi il potenziale che cercavamo è Esercizio Testo Sia Ux,y) 1 x y + ln x + ln y + ln F F 1 x,y,z),f x,y,z),f 3 x,y,z) x 1 x y z + x, y 1 x y z + 3y,. ) z 1 x y z + 6z5 un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui F é C 1 ;. Si verifichi che F è irrotazionale; 3. Si dica a priori se il campo vettoriale è conservativo ed in tal caso se ne determini il potenziale U tale che U,, ) 1 4

5 Soluzione 1. Procediamo come nell esercizio precedente. Il dominio di definizione di F è l insieme dei punti tali che 1 x y z > x + y + z < 1, ovvero l interno della sfera di raggio 1 centrata in,, ). In tale dominio, il campo vettoriale è C 1. Indichiamo il dominio come {x,y,z) x + y + z < 1}. Osservazione. Il dominio in questione è stellato. Infatti se prendiamo, ad esempio, il punto,, ), ogni altro punto di si può congiungere con l origine per mezzo di un segmento che è tutto contenuto nell insieme.. Per provare che il campo è irrotazionale, dobbiamo calcolare il rotore e verificare che per ogni punto di coincide col vettore nullo, ovvero rotf,, ) x,y,z). Il rotore di un campo vettoriale è definito come: F3 rotf y F z, F 1 z F 3 x, F x F ) 1. y Osservazione 3. Nel caso di un campo vettoriale in R, il rotore si riduce al termine x F y F 1, che coincide con la terza componente del rotore di un campo vettoriale in R 3. Calcoliamo singolarmente le componenti del rotore del campo. F 3 y F 1 ) zy z 1 x y z ) 1 ) zy, 3/ 1 x y z ) 3/ F 1 z F 3 1 ) xz x 1 x y z ) 1 ) zx, 3/ 1 x y z ) 3/ F x F 1 1 ) yx y 1 x y z ) 1 ) xy. 3/ 1 x y z ) 3/ unque il rotore del campo F è identicamente nullo per ogni punto del dominio e dunque è irrotazionale. 3. Per provare che il campo è conservativo, facciamo uso del seguente 5

6 Teorema. Sia F un campo vettoriale C 1 in un dominio stellato R 3. Supponiamo che F sia irrotazionale in. Allora F è conservativo in. Ora F è C 1 e irrotazionale in che, come abbiamo osservato, è un dominio stellato di R 3. Allora F è conservativo in ed esiste dunque una funzione U tale che U F, ovvero: U x F 1 U y F 5) U z F 3 Per determinare U procediamo come visto nell esercizio precedente. Integriamo rispetto a x la prima delle tre condizioni 5, trovando x Ux,y,z) 1 x y z dx + xdx 1 x y z + x + gy,z) dove la funzione g che dipende solo da y e da z viene dal fatto cha abbiamo integrato rispetto alla variabile x. Per determinare g, deriviamo rispetto a y l espressione trovata per U ed imponiamo la seconda delle relazioni 5, dunque U y y 1 x y z + g y F y 1 x y z + 3y da cui si ottiene g y 3y gy,z) y 3 + hz) dove di nuovo la funzione h che dipende solo da z viene dal fatto che abbiamo integrato rispetto a y. Abbiamo quindi la seguente espressione per per U Ux,y,z) 1 x y z + x + y 3 + hz). Per determnare h deriviamo U rispetto a z ed imponiamo la terza delle relazioni 5: U z z 1 x y z + h z) F 3 z 1 x y z + 6z5. 6

7 Quindi abbiamo h z) 6z 5 hz) z 6 + c. con c R una costante. Quindi abbiamo trovato che l espressione del generico potenziale di F è Ux,y,z) 1 x y z + x + y 3 + z 6 + c. Per trovare il potenziale che soddisfa U,, ) 1, dobbiamo determinare c opportunamente. Si sostituisce il punto,, ) nell espressione di U ottenendo: 1 U,, ) 1 + c c. unque il potenziale che cercavamo è Ux,y,z) 1 x y z + x + y 3 + z 6 e questo conclude l esercizio. Esercizio 3 Testo Si provi il teorema della divergenza per il campo vettoriale F x y, ) nel dominio {x + y 1}. Soluzione Ricordiamo il Teorema della divergenza nel caso di un dominio piano. Teorema 3 Teorema della divergenza). Sia un dominio regolare del piano e F F 1,F ) : R un campo vettoriale di classe C 1 ). Allora divfdxdy F, N)ds 6) dove divf è detto divergenza di F ed è definito come: divf F 1 x + F y, F,N) è il prodotto scalare tra il vettore F e il versore N normale al bordo di rivolto verso l esterno di. 7

