1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati"

Transcript

1 Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste il ite (1) esso viene denominto integrle improprio di f in [,[ e denotto con il simolo :=. Se il ite (1) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente. Se il ite (1) è (risp. ), si dice che l integrle improprio di f è divergente positivmente (risp. negtivmente). Definizione 1.2. Si f :], ] R un funzione continu. Se esiste il ite x x. Ovvero (2) esso viene denominto integrle improprio di f in ], ] e denotto con il simolo := x x.. Ovvero Se il ite (2) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente. Se il ite (7) è infinito, si dice che l integrle improprio di f è divergente. In questo prgrfo si trtt sempre con l integrzione in un intorno di. I risultti si ottengono prllelmente per funzioni definite in un intorno di. Cominndo le proprietà elementri dei iti con le proprietà elementri dell integrle definito, imo le seguenti proprietà di se degli integrli generlizzti, ovvero l linerità, l monotoni e l dditività. 1 Dispens ggiornt l 26 Mggio 2008

2 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 2 Proposizione Se f : [,[ R e g : [,[ R sono funzioni continue integrili in senso improprio in [,[, llor l somm f + g è nch ess integrile in senso improprio in [,[ e si h (f + g)(t)dt = + g(t)dt. (3) 2. Se f : [,[ R e g : [,[ R sono funzioni continue integrili in senso improprio in [,[, e se per ogni x si h f(x) g(x), llor si h nche g(t)dt. (4) 3. Si f : [,[ R un funzione continu integrile in senso improprio in [,[. Si > llor f è integrile in senso improprio in [, [ e risult =. (5) Accennimo l cso di funzioni definite su tutto R. Definizione 1.3. Se f : R R è un funzione continu, si dirà poi che ess è integrile in senso improprio in R se esistono e sono finiti entrmi gli integrli generlizzti c, c dove c R è fissto ritrrimente. Se uno dei due iti tende ± e l ltro d un numero rele, oppure se tendono entrmi o, si dice che l integrle improprio di f è divergente (positivmente o negtivmente). Utilizzndo (5), si dimostr che quest definizione è en post, ovvero che non dipende dll scelt di c. Osservzione. Se esiste l integrle improprio di f su R può essere clcolto nche considerndo il ite Vicevers l esistenz del ite x x =. x non comport in generle che f si integrile in senso improprio in tutto R. Se esite il ite precedente viene chimto integrle vlor principle dell funzione f.

3 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 3 Esempio 1.1. Si consider l funzione f(x) = 2x x eppure l integrle vlor principle esiste e risult ess NON è integrile su tutto R perchè 2t t = lg(x2 + 1) = x 2t t = 0. Tornimo discutere l integrilità delle funzioni in un intorno di. Il cso più semplice è quello di funzioni segno costnte. In tl cso è evidente il significto dell integrle generlizzto su intervlli ilitti: si trtt dell re rcchius tr l funzione f e l rett delle scisse e l rett verticle x =. Si osserv che l funzione integrle F : x (6) è sempre crescente se f 0 (essendo F = f) e sempre decrescente se f 0. Quindi esiste il ite Rissumendo si h l seguente proposizione.. Proposizione 1.2. Si f : [, [ R un funzione continu. Se f 0 llor l integrle improprio converge o diverge positivmente. Se f 0 llor l integrle improprio converge o diverge negtivmente. L Proposizione 1.2 e l proprietà di monotoni (5) ci consentono di dimostrre il primo importnte criterio di convergenz per gli integrli impropri. Teorem 1.3. Criterio del confronto per funzioni segno costnte. Sino f : [,[ R e g : [,[ R funzioni continue tli che per ogni x [,[ risulti 0 f(x) g(x). 1. Se 2. Se g(t)dt < llor = llor < e risult g(t)dt =. g(t)dt. Osservzione. Vl l pen di osservre che, usndo l dditività dell integrle, l ipotesi f(x) g(x) per ogni x potree essere indeolit richiedendo f(x) g(x) per ogni x con >.

