APPUNTI del CORSO di TEORIA dei CIRCUITI 2 Oscillatore di Colpitts

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Ottavio Roberti
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1 Università degli Studi di Trieste Facoltà di Ingegneria Laurea in Ingegneria dell Informazione a.a. 2004/2005 APPUNTI del CORSO di TEORIA dei CIRCUITI 2 Oscillatore di Colpitts docente: Stefano Pastore November 24, 2004 Contents Struttura Generale degli Oscillatori 2 2 Oscillatore Colpitts 3 2. ModelloLineareperPiccoliSegnali Modello Nonlineare ed Equazioni di Stato Oscillatore Caotico... 6

2 Fig. :Struttura generale di un oscillatore. Struttura Generale degli Oscillatori La struttura generale di parecchi oscillatori sinusoidali è mostrata in Fig.. Vogliamo imporre la condizione di Barkhausen, per cui calcoliamo il guadagno dell amplificatore A e il coefficiente di reazione β. Supponendo che l impedenza di ingresso R i dell amplificatore sia, sihache: A = v o = A v z L v i z L + R o β = v f = z () 2 v o z 2 + z 3 dove z L = z (z 2 + z 3 )/(z + z 2 + z 3 ). Si ottiene quindi il guadagno g di anello aperto: g = v f A v z z 2 = Aβ = v i R o (z + z 2 + z 3 )+z (z 2 + z 3 ) (2) Supponiamo che le 3 impedenze siano puramente reattive, per cui ponendo z = jx, z 2 = jx 2 e z 3 = jx 3, otteniamo: A v x x 2 g = (3) jr o (x + x 2 + x 3 ) x (x 2 + x 3 ) Perchè g sia reale, deve essere: x + x 2 + x 3 = 0 (4) e quindi: g = A v x 2 (5) x Se l amplificatore è realizzato, per esempio, con un amplificatore operazionale in configurazione invertente, il guadagno A v è negativo. Dal momento che, per la condizione di Barkhausen, il guadagno di anello aperto deve essere unitario, le reattanze x e x 2 devono avere lo stesso segno. Stabiliamo che z e z 2 siano condensatori, mentre z 3 sia un induttore (Colpitts). La frequenza di oscillazione risulta essere: + ω 0 L 3 =0 ω 0 = ω 0 C ω 0 C (6) 2 C C 2 L 3 C + C 2 Sostituendo nella (5), si ottiene il valore del guadagno alla frequenza di oscillazione. Definendo g = g(jω 0 ), si ottiene: g =( A v ) C = (7) C 2 2

3 Fig. 2:Oscillatore di Colpitts e modello del transistor. 2 Oscillatore Colpitts Vediamo ora di studiare il comportamento di un oscillatore Colpitts, realizzato con un transistor a base comune (BC), adottando un modello nonlineare, anche se semplificato, per il transistor. Il circuito complessivo e il modello del transistor sono mostrati in Fig. 2. Notate come si è adottato un modello di Ebers-Moll semplificato, valido solo in zona attiva, con coefficiente α F =,inmododatrascurarela corrente di base del transistor. Il diodo nonlineare ha equazione: I E = f(v BE )=I s e V BE V T,doveI s èla corrente di saturazione del diodo e V T = 26 mv a temperatura ambiente. 2. Modello Lineare per Piccoli Segnali Troviamo l equivalente per piccoli segnali, adottando un modello a emettitore comune (EC) per il transistor. Calcoleremo nuovamente il guadagno g per piccoli segnali. Consideriamo perciò il circuito equivalente a π ibrido, con r CE,r o. I parametri del modello si calcolano nel punto di polarizzazione dato dalla corrente I 0, ottenendo: r π = V BE I B = α ( ) F VT 0 α F α F I 0 g M = I C = α (8) F I 0 0 V T V BE Dal momento che α F =,r π = e g m = I 0 /V T. Il modello equivalente per il calcolo di g è mostrato in Fig. 3. E stato ricavato considerando come indipendente la corrente g m ˆv π. Quindi, il guadagno ad anello aperto è il seguente: g m g(s) = v π = ˆv π s 3 LC C 2 + s 2 RC C 2 + s(c + C 2 ) (9) Il criterio di Barkhausen impone che: { g(jω0 ) = (0) arg[g(jω 0 )] = 0 La frequenza di oscillazione ω 0 si ottiene imponendo che l argomento di g(s = jω) sia nullo, ovvero che la parte immaginaria sia nulla. Ne segue che: ω 0 = LCs C s = C C 2 C + C 2 () 3

