Capitolo 7. Costi e minimizzazione dei costi. Soluzioni dei Problemi

Transcript

1 Capitolo 7 Costi e minimizzazione dei costi Soluzioni dei Poblemi 7.1 a) 500 b) 30% di 500, ossia 150 c) Senza idue il pezzo e posto che l impesa non possa vendee alte stampanti, il meglio che essa può speae sono i 150 che può icevee dal poduttoe. Se iduce il pezzo a 200 e vende le stampanti, può guadagnae 50 in più ispetto alla miglioe altenativa disponibile. 7.2 In coispondenza dell ottimo si deve avee MP MP = w In questo poblema si ha > 0, > 100 Ciò implica che l output aggiuntivo ottenibile da un euo in più speso in oe-macchina è maggioe dell output aggiuntivo ottenibile da un euo in più speso in oe-lavoo. Quindi l impesa potebbe idue il costo totale e mantenee invaiato il livello dell output usando meno oe di lavoo e più oe-macchina. 7.3 a) Nel beve peiodo la quantità di tea usata nella poduzione è fissa. Quindi, nel beve peiodo, l agicoltoe sceglie le quantità di capitale e lavoo. e quantità di lavoo e capitale che minimizzano il costo totale devono soddisfae l equazione MP / MP = w/ dove w e denotano i pezzi di lavoo e capitale. Si noti che w/ = (1,05 w) / (1,05 ).e quantità di input che minimizzano il costo totale, pe ogni livello di output, non cambiano quando i pezzi degli input aumentano del 5% e la quantità di tea è fissa. b) Pe un dato livello di output, l agicoltoe usa più capitale e meno lavoo. Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-1

2 7.4 a condizione di tangenza implica + + = w 1 1 = w w = 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Dato che w = 10 e = 1, ciò implica w 2 = = 100= Ritonando alla funzione di poduzione e assumendoq = si ha = = = = = = [ + ] 1 2 [ + ( 100) ] [ + 10 ] [ 11 ] Dato che = 100, = 100 ( 1000) = e quantità di capitale e lavoo di minimo costo necessaie a podue fusoliee sono = e = Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-2

3 7.5 a) e sono pefetti sostituti, il che significa che la funzione di poduzione è lineae e gli isoquanti sono ette. Possiamo scivee la funzione di poduzione come Q = , dove Q è il numeo di lavoatoi pe i quali viene calcolata la busta paga. b) Se = 5 e w = 7, 5, la pendenza del geneico isocosto è 7,5 5 = 1, 5. Quindi l isocosto è più ipido dell isoquanto, il che implica che l impesa utilizzeà solo compute ( ) pe minimizzae i costi. a combinazione di minimo costo è = 1 e = 0. Questa soluzione si può vedee nel gafico sotto. Gli isocosti sono le ette tatteggiate Ottimo Il costo totale di pepaazione delle buste paga pe lavoatoi è TC = ,5 0 = () ( ) 5 c) impesa utilizzeà lavoo impiegatizio solo se MP / w > MP /. Quindi è necessaio che 0,1 / 7,5 > 1/ ossia > 75. Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-3

4 7.6 Dalla condizione di tangenza, otteniamo w = w = Sostituendo nella funzione di poduzione si ha Q= w Q= w 2 Q= Q = w 1/2 Ciò appesenta la funzione di domanda di. Poichè abbiamo w = w Q = w wq = 1/2 1/2 Ciò appesenta la funzione di domanda di. 7.7 a) Gli isoquanti della funzione di poduzione sono ette. Con i pezzi degli input dell esecizio, la pendenza dell isoquanto è uguale al appoto ta i pezzi. Quindi, tutte le quantità positive di input (misuate in oe) tali che M = 120 minimizzano i costi. Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-4

5 M 10 oe Quantità di input di minimo costo quando p m = 30, p w = oe b) G = M 7.8 a) Si noti, innanzitutto, che questa funzione di poduzione ha un MRTS, decescente. a condizione di tangenza implica che 1 / 2 = 1/ 50 ovveo = 625. Sostituendo nella funzione di poduzione abbiamo che = = 15. Dato che l impesa non può utilizzae una quantità negativa di capitale, in questo caso la condizione di tangenza non vale. Consideando il punto d angolo con = 0, poichè Q = 10 l impesa domanda = Q 2 = 100 unità di lavoo. In questo punto, MP / w = (1/20)/1 = 0,05 > MP / = 1/50 = 0,02. Dato che il podotto maginale pe euo è più alto pe il lavoo, l impesa useà soltanto lavoo. MP b) impesa utilizzeà una quantità positiva di capitale se MP =, ovveo w 2 =. Quindi = 0,25 2. Pe il vincolo di poduzione = Q = 10 0,5. Quindi, se > 0, dobbiamo avee 10 0,5 > 0, ovveo < 20. c) Di nuovo, pe la condizione di tangenza dobbiamo avee 2 =. Quindi, poichè = 50, = 625, pe il vincolo di poduzione, la domanda di capitale è = Q = Q 25. Quindi, se > 0, dobbiamo avee Q > 25. Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-5

