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1 Ricerca Operativa Ricerca Operativa p. 1/6

2 Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici di problemi di decisione complessi. In tali problemi la complessità è determinata dall ampiezza dello spazio delle scelte possibili. Ricerca Operativa p. 2/6

3 Problema di decisione : componenti Dati - tutto ciò che è noto a priori e non è sotto il controllo del decisore Variabili - le quantità sotto il diretto controllo del decisore Vincoli - condizioni che limitano le possibili scelte del decisore Obiettivo - criterio attraverso cui le scelte del decisore vengono confrontate Ricerca Operativa p. 3/6

4 Un (banale) esempio In casa con voi avete: una borsa del valore di 25 Euro una macchina fotografica del valore di 100 Euro un libro del valore di 10 Euro Potete portare fuori di casa al massimo un oggetto. Volete portare con voi il massimo valore possibile Ricerca Operativa p. 4/6

5 Un (banale) esempio - continua Dati - i valori dei tre oggetti Variabili - per ogni oggetto dovete decidere se portarlo con voi oppure no Vincolo - potete portare con voi al massimo uno dei tre oggetti Obiettivo - il valore che portate con voi, da massimizzare Ricerca Operativa p. 5/6

6 Variabili Borsa = { NO non porto la borsa con me SI porto la borsa con me Simile per Macchina Foto e per Libro. Ricerca Operativa p. 6/6

7 Scelte possibili Borsa M acchina F oto Libro NO NO NO SI NO NO NO SI NO NO NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI SI SI SI SI Ricerca Operativa p. 7/6

8 Scelte accettabili Borsa M acchina F oto Libro V alore NO NO NO 0 SI NO NO 25 NO SI NO 100 NO NO SI 10 Ricerca Operativa p. 8/6

9 Un esempio più complesso Farina Acqua Medicinali Utilità TIPO I TIPO II TIPO III Disp.max Problema: individuare quanti pacchi di ciascun tipo realizzare, tenuto conto delle disponibilità massime di risorse, in modo da massimizzare l utilità totale dei pacchi realizzati. Ricerca Operativa p. 9/6

10 Un esempio più complesso - continua Dati - i valori nella tabella Variabili - per ogni tipo di pacco dovete decidere quanti pacchi di quel tipo realizzare Vincoli - non superare la disponibilità massima di risorse disponibili Obiettivo - il valore di utilità totale, da massimizzare Ricerca Operativa p. 10/6

11 La programmazione matematica Problemi di decisione come quello precedentemente descritto possono essere riformulati in modelli di Programmazione Matematica. Un modello di Programmazione Matematica è una traduzione del problema di decisione in linguaggio matematico Variabili - ad ogni variabile viene associata una variabile matematica (ad esempio x 1,x 2,...,x n se abbiamo n variabili) Vincoli - I vincoli vengono espressi tramite equazioni e disequazioni in cui compaiono variabili e dati del problema Obiettivo - L obiettivo viene tradotto in una funzione matematica delle variabili del problema Ricerca Operativa p. 11/6

12 Prog. Matematica : il problema generico max (o min) f(x 1,...,x n ) g i (x 1,...,x n ) 0 i I 1 g i (x 1,...,x n ) 0 i I 2 g i (x 1,...,x n ) = 0 i I 3 Ricerca Operativa p. 12/6

13 Il modello dell esempio Dati - i valori numerici nella tabella Variabili - x i =quantità di pacchi di tipo i che decidete di realizzare (i = 1, 2, 3) Vincoli - 10x x x x x x (disp. max farina) (disp. max acqua) 30x x 2 + 5x (disp. max medicinali) x 1, x 2, x 3 0 quantità di pacchi non negativa Obiettivo - 14x 1 + 5x 2 + 4x 3 Ricerca Operativa p. 13/6

14 Modello matematico dell esempio max 14x 1 + 5x 2 + 4x 3 tenuto conto che 10x x x x x x x x 2 + 5x x 1,x 2,x 3 0 Ricerca Operativa p. 14/6

15 La Programmazione Lineare La generica forma dei problemi di Programmazione Matematica comprende una grande varietà di problemi a cui corrispondono livelli di difficoltà molto diversi e anche tecniche risolutive molto diverse. Qui ci concentreremo su una importante sottoclasse di problemi di programmazione matematica che si incontra in molte applicazioni pratiche, la classe dei problemi di Programmazione Lineare (abbreviata con PL nel seguito). max (o min) n j=1 c jx j n j=1 a ijx j b i i I 1 n j=1 a ijx j b i i I 2 n j=1 a ijx j = b i i I 3 Ricerca Operativa p. 15/6