4 Fig. 3:Modello per piccoli segnali. Il corrispondente guadagno g sarà: g = g m L R(C + C 2 ) (2) 2.2 Modello Nonlineare ed Equazioni di Stato Esaminando il circuito in Fig. 2, si ricavano le seguenti equazioni di stato: dv C dt = f( v 2)+i L dv 2 C 2 dt = i L I 0 L di L dt = v v 2 Ri L + V CC (3) 4

5 Il punto di lavoro del circuito viene calcolato facilmente ponendo a zero le derivate in (3) e risolvendo il sistema algebrico nonlineare nelle variabili di stato: V Q = V CC + V T ln(i 0 /I s ) RI 0 V 2Q = V T ln(i 0 /I s ) (4) I LQ = I 0 Qundi, lo jacobiano relativamente al punto di lavoro è: I 0 0 C V T C J Q = 0 0 C 2 R L L L (5) Fissiamo ora i seguenti valori numerici per i componenti e per la polarizzazione del transistor : C = C 2 =µf, L =0µH; R =0.3Ω, I 0 =5mA; I s =0 5 A, V T =26mV Notiamo che il valore della resistenza R deve essere tale che, per il criterio di Barkhausen: g = g m L R(C + C 2 ) > R< g m L =0.96Ω (6) C + C 2 La frequenza prevista per le oscillazioni è: f 0 = ω 0 2π = = 7 khz (7) 2π LCs Il punto di lavoro è: V Q = V, V 2Q = 0.76 V, I L = 5 ma, metre lo jacobiano calcolato in Q: J Q = (8) Gli autovalori sono quindi:. 0 5 ( i) ( i) Vediamo che c è una coppia di autovalori complessi coniugati a parte reale positiva, più un autovalore negativo. Sarà quindi probabile la formazione di un orbita stabile, ovvero di un ciclo limite. Eseguendo i seguenti programmi Matlab: % ODE per oscillatore di Colpitts - chaos % [t,y]=ode45( Colpitts_eq2,[0 2e-3],[5.65; -0.77; 5e-3]); plot(t,y(:,2), k ); grid; xlabel( {\fontsize{4} time \it{t} \rm[s]} ); ylabel( {\fontsize{4} voltage \it{v} \rm[v]} ); figure; plot(y(:,),y(:,2), k ); 5

6 xlabel( {\fontsize{4} voltage \it{v} \rm[v]} ); ylabel( {\fontsize{4} voltage \it{v} \rm[v]} ); figure; spectrum = fft(y(:,2)); plot(abs(spectrum)); grid; % Oscillatore di Colpitts: andamento caotico function dy = Colpitts_eq(t,y) %C = uf; %C2 = uf; %L = 0uH; %I0 = 5mA %Is = e-5a; %Vcc = 5V %R = 0.3 Ohm dy = [-e-9*exp(-38.46*y(2))+e6*y(3); e6*y(3) -5e3; -e5*y()-e5*y(2)-30e3*y(3)+5e5]; otteniamo effettivamente un orbita stabile, di forma sinusoidale, come dimostrato dalla FFT eseguita sulla tensione v C2. Il picco del modulo della FFT è posizionato a 72 khz, come previsto con il modello a piccoli segnali. Se, invece, simuliamo questo oscillatore con il programma Pspice, troviamo un andamento oscillante a 65 khz circa, a cui è sovrapposta una oscillazione a bassa frequenza, ben evidenziata anche dalla FFT del segnale v C. Questo comportamento è dovuto alla modellizzazione del transistor adottata da Pspice, molto più accurata e precisa. 2.3 Oscillatore Caotico Fissiamo ora i seguenti valori: C = 680 pf, C 2 =75pF,L =.3 µh; R = 00Ω, I 0 =5mA; I s =0 5 A, V T =26mV La resistenza R deve essere minore di 33 Ω, mentre la frequenza prevista è di 6.98 MHz. Lo jacobiano assume i valori: J Q = (9) con autovalori:. 0 8 ( i) ( i) Anche in questo caso, si nota la presenza di 2 autovalori complessi coniugati con parte reale positiva. La simulazione con Matlab rivela che siamo in presenza di un attrattore caotico, caratterizzato da un orbita instabile confinata in una zona limitata di spazio. 6

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