Lezioni di Sismologia

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1 Antono Schettno Lezon d Ssmologa Unverstà d Camerno

2 Stampato all Unverstà d Camerno Copyrght 7 Antono Schettno Tutt drtt rservat

3 I Indce Stress e Stran. Il Tensore dello Stress. Il Tensore dello Stran 7.3 La Relazone Stress-Stran 4 L Equazone delle Onde Ssmche 7. L Equazone del Momento 7. Onde Ssmche 9.3 Onde Pane 4.4 Onde Sferche 9.5 Onde P ed Onde S 3.6 Energa Ssmca 36 3 Teora de Ragg Ssmc L Equazone Ekonale La Legge d Snell Modell Lateralmente Omogene Dromocrone e Funzone d Rtardo Zone a Bassa Veloctà Teora de Ragg per una Terra Sferca Fas Ssmche Equazone del Trasporto Denstà d Energa Coeffcent d Rflessone e Trasmssone 79 4 Inversone de Dat Ssmc Processo d Inversone ne Modell Undmensonal Fttng Lneare a Tratt Inversone (p) Tomografa Ssmca Localzzazone de Terremot 34 5 Ssmca a Rflessone 4 5. Concett Fondamental 4 5. Common Mdpont Stackng Deconvoluzone Camponamento de Segnal Rcostruzone de Segnal Camponat 67

4 II 5.6 Trasformata Dscreta d Fourer Mgrazone 78 6 Ssmologa de Terremot 9 6. Terremot 9 6. Tensore de Moment Fagle Pattern d Radazone 6.5 Magntudo de Terremot

5 Captolo Stress e Stran. Il tensore dello stress Consderamo un elemento d volume nfntesmo dv d un corpo omogeneo. Esso è soggetto nnanztutto a forze d volume esterne che agscono su cascun atomo del corpo. Nel caso della Terra, l esempo pù pertnente è certamente rappresentato dalla forza d gravtà, sebbene le stesse nterazon elettromagnetche possano assumere un ruolo mportante (ad esempo nel nucleo terrestre). Oltre a queste forze agscono forze d superfce, che vengono eserctate sulla superfce esterna dell elemento d volume da parte delle molecole crcostant attraverso nterazon a lvello atomco e molecolare. Un esempo d questa classe d forze è rappresentato dalla pressone n un fludo. Le forze d superfce sono dunque l espressone d nterazon tra l elemento d volume consderato ed element confnant lungo la superfce d separazone. Una forza superfcale calcolata per untà d area vene chamata stress. Consderamo ora un elemento d superfce nfntesmale ds avente orentazone arbtrara all nterno d un mezzo omogeneo n equlbro statco (Fg..). L orentazone dell elemento può essere specfcata medante un versore n, normale al pano n cu gace ds. La forza per untà d area eserctata attraverso questa superfce da parte delle molecole del corpo present sul lato ndcato dalla drezone del versore n vene chamata trazone ed è rappresentata da un vettore T = T(n), la cu drezone ed ampezza dpendono da n. Charamente, n condzon d equlbro le molecole present sul lato opposto d ds eserctano una forza T(n) = T(n). Le component d T normale e parallela al pano d ds vengono chamate rspettvamente stress normale e stress d taglo. Nel caso d un fludo lo stress d taglo è sempre nullo, per cu s ha: T = Pn, dove P rappresenta la pressone.

6 Fgura.. Concetto d trazone Consderamo ora l sstema d forze superfcal che vengono eserctate n un punto qualsas del corpo. La rsultante d queste forze può essere scomposta n tre component, che sono rappresentate da vettor d trazone agent su tre superfc nfntesme ortogonal e normal agl ass cartesan nel punto consderato (Fg..). Alternatvamente, ponendo: e x, e y, e 3 z, dove (x,y,z) sono versor assocat agl ass cartesan, possamo descrvere le forze superfcal attraverso un tensore d ordne 3. Chamamo tensore d stress la grandezza: τ j T j e (.) Fgura.. Tre vettor d trazone sono suffcent a descrvere le forze superfcal agent n un punto del corpo. Ess agscono attraverso tre element d superfce ortogonal n un sstema d coordnate cartesano xyz. Con questa notazone l secondo ndce del tensore dentfca la drezone della superfce, mentre l prmo determna la componente del vettore d trazone. Il tensore d stress consente a sua volta d determnare la trazone eserctata su qualsas superfce all nterno d un corpo. Consderamo

7 3 nfatt un elemento d superfce ds = nds, orentato secondo l versore n, ed assumamo che esso abba la forma della superfce che s ottene ntersecando l pano perpendcolare ad n con pan coordnat xy, xz e yz, come llustrato n Fg..3. In questo caso la superfce ds e le tre facce ds perpendcolar agl ass cartesan ed avent drezone e formano un tetraedro. L area delle facce ds s ottene come segue: ds ne ds n ds ds e (.) Fgura.3. Tetraedro nfntesmo, formato da una superfce ds orentata secondo l versore n e tre superfc ortogonal agl ass cartesan. Poché la trazone è una forza per untà d area, la componente esma della forza d superfce totale eserctata su un corpo s trova moltplcando la corrspondente componente della trazone per l area d cascun elemento nfntesmo della sua superfce ed ntegrando su tutta la superfce: F T n ds (.3) S

8 4 Fgura.4. Component postve del tensore d stress per quattro delle se facce d un cubo. In condzon d equlbro statco tutte le component (.3) della forza d superfce totale devono essere nulle. Applcando questo prncpo al tetraedro d Fg..3 s ha: 3 T ds n ds (.4) j j j Dvdendo ambo membr d questa equazone per l area ds s ottene nfne: T n (.5) 3 j j j Questa è la relazone cercata tra component del tensore d stress e trazone, nversa alla (.). Essa mplca che l tensore d stress determna n modo completo l campo d forze superfcal esstente all nterno d un corpo. La convenzone de segn per l tensore d stress è llustrata n

9 5 Fgura.4. Per esempo, sulla facca e 3 la grandezza 3 è postva quando la trazone avvene nel senso del versore e. Vceversa, sulla facca opposta avente versore e 3, 3, 3 e 33 sono postve quando la trazone avvene rspettvamente nelle drezon e, e e e 3, n quanto T (e j ) = T (e j ). Cò mplca, n partcolare, che deve avers: (.6) j j Coè l tensore d stress è smmetrco. Infatt, esamnando la Fgura.4 s vede ad esempo che la coppa generata dalle component 3 s oppone alla coppa generata dalle component 3. Se queste due coppe non fossero ugual n modulo l corpo sarebbe soggetto ad una torsone netta non nulla ed nzerebbe a ruotare attorno all asse x. Un ragonamento analogo s applca a pan x x e x x 3, l che dmostra la smmetra del tensore d stress. Pertanto solo se delle nove component d sono ndpendent. In defntva, l tensore d stress può essere consderato come l operatore lneare che genera un vettore d trazone T a partre da un vettore d drezone n. In generale le sue component n un partcolare sstema d rfermento vareranno con la poszone. Comunque, dato un qualsas nseme d component j, è sempre possble trovare una drezone n per la quale non esste alcuno stress d taglo su un elemento d superfce normale a n. Quando cò avvene, n e T(n) hanno la stessa drezone, ovvero s ha: T n n n (.7) dove è uno scalare ed abbamo utlzzato la (.5). Per trovare una drezone n che soddsf la (.7) s rsolve qund l seguente problema agl autovalor: In (.8) dove I è la matrce denttà d ordne 3.

