Corso di Matematica per la Chimica

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1 Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a

2 Il best fitting In molte applicazioni accade di avere una certa quantità di dati (solitamente elevata) e di voler descrivere l andamento del fenomeno che ha generato tali dati ed utilizzare quindi il modello, così dedotto, per prevedere valori in corrispondenza di ascisse non comprese nei dati iniziali. Tale strategia è anche utilizzata per correggere dati sperimentali. Facciamo un esempio.

3 Esempio A tutti è nota la prima legge di Ohm V = RI dove I misura l intensità di corrente, R è la resistenza del mezzo attraversato dalla corrente e V è la differenza di potenziale. Supponiamo allora di fare il seguente esperimento: preso un filo con resistenza costante, mediante due strumenti di misura si calcola l intensità della corrente (con l amperometro) e la differenza di potenziale (con il voltmetro). Se si suppone la temperatura costante, la resistenza è costante e dunque la legge fisica è di tipo lineare (cioè la differenza di potenziale è direttamente proporzionale all intensità di corrente). Tuttavia i dati sperimentali in genere non disegnano una retta. Ciò è dovuto al fatto che gli strumenti di misura producono degli errori nelle misurazioni.

4 Realisticamente si perviene ad una situazione del tipo

5 Tuttavia essendo noto che la legge è di tipo lineare è lecito cercare una retta che si allontani il meno possibile dai dati sperimentali. Nella precedente figura la retta è disegnata in blu. Tale retta, detta di regressione, realizza il cosiddetto best fitting (letteralmente il migliore adattamento ) dei dati. Nel nostro esempio la legge, nota a priori, era di tipo lineare. È ovvio tuttavia che il ragionamento può essere generalizzato a leggi, e quindi a curve, di qualsiasi tipo. Vediamo allora come questo problema di approssimazione di dati sia legato al problema dei minimi quadrati lineari.

6 Approssimazione nel senso dei minimi quadrati Supponiamo di avere m ascisse x 1, x 2,..., x m ed in corrispondenza m ordinate y 1, y 2,..., y m. In altre parole sono note le coppie del piano cartesiano (x i, y i ), i = 1,..., m. Scegliamo quindi delle funzioni base ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x), con n << m e supponiamo di approssimare il fenomeno che ha generato le coppie (x i, y i ), mediante la funzione f n (x) = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) c n ϕ n (x) combinanzione lineare delle ϕ k (x), k = 1,..., n, mediante le costanti c k, k = 1,..., n, in modo tale che l errore commesso nei punti dato sia minimo nel senso della norma 2, cioè f n realizzi il min f n m i=1 [y i f n (x i )] 2 = min (c 1,...,c n) [ m y i i=1 2 n c k ϕ k (x i )]. k=1

7 Se si pone allora A = (ϕ k (x i )) i=1,...,m,k=1,...,n, b = (y 1, y 2,..., y m ) T, c = (c 1,..., c n ) T, allora il problema precedente diventa min b Ac 2 2, (c 1,...,c n) T cioè un problema ai minimi quadrati lineari, in cui gli elementi della matrice A sono dati dai valori delle funzioni base nelle ascisse x i. In genere le funzioni ϕ k (x), sono scelte in accordo con la natura del problema.

8 Per esempio nel caso della legge di Ohm, essendo il modello di tipo lineare, si sceglie ϕ 1 (x) = 1, ϕ 2 (x) = x e quindi f 2 (x) = c 1 + c 2 x è la retta (di regressione) che minimizza la quantità m [y i c 1 c 2 x i ] 2. i=1 In termini di matrice e vettori si ha 1 x 1 1 x 2 A = 1 x 3, c =.. 1 x m ( c1 c 2 ), b = y 1 y 2 y 3. y m

9 In generale se si suppone che il modello sia di tipo polinomiale si sceglie ϕ k (x) = x k 1, cioè la base standard dei polinomi, e f n risulta quindi un polinomio di grado n 1. Dunque in questo caso la matrice A è una matrice di Vandermonde rettangolare 1 x 1 x x n 1 1 A =.. 1 x 2 x x n x 3 x x n x m xm 2... xm n 1.. e come è noto rank(a) = n se tutti gli x i sono distinti.

10 La scelta polinomiale tuttavia non è l unica possibile. Per esempio se è noto che il fenomeno è periodico, è possibile utilizzare come funzioni della base quelle del sistema trigonometrico. Si pone cioè ϕ 1 (x) = 1, ϕ 2 (x) = cos x, ϕ 3 (x) = sin x, ϕ 4 (x) = cos 2x, ϕ 5 (x) = sin 2x,... e dunque f n risulterà essere un polinomio trigonometrico di ordine n. Ovviamente è possibile utilizzare altri modelli di approssimazione.