4 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 4 Teorem 1.4. Criterio del confronto sintotico. Sino f : [,[ R e g : [,[ R funzioni continue strettmente positive tli che esist f(t) t g(t) = l. 1. Si l > 0. L funzione f è integrile in senso improprio in [,[ se e solo se lo è g. 2. Si l = 0. Se l funzione g è integrile in senso improprio in [,[ llor lo è nche f. Se = llor g(t)dt =. 3. Si l =. Se l funzione f è integrile in senso improprio in [,[ llor lo è nche g. Se g(t)dt = llor =. Dimostrzione. 1. Si l > 0. In corrispondenz di ε = l/2 > 0, per l definizione di ite, esiste N > 0 tle che per ogni t > N risult l 2 < f(t). Essendo g > 0 si deduce che g(t) < 3l 2 l 3l g(t) < f(t) < 2 2 g(t). Per ottenere l tesi st pplicre il criterio del confronto e l osservzione precedente. 2. In corrispondenz di ε = 1, per l definizione di ite, esiste N > 0 tle che per ogni t > N risult f(t) g(t) < 1 e quindi f(t) < g(t). Medinte il criterio del confronto e l osservzione precedente, dlle informzioni sull integrilità di g possimo dedurre informzioni sull integrilità di f. Vicevers dll divergenz dell integrle improprio per f si deduce l divergenz dell integrle improprio per g. 3. Si l =. Bst utilizzre il punto precedente scmindo i ruoli di f e di g. Esempio 1.2. Per α R l funzione f(t) = t α definit in [1 + [ è continu in tle intervllo Tle funzione risult integrile in senso improprio in [1, [ se e solo se α > 1. In figur con trtto continuo è rppresentt l curv f(t) = t 1, è trtteggit un curv f(t) = t α con α > 1 ed è punti un curv f(t) = t α con α < 1. Dimostrimo che è finit solo l re sottostnte l curv trtteggit. Inftti 1 Quindi 1 1 { lnx se α = 1 t α dt = x 1 α 1 1 α se α 1 { se α 1 t α dt = 1 α 1 se α > 1

5 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 5 Utilizzndo l funzione f(t) = t α nel criterio del confronto sintotico, si ottiene il seguente. Corollrio 1.5. Si f : [,[ R un funzione continu strettmente positiv tli che esist t tα f(t) = l α. 1. Si l α > 0. L integrle improprio di f su [,[ converge se e solo se α > Si l α = 0. Se α > 1 llor l integrle improprio di f su [,[ converge. 3. Se l α = e α 1 llor l integrle improprio di f su [,[ diverge. 1.1 Assolut integrilità Definizione 1.4. Se f : [,[ R è un funzione continu, si dice che f è ssolutmente integrile in senso improprio in [,[ se l funzione f è integrile in senso improprio in [,[. Inoltre, si dice che l integrle improprio di f è ssolutmente divergente se l integrle improprio di f è divergente positivmente. Dll Proposizione 1.2 segue che ogni funzione nelle precedenti ipotesi, verific lterntivmente un delle due precedenti definizioni. Le nozioni di ssolut integrilità in senso improprio e di integrilità in senso improprio sono equivlenti se l funzione è positiv. Provimo che in generle l ssolut integrilità è un condizione più forte dell integrilità. Teorem 1.6. Se f : [, [ R è un funzione continu, ssolutmente integrile in un intorno di llor f è integrile in un intorno di e vle l seguente relzione f(t) dt. Dimostrzione. Definimo f + := mx{0, f} ed f := mx{0, f}. Risult f + f = f; f + + f = f ; 0 f + f ; 0 f f. Per il teorem di confronto si h che f + ed f sono integrili in senso generlizzto. Ne segue che nche f è integrile in senso generlizzto. Dlle proprietà degli integrli definiti sppimo che f(t) dt. Essendo il vlore ssoluto un funzione continu, ed esistendo tutti i iti coinvolti, possimo pssre l ite per x e dedurre l disuguglinz richiest.