10 6 Come è noto, questo sstema d equazon ha una soluzone non banale solo quando: I det (.9) La (.9) è un equazone d terzo grado che ammette tre soluzon, gl autovalor,, e 3. Dato che è una matrce smmetrca e reale, gl autovalor sono real. I tre autovettor corrspondent n () sono ortogonal e defnscono gl ass prncpal d stress. Per calcolare le component del tensore d stress nel sstema degl ass prncpal, nel quale la matrce assocata ha solo component dagonal non nulle, s applca una semplce trasformazone d smlartà. Sa N la matrce formata con le component de tre autovettor n () : () () (3) n n n () () (3) N n n n (.) () () (3) n3 n3 n3 La trasformazone che consente d dagonalzzare l tensore d stress è la seguente: T N N 3 (.) Nel caso partcolare n cu rsult = = 3, l campo d stress è chamato drostatco e non esstono pan per qual lo stress d taglo è dverso da zero. In un fludo l tensore d stress può essere scrtto come: P P (.) P

11 7 Tabella.. Varazone della pressone con la profondtà nella Terra. Profondtà (Km) Regone Pressone (Gpa) -4 Crosta Mantello superore Zona d transzone Mantello nferore Nucleo esterno Nucleo nterno dove P è la pressone. Lo stress ha le dmenson d una forza per untà d area. Nel SI s ha: pascal (Pa) = N m - Un altra untà comunemente usata è l bar: bar = 5 Pa Come mostrato nella Tabella., basata sul modello PREM (Dzewonsk e Anderson, 98), la pressone drostatca aumenta rapdamente con la profondtà all nterno della Terra. Vceversa, lo stress d taglo è n proporzone molto pù pccolo andando n profondtà, dove è assocato a movment convettv del mantello ed alla propagazone delle onde ssmche. D fatto, uno stress d taglo statco sgnfcatvo s rscontra solo nella crosta superore fragle (- MPa).. Il tensore dello stran Consderamo ora l problema d rappresentare la deformazone subta da un corpo soggetto a forze esterne. In seguto ad una deformazone cascun punto del corpo, dentfcato da un vettore d poszone r = (x, x, x 3 ), subsce uno spostamento u rspetto alla poszone orgnara r = r(t ) al tempo nzale t = t.

12 8 Fgura.5. Geometra della deformazone. Questo esempo mostra come la deformazone sa assocata ad uno spostamento relatvo du tra due punt che orgnaramente erano separat da dr. La poszone assunta da punt del corpo relatvamente alle poszon nzal può qund essere rappresentata per mezzo d un campo vettorale, l campo degl spostament u: u r r r (.3) Il campo degl spostament fornsce una msura assoluta delle varazon d poszone de punt appartenent ad un corpo contnuo. D altra parte, varazon d poszone possono avvenre anche n assenza d deformazon. Cò accade quando r r è costante per qualsas coppa d punt r ed r. Vceversa, la deformazone è localmente assocata al fatto che punt vcn possono subre uno spostamento dfferenzale, come mostrato n Fgura.5. Lo stran rappresenta qund localmente una msura delle varazon relatve del campo degl spostament, ovvero de gradent spazal del campo. Ad esempo, lo stran estensonale è defnto come una varazone n lunghezza rspetto alla lunghezza orgnara. Se una barra d metallo lunga m ed avente un estremtà fssa vene allungata unformemente fno ad assumere una lunghezza d m, allora l campo degl spostament varerà da zero ad m lungo la barra, mentre l campo d stran sarà costante e par a

13 9. (coè l %). Consderamo ora lo spostamento u d un punto che orgnaramente aveva coordnate r (Fg..5). Per descrvere lo spostamento d un punto vcno, avente nzalmente poszone r + dr, possamo espandere u n sere d Taylor e fermarc al prmo ordne. S ha: 3 u u r dr ur dx (.4) x Pertanto, le component dello spostamento relatvo n un ntorno d r sono, al prmo ordne: du 3 j u dx x j j (.5) dove le dervate s ntendono calcolate nel punto r. Voglamo ora separare dallo spostamento totale l eventuale quota d rotazone rgda che non determna deformazone. A tal fne possamo scomporre la matrce J j = u /x j n una parte smmetrca ed n una parte antsmmetrca: J (.6) dove l tensore smmetrco j = j ha component: j u x j u x j (.7) mentre l tensore è antsmmetrco ( j = j ) ed ha component: j u x j u x j (.8)

14 Non è dffcle dmostrare che l tensore descrve una rotazone rgda del corpo senza alcuna deformazone assocata. Infatt, dato che è antsmmetrco, termn dagonal sono tutt null e v sono solo tre component ndpendent. Possamo qund formare un vettore avente component: 3 k jkj / (.9) j dove jk è l tensore d Lev-Cvta. Usando l denttà: 3 3 jkstk k k kj kst s jt t js (.) trovamo po che: 3 3 jkk jk k stk stk st / j j / j (.) Pertanto s ha: 3 dx 3 j j jk j jk k dx j dr (.) Cò mplca che l secondo termne della (.6) rappresenta una rotazone rgda attorno all asse, per cu non s ha alcuna deformazone assocata a questo termne. Vceversa, l prmo termne mplca una deformazone netta e vene chamato tensore d stran. S not che le component d questo tensore smmetrco sono tutte admensonal e dpendono dalle dervate del campo degl spostament. Queste component sono d due tp. Quelle dagonal determnano l modo n cu lo spostamento nella drezone d un asse coordnato vara lungo l asse. Per esempo, se lo spostamento avvene solo nella drezone x (u = u 3 = ) ed u camba solo n questa drezone, allora l solo termne non nullo del tensore d stran è. Se u /x > allora s ha estensone lungo

15 l asse x (Fg..6a), mentre per u /x < s ha contrazone (Fg..6b). Se un elemento dagonale è costante all nterno d un corpo che s deforma, esso rappresenta l cambamento n lunghezza per untà d lunghezza nella drezone x. Fgura.6. Semplc geometre d deformazone n due dmenson: Estensone pura (A) e contrazone pura (B). Consderamo ora gl element non dagonal, qual sono determnat dalle varazon lungo un asse coordnato dello spostamento che avvene nella drezone d un asse coordnato dverso, ad esempo dalle varazon d u quando c s muove lungo l asse x 3. Un caso molto semplce, llustrato n Fg..7A, s ha quando solo u, ma le varazon d u avvengono esclusvamente nella drezone dell asse x 3, coscchè le unche component non nulle sono 3 ed 3 (taglo semplce). Le Fgure.7B e.7c llustrano noltre l caso n cu sa u /x 3 che u 3 /x sono non nulle, con segn ugual oppure oppost. Come nel caso del tensore d stress, anche l tensore d stran può essere rappresentato n un sstema d coordnate nel quale le sole component dagonal sono non nulle. Supponamo che gl spostament n un ntorno d un punto r possano essere descrtt per mezzo d una deformazone pura ( = ). In questo caso la (.5) può essere rscrtta come segue: r dr du (.3)

