La ricorsione. Politecnico di Milano Sede di Cremona

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1 La ricorsione Politecnico di Milano Sede di Cremona Gianpaolo Cugola Dipartimento di Elettronica e Informazione Definizioni ricorsive Sono comuni in matematica Esempio: il fattoriale di un naturale N Se N=0 il fattoriale è 1 Se N>0 il fattoriale è N moltiplicato per il fattoriale di N-1 Informatica A - Cugola 2

2 Lo spirito del metodo Esistono uno o più casi base, che rappresentano un sotto-problema facilmente risolvibile Se N=0 so calcolare il fattoriale di N: vale 0 Ci si riconduce prima o poi a questi casi base con una definizione del caso generico che rimanda a casi precedenti Se N>0 il fattoriale di N è noto a partire dal fattoriale di N-1 Informatica A - Cugola 3 Un altro esempio I numeri di Fibonacci F = {f0,..., fn f0 = 0 f1 = 1 (casi base) Per n > 1, fn = fn 1 + fn 2 Informatica A - Cugola 4

3 Un altro esempio Il MCD tra M e N (M, N naturali positivi) Se M=N allora MCD è N Se M>N allora esso è il MCD tra N e M-N Se N>M allora esso è il MCD tra M e N-M CASO BASE Informatica A - Cugola 5 Ricorsione in C In C un sottoprogramma P può chiamare lo stesso P Direttamente, oppure Indirettamente (e.g., P chiama Q che... chiama P) Informatica A - Cugola 6

4 Esempio: Calcolo del fattoriale int fatt(int n) { int i, ris; ris = 1; for (i=1; i<=n; i=i+1) ris = ris * i; return ris; Forma non ricorsiva int fatt(int n) { if(n == 0) return 1; else return n*fatt(n 1); Forma ricorsiva Informatica A - Cugola 7 Simulazione del calcolo del fatt(3) 3 = 0? No calcola fattoriale di 2 e moltiplica per 3 2 = 0? No calcola fattoriale di 1 e moltiplica per 2 1 = 0? No calcola fattoriale di 0 e moltiplica per 1 0 = 0? Si fattoriale di 0 è 1 fattoriale di 1 è 1 per fattoriale di 0, cioè 1 1 = 1 fattoriale di 2 è 2 per fattoriale di 1, cioè 2 1 = 2 fattoriale di 3 è 3 per fattoriale di 2, cioè 3 2 = 6 Informatica A - Cugola 8

5 Esempio: Numero di Fibonacci int fibonacci(int n) { if(n == 0) return 0; else if(n == 1) return 1; else return(fibonacci(n 1)+fibonacci(n 2)); Informatica A - Cugola 9 Esempio: MCD ricorsivo int euclideric (int m, int n) { if(m == n) return m; else if(m > n) return euclideric(m-n, n); else return euclideric(m, n-m); Informatica A - Cugola 10

6 Esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi In un certo istante possono essere in corso diverse attivazioni dello stesso sottoprogramma Ogni attivazione esegue lo stesso codice ma opera su copie distinte dei parametri e delle variabili locali Informatica A - Cugola 11 Esecuzione di fatt(3) fatt Informatica A - Cugola 12

7 Terminazione Attenzione al rischio di catene infinite di chiamate Occorre che le chiamate siano soggette a una condizione che prima o poi assicura che la catena termini Occorre anche che l argomento sia progressivamente ridotto, tendente prima o poi al caso base Informatica A - Cugola 13 Esempio: Stringhe palindrome Stringa palindroma Uguale se letta nei due versi Esempi: anna, radar, asorrosa, salas, abbbcbbba Riconoscimento: Una stringa è palindroma se: la stringa è vuota, oppure ha un solo carattere, oppure è una stringa palindroma racchiusa tra due caratteri, primo e ultimo, uguali Informatica A - Cugola 14

8 Esempio: Stringhe palindrome boolean palindrome(char *PC, char *UC) { if(pc >= UC) /* str. vuota o di un solo carattere */ return true; else if (*PC!= *UC) /* primo e ultimo car. diversi */ return false; else /* chiamata ricorsiva escludendo primo e ultimo carattere */ return palindrome(pc+1, UC 1); Informatica A - Cugola 15 Ricorsione o iterazione? Spesso le soluzioni ricorsive sono molto eleganti Sono più vicine alla definizione del problema Però possono essere inefficienti Chiamare un sottoprogramma significa allocare memoria a run-time Nel caso del numero di fibonacci viene più volte ricalcolato lo stesso numero Informatica A - Cugola 16

9 Le torri di Hanoi spostare la torre da A a C muovendo un piattello alla volta e senza mai mettere un piattello più grosso su uno più piccolo A B C Informatica A - Cugola 17 Le torri di Hanoi: : Il metodo Il programma deve stampare una serie di comandi di spostamenti So spostare la torre di 0 piattelli da A a C (caso di base) Per spostare la torre di N piattelli da A a C Sposto la torre di N-1 piattelli da A a B, metto il piattello restante in C, sposto la torre di N-1 piattelli da B a C Informatica A - Cugola 18

10 Le torri di Hanoi: : Soluzione void hanoi(int npiatt, char da, char a, char per) { if (npiatt > 0) { hanoi(npiatt-1, da, per, a); printf("sposta piattello da %c a %c\n", da, a); hanoi (npiatt-1, per, a, da); Informatica A - Cugola 19

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