FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS

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1 FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS Ua fuzoe logca può essere espressa quattro forme: 1. attraverso ua proposzoe logca; 2. attraverso ua tabella della vertà; 3. attraverso u espressoe algebrca; 4. attraverso u crcuto logco. No sappamo gà esegure alcu de passagg possbl tra le vare forme d espressoe. I partcolare sappamo, data ua proposzoe logca, costrure la tabella della vertà. Sappamo oltre, dato u crcuto logco e/o u espressoe algebrca, rcavare la corrspodete tabella della vertà. Sappamo oltre passare dall espressoe algebrca al crcuto logco e vceversa. Qud sappamo svolgere quella che s chama l aals d u crcuto logco combatoro coè, dato l crcuto sappamo rsalre alla tabella della vertà e qud dre cosa fa l crcuto stesso. Quello che o sappamo acora fare è l passaggo dalla tabella della vertà all espressoe algebrca e qud al crcuto logco che la realzza. No sappamo coè acora fare la stes o l progetto d u crcuto logco a partre dalla tabella della vertà. No è uca l espressoe algebrca, e qud l crcuto logco, che realzza ua stessa tabella della vertà. Tra tutte le espresso algebrche equvalet d ua stessa fuzoe bara, ve e soo due, dette "caoche" d partcolare teresse. Prma d trodurre queste due espresso, damo due defzo: > Dces mterme o prodotto fodametale o caoco, l prodotto d tutte le varabl d ua data fuzoe, drtte o egate. > Dces maxterme o somma fodametale o caoca, la somma d tutte le varabl d ua data fuzoe, drtte o egate. Rportamo d seguto tutt mterm (P ) ed maxterm (S ) d ua fuzoe d tre varabl: A B C P S P A B C S A B C 1 P 1 A B C S 1 A B C 1 P 2 A B C S 2 A B C 1 1 P 3 A B C S 3 A B C 1 P 4 A B C S 4 A B C 1 1 P 5 A B C S 5 A B C 1 1 P 6 A B C S 6 A B C P 7 A B C S 7 A B C S usa dcare cascu maxterme e mterme co u pedce. Tale pedce, ua volta scelta la varable MSB (el ostro esempo A) e quella LSB (el ostro esempo C), ha per mterm u valore espresso decmale corrspodete al umero baro che s ottee assocado uo a cascua varable bara che compare egata ed u 1 a cascua varable bara che compare drtta. Pag. 1 d 6

2 Dualmete per maxterm l pedce ha u valore espresso decmale corrspodete al umero baro che s ottee assocado u 1 a cascua varable bara che compare egata ed uo a cascua varable che compare drtta. Come s dmostra faclmete co Teorem d De Morga s ha: P S S ha oltre, per : ed ache: P P S S 1 7 P 1 Ua volta defto l sgfcato d mterme e d maxterme voglamo dmostrare che, data ua fuzoe espressa ua qualsas delle sue possbl forme algebrche, è sempre possble scrvere questa fuzoe come somma d mterm e come prodotto d maxterm. Per fare questo dmostramo prma l seguete teorema: TEOREMA DI ESPANSIONE O DI SHANNON: Data ua qualsas fuzoe booleaa d varabl 1, x 2,, x ), essa può sempre essere scrtta ella forma: Pag. 2 d 6 7 S 2, _, x,, x ) x ) x ) o ella sua forma duale: [ ] 2, _, x,, x ) x ) x ) DIMOSTRAZIONE: Basta dmostrare la verdctà delle eguaglaze per due valor che può assumere la varable x, coè ed 1. Per x 1 la prma uguaglaza dveta: Per x la prma uguaglaza dveta: ) ) ) ) essedo le due uguaglaze trovate palesemete vere, è vera l uguaglaza d parteza. I modo del tutto aalogo s dmostra l altra eguaglaza. Utlzzamo ora l Teorema d Shao appea dmostrato per dmostrare l seguete teorema: TEOREMA: data ua fuzoe bara, è sempre possble scrvere questa fuzoe come somma d mterm e come prodotto d maxterm. DIMOSTRAZIONE: Dmostreremo questo teorema per ua fuzoe d tre varabl A, B e C. Applcado rpetutamete l teorema d Shao s ha: f ( A, B, C ) A f ( 1, B, C) A f (, B, C) A { B f ( 1,1, C ) B f ( 1,, C )} A { B f (,1, C ) B f (,, C) } A { B C f ( 1,1,1 ) C f ( 1,1, ) B C f ( 1,,1 ) C f ( 1,, ) } A { B C f (,1,1 ) C f (,1, ) B C f (,,1 ) C f (,, ) } svluppado l ultma espressoe s ha:

3 (,, ) ( 1,1,1 ) ( 1,1, ) ( 1,,1 ) ( 1,, ) f A B C A B C f C f A B C f C f ( ) ( ) ( ) ( ) A B C f,1,1 C f,1, A B C f,,1 C f,, A B C f ( 1,1,1 ) A B C f ( 1,1, ) A B C f ( 1,,1 ) A B C f ( 1,, ) A B C f (,1,1 ) A B C f (,1, ) A B C f (,,1 ) A B C f (,,) Rcordado come avevamo umerato mterm a pag. 1, l'ultma espressoe può essere ache scrtta el modo seguete: (,, ) 7 ( 1,1,1 ) 6 ( 1,1, ) 5 ( 1,,1 ) 4 ( 1,, ) (,1,1 ) (,1, ) (,,1 ) (,, ) f A B C P f P f P f P f P f P f P f P f ell'ultma espressoe rmarrao solo prodott caoc o mterm corrspodet alle combazo per le qual la fuzoe vale 1. Abbamo così dmostrato modo rgoroso che: Data ua tabella della vertà è sempre possble trovare la FORMA CANONICA (che ora chameremo d prmo tpo o d tpo SP coè SOMMA DI PRODOTTI o d MINTERMINI) della fuzoe bara corrspodete, seguedo l seguete procedmeto: s predoo cosderazoe solo le combazo corrspodeza delle qual la fuzoe vale 1; s scrvoo Prodott Caoc (o Mterm) corrspodet, coè s esegue l prodotto delle varabl, presa ogua drtta se quella combazoe essa vale 1 e egata se vale ; s esegue la somma d dett Prodott Caoc (o Mterm). A partre dall'espressoe (1), per dualtà possamo scrvere: ( ) ( ) ( ) ( ) f A, B, C A B C f,, A B C f,,1 A B C f,1, ( ) ( ) ( ) A B C f,1,1 A B C f 1,, A B C f 1,,1 ( ) ( ) A B C f 1,1, A B C f 1,1,1 Rcordado come avevamo umerato maxterm a pag. 1, l'ultma espressoe può essere ache scrtta el modo seguete: (1) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) S f ( ) S f ( ) S f ( ) S f ( ) f A, B, C S f,, S f,,1 S f,1, S f,1,1 1,, 1,,1 1,1, 1,1, (2) I quest ultma espressoe rmarrao solo le somme caoche o maxterm corrspodet alle combazo per le qual la fuzoe vale ; fatt egl altr cas la somma tra l maxterm ed l valore che assume la fuzoe vale comuque 1 e qud o dà alcu cotrbuto al prodotto d somme. Abbamo così dmostrato modo rgoroso che: Data ua tabella della vertà è possble trovare la FORMA CANONICA (che ora Pag. 3 d 6

4 chameremo d secodo tpo o d tpo PS coè PRODOTTO DI SOMME o d MAXTERMINI) della fuzoe bara corrspodete, seguedo l seguete procedmeto: s predoo cosderazoe solo le combazo corrspodeza delle qual la fuzoe vale ; s scrvoo le Somme Caoche (o Maxterm) corrspodet, coè s esegue la somma delle varabl, presa ogua drtta se quella combazoe essa vale e egata se vale 1; s esegue l prodotto d dette Somme Caoche (o Maxterm). Applchamo ora quato dmostrato ell'esempo che segue. ESEMPIO N.1: Sa data la fuzoe bara espressa dalla tabella della Vertà rportata. Voglamo trovare etrambe le forme caoche, coè quella d Prmo tpo Somma d Prodott, sa quella d Secodo tpo Prodotto d somme. A B C F La fuzoe vale 1 solo per le combazo: D cosegueza la Prma forma caoca è: f(,1,1), f(1,,1), f(1,1,) (,, ) ( 1,1, ) ( 1,,1 ) (,1,1) A B C A B C A B C P P P ( 3,5,6 ) f A B C A B C f A B C f A B C f La fuzoe vale per le combazo: D cosegueza la Secoda Forma caoca è: f(,,), f(,,1), f(,1,), f(1,,), f(1,1,1) ( ) ( ) ( ) f A, B, C A B C f,, A B C f,,1 [ ] S S1 S2 S4 S7 ( ) ( ) ( ) A B C f,1, A B C f 1,, A B C f 1,1,1 A B C A B C A B C A B C A B C ( ),1, NOTA 1: Nella forma caoca PS soo preset maxterm d pedce dverso d quello de mterm preset ella forma caoca SP. Se ad esempo ua fuzoe bara d tre varabl preseta ella forma SP mterm P, P 3, P 6, P 7, preseterà ella forma PS maxterm S 1, S 2, S 4, S 5, e s potrà scrvere: (,3,6,7 ) ( 1, 2, 4,5) Pag. 4 d 6