16 Fgura.7. Semplc geometre d deformazone d taglo n due dmenson. Il caso llustrato n (A) vene chamato taglo semplce, mentre n (B) s ha una combnazone tra un taglo puro ed una traslazone. Gl ass prncpal d stran possono essere calcolat mponendo che la varazone del campo d spostamento du abba la stessa drezone della varazone d poszone dr: r dr du dr (.4) Fgura.8. Anche un semplce stran estensonale nella drezone x determna deformazon d taglo all nterno d un corpo, come mostrano l quadrato tratteggato nscrtto nel corpo ndeformato ed l suo equvalente nscrtto nel corpo dopo la deformazone. I tre autovalor dell Eq. (.4) vengono chamat gl stran prncpal,, ed 3. S not che con l eccezone del caso n cu = = 3 (stran drostatco) una certa quanttà d stran d taglo è sempre presente. Per esempo, consderando l estensone nella drezone x d un quadrato (Fg..8)

17 3 s ha che = u /x > è l unca componente non nulla del tensore d stran. D altra parte, n seguto alla deformazone le lnee parallele agl ass coordnat non cambano drezone, mentre le lnee oblque s. Le varazon angolar assocate alla deformazone d taglo dventano evdent se l sstema d coordnate vene ruotato d 45, nel qual caso assume component non dagonal dverse da zero. La tracca del tensore d stran: u 3 3 k k k k kk x u (.5) vene chamata dlatazone e concde con la dvergenza del campo degl spostament u = u(r). Essa determna, a seguto d una deformazone, l cambamento n volume per untà d volume. Infatt, nel sstema degl ass prncpal d stran un elemento d volume dv = dx dx dx 3 vene trasformato nel volume: dv dv x u dx dx dx x u dx x u dx x u dx x u dv k k k k k k (.6) Pertanto, la varazone relatva d volume nel punto consderato sarà data da: dv dv V d (.7) Consderamo nfne l rotore del campo degl spostament: e e e u x u x u x u x u x u x u (.8)

18 4 Un confronto d questa espressone con la (.8) mostra che l rotore d u è non nullo solo quando non è dentcamente nulla, ovvero quando l campo degl spostament comporta una certa quanttà d rotazone rgda..3 La relazone stress-stran Stress e stran sono legat, n un mezzo elastco, da una relazone costtutva lneare che nella sua forma pù generale può essere scrtta come: 3 3 j c jklkl (.9) k l Il tensore c jkl vene detto tensore elastco, e la legge (.9) è nota come legge d Hooke. Essa assume che l mezzo sa perfettamente elastco, per cu non v è perdta d energa o attenuazone della rsposta durante la deformazone. Il tensore elastco è un tensore d quarto ordne con 8 (3 4 ) component. Comunque, tenendo conto della smmetra de tensor dello stress e dello stran e d alcune consderazon termodnamche è possble dmostrare che solo d queste component sono ndpendent. In generale, le propretà del soldo varano con la drezone, per cu l comportamento meccanco del materale sarà ansotropco. Vceversa, nel caso partcolare d un mezzo sotropo le propretà del corpo rsultano essere ndpendent dalla drezone. Nel caso della Terra questa costtusce una ragonevole approssmazone del prmo ordne per la maggoranza delle regon al suo nterno. Se lmtamo la nostra attenzone a materal sotrop, l tensore elastco rsulterà nvarante per rotazon ed l numero d parametr ndpendent è rdotto a due soltanto: cjkl j kl l jk k jl (.3)

19 5 dove e sono chamat parametr d Lamè e j è l delta d Kronecker. Vedremo n seguto che quest parametr determnano, asseme alla denstà del mezzo, le veloctà d propagazone delle onde ssmche. Usando la (.3) s ha che la legge d Hooke assume la forma: j 3 j k kk j (.3) I parametr d Lamè determnano qund n modo completo la relazone lneare tra stress e stran n un mezzo sotropo. La grandezza, n partcolare, vene chamata modulo d taglo ed è una msura della resstenza del materale a subre deformazon d taglo. Vceversa l parametro non ha un semplce sgnfcato fsco. Altre tre costant elastche utlzzate nella descrzone del comportamento meccanco de corp sotrop sono l modulo d Young, l modulo d compressone unforme ed l rapporto d Posson. Il modulo d Young E rappresenta l rapporto tra stress estensonale ed assocata deformazone estensonale per un clndro che vene trato da entramb lat. S può dmostrare che: 3 E (.3) Il modulo d compressone unforme fornsce una msura dell ncompressbltà d un materale ed è defnto come l rapporto tra pressone drostatca applcata e cambamento d volume rsultante: 3 (.33) Infne, l rapporto d Posson rappresenta l rapporto tra la contrazone laterale d un clndro che vene trato da entramb lat e la sua estensone longtudnale.

20 6 Esso è dato da: (.34) Osservamo che tutt quest parametr, ad eccezone del rapporto admensonale d Posson, sono msurat n Pa. Una nteressante propretà de mezz sotrop è rappresentata dal fatto che gl ass prncpal d stress concdono sempre con gl ass prncpal d stran. Infatt, ponendo: 3 j 3 j j n n n j n j j (.35) dove e sono autovalor, e sosttuendo la (.3) nella prma delle Eq. (.35) s ha: 3 j j n j 3 3 jtr j n j Trn jn j n j (.36) j Pertanto: 3 n Tr j j j n (.37) Cò mplca che ogn asse prncpale d stress n con autovalore è anche un asse prncpale d stran con autovalore: Tr (.38)

21 7 Captolo L Equazone delle Onde Ssmche. L Equazone del Momento Nel captolo precedente abbamo ntrodotto concett d stress, stran e campo degl spostament per un corpo n equlbro statco. Voglamo ora studare la relazone tra queste grandezze n un contesto dnamco. Il punto d partenza conssterà qund n un adattamento della equazone classca del moto (equazone d Newton) al caso d un corpo contnuo deformable. Consderamo qund le forze eserctate su un elemento d volume nfntesmale dv = dx dx dx 3. La forza d superfce eserctata su cascuna facca del cubo è data dal prodotto del vettore d trazone per l area della facca. Per esempo, la forza eserctata su una facca perpendcolare all asse x ha component: df T dxdx3 dxdx3 e (.) Nel caso d un campo d stress omogeneo la forza netta eserctata sull elemento d volume è zero, n quanto le forze che agscono su facce opposte sono ugual n modulo ed hanno verso opposto: df(e ) = df(e ). Una forza netta può qund essere eserctata sul corpo solo se l campo tensorale d stress ha un gradente spazale non nullo. Se cò accade, la forza netta determnata dalle facce perpendcolar a x è data da: df 3 (.) x x dx dx dx dv

