Le matrici. A cura di Benedetta Noris, 17 aprile Cos è una matrice. 2 Rappresentazione di una matrice generica 2

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1 Le matrici A cura di Benedetta Noris, 17 aprile 2012 Indice 1 Cos è una matrice 1 2 Rappresentazione di una matrice generica 2 3 Somma di matrici e prodotto di una matrice per un numero 3 4 Alcune matrici speciali 5 5 Prodotto di matrici 6 6 Proprietà del prodotto di matrici 8 7 Matrici e sistemi lineari 10 8 Metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 11 9 Rango di una matrice Teorema di Rouché-Capelli Esercizi Determinante di una matrice quadrata Inversa di una matrice quadrata 21 1 Cos è una matrice (1.1 Definizione. Una matrice è una tabella di elementi ordinati per righe e colonne. (1.2 Esempio. Alcune famiglie segnano le spese effettuate mensilmente in una tabella, ecco per esempio le spese relative al mese di gennaio. Famiglia Casa Cibo Salute Varie Trasporti Alberti Bianchi Casali

2 2. Rappresentazione di una matrice generica 2 Corrispondentemente costruiamo la seguente matrice Una matrice è caratterizzata da il numero delle righe il numero delle colonne l insieme a cui appartengono i suoi elementi (1.3 Esempio. Ecco un esempio di matrice con 3 righe e 4 colonne, formata di numeri naturali M = Si dice anche che M è una matrice 3 4 su N (N è l insieme dei numeri naturali. Si osservi che M ha infatti 3 4 = 12 elementi. (1.4 Esempio. Ecco un esempio di matrice 2 3 su R (R è l insieme dei numeri reali ( π 2 Rappresentazione di una matrice generica Vediamo ora come si rappresenta una matrice generica, cioè una matrice qualunque della quale non vogliamo specificare né gli elementi, né il numero di righe e colonne. Una tale rappresentazione è necessaria per dare definizioni e per fare dimostrazioni che siano valide in generale (cioè che non siano valide solo per una singola matrice. Attenzione alle notazioni che vengono introdotte di seguito: saranno poi usate nel resto della dispensa. Se non vogliamo specificare il numero di righe della matrice, lo indicheremo con n. Analogamente, indicheremo il numero di colonne della matrice generica con m. Un elemento della matrice viene rappresentato con una lettera del alfabeto (a, b, c,..., unitamente con due indici a pedice che forniscono la sua posizione all interno della tabella. Il primo indice rappresenta la riga a cui appartiene l elemento; il secondo indice rappresenta la colonna a cui appartiene l elemento. Scriveremo per esempio a ij = elemento che sta nella riga i e colonna j.

3 3. Somma di matrici e prodotto di una matrice per un numero 3 Quindi la rappresentazione di una matrice generica n m sarà la seguente a 11 a a 1j... a 1m a 21 a a 2j... a 2m A =.... a i1 a i2... a ij... a im.... a n1 a n2... a nj... a nm oppure potremo scrivere più brevemente A = (a ij, i = 1... n, j = 1... m. 3 Somma di matrici e prodotto di una matrice per un numero La somma di due matrici è definita solo quando le due matrici hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. Prima di definire la somma tra matrici generiche vediamo un esempio. (3.1 Esempio. Tornando all Esempio 1.2, supponiamo di essere in possesso di un altra matrice, che rappresenti le spese del mese di febbraio e di voler conoscere la spesa complessiva del bimestre. Quello che dovremo fare sarà chiaramente sommare le spese per la casa della famiglia Alberti corrispondenti ai due mesi, e così via. Essendo i dati disposti nello stesso ordine, dovremo quindi sommare i numeri che si trovano nella stessa posizione. La spesa del bimestre sarà quindi la seguente L esempio precedente dovrebbe chiarire per quale motivo abbia senso sommare solo matrici aventi lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. Esso mostra anche che la somma tra matrici si effettua sommando gli elementi di uguale posizione, vediamo ora la definizione formale. (3.2 Definizione. Date due matrici A = (a ij e B = (b ij, entrambe n m, la matrice somma C = A + B è una matrice C = (c ij di ordine n m così definita c ij = a ij + b ij i = 1... n, j = 1... m. Le proprietà della somma tra matrici dipendono dalle proprietà dell insieme numerico a cui appartengono gli elementi della matrice. Poiché ci occuperemo di matrici reali, la somma tra matrici eredita le proprietà della somma tra numeri reali, come la proposizione seguente mostra.