6 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 6 Corollrio 1.7. Criterio del confronto per funzioni segno qulunque. Sino f : [, [ R e g : [, [ R funzioni continue tli che per ogni x [, [ risulti f(x) g(x). 1. Se g è integrile in un intorno di llor f è ssolutmente integrile e quindi integrile in un intorno di. 2. Se l integrle improprio di f su [, ) è ssolutmente divergente llor nche l integrle improprio di g diverge positivmente. Per ottenere il precedente corollrio st utilizzre il Teorem 1.6 e il criterio di confronto 1.3. Esempio 1.3. Esempio di funzione integrile m non ssolutmente integrile. In [3] dimostreremo che π sint dt <, t π sint t dt =. Questo intuitivmente corrisponde d un compenszione di ree positive e negtive qundo non vi è il vlore ssoluto dell funzione Integrli generlizzti di funzioni non itte Considerimo or funzioni non itte l cui ilittezz è dovut solo l comportmento dell funzione nell intorno del punto, destr di esso. Definizione 2.1. Si f :], ] R un funzione continu. Se esiste il ite x + x (7) esso viene denominto integrle improprio di f in [, ] e denotto con il simolo := x + x. Se il ite (7) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente in. Se il ite (7) è (risp. ), si dice che l integrle improprio di f è divergente positivmente (risp. negtivmente) in.. Ovvero Come l solito, l definizione si può dttre l cso di funzioni che sino definite in un intervllo e ilitte vicino l secondo estremo di esso.

7 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 7 Definizione 2.2. Si f : [, [ R un funzione continu. Se esiste il ite x (8) esso viene denominto integrle improprio di f in [, ] e denotto con il simolo := x. Se il ite (8) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente. Se il ite (8) è infinito, si dice che l integrle improprio di f è divergente. Richiede invece un po di ttenzione il cso di un funzione definit in un intervllo e che può presentre ilittezz vicino d entrmi gli estremi.. Ovvero Definizione 2.3. Se f :], [ R è un funzione continu, si dirà poi che ess è integrile in senso improprio in [, ] se esistono e sono finiti entrmi gli integrli c, dove c ], [ è fissto ritrrimente. Si pone c (9) = c + c Se uno dei due integrli generlizzti in (9) diverge si dice che l integrle improprio di f è divergente. Medinte l proprietà di dditività dell integrle, si dimostr che quest definizione è en post, ovvero che non dipende dll scelt di c. Quest definizione h senso nche se si consider = oppure = e si interpretno gli integrli genrlizzti in (9) nel senso delle Definizioni 1.1, 1.2. Anche in questo cso possimo ripetere gli rgomenti trttti nel precedente prgrfo. Li riscrivimo solo per funzioni ilitte nel primo estremo dell intervllo. Tutto continu vlere nel cso di funzioni ilitte nel secondo estremo. In prticolre imo l nlogo dell Proposizione 1.2.

8 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 8 Proposizione 2.1. Si f :], ] R un funzione continu. Se f 0 llor l integrle improprio Se f 0 llor l integrle improprio converge o diverge positivmente. converge o diverge negtivmente. Vlgono nche in questo cso i criteri di confronto e di confronto sintotico Teorem 2.2. Criterio del confronto per funzioni segno costnte. Sino f :], ] R e g :], ] R sono funzioni continue tli che per ogni x ], ] risulti f(x) g(x). 1. Se 2. Se g(t)dt < llor = llor < e risult g(t)dt =. g(t)dt. Teorem 2.3. Criterio del confronto sintotico. Sino f :], ] R e g :], ] R funzioni continue strettmente positive tli che esist f(t) t g(t) = l. 1. Si l > 0. L funzione f è integrile in senso improprio in ], ] se e solo se lo è g. 2. Si l = 0. Se l funzione g è integrile in senso improprio in ], ] llor lo è nche f. 3. Si l =. Se g(t)dt = llor = Se volessimo però riscrivere il Corollrio 1.5 dovremmo prim trovre degli integrli impropri cmpione per l situzione che stimo studindo Esempio 2.1. Si t 0 R e α R. Dimostrimo che l funzione f(t) = (t t 0 ) α continu in (t 0, T] con T > t 0, risult integrile in senso improprio in (t 0, T] se e solo se α < 1. In figur con trtto continuo è rppresentt un curv f(t) = t 1, è punti l curv f(t) = t α con α < 1 ed è trtteggit un curv f(t) = t α con α > 1. Dimostrimo che è finit solo l re sottostnte l curv punti. Inftti Quindi T x { lnt ln(x (t t 0 ) α t0 ) se α = 1 dt = T 1 α (x t 0 ) 1 α 1 α se α 1 { se α 1 (t t 0 ) α dt = T 1 α t 0 1 α se α < 1 T Quindi dl criterio di confronto sintotico e dl precedente esempio, segue il seguente criterio. 1