22 8 Questa espressone s ottene semplcemente svluppando n sere d Taylor ed arrestandos al prmo ordne. Pertanto la forza d superfce totale eserctata sul cubo nfntesmo nella drezone x sarà data da: df 3 j x j j dv (.3) Sano ora f la forza d volume per untà d volume eserctata sull elemento dv e la denstà dell elemento. La forza d volume che agsce su dv e la massa dell elemento saranno qund date rspettvamente dalle seguent espresson: b df f dv (.4) dm dv (.5) Sommando le forze (.3) e (.4) e consderando che l accelerazone n questo contesto è data dalla dervata seconda rspetto al tempo del campo d spostamento s ottene nfne la seguente forma della seconda legge della dnamca, valda per un qualsas corpo contnuo deformable: u t 3 j x j j f (.6) Questa è l equazone fondamentale che sta alla base della ssmologa. Essa vene chamata equazone del momento o equazone del moto per un mezzo contnuo. La forza d volume f comprende generalmente un termne gravtatvo f g ed un termne f s assocato a sorgent ssmche. La gravtà è un fattore mportante nello studo delle oscllazon lbere della Terra, che avvengono a frequenze molto basse, mentre può essere n genere trascurata ne calcol relatv alle onde ssmche.

23 9 In assenza d forze esterne d volume l equazone (.6) s rduce alla seguente equazone omogenea del moto: u t 3 j x j j (.7) la quale governa la propagazone delle onde ssmche n ogn regone ove non sa presente una sorgente ssmca. La rcerca d soluzon per la (.6) o la (.7) sulla base d modell realstc della Terra rappresenta una parte mportante della Ssmologa. Queste soluzon, le qual sono n grado d prevedere l movmento al suolo n una qualsas locazone ad una certa dstanza dalla sorgente, vengono comunemente presentate nella forma d ssmogramm sntetc.. Onde Ssmche Per rsolvere l Eq. (.7) abbamo bsogno d una relazone tra stress e stran, n modo da esprmere le component del tensore degl sforz n funzone del campo degl spostament u. Sosttuendo la (.7) nella legge d Hooke (.3) s ha: j u u j j u (.8) x j x Le Equazon (.7) e (.8) formano un sstema accoppato d equazon dfferenzal per lo spostamento e lo stress. Esse vengono talvolta utlzzate drettamente sotto questa forma nella modellzzazone della propagazone delle onde medante algortm alle dfferenze fnte. In questo caso lo stress e lo spostamento vengono valutat a vertc d una grgla trdmensonale avente un passo prestablto, mentre le dervate vengono approssmate per mezzo d dfferenze fnte. Il vantaggo d questo metodo è rappresentato dalla sua semplctà e dal fatto che può gestre modell della struttura terrestre (ovvero funzon d denstà = (r) e parametr d Lamè = (r), = (r)) d arbtrara complesstà. D altra parte quest modell rchedono spesso un grosso sforzo

24 computazonale e non necessaramente fornscono una vsone profonda della fsca che governa l comportamento delle onde ssmche. Sosttuendo la (.8) nella (.7) s ottene: u t x x 3 j u u x j x j u u x u x j x u 3 3 j j j u x u x j x j j u x u x j j u x j u x j u j x x u x j j (.9) In notazone vettorale s ha: u T u u u u u (.) Questa equazone può essere semplfcata usando la seguente denttà vettorale: u u u (.) Sosttuendo nella (.) s ottene: u u u u u T u (.) Questa è una delle forme utlzzate per esprmere l equazone delle onde ssmche. I termn al secondo membro che contengono gradent de parametr d Lamè sono dvers da zero nel caso d un mezzo non omogeneo, dunque quando esstono de gradent nella veloctà delle onde ssmche.

25 Purtroppo cò ntroduce dverse complcazon nella trattazone d modell realstc d propagazone delle onde elastche, per cu vengono spesso trascurat ne modell pù semplc, qual utlzzano due dverse stratege d approssmazone. Un prmo approcco s basa sul fatto che se la veloctà può essere consderata come una funzone della sola profondtà, allora l mezzo può essere modellzzato per mezzo d una sere d strat omogene. All nterno d cascuno strato parametr d Lamè vengono consderat costant, per cu l equazone delle onde s semplfca. Le dfferent soluzon assocate ad ogn strato vengono po collegate calcolando coeffcent d rflessone e trasmssone delle onde su entramb lat delle superfc che separano gl strat. Perfno una varazone contnua della veloctà con la profondtà può qund essere modellzzata adeguatamente per mezzo d una successone suffcentemente grande d strat sottl avent veloctà costante. Questo approcco costtusce l punto d partenza d dverse tecnche d calcolo de ssmogramm sntetc che s basano su modell undmensonal della Terra. Esse sono partcolarmente utl nello studo delle onde superfcal e delle onde nterne a meda e bassa frequenza. Comunque, alle alte frequenze queste tecnche dventano relatvamente neffcent a causa del gran numero d strat necessaro per un accurata modellzzazone. Il secondo approcco s basa sul fatto che l ampezza de termn contenent un gradente d o è nversamente proporzonale alla frequenza, per cu nello studo delle onde ad alta frequenza ess possono essere trascurat. Questa approssmazone vene generalmente adottata da metod basat sulla teora de ragg ssmc. Un dfetto d questo approcco è legato al fatto che l approssmazone non è valda quando gradent d veloctà nel materale crescono oltre un certo lmte. Se s trascurano nella (.) termn contenent gradent de parametr d Lamè s ottene l equazone delle onde per un mezzo omogeneo: u u u (.3) Puttosto che cercare d rsolvere la (.3) drettamente convene decomporre l campo vettorale u per mezzo de cosddett potenzal d Helmholtz.

26 Dato un qualsas campo vettorale u = u(r,t), possamo sempre determnare un campo vettorale A = A(r,t) tale che: r,t ur,t Α (.4) Infatt, la (.4) è una classca equazone d Posson, la quale ha sempre una soluzone unca nel caso n cu u dmnusca abbastanza rapdamente (almeno come /r) per r : r u Α r, t dv (.5) 4 3 r r R Ora, utlzzando l denttà vettorale (.) per l campo A s ha: Α Α u Α (.6) Ponendo qund: A; A (.7) s ottene: u (.8) L Equazone (.8) mplca che l campo vettorale u = u(r,t) può essere scomposto n una componente rrotazonale () ed n una componente solenodale ( ). I camp e vengono dett rspettvamente potenzale scalare e potenzale vettore del campo d deformazone. La componente assocata al potenzale scalare non comporta rotazon ed è responsable della propagazone d onde compressve. Vceversa, la componente assocata al potenzale vettore ha

