ESERCITAZIONE novembre 2012

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1 ESERCITAZIONE 2 Economia dell Informazione e dei Mercati Finanziari C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.) C.d.L. in Statistica per le decisioni finanziarie ed attuariali (6 C.F.U.) 29 novembre 202 In questa esercitazione, si propongono alcuni esempi di domande-esercizio, e le relative soluzioni, sull argomento della selezione avversa: lemon market, razionamento, screening competitivo, signaling (cap.5 del testo "Economia dei contratti"). Asimmetrie informative e conseguenze sul mercato Exercise In un mercato del lavoro, il salario di riserva dei lavoratori altamenti produttivi ( w H ) sia 2000 euro/mese, e la loro produttività, una volta impiegati in un impresa, sia pari a 2500 euro/mese. Per i lavoratori a bassa produttività, il salario di riserva ( w L ) sia 200 euro/mese e la produttività 500 euro/mese. Sia q=40% la percentuale di lavoratori ad alta produttività nella popolazione, nota alle imprese. Si determini: a. il salario offerto dalle imprese che non hanno informazioni sul tipo di lavoratori. Si tratta del salario che riflette la produttività media, cioè = 900 b. gli effetti di tale salario sul mercato del lavoro. A tale salario, i lavoratori più produttivi non sono disposti a lavorare, poiché inferiore al loro salario di riserva. Ne consegue che il mercato di tali lavoratori scompare.

2 c. cosa succederebbe se q=70% Adesso, la produttività media è data da = 2200 Tale salario è maggiore del salario di riserva dei lavoratori più produttivi, per cui entrambi i tipi di lavoratori offriranno di lavorare per le imprese. Exercise 2 Il salario di riserva dei lavoratori con elevate abilità sia pari a 800 euro/mese, mentre per i lavoratori con scarse abilità, il salario di riserva è 000 euro/mese. Se il salario di riserva riflette la produttività dei lavoratori, e se si suppone che il 30% dei lavoratori in questo mercato possieda elevate abilità, a. qual è il salario massimo che un impresa in questo mercato sarebbe disposta ad offrire in presenza di asimmetria informativa sul tipo di lavoratore? Il salario massimo riflette la produttività attesa nel mercato, dunque è = 240. b. qual è l effetto dell asimmetria informativa in questo mercato? I lavoratori più abili non trovano conveniente accettare un salario minore del loro salario di riserva, e dunque non si offrono sul mercato. L impresa può attirare solo lavoratori a bassa produttività. c. si spieghi l effetto di una politica salariale che fissi il salario a w e 800 (sotto l ipotesi che w e sia il salario che massimizza i profitti attesi dell impresa, tenuto conto degli effetti sulla qualità dei lavoratori attirati). Tale politica salariale è volta ad attirare anche i lavoratori più produttivi: poiché si offre un salario che è almeno pari al loro salario di riserva, l impresa attirerà un pool di lavoratori, in cui ci sono sia lavoratori più produttivi che meno produttivi, e all aumentare del salario offerto, la probabilità di attirare lavoratori più produttivi aumenta. 2 Signaling e screening Exercise 3 In un mercato del lavoro, ci siano lavoratori con elevate abilità (H) e lavoratori con scarse abilità (L). Per i primi, conseguire un titolo di studio ha costo C H =50*h, mentre per i secondi il costo è C L =60*h, dove h è la durata in anni del titolo di studio. Un impresa offre 500 euro a chi è in possesso di un titolo di durata quadriennale (h=4) e 200 a chi ne è privo. 2

3 a. I lavoratori più abili hanno interesse a conseguire il titolo? E i lavoratori meno abili? Scrivendo il vincolo di autoselezione per i lavoratori più abili, verifichiamo se il contratto (500, 4) è conveniente per il tipo H rispetto al contratto (200, 0), dove il primo termine in parentesi indica il salario offerto ed il secondo il livello di istruzione: > 200 Tale vincolo è rispettato. Il vincolo di autoselezione per il lavoratore di tipo L è: < 200 Tale vincolo, invece, non è rispettato: conseguire il titolo è conveniente per entrambi i tipi. La scelta di un livello maggiore di istruzione per il lavoratore più abile non gli consente di distinguersi dal lavoratore meno abile, e dunque l istruzione non rappresenta un segnale. b. Che tipo di equilibrio prevale in questo caso? Non c è possibilità di separazione, dunque prevale un equilibrio di pooling: entrambi i tipi sceglierebbero lo stesso contratto, (500, 4) c. Cosa succede se il costo di acquisizione per i lavoratori meno abili è C L =00*h? In questo caso, il vincolo di autoselezione del tipo H continua ad essere rispettato, mentre il vincolo di autoselezione del tipo L diventa < 200 ed è verificato anch esso: l istruzione è diventata un segnale credibile. Exercise 4 In un mercato del lavoro, esistono due tipi di lavoratori: lavoratori con alta produttività, H, che producono 60 euro/ora, e quelli con bassa produttività, L, che producono 20 euro/ora. La quota di lavoratori di tipo L nella popolazione è il 50%. Come segnale del proprio livello di produttività, i due tipi possono scegliere diversi livelli di istruzione, E H e E L, con costo unitario di 20 per il tipo L e 0 per il tipo H. a. Si scrivano i vincoli di autoselezione che assicurano credibilità al segnale. 3