6 7.9 a) Se = 0, alloa l impesa deve usae = 5 unità di lavoo. Affinché questa scelta sia ottima, si deve avee che MP / w > MP /, ovveo 1/w > 6. In alte paole, w < 1/6. b) Se = 0, alloa l impesa deve usae = 5 unità di capitale. Affinché questa scelta sia ottima, si deve avee che MP / w < MP /, ovveo 6/w > 1. In alte paole, w > 6. c) Affinché l impesa usi sia capitale che lavoo, si deve avee 1/6 < w < 6. Pe capie pechè, si noti che gli isoquanti pesentano un MRTS, decescente. In paticolae, MRTS, = 6 quando l isoquanto coispondente a Q = 5 inteseca l asse di (dove = 0). Un MRTS, decescente implica che l isoquanto coispondente a Q = 5 diventa gadualmente più piatto fino ad intesecae l asse di ( = 0), dove MRTS, = 1/ Si icodi che con una funzione di poduzione lineae si ottengono solitamente delle soluzioni d angolo. In tal caso, l impesa impiegheà solo lavoo se il suo pezzo è MP MP sufficientemente basso, ovveo se b >, cioè w <. Analogamente, l impesa w a useà solo capitale se < aw Q. Se l impesa usa solo lavoo, useà = unità a b a Q pescindee dal pezzo, e similmente, se usa solo capitale, useà = unità. a cuva b di domanda di lavoo pe un dato pezzo del capitale,, è appesentata sotto. w b/a Q/a Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-6

7 1 w 7.11 a condizione di tangenza implica che =, ovveo =. Chiaamente la 2 2w cuva di domanda di non è funzione del livello di output, Q. Quindi, al vaiae del livello di output, la quantità di lavoo è costante. Ne segue che, se appesentassimo gli isoquanti con il lavoo sull asse oizzontale, il sentieo di espansione saebbe una etta veticale. a cuva di domanda del capitale può essee ottenuta sostituendo la cuva di domanda di lavoo nella funzione di poduzione. Cioè, + = Q, quindi = Q. 2w 2w 7.12 a) a funzione di poduzione è Q = min(f, ½ W), dove F denota il numeo di telai e W denota il numeo di uote. telai 200 Isocosto iniziale: A Isoquanto pe 100 biciclette Isocosto finale: uote 600 b) Pe podue 100 biciclette nel modo più economico possibile, l impesa deve scegliee sempe la combinazione A, con 200 uote e 100 telai. Inizialmente, quando il pezzo di un telaio è 100 e il pezzo di una uota è 50, l isocosto è quello meno macato mostato nel gafico; tutti i punti su questo isocosto implicano una spesa di Successivamente, quando il pezzo di un telaio è 200 e il pezzo di una uota è 50, l isocosto è quello più macato; tutti i punti su questo isocosto implicano una spesa di Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-7