27 3 dvergenza nulla e non comporta varazon d volume, per cu è responsable della propagazone d onde d taglo. Sosttuendo potenzal d Helmholtz nell Eq. (.3) s ottene: t (.9) Applcando ora l denttà (.) al campo e tenendo conto del fatto che la dvergenza del rotore è zero, l secondo termne al secondo membro della (.9) s semplfca come segue: (.) Sosttuendo nella (.9) e raggruppando asseme termn n e ottenamo qund: (.) t t Una soluzone d questa equazone s ha quando entrambe le espresson n parentes sono nulle. In questo caso l equazone d onda s dvde n due equazon classche delle onde (Equazon d D Alambert) separate, una per cascun potenzale: (.) t (.3) t

28 4 Fgura.. Propagazone delle onde pane. = (t) è ad ogn stante la dstanza del pano dall orgne O. dove: (.4) (.5) Vedremo ne paragraf successv che le grandezze e rappresentano rspettvamente la veloctà delle onde P (compressve) e delle onde S (d taglo)..3 Onde Pane Consderamo ora nnanztutto l Equazone d onda (.) per l potenzale scalare. Una classe mportante d soluzon s ha nel caso n cu ad ogn stante t l campo sa una funzone della sola dstanza d un pano dall orgne assegnata (Fg..). Se n è un versore normale al pano, allora n ogn punto r s ha: ( r, t) ( r n, t) (, t) (.6)

29 5 In questo caso l operatore d gradente può essere scrtto come segue: n (.7) Pertanto l equazone d onda (.) s rduce alla seguente equazone delle onde undmensonal (o onde pane): t (.8) Per rsolvere questa equazone, rscrvamola nella forma: t t (.9) Effettuamo ora un cambo d varabl ntroducendo le nuove varabl e : t ; t (.3) La trasformazone nversa da (,) a (t,) è qund la seguente: t ; (.3)

30 6 Per le dervate s ha pertanto: ; t t (.3) L Equazone (.9) assume n questo caso la seguente semplce forma: (.33) E evdente che le soluzon d questa equazone hanno la forma: ) ( ) (.34) ( dove e sono funzon arbtrare. Pertanto la soluzone generale della (.8) avrà la forma: t t (.35) Per comprendere l sgnfcato d questa soluzone ponamo ad esempo =, coscchè = (t /). In cascun pano = cost l campo vara ovvamente nel tempo. Analogamente, ad un dato stante t l campo assume valor dvers su cascun pano. E charo tuttava dalla (.35) che l campo assume valor ugual per l nseme delle coppe (,t) tal che t / = cost, ovvero per: cost t (.36)

31 7 Cò mplca che se all stante t = l campo assumeva un dato valore sul pano = cost, esso rprenderà lo stesso valore dopo un ntervallo d tempo t su un pano che s trova alla dstanza dal pano orgnaro. Possamo dunque affermare che l campo s propaga nello spazo lungo la drezone n con veloctà. In altr termn, la funzone (t /) rappresenta un onda pana longtudnale che s propaga nella drezone n. E evdente che la funzone (t + /) rappresenta un onda pana che s propaga n senso nverso, coè nella drezone n. Consderamo ora un altro aspetto del problema. La forma dell Equazone (.8) suggersce l esstenza d una classe d soluzon che sono funzon perodche del tempo. Analzzamo qund l caso n cu l campo sa rappresentato dal prodotto tra una funzone delle sole coordnate spazal ed una funzone perodca semplce del tempo:, t r cost r (.37) dove, come è noto dalla Meccanca, è la fase, è la pulsazone e = / è la frequenza. Una soluzone d questo tpo vene detta onda monocromatca. Inserendo questa funzone nella (.8) s ottene faclmente l equazone, ndpendente dal tempo, che determna la dstrbuzone spazale d un onda monocromatca: (.38) Tenendo conto d quanto abbamo vsto n precedenza, possamo dre che nel caso partcolare d un onda pana monocromatca, la quale s propaga n un unca drezone, l campo deve essere una funzone perodca semplce d (t /). Deve qund avers: t t t k (.39)

32 8 Ora, se n rappresenta come sempre l versore assocato alla drezone d propagazone dell onda e è la lunghezza d onda, la grandezza: k n n n (.4) vene detta vettore d onda, ed l suo modulo rappresenta l numero d onde present n un segmento d lunghezza. Usando una notazone complessa e tenendo conto che: k r kn r k (.4) s ha nfne, per un onda pana monocromatca, la seguente soluzone generale: rt t e k r, (.4) dove ovvamente solo la parte reale assume sgnfcato fsco. Consderamo ora l Equazone d onda (.3) per l potenzale vettore. Applcando alle tre component del campo vettorale lo stesso procedmento adottato per l campo scalare s arrva al rsultato che un onda pana d taglo monocromatca che s propaga con veloctà = (/) ½ è rappresentata dalla funzone: rt, t e k (.43) r

33 9.4 Onde Sferche Una dversa soluzone dell Equazone d onda (.) per l potenzale scalare s ottene assumendo una smmetra sferca nvece che planare, nel qual caso convene passare ad una rappresentazone n coordnate sferche. Le coordnate d un punto sulla superfce terrestre possono essere specfcate n termn d colattudne, longtudne e dstanza r dal centro della Terra. Le equazon d trasformazone da coordnate cartesane a coordnate sferche sono le seguent: r x y z arctg( y / x) / arcsen( z / r) (.44) Non è dffcle utlzzare la trasformazone (.44) per rcavare un espressone per l operatore d Laplace n coordnate sferche. Esso acqusta la forma: r r r r r sn sn r sn (.45) Ora, se assumamo una smmetra sferca termn contenent dervate rspetto alla colattudne ed alla longtudne devono essere null. In questo caso l equazone delle onde per l potenzale scalare può essere scrtta come segue: r r r r t (.46)

34 3 Per rsolvere questa equazone ponamo: r, t r, t/ r (.47) Sosttuendo nella (.46) ottenamo: r r t (.48) Come s vede, per r questa equazone s trasforma n una classca equazone delle onde pane (Eq..8). Cò mplca che qualsas funzone avente la forma: f t r / r, t (.49) r è una soluzone a smmetra sferca dell equazone d onda per l potenzale scalare. Questa soluzone descrve front d onda che sono superfc sferche centrate attorno all orgne r =, avent ampezza che dpende dalla sola dstanza dall orgne. Quando l Eq. (.49) vene usata con l segno negatvo, le onde s allontanano dall orgne con veloctà ed ampezza che decresce come /r. Vceversa, la soluzone con segno postvo non descrve stuazon fscamente sgnfcatve. Se mmagnamo che n r = è poszonata una sorgente d energa ssmca, allora la funzone (.49) è d fatto una soluzone della seguente equazone d onda non omogenea: 4r f t (.5) t

35 3 dove = (r) è la funzone delta d Drac. Il termne al secondo membro della (.5) rappresenta così una sorgente puntuale poszonata nell orgne ed avente un ampezza varable f = f(t). Osservamo nfne che un onda pana può localmente approssmare l fronte d un onda sferca n regon lontane dalla sorgente ssmca, come llustrato n Fg... Fgura.. Un fronte d onda sferco s allontana dalla sorgente ssmca. Nelle regon suffcentemente dstant dalla sorgente l raggo d curvatura è abbastanza basso da consentre un approssmazone medante l pano..5 Onde P ed Onde S Consderamo ora l campo degl spostament assocato a cascuno de potenzal e che compaono nell Eq. (.8). Come abbamo vsto, le veloctà d propagazone d un onda pana e d un onda pana sono date rspettvamente dalle espresson: (.5) (.5)