4 Per il tipo L, il vincolo di autoselezione è dato da E H < E L E L < E H 2 mentre per il tipo H, tale vincolo è dato da 60 0 E H > 20 0 E L E H < 6 + E L b. Qual è il livello di istruzione scelto dal tipo H, se il tipo L sceglie E L =? Sostituendo E L = nei due vincoli e mettendo a sistema,otteniamo: 3 < E H < 5 da cui, il minimo livello di istruzione che può scegliere il tipo H è 4. c. Quale sarebbe il salario in assenza di segnalazione? In assenza di segnalazione, l impresa offrirebbe un salario che rifletterebbe la produttività attesa sul mercato, pari a: w P = = 40 d. Quale equilibrio prevale? Il salario netto in caso di segnalazione, per l individuo H, è = 20, minore del salario in caso di pooling. Prevale, allora, l equilibrio di tipo pooling. Exercise 5 L utilità di un individuo sia u(w) = 80w w 2, e 0 w 40, e w dipenda dallo stato del mondo che si realizza. Nello stato del mondo "buono", la ricchezza è 40 euro. La perdita subita se si verifica lo stato del mondo cattivo è 30 euro. Si considerino due tipi di individui, uno ad alto rischio di perdita (tipo H), con probabilità di subire una perdita pari a p = /3, e uno a basso rischio (tipo L), con probabilità di incorrere in una perdita pari a p = /5. Il tipo è noto agli individui. Due imprese in concorrenza offrano un contratto di assicurazione con premio P e bonus B. Le imprese non conoscono i tipi, ma solo che gli individui ad alto rischio sono i 3/4 della popolazione. 4

5 a. Se le imprese conoscessero il tipo degli individui, che contratto/i offrirebbero in equilibrio? In caso di perfetta informazione, in equilibrio entrambi i tipi sono completamente assicurati, cioè il bonus che ricevono copre esattamente la perdita subita: B L = B H = 30 Ci saranno due contratti distinti, ed il tipo H pagherà un premio più alto del tipo L. I premi dei due tipi vanno trovati sulla rispettiva retta di isoprofitto che assicura profitti attesi nulli per l impresa, a causa della concorrenza tra imprese assicurative. Considerando che nello stato cattivo l impresa assicurativa riceve il premio P ma paga il bonus B, mentre nello stato buono riceve solo il premio, la retta di isoprofitto nullo per ciascun tipo è data da: 3 [P H B H ] P H = 0 (TIPO H) 5 [P L B L ] P L = 0 (TIPO L) Da qui, sostituendo B H = 30 e B L = 30, si trovano i contratti di equilibrio: (P H = 0; B H = 30); (P L = 6; B L = 30) b. Se le imprese conoscono solo la frazione di individui ad alto e a basso rischio, che contratto/i offrirebbero in equilibrio? Se le imprese non distinguono i tipi, allora in equilibrio il contratto per il tipo H rimane lo stesso, mentre il tipo L non può più ottenere la completa assicurazione: il suo contratto sarebbe scelto anche dal tipo H, con una perdita (profitti attesi negativi) per le imprese. In equilibrio, il contratto per il tipo L deve rispettare le seguenti proprietà:. si trova sulla retta di isoprofitto del tipo L che genera profitti attesi nulli: 5 [P L B L ] P L = 0 ovvero, risolvendo per B L : B L = 5P L 2. Il tipo H deve essere indifferente tra scegliere il contratto (P L, B L ) e scegliere il contratto (P H = 0; B H = 30). Se il tipo H scegliesse (P L, B L ), avrebbe utilità attesa pari a: 5