9 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 9 Teorem 2.4. Si f :], ] R e g :], ] R un funzione continu strettmente positiv tle che esist (t t )α f(t) = l α. 1. Si l α > 0. L integrle improprio di f su ], ] converge se e solo se α < Si l α = 0. Se α < 1 llor l integrle improprio di f su ], ] converge. 3. Se l α = e α 1 llor l integrle improprio di f su ], ] diverge. Infine nche per questo tipo di integrli h senso definire l ssolut convergenz che risulterà ncor un volt un condizione più forte dell convergenz. Definizione 2.4. Se f :], ] R è un funzione continu, si dice che f è ssolutmente integrile in senso improprio in [, ] se l funzione f è integrile in senso improprio in [, ]. Inoltre, si dice che l integrle improprio di f è ssolutmente divergente se l integrle improprio di f è divergente. Teorem 2.5. Se f :], ] R è un funzione continu, ssolutmente integrile in un intorno di llor f è integrile in un intorno di e vle l seguente relzione f(t) dt. Corollrio 2.6. Criterio del confronto per funzioni segno qulunque. Sino f :], ] R e g :], ] R sono funzioni continue tli che per ogni x ], ] risulti f(x) g(x). 1. Se g è integrile in [, ] llor f è ssolutmente integrile e quindi integrile in [, ]. 2. Se l integrle improprio di f su [, ] è ssolutmente divergente llor nche l integrle improprio di g diverge positivmente. 3 Generlizzzioni Definizione 3.1. Considerimo infine il cso di un funzione continu in [, ] \ {c} ilitt in c punto interno d [, ]. Un sifftt funzione f si dirà improprimente integrile in [, ] \ {c} se f è improprimente integrile in [, c] e in [c, ]. In tl cso si pone = c + c Anche in questo cso però non possimo dedurre l convergenz dei due integrli dll convergenz dell somm dei iti c + c = ǫ 0 c+ǫ + che potreero nscondere forme indeterminte del tipo [ ]. c ǫ

10 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 10 Dimo or un più generle definizione di funzione integrile in senso improprio. c Definizione 3.2. Si I un intervllo di R ed f : I R un funzione generlmente continu. Ovvero esistono 0, 1,..., n+1 ˆR tli che 0 I oppure 0 = ; 1 <... < n I; n+1 I oppure n+1 = ; e l restrizione di f d I \ { 0, 1,..., n } si continu. Si dice che f è integrile in senso improprio (o generlizzto) in I se f è integrile in senso improprio in ciscun intervllo ] i, i+1 [, in ccordo con le Definizioni 1.1, 1.2, 2.3. Si chim integrle improprio o generlizzto, il numero rele n i+1 =. I i=0 Osservzione. Nei precedenti prgrfi imo ssunto che le funzioni di cui clcolre gli integrli impropri fossero funzioni continue. Quest ipotesi può essere sostituit dll condizione che le funzioni in oggetto sino integrili in ogni sottointervllo [, ] I essendo I l intervllo sul qule si st considerndo l integrli improprio. L unic differenz nell trttzione è nell dimostrzione dell integrilità in senso improprio delle funzioni segno costnte, ovvero le Proposizioni 1.2, 2.1. In tl cso l monotoni dell funzione integrle (6) segue dll dditività dell integrle rispetto ll intervllo di integrzione e non dl segno dell derivt dell funzione integrle. Ad esempio per un funzione grdini definit in tutto [,[ l definizione di integrle improprio in un intorno di si dtt senz lcun prolem e ci consente di dimostrre il criterio dell integrle per le serie numeriche (si ved [3]) Riferimenti iliogrfici [1] Aceri E., Buttzzo G., Primo corso di Anlisi Mtemtic, 1997 Pitgor Editore. [2] Cmpiti M., Anlisi Mtemtic I, Lezioni ed esercizi, 1995 Liguori Editore. [F] Fiorito G., Anlisi Mtemtic 1, 2007 Spzio Liri Editore [3] Lucente S., Appunti integrtivi sulle serie numeriche AA0607, lucente. [4] Pvone M., Integrli impropri e funzioni integrli, 1992 Arcne Editrice. i