36 3 Da queste due equazon rsulta che s ha sempre: >, n quanto parametr d Lamè sono entramb postv. Questo spega l motvo per cu le onde assocate al campo vengono ndcate come onde P, dove «P» sta per «Prmus». Infatt esse sono le prme ad essere regstrate da un ssmografo dopo un terremoto, mentre le onde assocate al campo vengono dette onde S, dove la lettera «S» sta per «Secondus». Queste ultme vengono sempre regstrate da ssmograf con un certo rtardo rspetto alle prme onde P. Osservamo noltre che per la (.5) le onde S non possono propagars ne flud, n quanto n quest cas s avrà = e qund =. Cò mplca n partcolare che solo le onde P possono attraversare l nucleo esterno della Terra o gl ocean. Consderamo ora un onda pana P che s propaga nella drezone n = e, ovvero lungo l asse x. In questo caso l equazone d onda (.) può essere scrtta come segue: x t (.53) n quanto /y = /z =. Ora, per un onda P la (.8) assume la forma semplfcata: u (.54) Nel caso n esame avremo qund che: u x ; u y u z x (.55) Co mplca che n generale per un onda P lo spostamento avvene nella sola drezone d propagazone, per cu l movmento vene detto longtudnale. Inoltre, poché s ha sempre: = u = allora l movmento è anche rrotazonale. Dato che le onde P determnano localmente varazon d volume (u ), allora esse sono assocate a compresson e dlatazon all nterno

37 33 del corpo (Fg..3). Comunque, dato che la veloctà d propagazone del campo dpende anche dal modulo d taglo, allora la propagazone d queste onde comporta anche deformazon d taglo. Fgura.3. Campo d spostamento prodotto da un onda P. Consderamo ora le onde S, le qual come abbamo vsto sono assocate al campo. Nel caso d un onda pana che s propaga nella drezone dell asse x s ha: r, t t x / xˆ t x / yˆ t x / zˆ (.56) x y z Come nel caso precedente le dervate rspetto a y e z sono nulle, per cu lo spostamento sarà dato da: u u u x y z y z x z y z x z y (.57) x z x x y y z y x x Ovvero: z y u yˆ zˆ (.58) x x

38 34 Fgura.4. Campo d spostamento prodotto da un onda S polarzzata nel pano vertcale (onda SV). Come s vede, l movmento avvene esclusvamente nel pano yz, dunque perpendcolarmente alla drezone d propagazone (Fg..4). Esso vene qund detto trasversale. Nelle applcazon pratche della ssmologa l asse z vene scelto d solto come asse vertcale, mentre l asse x vene dretto secondo l cercho massmo che congunge la sorgente al rcevtore. In questo caso possamo suddvdere l movmento delle onde S n due component: quello che avvene nel pano xz vene assocato ad onde S con polarzzazone vertcale, o onde SV (Fg..4), mentre quello che avvene parallelamente alla superfce terrestre lungo la drezone y vene assocato ad onde a polarzzazone orzzontale, o onde SH. Sebbene la scelta d due drezon d polarzzazone ortogonal nel pano perpendcolare alla drezone d propagazone d un onda S sa arbtrara, la suddvsone n onde SV ed SH rsulta essere partcolarmente convenente. Vedremo n seguto che le onde P e le onde SV sono accoppate tra loro quando nteragscono con lmt orzzontal, mentre le onde SH s mantengono separate. Per avere un dea delle veloctà assocate alle onde P ed S consderamo ora valor tpc de var parametr che compaono nelle equazon d onda. La crosta terrestre può essere modellzzata come un soldo d Posson, caratterzzato dalle costant elastche: 3 Pa. Pertanto, se assumamo che la denstà delle rocce è n meda = 3 3 Kg/m 3 allora s avrà: 5.5 km/s e 3. km/s. In questo caso un onda P che s propaga con un perodo d s avrà una lunghezza d onda par a km. In generale le onde ssmche nterne assocate a terremot hanno perodo compreso tra s e s (frequenze da Hz a. Hz), quelle superfcal hanno perodo compreso tra s e s, mentre le oscllazon lbere della Terra hanno perodo compreso tra s e s. Vceversa la ssmca attva a rflessone, utlzzata per l esplorazone del sottosuolo, mpega onde generate artfcalmente ed avent frequenze molto elevate, spesso comprese tra khz e khz.

39 35 Fgura.5. Esempo d ssmogramma che mostra la componente vertcale (U-D), e le due component orzzontal (N-S ed E-W) d un terremoto poco profondo. La dfferenza ne temp d arrvo delle onde P ed S può essere utlzzato per determnare la dstanza del ssmometro dalla sorgente ssmca. La dfferenza t S t P ne temp d arrvo delle onde P ed S ad una stazone ssmca può essere faclmente determnata da un anals del ssmogramma (Fg..5). Se un numero suffcente d osservazon è dsponble per un dato evento n stazon ssmche dverse, è possble determnare n modo precso la locazone dell evento e l stante n cu è avvenuto. Persno una sngola osservazone consente d ottenere qualche nformazone sulla poszone della sorgente. Sebbene la conversone de temp d arrvo delle onde n temp d percorrenza rcheda la conoscenza dell stante n cu s è verfcato l evento, la dstanza d tra la stazone ssmca e la sorgente può essere valutata per mezzo della seguente semplce espressone: ts t P d (.59) Ad esempo, per = 5.5 km/s e = 3. km/s, la dfferenza t S t P = 8s mostrata n Fg..5 mplca una dstanza d par a crca 6 km.

40 36.6 Energa ssmca Le onde ssmche trasportano energa, sa sotto forma d energa cnetca che nella forma d energa potenzale (d deformazone). Se E K ed E W sono rspetvamente la quanttà d energa cnetca per untà d volume e l energa d deformazone per untà d volume, allora la denstà d energa totale d un onda ssmca sarà data da: E E K E W (.6) La denstà d energa cnetca è charamente legata alle varazon temporal del campo d deformazone: 3 u E K (.6) t Per quanto rguarda la denstà d energa potenzale, s può dmostrare su bas termodnamche che essa è data da: 3 E W jj (.6) j Consderamo ora un onda pana monocromatca SH che s propaga nella drezone x, per cu lo spostamento avvene nella drezone y. In questo caso s ha: u y u t Asn t kx y Acos t kx (.63)

41 37 dove A è l ampezza d onda, è la frequenza angolare e k = /. La denstà d energa cnetca s ottene faclmente dalla (.6): E K A cos t kx (.64) Dato che l valore medo del quadrato del coseno su una lunghezza d onda è ½, possamo esprmere la denstà meda d energa come segue: 4 E K A (.65) Consderamo ora l energa potenzale. Utlzzando l espressone (.7) del tensore d deformazone s vede faclmente che le unche component non zero sono le seguent: u y Ak cost kx (.66) x Per quanto rguarda l tensore d stress, la legge d Hooke (.3) mplca che le component non zero sono date da: Ak cos t kx (.67) Sosttuendo la (.66) e la (.67) nell espressone (.6) s ottene nfne la denstà d energa potenzale: E W A k cos t kx (.68)