4 3. Somma di matrici e prodotto di una matrice per un numero 4 (3.3 Proposizione (Proprietà della della somma di matrici. Siano A, B, C matrici n m su R, valgono le seguenti proprietà 1. A + B = B + A (proprietà commutativa; 2. (A + B + C = A + (B + C (proprietà associativa; 3. esiste una matrice n m, che indicheremo con 0, tale che A + 0 = A (esistenza dell elemento neutro; 4. data A esite una matrice, che indicheremo con A, tale che A + ( A = 0 (esistenza degli elementi inversi. Dimostrazione. 1. Chiamiamo D = A+B ed E = B+A, dobbiamo dimostrare che D = E. Dalla definizione sappiamo che d ij = a ij +b ij mentre e ij = b ij +a ij. Per la proprietà commutativa dei numeri reali si ha d ij = e ij per tutti gli indici i = 1... n, j = 1... m, cioè le due matrici D ed E hanno tutti gli elementi uguali, quindi D = E. 2. Simile al punto 1., utilizzando la proprietà associativa dei numeri reali. 3. Dobbiamo esibire esplicitamente la matrice 0 avente le caratteristiche richieste: essa sarà la matrice n m avente tutti gli elementi uguali a 0. Infatti a ij + 0 = a ij per tutti gli indici i = 1... n, j = 1... m e quindi A + 0 = A come richiesto. 4. Data A = (a ij definiamo A = si vede facilmente che A + ( A = 0. a a 1m.. a n1... a nm Vediamo ora cosa succede quando sommiamo delle matrici uguali tra loro. Prendiamo una generica matrice n m e proviamo a sommare 3 copie uguali di essa. Usando le proprietà dei numeri reali si vede che il risultato è il seguente: a a 1m a a 1m a a 1m a n1... a nm a n1... a nm a n1... a nm = 3a a 1m.. 3a n1... 3a nm Quindi la matrice A + A + A ha, nella posizione i, j, l elemento 3a ij. Introduciamo un nuovo simbolo (attenzione si tratta di una nuova definizione! per indicare questa matrice: scriveremo 3A. Più in generale diamo la seguente definizione. (3.4 Definizione (prodotto di un numero per una matrice. Sia c un numero reale e sia A una matrice reale n m. Il prodotto della matrice A per il numero c è una matrice n m che si indica ca avente elementi ca = (ca ij (è ottenuta moltiplicando tutti gli elementi di A per il numero c.

5 4. Alcune matrici speciali 5 Abbiamo appena visto che, quando c è un numero intero, la matrice ca coincide con la matrice ottenuta sommando c volte la matrice A stessa. Nel caso in cui c = 1 ritroviamo la matrice ( 1A = A introdotta nella Proposizione 3.3, punto 4. (3.5 Esempio. Tornando all Esempio 1.2, supponiamo che si voglia utilizzare la tabella delle spese di gennaio per avere un preventivo delle spese annuali di ciascuna famiglia. Un modo alquanto rozzo è supporre che le spese siano circa le stesse ogni mese. In questa ipotesi per avere la spesa annuale è sufficiente moltiplicare ciascun indice di spesa per 12, cioè moltiplicare la matrice per 12: preventivo spese annuali = 12 spese di gennaio = 4 Alcune matrici speciali Alcune matrici meritano dei nomi particolari Si chiama matrice riga (o vettore riga una matrice avente una sola riga, cioè n = 1. Analogamente si dice matrice colonna (o vettore colonna una matrice avente una sola colonna, cioè m = 1. Ecco come rappresentiamo le generiche matrici riga e colonna matrice riga: (a a 1m matrice colonna: Matrice quadrata: il numero di colonne è uguale al numero di righe. Chiamiamo matrice quadrata di ordine n una matrice n n. Si chiama diagonale principale di una matrice quadrata di ordine n l insieme degli elementi a 11,... a nn, cioè degli elementi che hanno l indice di riga uguale all indice di colonna. (4.1 Esempio. La seguente matrice quadrata 3 3 è un esempio di quadrato magico cioè tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero. Gli elementi della diagonale principale sono 8, 5, 2. La matrice quadrata avente tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali a 1 e tutti gli altri elementi uguali a 0 si chiama matrice unità o matrice identità. Per esempio la matrice identità di ordine 3 è I 3 = a 11. a n1