16 Caratteristiche dei modelli di PL Proporzionalità Il contributo di ogni variabile x j nell obiettivo e nei vincoli è direttamente proporzionale al valore della variabile. Additività I contributi delle diverse variabili si sommano tra loro sia nell obiettivo che nei vincoli Continuità Le variabili x j possono assumere tutti i valori reali. Ricerca Operativa p. 16/6

17 Importanza della PL I programmi lineari sono molto importanti per almeno tre ragioni: molti problemi reali (tra cui, come abbiamo visto, quello introdotto in precedenza) hanno come modello matematico proprio un programma lineare; sono più semplici da risolvere rispetto ad altri modelli dove compaiono termini non lineari. Per i programmi lineari esistono delle procedure molto efficienti di risoluzione (come l algoritmo del simplesso che descriveremo in seguito). Le tecniche di risoluzione di problemi più difficili si basano spesso sulla risoluzione di sottoproblemi di PL (lo vedremo bene nella Programmazione Lineare Intera). Ricerca Operativa p. 17/6

18 I problemi di PL in forma canonica In forma scalare: max n j=1 c jx j n j=1 a ijx j b i x j 0 i = 1,...,m j = 1,...,n Ricerca Operativa p. 18/6

19 Prodotto scalare tra vettori Vettore di dimensione n p = (p 1 p n ) Dato un altro vettore di dimensione n q = (q 1 q n ) Il prodotto scalare tra i due vettori è un valore scalare: pq = n j=1 p j q j Esempio: p = (2 3 6) q = (3 8 7) pq = = 72 Ricerca Operativa p. 19/6

20 Proprietà Siano p,q 1,q 2 R n e α,β R. Allora: p(αq 1 + βq 2 ) = α(pq 1 ) + β(pq 2 ) Esempio: p = (2 3 6) q 1 = (1 2 5) q 2 = (6 0 3) α = 2 β = 3 αq 1 + βq 2 = 2(1 2 5) + 3(6 0 3) = (2 4 10) + (18 0 9) = ( ) p(αq 1 + βq 2 ) = = 166 pq 1 = = 38 pq 2 = = 30 α(pq 1 ) + β(pq 2 ) = = 166 Ricerca Operativa p. 20/6

21 Generalizzazione della proprietà Dati i vettori p,q 1,q 2,...,q t R n e gli scalari α 1,α 2,...,α t R, si ha che p[α 1 q 1 + α 2 q α t q t ] = p [ t α i q i ] = t α i (pq i ) i=1 i=1 Ricerca Operativa p. 21/6

22 Prodotto matrice-vettore Data una matrice A di ordine m n (m righe e n colonne) a a 1n.. a m1... a mn ed un vettore p di dimensione n p = (p 1 p n ) Il prodotto matrice-vettore è un vettore di dimensione m la cui componente i è il prodotto scalare tra la i-esima riga di A e il vettore p: n j=1 a ij p j Ricerca Operativa p. 22/6

23 Prodotto vettore-matrice Data una matrice A di ordine m n (m righe e n colonne) a a 1n.. a m1... a mn ed un vettore q di dimensione m q = (q 1 q m ) Il prodotto vettore-matrice è un vettore di dimensione n la cui componente j è il prodotto scalare tra la j-esima colonna di A e il vettore q: m a ij q i Ricerca Operativa p. 23/6 i=1

24 Esempi A = [ ] p = (3 8 7) q = (4 5) Ap = ( ) = (90 94) qa = ( ) = ( ) Ricerca Operativa p. 24/6

25 PL in forma canonica Introduciamo i seguenti vettori: c R n : vettore di dimensione n con componenti c j, j = 1,...,n, ovvero: c = (c 1 c 2 c n ); x R n : vettore di variabili di dimensione n con componenti x j, j = 1,...,n, ovvero: x = (x 1 x 2 x n ); a i R n, i = 1,...,m: m vettori di dimensione n con componenti a ij, j = 1,...,n, ovvero: a i = (a i1 a i2 a in ). Ricerca Operativa p. 25/6