8 Per provare il teorema della divergenza nel caso del campo vettoriale e del dominio indicati dobbiamo calcolare singolarmente l integrale doppio a destra e l integrale curvilineo a sinistra nella 6 e verificare che i due integrali sono uguali. Cominciamo con l integrale doppio; prima di tutto calcoliamo la divergenza del campo F: divf F 1 x + F y x x y) + y 1. Quindi l integrale doppio diventa: divfdxdy dxdy che calcoliamo passando a coordinate polari: x ρ cos θ ρ,θ) [, 1] [, π] y ρ sin θ Indicando con ˆ il dominio espresso in coordinate polari, avremo: ˆ {ρ,θ) ρ 1, θ π} e ricordando la formula per il cambiamento di coordinate negli integrali doppi abbiamo: dxdy ˆ x, y) ρ,θ) dρdθ ρdρdθ ˆ dove in coordinate polari il differenziale del cambiamento di coordinate vale x, y) ρ,θ) ρ. Usando le formule di riduzione per gli integrali doppi si ha: ρdρdθ ˆ π dθ [ ρ π Calcoliamo adesso l integrale curvilineo: F, N)ds. 8 1 ] 1 ρdρ π.

9 Il bordo di è costituito dai punti del piano che distano 1 dall origine degli assi cartesiani, ovvero dalla circonferenza di centro l origine e raggio 1. Una sua parametrizzazione è data da: x cos θ θ [, π] y sinθ ata una curva regolare del piano, il versore normale alla curva si calcola per mezzo delle formule ) y x N x ) + y ), x ) + y ) e nel nostro caso abbiamo: { x sin θ y cos θ Quindi il versore normale alla circonferenza è ) cos θ sin θ) N sin θ) + cosθ), cosθ, sin θ). sin θ) + cosθ) Il campo vettoriale calcolato sui punti della curva è: e il prodotto scalare è: F ) cosθ sin θ, ) F,N) F 1 N 1 + F N cosθ sin θ) cos θ. Per definizione di integrale curvilineo abbiamo allora: π F, N)ds F,N) x θ)) + y θ)) dθ π π cos θ) sinθ) cosθ)) cos θ) + sin θ)dθ cos θ)dθ [ θ + sinθ) cosθ) π ] π sinθ) cosθ)dθ + [cos θ)] π π + cos π) cos )) π dove abbiamo sfruttato la proprietà sin θ) + cos θ) 1. Quindi abbiamo provato il teorema della divergenza per questo caso specifico e qui si conclude l esercizio. 9

10 Esercizio 4 Testo Provare la formula di Stokes per il campo vettoriale F,x,y) nel dominio costituito dai punti del piano x+y+z 1 interni al cilindro {x,y,z) x +y 1}. Soluzione Ricordiamo la formula di Stokes Teorema 4 formula di Stokes). Sia φ : R 3 una superficie regolare con bordo. Sia F F 1,F,F 3 ) : A R 3 un campo vettoriale C 1 nell aperto A R 3 tale che il supporto S φ) della superficie sia tutto contenuto in A. Allora vale: rotf, N)dσ F 1 dx + F dy + F 3 dz 7) S + S dove N φ u φ v è il campo normale a S e il bordo + S è orientato nel verso positivo corrispondente all orientamento della superficie S. obbiamo calcolare separatamente l integrale di superficie a sinistra della 7, l integrale curvilieo a destra e verificare che sono uguali. Cominciamo con l integrale di superficie. Prima di tutto troviamo una parametrizzazione φ della superficie S; questa è data da: φu,v) u,v, 1 u v) u,v) {u,v) R u + v 1}. Osservazione 4. La definizione di φ ovvero φu,v) u,v, 1 u v) corrisponde a tutti i punti del piano x + y + z 1; facendo variare u e v in si ottengono i punti del piano suddetto interni al cilindro {x + y 1}. Calcoliamo il campo normale alla superficie N φ u φ v. Poiché: φ u 1,, 1) φ v, 1, 1) il campo normale è dato da: i j k N det 1 1 1, 1, 1) 1 1 1