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 7/8 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

Matematica I, Funzione integrale

Matematica I, Funzione integrale Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 10/01/2011 A

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 10/01/2011 A Prim prov scritt di Anlisi Mtemtic 1 del 10/01/2011 A (1) Fornire l definizione di funzione integrbile secondo Riemnn e di integrle di Riemnn. (2) Enuncire e dimostrre il Teorem di Rolle. (3) Dimostrre

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Trasformate di Laplace nel campo reale

Trasformate di Laplace nel campo reale Trsformte di Lplce nel cmpo rele Funzioni generlmente continue Definizione. Un funzione f si dice generlmente continu in (, b) se esistono un numero finito di punti x = < x < < x n = b tli che f è definit

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

Appunti di calcolo integrale

Appunti di calcolo integrale prte II Integrle definito Liceo Scientifico A. Volt - Milno 23 mrzo 2017 Integrle definito Si y = f (x) un funzione continu in I = [, b]. Si chim trpezoide l figur curviline pin delimitt: dl grfico dell

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

Modulo o valore assoluto Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è 5. 2.34 è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x

Dettagli

Integrale definito (p.204)

Integrale definito (p.204) Integrle definito (p.4) Trttimo dei cenni sull teori dell integrzione nel cso di funzioni continue (integrle di Cuchy). Gli integrli si estendono l cso di funzioni limitte (integrle di Riemnn). Nel clcolo

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

1 Integrali impropri di funzioni continue

1 Integrali impropri di funzioni continue ntegrli impropri di funzioni continue. ntegrli impropri su intervlli semiperti Definizione Dt un funzione continu f : [, b) R, con b +, si dice che f è integrbile se esiste finito il t b f(x) dx ed in

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

Un polinomio trigonometrico di grado N nell intervallo [ π, π] è una funzione g(x), periodica di periodo 2π, della forma. c n e inx.

Un polinomio trigonometrico di grado N nell intervallo [ π, π] è una funzione g(x), periodica di periodo 2π, della forma. c n e inx. Cpitolo 6 Serie di Fourier 6.1. Introduzione Un polinomio trigonometrico di grdo N nell intervllo [, π] è un funzione g(x), periodic di periodo, dell form g(x) = N n= N c n e inx per un qulche scelt delle

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

II-8 Integrale di Riemann

II-8 Integrale di Riemann II-8 INTEGRALE DI RIEMANN DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN II-8 Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

Formulario di Analisi Matematica 1

Formulario di Analisi Matematica 1 Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già

Dettagli

Integrazione numerica. I(f) := Non sempre si riesce a trovare la forma esplicita della primitiva.

Integrazione numerica. I(f) := Non sempre si riesce a trovare la forma esplicita della primitiva. Approssimzione numeric di: Motivzioni. Integrzione numeric I(f) = f(x)dx. Non sempre si riesce trovre l form esplicit dell primitiv. Vlutzione costos dell primitiv. L funzione d integrre può essere dt

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

Teoremi sulle funzioni derivabili

Teoremi sulle funzioni derivabili Teoremi sulle unzioni derivili Inizimo con l deinizione di punto di mssimo o minimo reltivo di un unzione. Deinizione: D è un punto di mssimo reltivo se esiste un intorno I tle che : I Deinizione: D è

Dettagli

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno orso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Integrli curvilinei di prim specie (integrli di densità) 15 Dicembre 215 Indice 1 Integrli di line di prim specie