26 PL in forma canonica Osservando che e cx = a i x = n c j x j j=1 n a ij x j j=1 abbiamo la seguente rappresentazione vettoriale per un problema di PL in forma canonica: max cx a i x b i x 0 i = 1,...,m Ricerca Operativa p. 26/6

27 PL in forma canonica Si consideri la matrice A R m n che ha tante righe quanti sono i vincoli del problema (m) e la cui i-esima riga è il vettore a i e del vettore b = (b 1 b m ) R m di dimensione m con componenti b i, i = 1,...,m. Osservando che Ax = (a 1 x... a m x) possiamo scrivere la rappresentazione matriciale del problema di PL in forma canonica: max cx Ax b x 0 Ricerca Operativa p. 27/6

28 Esempio degli aiuti umanitari Il vettore c = (14 5 4) Il vettore di variabili x = (x 1 x 2 x 3 ) I vettori a i, i = 1, 2, 3 a 1 = ( ) a 2 = ( ) a 3 = ( ) Il vettore b = ( ) La matrice A Ricerca Operativa p. 28/6

29 PL canonici PL generici Osservazione Ogni problema di PL in forma generica può essere trasformato in uno equivalente in forma canonica. Trasformazione da min a max min cx = max cx Trasformazione vincolo in vincolo a i x b i a i x b i Trasformazione vincolo = in due vincoli a i x = b i a i x b i, a i x b i a i x b i, a i x b i Ricerca Operativa p. 29/6

30 PL canonici PL generici Sostituzione variabile 0 con variabile 0 Data x i 0, effettuare il cambio di variabile x i = x i, dove x i 0 Sostituzione variabile libera in segno con due variabili 0 Data x i libera in segno, effettuare il cambio di variabile x i = x i x i, dove x i,x i 0 Ricerca Operativa p. 30/6

31 Un esempio Si trasformi il seguente problema di PL in forma generica in un problema di PL in forma canonica min x 1 + x 2 + x 3 x 1 + 2x 2 x 3 3 x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 5 x 1 2x 2 + x 3 3 x 1 0 x 2 0 x 3 libera in segno Ricerca Operativa p. 31/6

32 Insiemi convessi Un insieme C R n si dice convesso se x 1,x 2 C λ [0, 1] : λx 1 + (1 λ)x 2 C, ovvero se dati due punti qualsiasi in C, il segmento che li congiunge è anch esso completamente contenuto in C. Ricerca Operativa p. 32/6

33 Insiemi limitati e chiusi Un insieme C si dice limitato se esiste una sfera di raggio finito R che lo contiene. Un insieme C si dice chiuso se contiene la sua frontiera. Ricerca Operativa p. 33/6

34 Semispazi e iperpiani Si definisce semispazio in R n l insieme di punti che soddisfa una disequazione lineare in R n : n j=1 w j x j v (in forma vettoriale: wx v). Si definisce iperpiano in R n l insieme di punti che soddisfa un equazione lineare in R n : n j=1 w j x j = v (in forma vettoriale: wx = v). Ricerca Operativa p. 34/6

35 Poliedri e politopi Si definisce poliedro l intersezione di un numero finito di semispazi e/o iperpiani. Se il poliedro è limitato esso viene chiamato politopo. Ricerca Operativa p. 35/6

36 La regione ammissibile S a La regione ammissibile S a di un problema di PL in forma canonica è un poliedro. S a = {x R n : a i x b i, i = 1,...,m, x 0}. Semispazi e iperpiani sono insiemi chiusi L intersezione di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso I poliedri (e quindi S a ) sono insiemi chiusi Ricerca Operativa p. 36/6

37 Convessità Siano x,y S a, ovvero a i x b i i = 1,...,m x 0, e a i y b i i = 1,...,m y 0. Per ogni λ (0, 1) e per ogni i {1,...,m} avremo: a i [λx + (1 λ)y] = = λ }{{} >0 a i x +(1 λ) }{{}}{{} b i >0 a i y }{{} b i λb i + (1 λ)b i = b i. Ricerca Operativa p. 37/6

38 Continua Inoltre: Quindi: λ }{{} >0 }{{} x +(1 λ) }{{} 0 >0 y }{{} 0 λx + (1 λ)y S a. 0. La regione ammissibile S a è un insieme convesso. Ricerca Operativa p. 38/6