42 38 Prendendo anche n questo caso la meda su una lunghezza d onda s ha la seguente espressone per la denstà meda d energa d deformazone: 4 4 E W A k A (.69) Come s vede, questa espressone è dentca a quella ottenuta per l energa cnetca (Eq..65). Inoltre, non è dffcle dmostrare che lo stesso rsultato s ottene nel caso d un onda pana monocromatca P. Pertanto, samo portat a rtenere che n generale s avrà: E 4 K EW A (.7) Inserendo questo rsultato nella (.6) abbamo n defntva che la denstà meda d energa assocata ad un onda ssmca è data da: E E K EW A (.7) Questa espressone mplca che la denstà meda d energa è proporzonale sa al quadrato dell ampezza dell onda che al quadrato della pulsazone. Pertanto, a partà d ampezza onde avent frequenza pù elevata trasporteranno un energa maggore.

43 39 Captolo 3 Teora de Ragg Ssmc 3. L equazone ekonale La teora de ragg ssmc assume, nell ambto dello studo della propagazone delle onde elastche, un ruolo analogo a quello che l ottca geometrca ha avuto nello studo della propagazone della luce. Questa teora è stata utlzzata per pù d ann nell nterpretazone de dat ssmc, e contnua anche ogg ad essere estensvamente e profcuamente mpegata, graze alla sua semplctà, n una vasta gamma d problematche. Ad esempo, essa costtusce la base d molt algortm d calcolo degl epcentr de terremot e de meccansm focal, ed è fondamentale nel calcolo de profl d veloctà che c consentono d ndagare la struttura nterna della Terra. Inoltre, la teora de ragg ssmc è concettualmente semplce e le sue equazon s prestano bene ad essere trasformate n algortm d calcolo. D altra parte l suo campo d applcabltà rsulta essere lmtato dal fatto che s tratta d un approssmazone d alta frequenza, la quale può produrre rsultat sbaglat nel caso d onde a lungo perodo, oppure quando v sono elevat gradent d veloctà. Infne, la teora de ragg ssmc non è n grado d descrvere faclmente fenomen «non geometrc», qual ad esempo la dffrazone. Il punto d partenza della teora de ragg ssmc è rappresentato dalla cosddetta equazone ekonale, che descrve la relazone esstente tra la geometra d un fronte d onda n propagazone e la funzone d veloctà, la quale come sappamo è legata a parametr meccanc del mezzo d trasmssone. Consderamo qund la propagazone d un onda compressva, descrtta dall Eq. (.). Nel caso d un mezzo eterogeneo la veloctà sarà una funzone della poszone: r (3.)

44 4 tpo: Assumamo ora che essta una soluzone armonca analoga alla (.4), ovvero una soluzone del tt r r, t Ar e (3.) dove T = T(r) è un fattore d fase ed A = A(r) è un ampezza locale dell onda. Prendendo l gradente e la dvergenza del gradente d questa soluzone s ha: tt r Ar Ar T re (3.3) t T r Ar Ar T r Ar T r Ar T r T r e (3.4) Per quanto rguarda la dervata temporale seconda del campo abbamo nvece: tt Ar e t r (3.5) Sosttuendo queste espresson nell equazone d onda (.4) s ha pertanto: A Ar T r Ar T r ArT r r r r A (3.6) Scomponendo questa equazone nelle part reale ed mmagnara s ottengono due equazon separate: r r A A r Ar T r (3.7)

45 4 La seconda d esse, chamata equazone del trasporto, è: r Tr Ar Tr A (3.8) Concentramo per l momento la nostra attenzone solo sulla prma d queste due equazon. Dvdendo la (3.7) per A s ha: r Ar r T r (3.9) A Nel caso n cu l onda abba una frequenza suffcentemente elevata, possamo consderare l lmte d questa equazone per come un approssmazone accettable. S ha: r T (3.) r Introducendo ora la lentezza s, defnta come l recproco della veloctà: s r (3.) r s ottene nfne la famosa equazone ekonale per le onde P: r r T s (3.)

46 4 Fgura 3.. Propagazone d un fronte d onda n un mezzo eterogeneo e geometra de ragg ssmc. Un equazone analoga può noltre essere scrtta per le onde S ad alta frequenza, nel qual caso la lentezza s sarà defnta come l recproco della veloctà. Il fattore d fase T vene chamato tempo d percorrenza ed è una funzone della poszone l cu gradente è n modulo uguale alla lentezza d onda. Non è dffcle renders conto che l nseme d punt dello spazo per cu s ha: T(r) = cost defnsce la superfce corrspondente ad un fronte d onda. Ad ogn stante t l campo ha un valore costante lungo un fronte d onda qualsas. Al passare del tempo quello stesso valore vene assunto su superfc dfferent, per cu dcamo che l fronte d onda s propaga nello spazo. Le lnee (n generale curve) che ad ogn stante sono perpendcolar alla superfce d un fronte d onda n propagazone, ovvero che sono parallele a T(r), vengono chamate ragg (Fg. 3.). Per defnzone l verso d un raggo concde sempre con quello del vettore T(r): r T r s (3.3) dove s è l vettore d lentezza, avente modulo par al recproco della veloctà e verso concdente con quello del vettore T(r). La funzone T = T(r) ha le dmenson d un tempo e, come vedremo

47 43 tra poco, rappresenta l tempo necessaro affnchè un fronte d onda raggunga la poszone r. Se un raggo vene parametrzzato nella forma: r = r(), con che vara n modo monotono lungo l raggo, allora la varazone nfntesma del vettore d poszone sarà data da: r d T dr (3.4) s Infatt, se v rappresenta la veloctà oppure, allora per la (3.3) vt(r) = (/s)t(r) è l versore normale al fronte d onda. Osservamo noltre che la varazone del tempo d percorrenza lungo un raggo sarà data da: dt d r dr T T r T r s (3.5) d s Pertanto T assume l sgnfcato fsco d tempo necessaro al punto d ntersezone tra l fronte d onda ed l raggo per percorrere una dstanza lungo l raggo stesso. Voglamo ora cercare un equazone che consenta d determnare r = r(), dunque la geometra d un raggo, drettamente n funzone della lentezza s(r), elmnando qund la grandezza temporale T. Per la (3.4) s ha: d dr d dt sr T r (3.6) d d d d Pertanto, utlzzando la (3.5) s ottene che l equazone del raggo può essere scrtta come segue: s d d r dr s d r (3.7)