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

8. Calcolo integrale.

8. Calcolo integrale. Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 26 8 Clolo integrle 8 Signifito geometrio dell integrle definito

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 2 Anno accademico

ANALISI MATEMATICA 2 Anno accademico ANALISI MATEMATICA 2 Anno ccdemico 27-8 ELENCO delle DEFINIZIONI e TEOREMI del CORSO DISPENSE Principio di sostituzione pg. 5 Integrli impropri pg. Serie numeriche pg. 27 Integrli Doppi pg. 43 SINTESI

Dettagli

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi . Elementi di nlisi funzionle Esercizi http://www.cirm.unibo.it/~brozzi/mi/pdf/mi-cp.-ese.pdf.. Spzi vettorili.. Spzi vettorili normti.-. Dimostrre l diseguglinz tringolre in C n reltivmente ll norm (

Dettagli

Minimi quadrati e problemi di distanza minima

Minimi quadrati e problemi di distanza minima Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli INEGRALI DOPPI L prim motivzione per lo studio degli integrli di funzioni di due vribili è il lolo di volumi, in nlogi on l pplizione degli integrli di funzioni di un vribile l lolo di ree. L proedur di

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2 APPENDICE 1 AL CAPITOLO 3: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA Per 0 l insieme,y / y = + + c, grfico dell funzione f = + + c { } f con, è l prol di equzione y = + + c Voglimo disegnrl non è difficile

Dettagli

Determinanti. Prodotto vettoriale. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Determinanti. Prodotto vettoriale. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it I erminnti. Il prodotto vettorile. 11 Gennio 2016 Indice 1 Determinnti di mtrici 2 2 2 1.1 Clcolo del erminnte.

Dettagli

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,

Dettagli

Funzioni razionali fratte

Funzioni razionali fratte Funzioni rzionli frtte Per illustrre l medizione che AlNuSet fornisce per lo studio delle funzioni rzionli frtte, inizimo con il considerre l funzione f ( ) l vrire del prmetro. L su rppresentzione nell

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

Integrali curvilinei e integrali doppi

Integrali curvilinei e integrali doppi Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito Cpitolo 9 Clcolo integrle 9.1 Primitive ed integrle inde nito De nizione 9.1 Assegnt un funzione f : A! R, si de nisce primitiv di f un qulunque funzione F : A! R derivbile, tle che F 0 (x) = f(x), per

Dettagli

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita 86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di

Dettagli

Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/2000 Dim. Considerimo il cso in cui l successione si crescente; l dimostrzione procede in modo del tutto nlogo, q

Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/2000 Dim. Considerimo il cso in cui l successione si crescente; l dimostrzione procede in modo del tutto nlogo, q TEOREMI DIMOSTRATI NEL CORSO. Successioni e serie numeriche. Teorem. (Unicit del ite) Si ( n ) n2in un successione di numeri reli convergente. Allor il suo ite e unico. Dim. Assumimo per ssurdo che n =

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Funzioni a variazione limitata

Funzioni a variazione limitata Cpitolo 1 Funzioni vrizione limitt 1.1 Il problem delle primitive di funzioni L 1 Il problem dell ricerc delle primitive di un ssegnt funzione f : I R con I = [, b] intervllo limitto, cioè le soluzioni

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

2 Numeri reali. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler

2 Numeri reali. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler 2 Numeri reli M. Simonett Bernei & Horst Thler Numeri interi positivi o Nturli 0 1 2 3 4 Con i numeri Nturli è sempre possiile fre l ddizione e l moltipliczione p.es.: 5+2 = 7; 3*4 = 12; m non sempre l

Dettagli

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI cur di Michele Scgli RICHIAMI TEORICI INTEGRALI IMPROPRI NOTEVOLI L integrle CONVERGE dx, < DIVERGE per

Dettagli

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I.

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I. Pietro Bldi Anlisi mtemtic I Progrmm d esme, nno ccdemico 2012-2013 Corso di Lure Triennle in Ingegneri Biomedic, cognomi A-I. Il libro di testo dottto durnte il corso è Anlisi Mtemtic Uno, P. Mrcellini,

Dettagli