6 5. Prodotto di matrici 6 Una matrice quadrata che soddisfa la proprietà a ij = a ji per qualunque indice i = 1... n, j = 1... n, si chiama matrice simmetrica. Per esempio M = (4.2 Esercizio. Sia A una matrice simmetrica di ordine n e sia I n la matrice identità di ordine n. Dimostrare che A + I n è simmetrica. Svolgimento. Chiamiamo B = A + I n, avente elementi b ij. Dobbiamo dimostrare che b ij = b ji per ogni i j. Gli elementi sulla diagonale principale di B sono b ii = a ii + 1 i = 1... n (ricordare che la diagonale principale è data dagli elementi aventi l indice di riga uguale all indice di colonna. Tutti gli altri elementi di B invece sono uguali ai corrispondenti elementi di A b ij = a ij i j. Quindi dall ipotesi che a ij = a ji per ogni i j deduciamo che anche b ij = b ji per ogni i j. 5 Prodotto di matrici Prima di studiare il prodotto di matrici generiche, vediamo come si definisce il prodotto tra una matrice riga e una matrice colonna. La prima cosa importante da sapere è che il prodotto tra una matrice riga e una matrice colonna è ben definito solo quando esse hanno lo stesso numero di elementi (in quanto come vedremo si moltiplicano gli elementi uno a uno. Sia per esempio n il numero di elementi delle due matrici, vediamo cioè come si fa il prodotto tra una matrice riga 1 n e una matrice colonna n 1. (5.1 Definizione. Siano date una matrice riga 1 n e una matrice colonna n 1: A = (a a 1n B = Il loro prodotto è il numero che si ottiene moltiplicando i loro elementi a uno a uno e poi sommando, cioè A B = a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1. Si osservi che questo si può scrivere in modo più compatto usando il simbolo di sommatoria A B = n a 1i b i1. i=1 b 11. b n1

7 5. Prodotto di matrici 7 (5.2 Esempio. Un fruttivendolo oggi ha venduto solo 22 mele, 7 pere, e 18 banane. Le mele costano ciascuna p 1, le pere p 2 e le banane p 3. Se ordiniamo la quantità di frutta venduta in una matrice riga e i prezzi (nello stesso ordine in una matrice colonna come segue p 1 A = ( B = p 2 p 3, si vede che il prodotto A B fornisce il ricavo giornaliero del fruttivendolo: A B = 22p 1 + 7p p 3. A partire dal prodotto di una matrice riga per una colonna si definisce la moltiplicazione tra matrici. Infatti fare il prodotto di due matrici A e B significa moltiplicare le righe di A per le colonne di B, disponendo poi i vari numeri ottenuti in un modo particolare che ora specificheremo. Non è possibile moltiplicare tra loro matrici di dimensioni qualunque! Poiché moltiplichiamo le righe di A per le colonne di B, occorre che esse abbiano la stessa lunghezza. Quindi posso calcolare A B solo quando A è n m e B è m p. n m m m, n e p sono numeri naturali qualunque, l importante è che, se le righe di A contengono n elementi, allora anche le colonne di B contengano n elementi. Il prodotto tra due matrici è una matrice, in particolare A B = C n m m p n p La matrice prodotto C ha per elementi i vari numeri ottenuti moltiplicando tra loro le righe di A per le colonne di B. In quale ordine devono essere disposti questi elementi? L ordine più intuitivo possibile: il prodotto della riga i della matrice A per la colonna j della matrice B occupa la posizione ij della matrice prodotto C. Sintetizziamo quanto detto in una definizione. (5.3 Definizione (prodotto di matrici. Sia A = (a ik una matrice n m e sia B = (b kj una matrice m p. Il prodotto C = A B è una matrice n p avente elementi c ij così definiti: m c ij = a ik b kj, k=1 p

8 6. Proprietà del prodotto di matrici 8 cioè c ij è il prodotto della riga i di A per la colonna j di B. (5.4 Esempio. Siano A = ( B = allora C = A B si calcola nel modo seguente: ( svolgendo i conti si ottiene C = ( Evitiamo fraintendimenti: per fare il prodotto tra una matrice riga e una matrice colonna esse devono avere lo stesso numero di elementi. Invece per fare il prodotto tra due matrici generiche A e B non è necessario che questo avvenga. La condizione corretta in questo caso è che le righe di A abbiano lo stesso numero di elementi delle colonne di B. Poichè il numero di righe di A può essere diverso dal numero di colonne di B, le due matrici in generale non hanno lo stesso numero di elementi. 6 Proprietà del prodotto di matrici Discutiamo qui le principali proprietà del prodotto di matrici (a elementi reali senza dimostrarle. Iniziamo con un esempio importante. (6.1 Esempio (non validità della proprietà commutativa. In generale se è possibile calcolare A B non è detto che sia possibile calcolare B A. Soltanto quando le due matrici sono quadrate è possibile calcolare sia A B che B A (perché?. Vediamo un esempio ( ( A = B = A B = 2 1 ( B A = ( Quindi anche quando è possibile effettuare entrambi i prodotti il risultato non è necessariamente lo stesso! Cioè la moltiplicazione tra matrici quadrate non è commutativa. Proprietà associativa. Siano A matrice n m, B matrice m p e C matrice p q, allora A (B C = (A B C. Controlliamo le dimensioni delle matrici che stiamo moltiplicando. Calcolare A (B C significa effettuare prima il prodotto B C (che è una matrice m q e poi moltiplicare il risultato per A, ottenendo infine una matrice n q. Invece quando.