39 Limitatezza e illimitatezza La regione ammissibile S a può essere: = max x 1 + x 2 x 1 1 un poliedro limitato (politopo) x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 max x 1 + x 2 x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 39/6

40 Continua un poliedro illimitato max x 1 + x 2 x 1 x 2 0 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 40/6

41 Ricapitolando la regione ammissibile S a di un problema di PL è un poliedro e come tale è un insieme chiuso e convesso. Inoltre, può essere un insieme vuoto, un insieme limitato (politopo) oppure un insieme illimitato. Ricerca Operativa p. 41/6

42 Vertici di S a Si definisce vertice di S a un punto x S a tale che non esistono due punti distinti x 1,x 2 S a, x 1 x 2, tali che x = 1 2 x x 2. ovvero x è il punto medio del segmento che congiunge x 1 e x 2. Ricerca Operativa p. 42/6

43 Alcuni risultati Teorema Dato un problema di PL in forma canonica, se S a, allora S a contiene almeno un vertice. Osservazione S a ha sempre un numero finito di vertici. Ricerca Operativa p. 43/6

44 Raggi Nel caso S a sia un poliedro illimitato possiamo anche introdurre le definizioni di raggio e raggio estremo. Si definisce raggio di S a un vettore r tale che x 0 S a λ 0 : x 0 + λr S a, cioè la semiretta con origine in x 0 e direzione r è completamente contenuta in S a per qualsiasi punto x 0 S a. Ricerca Operativa p. 44/6

45 Raggi estremi Un raggio r di S a si definisce raggio estremo di S a se non esistono altri due raggi r 1 e r 2 di S a con direzioni distinte, ovvero r 1 µr 2 µ R, tali che r = 1 2 r r 2. Osservazione S a ha sempre un numero finito di raggi estremi. Ricerca Operativa p. 45/6

46 Teorema di rappresentazione di S a Teorema Sia dato un problema di PL in forma canonica con S a. Siano v 1,...,v k i vertici di S a e, nel caso in cui S a sia un poliedro illimitato, siano r 1,...,r h i raggi estremi di S a. Allora x S a se e solo se λ 1,...,λ k 0, k i=1 λ i = 1, µ 1,...,µ h 0 tali che x = k λ i v i + h µ j r j. i=1 j=1 Ricerca Operativa p. 46/6

47 Ovvero i punti in S a sono tutti e soli i punti ottenibili come somma di una combinazione convessa dei vertici di S a una combinazione lineare con coefficienti non negativi dei raggi estremi di S a Quindi un numero finito di oggetti (vertici e raggi estremi) mi permettono di rappresentare tutto l insieme S a. Ricerca Operativa p. 47/6

48 L insieme delle soluzioni ottime S ott Insieme soluzioni ottime S ott = {x S a : cx cx x S a }, S ott S a, quindi S a = S ott =. Ricerca Operativa p. 48/6

49 Una, nessuna, infinite Osservazione Se S ott è un insieme finito e non vuoto, S ott contiene un solo punto. Dimostrazione Per assurdo sia S ott un insieme finito e contenga più di un punto. Siano x 1,x 2 S ott, x 1 x 2, due punti distinti di S ott. Ricerca Operativa p. 49/6

50 Continua Per l ottimalità di x 1 e x 2 si deve avere cx 1 = cx 2. Per la convessità di S a e x 1,x 2 S a : λx 1 + (1 λ)x 2 S a λ (0, 1), Per la linearità della funzione obiettivo λ (0, 1): c[λx 1 +(1 λ)x 2 ] = λcx 1 +(1 λ)cx 2 = λcx 1 +(1 λ)cx 1 = cx 1. Quindi: λx 1 + (1 λ)x 2 S ott λ (0, 1) cioè tutto il segmento che congiunge x 1 e x 2 è contenuto in S ott, il che contraddice la finitezza dell insieme S ott. Ricerca Operativa p. 50/6

51 Le diverse forme possibili di S ott Caso 1 S a = S ott =. Caso 2 S a e politopo. Politopo è insieme chiuso e limitato, funzione obiettivo è lineare e quindi continua (Teorema di Weierstrass) S ott. Sono possibili due sottocasi. Caso 2.1 S ott è costituito da un solo punto. max 2x 1 + x 2 x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 51/6

52 Continua Caso 2.2 S ott è costituito da un insieme infinito e limitato di punti. max x 1 + x 2 x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 52/6