8 7.13 a) Poichè = 9, otteniamo = 45, il che implica = 36/18 = 2. Quindi, il costo totale dell impesa con questa combinazione di input è 4(2) + 5(9) = 53. b) Se l impesa non può opeae in modo ottimo, sceglie lavoo e capitale in modo 2 4 da soddisfae la condizione di tangenza: =, il che implica 10 = Inolte, 2 + = 45. Combinando queste due condizioni, = 18 = 4,24 e = 4,8. In tal modo la spesa dell impesa è oa 4(4,24) + 5(4,8) = 41 cica. Quindi, l impesa pede 12 a causa del vincolo sul capitale a) Con te input, abbiamo bisogno di due condizioni di tangenza pe assicuae che il podotto maginale pe euo speso sia uguale pe tutti gli input. (Potemmo consideae anche una teza condizione di tangenza, ma saebbe idondante). Uguagliando i podotti maginali pe euo di lavoo e capitale si ha 1 2 = 1 2 ovveo =. Analogamente, uguagliando i podotti maginali pe euo di lavoo e mateie pime si ha 1 2 = 1 2 M ovveo = M. Quindi, usando il vincolo di poduzione pe tovae la domanda di lavoo si ottiene Q = + +, ovveo = (1/3)Q 2. Poiché, pe le condizioni di tangenza, = M =, abbiamo anche = (1/3)Q 2 e M = (1/3)Q 2. b) Innanzitutto, si noti che con = 4, l impesa può podue fino a Q = = 2 unità di output senza usae lavoo o mateie pime. Pe podue più di Q = 2, l impesa uguaglieà ancoa i podotti maginali pe euo di lavoo e mateie pime; nel punto (a), si è visto che ciò implica = M. Sostituendo quest ultimo isultato e = 4 nel vincolo di poduzione, abbiamo Q = che fonisce = (1/4)(Q 2) 2 come domanda di lavoo. Quindi = M implica che la domanda di mateie pime è M = (1/4)(Q 2) 2. In definitiva, le funzioni di domanda sono ( Q) = M ( Q) = 0 ( Q 2) Q Q 2 c) Di nuovo, con = 4 e = 9, l impesa può podue fino a Q = 5 unità di output senza usae mateie pime. Se l impesa vuole podue livelli più elevati di output, può usae mateie pime secondo l equazione Q = M, ovveo M = (Q 5) 2. Quindi, la domanda di mateie pime è M ( Q) = 0 ( Q 5) 2 Q 5 Q > Abbiamo MP /w = 4/1 = 4 > MP / = 2/2 = 1. Quindi l impesa non sta minimizzando il suo costo totale di lungo peiodo. Impiegando più lavoo e meno capitale, potebbe continuae a podue 32 unità di output iducendo il costo totale. > 2 Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-8

9 7.16 a) Si supponga che l impesa stia opeando nel beve peiodo, con = 80. Pe podue Q = 8000, quanto è necessaio? Dalla funzione di poduzione icaviamo che = 2 (80) = 10. Il costo totale saebbe C = w + = 200(80) + 400(10) = al giono. b) Esaminiamo la convenienza di e quando = 10 e = 80. Pe il capitale: MP / = 2 / 400 = 2(10)(80) / 400 = 4 Pe il lavoo: MP / w = 2 / 200 = 10 2 / 200 = 0.5 Quindi il podotto maginale pe euo speso in capitale è maggioe di quello del lavoo. impesa voebbe utilizzae più capitale e meno lavoo. c) Poiché la funzione di poduzione è una Cobb-Douglas, sappiamo che il MRTS, è decescente e che gli isoquanti non intesecano gli assi e. Quindi la combinazione ottima (,) saà intena (con > 0 e > 0). Pe individuae l ottimo, utilizziamo le due seguenti condizioni: (1) Condizione di tangenza: MP / MP = / w 2/ 2 = 400 / 200 = (2) Vincolo di poduzione: 2 = e equazioni (1) e (2) implicano che = 20 e = 20. Il costo totale saebbe C = w + = 200(20) + 400(20) = al giono isoquanto cui coisponde Q = 12 pe questa tecnologia eontief è appesentato sotto. Pe podue Q = 12, l impesa necessita di almeno = 12 e = 6. Ciò costeà all impesa C = w + = 4(6) + 1(12) = 36. Nel gafico è appesentato anche l isocosto coispondente ad una spesa pai a 36. a combinazione ottima di input è A. B 12 A Q = 12 Isoco sto C = 36 isocosto ha pendenza - w/ = - 6 Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-9

10 7.18 IC 1 A B IC 2 Dato che la poduzione dell impesa imane invaiata, essa poduce lo stesso livello di output in A e B. Cioè, l isoquanto passante pe A passa anche pe B. Oa, si supponga che nel punto B l impesa stia minimizzando i costi. Quindi l isoquanto passante pe B è tangente all isocosto IC 2. Poichè il MRTS è decescente, è impossibile che l isoquanto che passa pe B passi anche pe A. Ciò si può dedue facilmente dal gafico. Tale conclusione può essee aggiunta anche usando la popietà pe la quale una etta tangente ad una cuva inteseca la cuva solo nel punto di tangenza. Analogamente, se l impesa stesse minimizzando i costi in A, alloa l isocosto IC 1 saebbe tangente all isoquanto; ma alloa l isocosto IC 2 non potebbe essee anch esso tangente. Quindi, è impossibile che sia A che B siano entambe combinazioni di input che minimizzano i costi. Copyight 2012 The McGaw-Hill Companies sl Capitolo 7-10