9 6. Proprietà del prodotto di matrici 9 calcoliamo (A B C otteniamo al primo passo matrice n p, cioè il prodotto A B. Moltiplicando questo risultato per C si ottiene ancora una matrice n q. La proprietà associativa ci assicura che i risultati ottenuti seguendo queste due strade diverse sono uguali. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma (a sinistra. Sia A una matrice n m e siano B, C due matrici m p, allora Si controllino le dimensioni della matrici. A (B + C = A B + A C. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma (a destra. A, B due matrici n m e sia C una matrice m p, allora Siano (A + B C = A C + B C. Scriviamo entrambe le proprietà distributive (da destra e da sinistra perché, non valendo la proprietà commutativa, non è ovvio che valgano entrambe. Esistenza dell elemento neutro per le matrici quadrate. Sia I n la matrice identità di ordine n. Per ogni matrice quadrata A di ordine n si ha A I n = I n A = A. (6.2 Esercizio. Dimostrare quest ultima proprietà tramite la definizione di prodotto di matrici (Definizione 5.3. Svolgimento. Dimostriamo che A I n = A e lasciamo per esercizio l altra identità. Chiamiamo a ij gli elementi di A, b ij gli elementi della matrice identità I n e chiamiamo c ij gli elementi della matrice prodotto C = A I n. La definizione di prodotto dice che c ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj. k=1 Ora sfruttiamo il fatto che la matrice identità ha una forma particolare, cioè b ii = 1, b ij = 0 se i j. Vediamo che conseguenze ha questo fatto sulla somma scritta sopra: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ij b jj a in b nj solo il termine contenente b jj sopravvive poiché tutti gli altri termini sono moltiplicati per 0. Quindi c ij = a ij b jj = a ij 1 = a ij, cioè C = A.

10 7. Matrici e sistemi lineari 10 7 Matrici e sistemi lineari (7.1 Esempio. Sia A la seguente matrice 2 3 e b il seguente vettore colonna di lunghezza 2 ( ( 6 2, 2 18 A = 0, b = Possiamo associare ad A e b un sistema lineare di 2 equazioni in 3 incognite nel modo seguente. Denotiamo le 3 incognite come x 1, x 2, x 3 e scriviamo la seguente equazione tra matrici ( 6 2, x 1 x 2 x 3 = Svolgendo il prodotto si ottiene ( ( 6x1 3x1 + 2, 2x x 3 0 = + 4x 2 + x 3 7 Poiché due matrici sono uguali solo se i loro elementi sono tutti uguali tra loro, l espressione precedente è equivalente al seguente sistema lineare di 2 equazioni in 3 incognite { 6x1 + 2, 2x x 3 = 0 3x1 + 4x 2 + x 3 = 7. ( Più in generale, data una matrice n m e dato un vettore colonna con n elementi a a 1m b 1 A =.. b =., a n1... a nm b n associamo loro il seguente sistema lineare di n equazioni nelle m incognite x 1,..., x m a 11 x a 1m x m = b 1. a n1 x a nm x m = b n. Chiamando x il vettore colonna che ha per elementi le incognite x 1,... x n, possiamo scrivere equivalentemente il sistema nella forma compatta A x = b. Il vettore x è detto vettore delle incognite, mentre b è detto vettore dei termini noti. Si osservi che è richiesta una specifica condizione sulle dimensioni di A e b per poter associare loro un sistema lineare. (7.2 Esempio. Il seguente sistema di 2 equazioni in 2 incognite { 3x x 2 = 0 x 1 4e x 2 = e 3

