POLITECNICO DI MILANO IV FACOLTÀ Ingegneria Aerospaziale Fisica Sperimentale A+B - I Appello 16 Luglio 2007

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1 POLIECNICO DI ILNO IV FCOLÀ Ingegneria erospaziale Fisica Sperimenale + - I ppello 6 Luglio 007 Giusificare le rispose e scriere in modo chiaro e leggibile. Sosiuire i alori numerici solo alla fine, dopo aer ricaao le espressioni leerali. Indicare nome e cognome (in sampaello) e maricola su ogni foglio. a) Daa una forza agene su una paricella di massa m per un inerallo finio di empo, si definisca il laoro da essa compiuo e lo si ponga in relazione con alre grandezze dinamiche significaie del moo della paricella. b) Si dia la definizione di forza conseraia. Si dia un esempio di forza conseraia. Si dimosri in base alla definizione daa che la forza scela è effeiamene conseraia. c) Si consideri una caena raenua su un aolo prio di ario con un quaro della sua lunghezza pendene dal bordo. Se essa ha una lunghezza l e una massa m, calcolare il laoro necessario per porare sul aolo la pare pendene della caena.. Due paricelle, di massa m e m, si roano su una guida circolare orizzonale e pria di ario. La prima massa è ferma, la seconda è in moo in senso aniorario con elocià. ra le due paricelle aiene un uro elasico isananeo. a) roare le elocià delle due paricelle dopo l uro. b) Deerminare in corrispondenza di quale angolo, rispeo alla posizione iniziale della prima massa, aiene il secondo uro. c) Deerminare la elocià delle masse dopo il secondo uro (anch esso isananeo).. Si calcoli la differenza che inercorre nella misura del peso di un corpo di massa pari a kg che si roi sulla superficie erresre a) all equaore; b) a ilano (laiudine 45 ). c) Si specifichi qual è la direzione di ale forza nei due casi. Considerare solamene il moo di roazione della erra aorno al proprio asse. (aggio della erra = m) 4. Il blocco ha massa pari a m = 4.4 kg. I coefficieni di ario saico e dinamico ra il blocco ed il aolo sono rispeiamene μ S = 0.8 e μ D = 0.5. Deerminare: a) la minima massa m del blocco che fa sciolare il blocco ; b) l accelerazione di quando la massa m è quella calcolaa nel puno a) e il sisema è in moo; c) la ensione del filo nel caso saico e dinamico, quando la massa m è quella calcolaa nel puno a).

2 Esercizio a) La definizione di laoro L compiuo da una forza F lungo una raieoria è la seguene: L = F d l, doe dl corrisponde all elemeno di lunghezza della raieoria. Il eorema delle forze ie mee in relazione il laoro della risulane F o delle forze ageni su una paricella con la ariazione di energia cineica della paricella sessa: d dl L = Fo dl = m a dl = m dl = d m d = d md = L = E kin. m f m i Un alra grandezza legaa al laoro è la poenza W di una forza, definia nel modo seguene: W = dl d = F. b) Una forza è conseraia quando il laoro da essa compiua dipende solo dal puno di parenza e dal puno di arrio, ma non dalla raieoria percorsa. Esempi di forze conseraie sono quelle che hanno direzione radiale e che dipendono solo dalla disanza r da un polo (forza elerica, forza graiazionale). In queso caso F = F(r)u r, doe u r è un ersore radiale. In queso caso il laoro compiuo dalla forza lungo la raieoria generica ale L = F d l = F( r) dr. Il laoro non dipende quindi dalla raieoria ma solano dalla disanza iniziale e finale dal polo. c) La risulane F delle forze che agiscono sulla caena è pari al peso della pare di caena che pende dal aolo. Il peso della pare di caena che si roa già sul aolo e infai compensao dalla reazione incolare del aolo prio di ario. Sia x la lunghezza di caena che pende dal aolo, Il laoro L compiuo da F è quindi pari a F = mgx. l 0 0 mgx L = F d l = l F ( x) dx = l dx l 4 4 = mgl. Il laoro L delle forze eserne che deono solleare la caena sul aolo è quindi pari a L = L = mgl.

3 Esercizio a) Siano e le componeni delle elocià delle paricelle di massa rispeiamene m e m lungo la direzione angenziale. L uro è elasico ed isananeo, quindi si conserano sia la quanià di moo sia l energia cineica oali: m + m = m + m ; m ( ) + m ( ) = m ( ) + m ( ). Per = 0 e = quese due equazioni hanno soluzione = 4, =. b) Dee θ e θ le posizioni angolari delle due masse sulla guida, e le elocià angolari delle due masse dopo l uro e il raggio della guida, si oiene: θ () = =, θ () = =. Le due masse si urano una seconda ola quando le loro posizioni angolari differiscono per un angolo giro: θ () θ () = π ) = ( = π = π, oero quando θ = 8 π = π, θ = π = π. c) Le due equazioni di cui al puno a), per = 4 e =, hanno oiamene soluzione: = 0, =, oero, dopo il secondo uro le due masse ornano a muoersi alle rispeie elocià iniziali.

4 Esercizio a) La misura del peso di un oggeo di massa m effeuaa sulla superficie erresre è influenzaa dalle forze fiizie, doue al fao che la erra non cosiuisce un sisema di riferimeno inerziale. In paricolare, poiché la erra ruoa aorno al proprio asse, la misura della forza F che agisce su un oggeo di massa m in quiee rispeo alla erra è F = m r mw (w r) = mg, doe è la massa della erra, il suo raggio, è la cosane di graiazione uniersale ( = m kg - s - ), w il eore elocià angolare della erra ( = π/ rad/ora), direo dal polo nord al polo sud, e r è la posizione dell oggeo rispeo al cenro della erra. Il eore F c = mw (w r) è deo forza cenrifuga ed è perpendicolare all asse di roazione erresre. Il suo modulo è pari a F c = m cosθ, doe θ è la laiudine del luogo nel quale iene effeuaa la misura. L accelerazione g di un grae nei pressi della superficie erresre aria quindi con la laiudine. ll equaore (θ = 0) la forza cenrifuga è opposa all arazione graiazionale e ale m, quindi g = = 9.78 m/s. b) ilano (θ = 45 ), la forza peso e la forza cenrifuga formano un angolo pari a π + θ. rascurando il fao che g deia dalla direzione radiale si ha g = cosθ = 9.80 m/s. c) ll equaore g è direa erso il cenro della erra. ilano L angolo α che g forma rispeo al raggio erresre è inece pari a: α = arcg cos θ cosθsenθ arcg cos θ cos θ 0.4 mrad.

5 Esercizio 4 a) Si considerino, sia per il blocco, sia per il blocco, solano le componeni delle forze lungo la direzione del moo. In condizioni di quiee, sul blocco agiscono la forza d ario radene saico F s e la ensione S del filo: F S µ S gm, S = gm. Quese due forze si deono equialere, perano la massa m minima necessaria a smuoere m è pari a: m = µ S m = 0.79 kg. b) Scriiamo le equazioni del moo dei due corpi in moimeno, che hanno lo sesso modulo dell accelerazione se il filo è inesensibile. Per il corpo : Per il corpo : m a = D F D = D µ D gm. m a = m g D. Da quese equazioni si ricaa l accelerazione dei due corpi: a = m g m µ D g = 0.5 m/s c) Dalle equazioni del moo dei due corpi riporae al puno b) si ricaa anche la ensione dinamica D : mm D = m (g a) = g ( + µ D ) = 7.55 N. La ensione saica S è inece pari a S = m g = 7.77 N. Si noi che S > D.