5 È sempre possble, data ua fuzoe ua sua qualsas forma algebrca, arrvare alla sua forma caoca d tpo SP. Il procedmeto è l seguete: 1) esecuzoe delle operazo dcate, se ecessaro usado ache teorem d De Morga, fo ad arrvare ad ua espressoe d somma d prodott. 2) el caso la forma somma d prodott trovata 1) o rsult composta d tutt prodott caoc, coè coteet tutte le varabl dell'espressoe, basterà per redere caoco u prodotto macate delle varabl X, X,...,X k moltplcare tale prodotto per: ( X X )( X X )...( X k X k ) ESEMPIO N.2: Rcavare la forma caoca SP della fuzoe bara: (,, ) ( ) f A B C A B C A Svluppamo la fuzoe fo ad otteere ua somma d prodott: ( ) ( ) f A, B, C A B C A A B C A B troducamo ora le varabl macat affché prodott sao tutt caoc: (,, ) ( )( ) ( ) ( ) f A B C A B B C C B C A A A B C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C P2 P3 P4 P5 P6 P7 ( 2,3,4,5,6,7 ) I modo aalogo è sempre possble, data ua fuzoe ua sua qualsas forma algebrca, arrvare alla sua forma caoca d tpo PS. I questo caso s può procedere due mod: A. S rcava come detto sopra la forma caoca SP, e da essa la forma PS utlzzado quato rportato ella Nota 1. B. S applca la propretà dstrbutva e s sfrutta la propretà per trodurre le varabl evetualmete macat. ( ) ( )( ) A B C A B A C A A ESEMPIO N.3: Rcavare la forma caoca PS della fuzoe bara dell Esempo 2: (,, ) ( ) f A B C A B C A MODO A: Nello svolgmeto dell Esempo 2 abbamo trovato: ( ) Questa è la forma SP. f A, B, C A B C A B C A B C A B C A B C A B C P2 P3 P4 P5 P6 P7 ( 2,3,4,5,6,7 ) Da quato detto ella NOTA 1 s rcava che la forma caoca PS è: s ha: (,, ) ( 2,3, 4,5,6,7) (,1 ) 1 ( )( ) f A B C S S A B C A B C MODO B: Applcado la propretà dstrbutva ( ) ( )( ) A B C A B A C Pag. 5 d 6

6 (,, ) ( ) ( )[ ( )] ( )[ 1] ( ) f A B C A B C A A B A C A A B C A B ( ) A B ( C C) A B C C A ( B C)( B C) ( A B C)( A B C) S S1 (.1) ESEMPIO N.4: Scrvere forma caoca PS la fuzoe sotto rportata: MODO A: Trovamo la forma caoca SP: Qud la forma caoca SP è: s ha: f(a,b,c) AC BC f(a,b,c) AC BC (AC)(BB)BC(AA) ABCABCABCABCP P P (3,5, 7) f(a,b,c) (3,5, 7) (,1, 2, 4, 6) S S S S S ( A B C)( A B C)( A B C)( A B C)( A B C) MODO B: Applcado la propretà dstrbutva ( ) ( )( ) A B C A B A C f(a,b,c) AC BC C(AB)(CBB)(ABCC)(CB)(CB)[(ABC)(ABC)] (CBAA)(CBAA)[(ABC)(ABC)] (CBA)(CBA)(CBA)(CBA)(ABC)(ABC) (ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(A BC) S S4 S2 S6 S1 (,1,2,4,6) ESEMPIO N.5: Scrvere la fuzoe sotto rportata forma caoca PS. MODO A: Trovamo la forma caoca SP: Qud la forma caoca PS è: f ( A, B, C) ( A B) A B C f ( A, B, C) ( A B) A B C A A B B A B C C C( A A) C A C A C A( B B) C A( B B) A B C A B C A B C A B C P P P P f ( A, B, C) P P P P (1,3,5,7) (, 2, 4,6) S S S S ( A B C)( A B C)( A B C)( A B C) MODO B: Applcado la propretà dstrbutva ( ) ( )( ) A B C A B A C f ( A, B, C) ( A B) A B C C A A ( C A)( C A) ( C A B B)( C A B B) ( C A B B)( C A B B) ( C A B)( C A B)( C A B)( C A B) A B C A B C A B C A B C S S2 S4 S6 ( )( )( )( ) (,2,4,6) J:\3AINF ABACUS\APPUNTI MIEI\FORME CANONICHE\FORME CANONICHE.doc Creato martedì 27 ottobre 29 - ultmo salvataggo sabato 7 ovembre 29 ore versoe 29. Autore Perlug D'Amco Pag. 6 d 6