11 8. Metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 11 non è lineare in quanto vi compaiono delle funzioni non lineari delle incognite x 1, x 2. Invece il sistema { 3x1 + 2x 2 = 0 x 1 4x 2 = e 3 è lineare poichè vi compaiono solo funzioni lineari delle incognite. (7.3 Definizione. Data una matrice A di ordine n m e dato un vettore colonna b con n elementi, si chiama matrice completa del sistema la matrice [A b] ottenuta accostando ad A il vettore colonna b dei termini noti. Si noti che il sistema è univocamente determinato dalla sua matrice completa. (7.4 Esempio. In riferimento all esempio 7.1 si ha [A b] = 6 2, Metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari In questa sezione vediamo un metodo comodo per risolvere i sistemi lineari. Il metodo si avvale della matrice completa associata al sistema e delle sue proprietà. Iniziamo con un esempio. (8.1 Esempio. Per risolvere il sistema seguente, per prima cosa scriviamo la matrice completa x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + x 3 = 2 [A b] = x 1 + 8x x 3 = Lasciamo la prima riga della matrice completa invariata e modifichiamo la seconda e la terza riga della matrice completa. Più precisamente, eseguiamo le seguenti operazioni sostituiamo la seconda riga con: sostituiamo la terza riga con: seconda riga 2 (prima riga terza riga 3 (prima riga. Otteniamo: Si osservi che abbiamo scelto le operazioni con lo scopo di ottenere 0 al primo posto nelle ultime due righe. Si osservi inoltre che abbiamo eseguito tali operazioni sulla matrice completa! Facciamo un ultima operazione sostituiamo la terza riga con: terza riga + 2 (seconda riga, 5

12 8. Metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 12 otteniamo: A questo punto scriviamo il sistema associato a quest ultima matrice: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 6 5x 2 5x 3 = 10 x 3 = 2 e risolviamolo per sostituzione, partendo dall ultima riga x 3 = 2, 5x = 10 di modo che x 2 = 0, x = 6 di modo che x 1 = 0. Il metodo si basa sulla proprietà (che noi non dimostreremo che le soluzioni così ottenute sono soluzioni del sistema iniziale (verificarlo per esercizio. Generalizziamo l esempio appena visto. Dato un sistema A x = b, il metodo di Gauss consiste nel eseguire delle operazioni sulle righe della matrice completa [A b]; le operazioni concesse sono lo scambio di due righe la moltiplicazione di una riga per un numero diverso da 0 la sostituzione di una riga con la somma della riga stessa e di un altra riga; lo scopo di queste operazioni è ottenere una matrice a scalini; una volta ottenuta la matrice a scalini, scrivere il sistema associato a quest ultima e risolverlo per sostituzione partendo dall ultima riga. Il metodo di Gauss si basa sulla proprietà (che non dimostreremo che il sistema finale ha le stesse soluzioni del sistema iniziale. (8.2 Definizione. Data una matrice A, una operazione elementare su A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi scambio di due righe di A moltiplicazione di una riga di A per un numero diverso da 0 sostituzione di una riga di A con la somma della riga stessa e di un altra riga. (8.3 Proposizione. Se due matrici complete [A b] e [A b ] si ottengono l una dall altra mediante operazioni elementari, allora i sistemi Ax = b e A x = b hanno le stesse soluzioni. Vediamo ora con maggior precisione cosa sia una matrice a scalini e diamone alcuni esempi.

13 8. Metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 13 (8.4 Definizione. Una matrice a scalini è una matrice con la proprietà che il primo elemento non nullo di una riga si trova più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente. (8.5 Esempio. Siano A = , M = La matrice A è a scalini, mentre la matrice M non lo è A questo punto abbiamo illustrato in dettaglio il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari, vediamo come applicarlo in un esercizio. (8.6 Esercizio. Risolvere, se possibile, il seguente sistema utilizzando il metodo di Gauss { 1 2 x x 3 = 0 3x 1 = 1 + x 2 + 2x 3. Svolgimento. Scrivendo il sistema in forma ordinata { 1 2 x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 2x 3 = 1, si vede subito che è sufficiente scambiare di posto le due equazioni per ottenere una matrice a scalini: [A b] = /2 1 1 Quindi non ci resta che risolvere il sistema per sostituzione. Si ha x 3 = x 2 e, sostituendo nell altra equazione, ( 3x 1 x = 1, 2 di modo che x 1 = 1. Quindi il sistema è indeterminato, cioè ha infinite soluzioni. Scegliendo per esempio come variabile libera x 2, possiamo scrivere le soluzioni nella forma seguente x 1 1 x 2 x 3 = x x 2