11 dove il determinante della matrice sopra è stato sviluppato rispetto alla prima riga. Il rotore di un campo vettoriale si calcola come: rotf F3 y F z, F 1 z F 3 x, F x F ) 1 1i + 1k 1,, 1). y unque il prodotto scalare tra il rotore del campo ed il vettore normale è rotf,n) e l integrale di superficie diventa semplicemente: rotf,n)dσ dxdy. S L integrale doppio a secondo membro si risolve passando a coordinate polari e otteniamo: π 1 dxdy dθ ρdρ [ ] ρ 1 4π π. Passiamo ora a considerare l integrale curvilineo a destra nella formula di Stokes. obbiamo prima di tutto parametrizzare il bordo della superficie S. Ricordando la parametrizzazione di S, il bordo della superficie si ottiene facendo variare i parametri u e v lungo il bordo della circonferenza centrata nell origine e raggio 1 ovvero il bordo del dominio ). Una parametrizzazione del bordo di è dato allora da: u cosθ θ [, π] v sinθ Sostituendo questi valori nella definizione di φ la parametrizzazione della superficie) otteniamo la parametrizzzione del bordo di S x cos θ y sinθ θ [, π] z 1 cos θ sin θ Abbiamo inoltre che dx sin θdθ dy cosθdθ dz sinθ cos θ)dθ 11

12 unque l integrale curvilineo diventa calcolando F sui punti del bordo di S): + S F 1 dx + F dy + F 3 dz π π π π {cosθ)cos θ) + sinθ)sin θ cos θ)}dθ cos θ + π sin θdθ cos θ + sin θ)dθ dθ π π + [cos θ] π π π π sin θ cos θdθ sin θ cos θdθ sin θ cos θdθ Abbiamo quindi provato che i due integrali sono uguali e questo conclude l esercizio. Esercizio 5 Testo Si calcoli in due modi diversi l integrale divfdxdydz dove è la regione dello spazio interna al cono z x + y con z 1 e F è il campo vettoriale F x,y, 1). Soluzione Per risolvere l esercizio si ricorre al teorema della divergenza in R 3. Teorema 5 Teorema della divergenza in R 3 ). Sia T un dominio regolare dello spazio e F F 1,F,F 3 ) : T R 3 un campo vettoriale di classe C 1 T). Allora divfdxdydz F, N)ds 8) T T dove divf è detto divergenza di F ed è definito come: divf F 1 x + F y + F 3 z, 1

13 F,N) è il prodotto scalare tra il vettore F e il versore N normale al bordo di T rivolto verso l esterno di T. unque dobbiamo calcolare l integrale della divergenza del campo e successivamente l integrale di superficie della funzione F, N). La regione T in cui si deve verificare il teorema della divergenza è definita come: T {x,y,z) x,y), x + y z 1}. T è un dominio normale rispetto al piano xy; la regione è il dominio sul piano xy costituito dal disco centrato in, ) e raggio 1, ovvero {x,y) R x + y 1}. Si veda la figura La divergenza di F vale: z 1 N y x Figure : La regione T dell esercizio 5. 13

14 divf F 1 x + F y + F 3 z x x + y y + 1 z Poichè T è un dominio normale rispetto al piano xy abbiamo: divfdxdydz dxdydz dxdy 1 x +y dz 1 x + y )dxdy dove abbiamo applicato le formule di riduzione per integrali tripli. obbiamo adesso calcolare l integrale doppio esteso a. Poichè è un disco del piano passiamo a coordinate polari nel piano). x ρ cos θ ρ,θ) [, 1] [, π] y ρ sin θ Ricordando che x + y ρ, l integrale sopra diventa indicando con ˆ il dominio espresso in coordinate polari e, successivamente, applicando le formule di riduzione): π 1 1 ρ)ρdρdθ dθ ρ ρ )dρ ˆ π [ ] ρ 1 dθ ρ3 4π π. Passiamo ora a valutare l integrale di superficie. La superficie del dominio T è costituita dall unione T S 1 S, dove: S 1 { superifice del cono } S { disco nel piano z 1 raggio 1 centato sull asse z } come si vede in figura. unque avremo che: F,N)dσ T F,N)dσ + S 1 F,N)dσ. S 14