6 3 u(0 P L + B L ) u(40 P L) dove 0 P L + B L è la ricchezza nello stato del mondo cattivo, pari alla ricchezza nello stato del mondo buono (40) meno la perdita subita (30) meno il premio pagato più il bonus ricevuto, mentre 40 P L è la ricchezza nello stato del mondo buono. Esplicitando u, tale espressione diventa: 3 [80 (0 P L +B L ) (0 P L +B L ) 2 ]+ 2 [ 80 (40 PL ) (40 P L ) 2] () 3 Se, invece, il tipo H scegliesse il proprio contratto, allora l utilità attesa sarebbe: 3 u( ) + 2 u(40 0) = u(30) 3 NOTA: la ricchezza è la stessa nei due stati del mondo perché l individuo H è, con il proprio contratto, completamente assicurato. Esplicitando u, l utilità del tipo H è data da u(30) = = 500 Uguagliando la () a 500, e mettendo a sistema con B L = 5P L, si ottiene: 3 [80 (0 + 4P L) (0 + 4P L ) 2 ] [80 (40 P L) (40 P L ) 2 ] = 500 che si riconduce, dopo alcuni passaggi algebrici, a 3P 2 L 40P L + 00 = 0 Tale equazione dà due soluzioni: P L = 0 oppure P L = 0/3. La prima soluzione non è accettabile, perché il bonus corrispondente sarebbe 50, dunque sarebbe un caso di sovra-assicurazione (la perdita è 30). Dunque accettiamo l altra soluzione, (P L = 0/3; B L = 50/3). Exercise 6 Un generico lavoratore i produce un output secondo la seguente funzione: π i = 4c i + 2. Supponiamo esistano solo due tipi di lavoratori: il tipo ad alta produttività (H) ha c i =, il tipo a bassa produttività (L) ha c i = 0. Per ottenere un generico livello di educazione e, un lavoratore incorre nel costo C i (e) = ( c i /2)e 2. Ciascun lavoratore conosce il proprio tipo, mentre l impresa sa solo che il lavoratore è produttivo con probabilità q. La funzione di utilità di ciascun lavoratore è del tipo w C i (e), i profitti dell impresa sono π i w 6

7 a. Se l impresa conoscesse il tipo dei lavoratori, che contratti offrirebbe in equilibrio? [Nota: il contratto è specificato come combinazione di salario e istruzione, del tipo (w, e)] In caso di perfetta informazione, le imprese offriranno in equilibrio un contratto per ogni tipo, che rifletta la produttività di ciascuno (salario=produttività, dunque i profitti attesi sono nulli per le imprese in concorrenza) e non richiedono alcun livello di educazione. Per il tipo H, la produttività è π H = = 6, per il tipo L è π L = 2, dunque i contratti di equilibrio sono (6, 0) per il tipo H e (2, 0) per il tipo L. b. Se l impresa conosce solo che q = /2, che contratti offrirebbe in equilibrio? Al tipo L verrà offerto lo stesso contratto, ma il tipo H non può ottenere lo stesso trattamento di prima, perché il suo contratto sarebbe appetibile per il tipo L, ma in quel caso l impresa farebbe profitti negativi. Per essere un equilibrio, il contratto del tipo H deve avere le seguenti proprietà:. non fa fare profitti positivi all imprese (per via della competizione, il salario deve rendere nulli i profitti): il livello di salario rimane pari a 6; 2. per il tipo L, deve essere indifferente scegliere tra il contratto (6, e), cioè il contratto del tipo H, ed il contratto (2, 0), cioè il contratto del tipo L. Questa condizione di indifferenza è rispettata se: w L C L (e L ) = w H C L (e H ) Poiché C L (e) = ( c L /2)e 2 = e 2, sostituendo nella precedente espressione otteniamo: 2 0 = 6 e 2 cioè e = 2. c. Si determinino i valori di q per cui esiste un equilibrio. L equilibrio di separazione esiste se l utilità che il tipo H trae dal contratto (6, 2) è maggiore o uguale all utilità tratta dal contratto che riflette la produttività media dei lavoratori nel mercato (contratto di pooling). L utilità del contratto (6, 2) per l individuo H è w H C H (e H ) = 6 e 2 H /2 = 6 2 = 4. Il contratto di pooling che un impresa offrirebbe è del tipo (w p, 0), dove w p riflette la produttività attesa dei lavoratori dall impresa, e l istruzione è nulla (l unica utilità dell istruzione è quella di separare i lavoratori). Se q è la quota di lavoratori ad alta produttività, il salario di pooling è w p = q 6+( q) 2 = 7

8 4q + 2 e l utilità è 4q = 4q + 2. Affi nchè tale contratto non attiri il tipo H, deve verificarsi che 4q cioè che q /2 8