14 9. Rango di una matrice 14 9 Rango di una matrice (9.1 Definizione. Il rango di una matrice è il numero di righe diverse da 0 della corrispondente matrice ridotta a scalini, ovvero della matrice a scalini ottenuta da essa mediante operazioni elementari. (9.2 Esempio. La matrice A dell esempio 8.1 ha rango 3. La matrice A dell esercizio 8.6 ha rango 2. (9.3 Esercizio. Determinare il rango della matrice A = Svolgimento. Applichiamo il procedimento visto nella sezione precedente per ridurre A a scalini. Per esempio possiamo procedere come segue: portiamo la riga 1 in alto, poi effettuiamo la prima riduzione A a questo punto scambiamo la riga 2 con la 3 ed effettuiamo la seconda riduzione possiamo dividere la terza riga per 48 e l ultima riga per 3, e poi concludere la riduzione Nessuna riga è identicamente nulla, quindi il rango di A è 4. (9.4 Esercizio. Determinare il rango della matrice seguente A = k al variare del parametro reale k.

15 9. Rango di una matrice 15 Svolgimento. Per prima cosa cerchiamo di ridurre la matrice a scalini: k k + 3 Se k + 3 = 0 allora la matrice ottenuta è a scalini. Altrimenti non è a scalini in quanto il primo elemento non nullo dell ultima riga non è più a destra del primo elemento non nullo della penultima riga. Dunque, se k = 3 allora abbiamo ridotto A ad una matrice a scalini avente esattamente una riga nulla. Quindi in questo caso il rango di A è 3. Se k 3 allora dobbiamo proseguire e ridurre la matrice a scalini. Per esempio possiamo moltiplicare la terza riga per (k + 3/2 e sommarla all ultima riga, ottenendo Quindi il rango è ancora (9.5 Esercizio. Determinare il rango della matrice ( k 1 1 k al variare del parametro reale k. Svolgimento. Scambiando le due righe ( 1 k k 1 si vede che quando k = 0 la matrice è già ridotta a scalini: ( 1 0 quando k = Quindi per k = 0 il rango della matrice è 2. Quando k 0 invece possiamo effettuare la riduzione a scalini moltiplicando la prima riga per k e sommandola alla seconda. Si ottiene ( 1 k 0 k 2 1 Questa matrice ha una riga nulla solo se k = 1 oppure k = 1. Riassumendo: se k = ±1 il rango della matrice è 1; in tutti gli altri casi il rango è 2..

16 10. Teorema di Rouché-Capelli Teorema di Rouché-Capelli Vediamo ora un criterio che ci permette di stabilire se un sistema sia risolubile, calcolandone solo il rango, senza necessità di risolverlo. (10.1 Teorema di Rouché-Capelli. Il sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango di A è uguale al rango della matrice completa [A b]. Il teorema di Rouché-Capelli è una conseguenza della definizione di rango e della Proposizione 8.3. Vediamo come applicarlo per stabilire la risolubilità di un sistema contenente dei parametri. (10.2 Esercizio. Stabilire per quali valori di b = (b 1, b 2, b 3 il sistema 2x 3 + x 4 + 5x 5 = b 1 x 1 2x 2 4x 3 + x 4 2x 5 = b 2 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 7x 5 = b 3 è risolubile. Svolgimento. Per poter applicare il teorema di Rouché-Capelli dobbiamo confrontare il rango di A con il rango di [A b]. A tale scopo dobbiamo ridurre a scalini la matrice completa associata al sistema: b b b b b b b 3 b 2 + b 3 b b 3 b 2 + b 3 b 1 b 2 b 3 Quindi il rango di A è 2. Il rango di [A b] è 2 solo se b 1 b 2 b 3 = 0. Quindi per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è risolubile se e solo se b 1 b 2 b 3 = 0. (10.3 Esercizio. Risolvere il sistema dell esercizio precedente con b 1 = 1, b 2 = b 3 = 1/2. Svolgimento Sostituendo il valore di b dato, otteniamo il sistema { x1 + 2x 2 + 2x 3 + 7x 5 = 1/2 2x 3 + x 4 + 5x 5 = 1. Ricaviamo x 3 dalla seconda equazione poi sostituiamolo nella prima equazione x 3 = x x , x 1 + 2x 2 + x 4 + 8x 5 = 3 2.