48 44 Questa equazone è concettualmente semplce da rsolvere, trasformandola n un equazone alle dfferenze fnte. In questo modo è possble ottenere l percorso d un raggo l cu punto d partenza e la cu drezone nzale sano note, n un mezzo per l quale s e s possono essere calcolate n ogn punto. In una regone omogenea la (3.7) s rduce a: d r/d =, la quale fornsce la soluzone generale: r() = a + b, dove a e b sono vettor costant. Questa è evdentemente una lnea retta nella drezone a e passante per l punto r = b. Vedamo così che l equazone ekonale (3.) fornsce la base teorca per una rappresentazone geometrca, per mezzo d ragg, del meccansmo d propagazone delle onde ssmche. Non dobbamo tuttava dmentcare che questa equazone costtusce un approssmazone valda solo per lunghezze d onda pccole rspetto alle dstanze sulle qual la veloctà e l ampezza cambano sgnfcatvamente. Pù avant n questo captolo c occuperemo dell equazone del trasporto (3.8). 3. La legge d Snell Consderamo ora un mezzo nel quale la veloctà la veloctà v ( o, a seconda del tpo d onda) dpende solo dalla profondtà z. In questo caso la quanttà: dr p k sz (3.8) d è un vettore costante caratterstco del raggo, n quanto per la (3.7) s ha: dp k d s d d dr d z k sz (3.9) Dato che p, n base alla defnzone (3.8), è perpendcolare alla drezone d propagazone, allora ragg sono confnat n pan vertcal.

49 45 Fgura 3.. Un raggo n un mezzo nel quale la veloctà dpende solo dalla profondtà. Inoltre, la conservazone d p mplca che anche l suo modulo s conserva, per cu se = (z) è l angolo d ncdenza che l raggo forma con la vertcale n un punto (Fg. 3.), allora la quanttà scalare: z z p s sn (3.) è anch essa un nvarante, che vene chamata parametro del raggo. Questa legge d conservazone d p lungo un raggo vene detta legge d Snell. Nel caso d un mezzo a smmetra sferca s ha che s = s(r), dove r è la dstanza dal centro d smmetra, e l nvarante vettorale de ragg è l seguente: dr p r s (3.) r d forma: Anche n questo caso ragg s dspongono su pan vertcal, e la legge d Snell assume la r sn r cos t p rs (3.)

50 46 Fgura 3.3. Un onda pana ncde su un pano orzzontale. 3.3 Modell lateralmente omogene Consderamo ora l ntersezone tra un onda pana che s propaga n un materale omogeneo, avente lentezza unforme s, ed una superfce orzzontale, come llustrato n Fgura 3.3. I front d onda al tempo t ed al tempo t + t sono separat da una dstanza lungo l raggo, mentre all nterfacca orzzontale la separazone x sarà legata a e alla lentezza s da: t s x sn (3.3) Pertanto, per la (3.) avremo che: t x ssn p (3.4) Cò mplca che una msura de temp d arrvo del fronte d onda n due stazon dverse consente d effettuare una msura dretta del parametro d raggo. Il parametro p rappresenta così la lentezza apparente del fronte d onda nella drezone orzzontale. Questo è l motvo per cu esso vene talvolta chamato lentezza orzzontale.

51 47 Fgura 3.4. Un onda pana attraversa l nterfacca orzzontale tra due semspaz omogene. La maggore veloctà nel semspazo nferore determna un aumento della spazatura de front d onda. Consderamo ora un onda pana dretta verso l basso che ncde n modo oblquo sull nterfacca orzzontale che delmta due strat omogene avent veloctà dfferent, come llustrato n Fgura 3.4. Supponamo che l onda che vene trasmessa al semspazo nferore abba una veloctà maggore, per cu s < s. Dato che la temporzzazone de front d onda deve essere conservata, quest ultm dovranno avere una spazatura dversa. In partcolare dovrà rsultare >. D altra parte la legge d Snell rchede che s abba: p s (3.5) sn s sn Cò mplca che l angolo d ncdenza dell onda trasmessa sarà dato da: s arcsn sn s (3.6)

52 48 Fgura 3.5. Generazone d un onda rfratta medante sorgent secondare che s formano all nterfacca tra due strat. Dato che 9, essterà un angolo crtco d ncdenza c, oltre l quale non s ha alcuna onda trasmessa. Quando l onda entrante ha un angolo d ncdenza concdente con c, = 9 ed l raggo trasmesso è orzzontale. In questo caso dcamo che l raggo è al punto d nversone. Dalla (3.4) s ottene faclmente che: s arcsn c (3.7) s Osservamo noltre che per la (3.4) la lentezza al punto d nversone s c deve rsultare uguale al parametro d raggo, ovvero deve rsultare: p = s c. Pertanto l parametro d raggo ha anche l sgnfcato fsco d recproco della veloctà al punto d nversone. In defntva, nel caso d un aumento della veloctà nel passaggo allo strato nferore, la trasmssone dell onda nello strato nferore può avvenre solo quando l angolo d ncdenza dell onda nello strato superore è mnore d c, mentre per valor superor s ha solo rflessone. Per = c l raggo trasmesso s propaga n orzzontale lungo la zona d nterfacca (Fg. 3.5) con veloctà par a /s. Durante l suo movmento l onda trasmessa determna un dsturbo nella zona d nterfacca e qund, per l prncpo d Huygens, essa s comporta come una sorgente d onde secondare che s propagano verso l alto secondo ragg che hanno un angolo d ncdenza uguale a quello dell onda orgnara, come mostrato n Fgura 3.5. Osservamo noltre che mentre la veloctà dell onda che s propaga verso l alto è /s, quella della perturbazone n movmento lungo l nterfacca è maggore, par a /s. Pertanto ogn fronte d onda generato nel mezzo superore vene sempre superato dalla sua sorgente.

53 49 La geometra del fronte d onda rfratto è qund quello d un semcono avente l vertce sull nterfacca. E questo l motvo per cu queste onde vengono talvolta chamate onde conche. Consderamo ora un mezzo stratfcato, nel quale la veloctà aument passando da uno strato al successvo. In questo caso ragg verranno progressvamente pegat verso l esterno fno al punto n cu verrà eventualmente raggunto l angolo d ncdenza crtco ed avremo, n accordo alla (3.5): p s s n s (3.8) sn s sn... sn c n con < < < c. Se s n è la lentezza del mezzo nel quale l angolo d ncdenza assume l valore crtco, allora la lentezza dello strato successvo concderà con l parametro d raggo p. Fgura 3.6. Geometra de ragg n un modello con varazone contnua della veloctà con la profondtà. Il caso lmte n cu la veloctà aumenta n modo contnuo con la profondtà è llustrato n Fgura 3.6. Il pegamento verso l alto de ragg al punto d nversone è causato da una sorgente secondara d Huygens, come abbamo vsto n precedenza. A questo punto ragg puntano verso la superfce con veloctà progressvamente nferor, per cu s ha una flessone contnua verso l nterno ed una dmnuzone dell angolo d ncdenza. Supponamo ora d aver poszonato un gran numero d rcevtor (ssmometr) n superfce a dverse dstanze x da una sorgente superfcale d onde elastche S. Se la veloctà v è una funzone monotona crescente della profondtà z, v = v(z), allora è possble costrure un grafco del tempo d