15 Per calcolare il primo integrale dobbiamo parametrizzare la superficie S 1. Una parametrizzazione del cono è Ora φu,v) u cos v,usin v,u), u,v) [, 1] [, π] Il versore normale N è dato dalla formula: e quindi φ u φ v det N φ u φ v φ u φ v. φ u cosv, sin v, 1) φ v u sin v,ucos v, ) i j k cos v sin v 1 u sin v u cos v u cos v, u sin v,u). Ora, come si vede il vettore φ u φ v è diretto verso l interno del dominio T, mentre per applicare il teorema della divergenza, dobbiamo usare la normale uscente dal dominio. La normale uscente dal dominio si ottiene cambiando di segno al vettore ottenuto, ovvero u cos v,usin v, u). Quindi il versore uscente è u cos v,usin v, u) N. φ u φ v Calcoliamo adesso il campo vettoriale sui punti della superficie S 1 : Fu cos v,usin v,u) u cos v,usin v, 1) e il prodotto scalare tra il campo vettoriale e il versore normale è F,N) fracu cos v + u sin v u φ u φ v fracu u φ u φ v L integrale di superficie diventa quindi: u u F,N)dσ S 1 [,1] [,π] φ u φ v φ u φ v dudv π 1 [ ] u dv u 3 1 u)du π 3 u [ π 1 ] π

16 Per quanto riguarda la superficie S, si osserva che la normale uscente in questo caso è si veda la figura ) N,, 1). Ora il prodotto scalare in questo caso è: La superficie si parametrizza come F,N) 1. φ u cos v,usin v, 1), u,v) [, 1] [, π] Ripetendo i conti otteniamo: Quindi abbiamo: S F,N)dσ φ,u φ,v u π 1 φ,u φ,v du,dv [,1] [,π] udu,dv [,1] [,π] 1 [ u dv udu π ] 1 π Otteniamo infine che F,N)dσ F,N)dσ + F,N)dσ π T S 1 S 3 + π 3 π, trovando che i due integrali coincidono e questo conclude l esercizio. Esercizio 6 Testo Verificare il teorema della divergenza per il campo vettoriale F x,y ) nel dominio piano contenuto nel primo quadrante al di sotto della retta x + 3 y 1. 16

17 Soluzione Il dominio è normale rispetto sia all asse x che all asse y. Infatti si può esprimere come: {x,y)r x 1, y 3 } 1 x). La divergenza del campo è: 1 divf x + y quindi l integrale doppio è: divfdxdy x + y)dxdy [ x 3 dx x) dx x + y)dy x) x + y)dy [xy + y x1 x) + 1 ) ) 3 1 x) dx xdx 3 ] 1 1 [ x ] x dx x) dx 4 9 [ ] 1 x) ]3 1 x) Consideriamo ora l integrale curvilineo. Osserviamo preliminarmente che il bordo di è costituito dall unione dei tre segmenti γ 1 che unisce i punti, ) e 1, ), γ il segmento di retta che congiunge i punti 1, ) e, 3 ) e γ 3 che unisce i punti, 3 ) e, ). Essendo quindi: avremo che γ 1 γ γ 3 F,N)ds F,N)ds + γ 1 F,N)ds + γ F,N)ds. γ 3 i tre segmenti possono essere parametrizzati come: x t γ 1, t [, 1], y 17

18 y, 3/) x + y/3 1, ) 1, ) x Figure 3: ominio piano dell esercizio 6. La freccia interna al triangolo indica l orientamento del bordo di nel calcolo dell integrale curvilineo. 18

19 x 1 t 3 γ, t [, 3 ], y t x γ 3, t [, 3 ]. y 3 t Osservazione 5. I segmenti sono parametrizzati in modo che l orientamento del bordo sia positivo antiorario). Ora, se calcoliamo F sui punti della curva γ 1 otteniamo: F t, ). Come si vede nella figura 3, la normale a γ 1 uscente da è N, 1) j e quindi abbiamo: F,N) Analogamente sulla curva γ 3 il campo vettoriale è: ) ) 3 F, t mentre la normale uscente così che il prodotto scalare N 1, ) i F,Nv). unque dobbiamo solo calcolare l integrale curvilieno esteso a γ. In questo caso la normale uscente è data dalla formula: ) y x N x t)) + y t)), x t)) + y t)) ) 1 x t)) + y t)), 3. x t)) + y t)) Calcoliamo adesso il campo vettoriale sulla curva γ F 1 3 ) ) t,t 1 ) ) 3 t,t 19

20 ed il prodotto scalare Allora γ F,N)ds F,N) x t)) + y t)) 3 t + 1 ) 9 t x t)) + y t)) 3 t t Questo conclude l esercizio. 9 t 9 t ) [ dt t 3 t + 1 ]3 7 t ) x t)) + y t)) dt