17 10. Teorema di Rouché-Capelli 17 Quindi il sistema è indeterminato, cioè ha infinite soluzioni. Scegliendo ad esempio come parametri liberi x 2, x 4, x 5, possiamo scrivere le soluzioni nella forma x = 3/2 2x 2 x 4 8x 5 x 2 x 4 /2 + x 5 /2 1/2 x 4 x 5 (10.4 Esercizio. Stabilire per quali valori di k R il sistema { kx 2ky = 1 x ky = 0 è risolubile. Svolgimento. La matrice completa associata al sistema è [A b] = k 2k 1 1 k 0 Riduciamo la matrice completa a scalini. Scambiando tra loro le due righe si vede che per k = 0 è già a scalini, infatti si ha se k = Quindi per k = 0 il rango di A è 1, mentre il rango di [A b] è 2. Per il teorema di Rouché- Capelli il sistema non è risolubile in questo caso. Per k 0 la matrice a scalini si può scrivere come segue 1 k 0 0 k 2. 2k 1 Osserviamo che k 2 2k = 0 se e solo se k = 0, 2. Quindi per k 0, 2 il rango di A è 2 e coincide con il rango di [A b], per cui, per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema è risolubile in questo caso. Per k = 2 invece si ha 1 2 0, cosicché in questo caso il sistema non è risolubile. Riassumendo, il sistema è risolubile se e solo se k 0, 2.

18 11. Esercizi Esercizi (11.1 Esercizio. Un commerciante effettua le seguenti vendite giorno merce a b c primo secondo terzo Stabilire a quale prezzo avrebbe dovuto vendere ciascuna merce per avere un ricavo giornaliero di AC35, AC35 e AC30 rispettivamente? Svolgimento. Indicando con x = (x 1, x 2, x 3 i tre prezzi rispettivamente, si tratta di risolvere il seguente sistema 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 35 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 40 x 1 + x 2 + 2x 3 = 30 Applichiamo il metodo di Gauss. Per prima cosa riduciamo la matrice completa a scalini [A b] = Poi risolviamo l ultima equazione: x 3 = 10, da cui x 2 + 5x 3 = 55 quindi x 2 = 5, x 1 = 30 x 2 2x 3 quindi x 1 = 5. (11.2 Esercizio. Risolvere, se possibile, il seguente sistema x 1 + x 4 = 3 2x 3 2(x 1 + x 2 + 5x 3 + x 4 = 7 3x 1 + 5x 3 + 6x 4 = x 2 6x 2 + x 3 = 3 + x 1 utilizzando il metodo di Gauss. Risultato. Non ammette soluzioni. (11.3 Esercizio. Risolvere, se possibile, il seguente sistema x 1 + x 4 = 1 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2 2x 1 = 3 + x 2 + x 4 utilizzando il metodo di Gauss.

19 12. Determinante di una matrice quadrata 19 Risultato. Infinite soluzioni. Per esempio, parametrizzando con x 3, si ha x 1 = 7x 3 + 2/3, x 2 = 19x 3 2, x 4 = 1/3 5x 3. (11.4 Esercizio. Calcolare il rango della matrice seguente al variare del parametro k R 1 2k 0 3k Risultato. Se k = ±1 il rango è 2, altrimenti il rango è Determinante di una matrice quadrata Se A è una matrice quadrata di ordine n, denotiamo con A 1j la matrice ottenuta da A eliminando la prima riga e la j-esima colonna. Si noti che A 1j è quindi una matrice quadrata di ordine n 1. (12.1 Esempio. Se A è la matrice allora A 11 = ( A = ( 4 6, A 12 = 7 9, ( 4 5, A 13 = 7 8 (12.2 Definizione. Se A = (a è una matrice quadrata di ordine 1, cioè la matrice contentente il solo numero a, allora il determinante di A è il numero a stesso. Se A è una matrice quadrata di ordine n 2, il determinante di A è il seguente numero definito per ricorsione n deta = ( 1 j+1 a 1j deta 1j. j=1 Attenzione! Il determinante è definito solo per matrici quadrate. Non è mai possibile calcolare il determinante di una matrice che non sia quadrata. (12.3 Esempio. Il determinante della generica matrice 2 2 è ( a11 a det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a (12.4 Esercizio. Calcolare il determinante della matrice A = Svolgimento. Applicando la definizione si ha: ( ( deta = 2 det 1 det = 2 (3 1 1 (3 1 1 (1 1 = 2 ( det 1 1. =