53 Continua Caso 3 S a e poliedro illimitato. Sono possibili quattro sottocasi. Caso 3.1 S ott = in quanto l obiettivo è illimitato, ovvero esiste una sequenza infinita di punti {x k } di S a lungo cui la funzione obiettivo cresce a +. Formalmente: {x k } : x k S a k e cx k + k +. max x 1 + x 2 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 53/6

54 Continua Caso 3.2 S ott è costituito da un solo punto. max x 1 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 54/6

55 Continua Caso 3.3 S ott è costituito da un insieme infinito e limitato di punti. max x 2 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 55/6

56 Continua Caso 3.4 S ott è costituito da un insieme infinito e illimitato di punti. max x 1 x 2 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Ricerca Operativa p. 56/6

57 Un lemma Lemma Dato un problema di PL in forma canonica, se S ott, allora per ogni raggio estremo r di S a si ha: cr 0. Ricerca Operativa p. 57/6

58 Dimostrazione Per assurdo supponiamo esista un raggio estremo r tale che cr > 0 S ott S a. Sia x 0 S a. Per definizione di raggio avremo che λ 0 : x 0 + λr S a. Valore funzione obiettivo in punti x 0 + λr: c(x 0 + λr) = cx 0 + λ cr }{{} >0 }{{} + λ + Allora S ott = in quanto l obiettivo è illimitato sulla regione ammissibile, il che contraddice S ott. Ricerca Operativa p. 58/6

59 Teorema fondamentale della PL Teorema Dato un problema di PL in forma canonica, se S ott, allora S ott contiene almeno un vertice di S a. Ricerca Operativa p. 59/6

60 Dimostrazione Siano v 1,...,v k i vertici di S a e, nel caso in cui S a sia un poliedro illimitato, indichiamo con r 1,...,r h i raggi estremi di S a. Se S ott, sia x S ott. Per assurdo supponiamo che v 1,...,v k S ott da cui: cv i < cx i = 1,...,k Ricerca Operativa p. 60/6

61 Continua Per il teorema di rappresentazione di S a, x S a implica che λ 1,...,λ k 0, k i=1 λ i = 1, µ 1,...,µ h 0 tali che Quindi: x = cx = c k h λ iv i + µ jr j. i=1 j=1 k h λ iv i + µ jr j i=1 j=1 Ricerca Operativa p. 61/6

62 Continua Per la linearità della funzione obiettivo cx = k λ i(cv i ) + h µ j(cr j ). i=1 j=1 Dal lemma precedente: cr j 0 j = 1,...,h. Ricerca Operativa p. 62/6

63 Continua Quindi: da cui: cx = k λ i(cv i ) + i=1 cx h j=1 µ j }{{} 0 k λ i(cv i ). i=1 (cr j ). }{{} 0 Ricerca Operativa p. 63/6

64 Continua Da cv i < cx, i segue che: cx k i=1 λ i (cv i ) < }{{} <cx k i=1 λ i(cx ). NB: lo strettamente minore vale perchè almeno uno dei λ i è strettamente positivo in quanto la loro somma deve essere pari a 1. Quindi: cx < (cx ) k λ i = cx. i=1 il che è assurdo. Ricerca Operativa p. 64/6

65 Un commento Il teorema fondamentale della PL è alla base della procedura di risoluzione che descriveremo, l algoritmo del simplesso. Infatti, tale algoritmo ricerca la soluzione ottima cercando di spostarsi ad ogni iterazione in modo intelligente da un vertice all altro di S a. Per modo intelligente si intende che l algoritmo tenta di spostarsi ad una data iterazione da un vertice a uno con valore della funzione obiettivo maggiore. Ricerca Operativa p. 65/6

66 Problema 1 Sia dato il problema di PL in forma canonica max e sia x S a tale che cx a i x b i x 0 i = 1,...,m a i x < b i i, x > 0. Si dimostri che x S ott S a = S ott Ricerca Operativa p. 66/6

67 Problema 2 Siano v i, i = 1,...,k, i vertici della regione ammissibile S a di un problema di PL. Si supponga che S ott e che tutti i vertici abbiano lo stesso valore dell obiettivo, ovvero cv i = cv j i j Si dimostri che: a) S a = S ott se S a è un politopo; b) può essere S a S ott nel caso S a sia un poliedro illimitato. Ricerca Operativa p. 67/6