11 Se per esempio è noto che il fenomeno che genera i dati è limitato, il modello polinomiale può risultare fortemente inadeguato (i polinomi, lontano dall intervallo che contiene le radici, crescono rapidamente). In questo caso può essere più performante una funzione di tipo spline cubica, e quindi le ϕ j (x) possono essere scelte coincidenti con una base delle spline cubiche (per esempio le spline cardinali oppure la base delle B-spline).

12 Sorgono spontanee le seguenti domande: il problema dei minimi quadrati ammette sempre soluzione? In quali circostanze è unica? La risposta ci è data dal seguente teorema. Teorema Il problema b Ac 2 2 =minimo ammette sempre soluzione. La soluzione è unica se e soltanto se le colonne della matrice A sono linearmente indipendenti. Se invece le colonne di A sono linearmente dipendenti allora il problema ha infinite soluzioni; tuttavia quella di lunghezza euclidea minima è unica.

13 Le functions Matlab Il Matlab risolve il problema del best fitting nel caso si voglia costruire un approssimazione di tipo polinomiale. Le functions coinvolte sono: polyfit: c=polyfit(x,y,n), costruisce il vettore c dei coefficienti (ordinati in senso discendente rispetto alle potenze) del polinomio di grado n di best fitting dei dati (x i, y i ). Il problema dei minimi quadrati lineari, con A matrice di Vandermonde, è risolto mediante il \, in quanto la matrice dei coefficienti è risaputamente mal condizionata. polyval: yy = polyval(c,xx), calcola il polinomio di coefficienti c nei punti del vettore xx.

14 Inoltre se si hanno dei dati memorizzati nei vettori x e y e si vuole riportarli su grafico si può usare il comando plot. Per esempio plot(x,y,. ), apre automaticamente la finestra con il grafico nel quale i punti del piano (x i, y i ) sono indicati con un punto. A questo punto dal menù della finestra si può scegliere nella voce Tools, l opzione Basic Fitting. Si attiva in questo modo automaticamente la Basic Fitting GUI (Graphical User Interface) che consente di scegliere vari possibili approssimanti per i dati. In questo modo è possibile selezionare polinomi dei minimi quadrati di vario grado (dal primo al decimo) ed averne i coefficienti e l analisi grafica dei residui, nonché il calcolo della norma 2 del residuo.

15 L analisi dei dati a posteriori Quando si hanno dei dati sperimentali ed è nota la legge che li genera (come nel caso della legge di Ohm), l approssimazione nel senso dei minimi quadrati può essere utilizzata per scartare dei valori che sono sbagliati (i cosiddetti outliers) e quindi per correggerli. Infatti una volta costruita l approssimante f n è possibile calcolare i residui come y i f n (x i ), e decidere di eliminare i dati y i che si allontanano troppo dal valore f n (x i ). In altri casi invece la legge che genera i dati non è nota affatto e si vuole determinare il modello proprio mediante una strategia ai minimi quadrati. Una prima analisi grossolana consiste nel guardare il grafico dei residui. Per ogni valore x i si riporta in ordinata il residuo y i f n (x i ). Se non vi sono distribuzioni strane in tale grafico, se cioè i residui sembrano distribuiti casualmente, allora il modello è accettabile.

16 Esistono poi vari indicatori statistici che forniscono informazioni sulla bontà del modello.

17 Esempio Supponiamo di aver effettuato i seguenti rilevamenti: t E(t)

18 Denotando con x il vettore che ha per componenti gli elementi della prima colonna della tabella e con y il vettore che ha per componenti gli elementi della seconda colonna della tabella, prima di tutto disegnamo l andamento dei dati con il comando plot(x,y, * ) Otteniamo il grafico Determiniamo con il metodo dei minimi quadrati i coefficienti del polinomio y = ax 3 + bx 2 + cx + d e valutiamo il valore del residuo.

19 La matrice A è la seguente A = {a i,k } i=1,...,22,k=1,2,3,4 = {ϕ k (x i )} i=1,...,22,k=1,2,3,4. Risolvendo il sistema Ac = y con la function \ del Matlab otteniamo il vettore e c = e e e 003

20 Dunque il polinomio di grado 3 che approssima meglio i dati del nostro esperimento nel senso dei minimi quadrati è 2.5 y = *x *x *x data 2 cubic Il residuo, calcolato con il comando norm(a c-y) è