20 12. Determinante di una matrice quadrata 20 Vediamo alcune proprietà che possono essere utili per il calcolo del determinante. (12.5 Proposizione (Proprietà del determinante. Il determinante di una matrice quadrata gode delle seguenti proprietà Il determinante della matrice identità I n è 1; se una matrice ha due righe (o due colonne uguali, allora il suo determinante è 0; se una matrice ha una riga (o una colonna nulla, allora il suo determinante è 0; se si scambiano tra loro due righe, il determinante cambia segno; moltiplicando una riga per un numero c, il determinante viene moltiplicato per c. Vediamo come applicare alcune di queste proprietà per il calcolo del determinante di una matrice 5 5. (12.6 Esercizio. Calcolare il determinante della matrice A = Svolgimento. Per prima cosa scambiamo la quarta riga con la prima. Questo è vantaggioso per il calcolo perché la quarta riga contiene un maggior numero di zeri. Per far cioò applichiamo la quarta proprietà. deta = det = ( 1 det (nel secondo passaggio abbiamo applicato la definizione di determinante. Poi continuiamo ad applicare la definizione in modo ricorsivo: = det = det ( 1 det = 2 det Scambiamo la terza riga con la prima e proseguiamo ( = ( 2 det = ( 2 det = 4.

21 13. Inversa di una matrice quadrata 21 (12.7 Esercizio. Calcolare il determinante della matrice A = Risultato. deta = Inversa di una matrice quadrata (13.1 Definizione. Una matrice quadrata A di ordine n è detta invertibile se eiste un altra matrice di ordine n, che indicheremo con A 1, tale che La matrice A 1 sarà chiamata inversa di A. A A 1 = A 1 A = I n. Attenzione! La matrice inversa è definita solo per matrici quadrate. Non ha senso chiedersi se una matrice non quadrata sia invertibile. Per capire se una matrice sia o meno invertibile non è necessario calcolarne l inversa. Il teorema seguente afferma che è sufficiente calcolarne il determinante. (13.2 Teorema (Invertibilità di una matrice. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0. (13.3 Esempio. Stabiliamo se le seguenti matrici sono invertibili calcolandone il determinante ( A = M = Si ha deta = 5, quindi A è invertibile. Invece detm = 0, quindi M non è invertibile (svolgere i conti. Vediamo ora come si possa calcolare la matrice inversa di una matrice data (invertibile utlizzando il metodo di Gauss. Applicheremo in realtà una variante del metodo di eliminazione di Gauss. Esponiamo il metodo tramite un esempio. (13.4 Esempio (Calcolo della matrice inversa. Si vuole calcolare la matrice inversa della matrice invertibile A = (per esercizio controllare che A è invertibile calcolandone il determinante. Per prima cosa costruiamo una nuova matrice, ottenuta accostando ad A la matrice identità avente lo stesso ordine di A (cioè la matrice identità di ordine 3: [A I 3 ] =

22 13. Inversa di una matrice quadrata 22 Il secondo passo consiste nel ridurre [A I 3 ] a scalini applicando il metodo di Gauss usuale: [A I 3 ] 0 5/2 1 3/ /2 1 3/ /2 0 5/ /5 2/5 7/5 1 Abbiamo ottenuto una matrice a scalini e il metodo di Gauss usuale si fermerebbe qui. Per il calcolo della matrice inversa invece dobbiamo proseguire, applicando una variante del metodo di Gauss, che procede per eliminazione dal basso verso l alto, fino ad ottenere una matrice nella forma seguente: Qui il simbolo * indica un numero qualunque. L importante è ottenere la matrice identità sulla sinistra. Vediamo come funziona il metodo di eliminazione dal basso verso l alto. Si lascia sempre l ultima riga invariata. Inoltre effettuiamo la seguente operazione ottenendo sostituiamo la seconda riga con: / /5 seconda riga + 5/7 (terza riga, /14 0 5/7 2/5 7/5 1 A questo punto lasciamo invariate la seconda e la terza riga e ottenendo sostituiamo la prima riga con: / /5 prima riga 2/5 (seconda riga, 12/7 0 2/7 25/14 0 5/7 2/5 7/5 1 Infine, moltiplichiamo la prima riga per 1/2, la seconda riga per 2/5, la terza riga per 5/7, ottenendo la matrice nella forma desiderata /7 0 1/ /7 0 2/ /7 1 5/7 La matrice ottenuta sulla destra è l inversa di A, cioè 6/7 0 1/7 A 1 = 5/7 0 2/7 2/7 1 5/7 Per esercizio (e sempre all esame! controllare che A A 1 = I 3.

23 13. Inversa di una matrice quadrata 23 (13.5 Esercizio. Stabilire se A = è invertibile. Risultato. No perché deta = 0. (13.6 Esercizio. Stabilire per quali valori del parametro k R la matrice è invertibile. 1 2k 0 3k Risultato. Invertibile se e solo se k ±1, in quanto deta = 6k 2 6. (13.7 Esercizio. Calcolare la matrice inversa di A = Risultato. A 1 = 1/2 1/2 0 1/2 3/2 1 1/2 1/2 1

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