Teorema di Thévenin-Norton

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1 87 Teorema d Téenn-Norton E detto ance teorema d rappresentazone del bpolo, consente nfatt d rappresentare una rete lneare a due morsett (A, B) con: un generatore d tensone ed un resstore sere (Téenn) o con un generatore d corrente ed un resstore parallelo (Norton). A A ete qualsas (lneare o non) B B A G rete lneare B Parte I A.A. /

2 88 In rtù del prncpo d sosttuzone è possble consderare l bpolo ualente d Téenn-Norton n luogo della rete lneare orgnara (bpolo) se la relazone d legame -, oero la relazone costtuta, è la stessa ne due cas. S tratta, n effett, della rscrttura della relazone costtuta generale d un bpolo lneare. Nel caso non sano generator plotat esternamente: a + b + c Nota (successa) Parte I A.A. / Teorema d Téenn-Norton se se a b b a a b c a c b bpolo rappresentable Téenn bpolo rappresentable Norton

3 89 Teorema d Téenn-Norton La resstenza ( b/a) rappresenta la resstenza ualente sta da morsett A e B dsattando generator ndpendent d tensone e d corrente present nella rete (oero, rendendola nerte). Analogamente per la conduttanza ualente G / ( a/b). + G + appresentazone Téenn appresentazone Norton La tensone rappresenta la tensone a uoto del bpolo ( c/a). La corrente rappresenta la corrente d corto del bpolo ( c/b). Parte I A.A. /

4 9 Dmostrazone Teorema d Téenn Per l teorema d Téenn, s consder un generatore ndpendente d corrente () collegato a morsett A e B della rete lneare consderata. A + B Nota storca: Il teorema fu formulato per prmo dallo scenzato tedesco Hermann on Helmoltz nel 85, ma fu rscoperto po nel 88 dall ngegnere francese Léon Carles Téenn. Parte I A.A. /

5 9 Teorema d Téenn In base alla lneartà della rete, è possble utlzzare l prncpo d sorapposzone degl effett ed esprmere la tensone tra morsett A e B come combnazone lneare d tutt generator ndpendent, compreso quello d corrente collegato esternamente: resstenza ualente con la rete dsattata (nerte) a + o + b o o o a o ( ) + bo tensone ualente con corrente nulla a uoto Parte I A.A. /

6 9 Dmostrazone Teorema d Norton Per l teorema d Norton, s consder nece un generatore ndpendente d tensone () collegato a morsett A e B della rete lneare consderata. Ora è necessaro esprmere la corrente assorbta da tale bpolo. A G + B Parte I A.A. /

7 9 Teorema d Norton In base alla lneartà della rete, è possble utlzzare l prncpo d sorapposzone degl effett ed esprmere la corrente a morsett A, B come combnazone lneare d tutt generator ndpendent, compreso quello d tensone collegato esternamente: G + α o + β o conduttanza ualente con la rete dsattata (nerte) G o o ( ) α o + β o corrente ualente con tensone nulla n corto Parte I A.A. /

8 Teorema d Téenn-Norton 94 Se entrambe le rappresentazon sono possbl generator ualent sono legat dalla relazone: /,. Una modaltà alternata per calcolare (o G ) è qund: /. A generator real (ed caratterstca laagna) A G B B Nota: Nel caso n cu sano present generator plotat esternamente, è necessaro aggungere un generatore plotato ualente sere d tensone (Téenn) o un generatore plotato ualente parallelo d corrente (Norton). Tal generator rappresentano, rspettamente, la tensone a uoto o la corrente d corto con generator ndpendent dsattat. Parte I A.A. /

9 95 Esempo d applcazone Téenn esstore n parallelo ad un generatore reale d tensone: o V o p V V o V + o p p V p o o o + p p V p I I Parte I A.A. /

10 96 Teorema del massmo trasfermento d potenza Con rfermento ad un generatore reale d tensone, o comunque ad un bpolo rappresentable Téenn, è possble collegare un resstore e determnare a quale alore della resstenza corrsponde la massma potenza da quest assorbta. S tratta d un problema d massmo, s a nfatt potenza nulla per (p ) e per (p /). p d d p ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) + + Parte I A.A. /

11 97 Parte I A.A. / Teorema d Mllman Il teorema d Mllman può essere sto come un applcazone del teorema d Téenn-Norton. Afferma ce è possble esprmere mmedatamente la tensone AB d una rete ottenuta collegando pù bpol lnear n parallelo tra nod A e B, essendo cascun bpolo rappresentable Téenn o Norton. AB j j + o o + o + o G o Nota: n presenza d sol generator d tensone real, la tensone rsultante è la meda pesata delle loro tenson, essendo l peso costtuto dalle rspette conduttanze. j A B o o o G o

12 98 Dmostrazone Teorema d Mllman Per ogn bpolo tpo Téenn s consder la rappresentazone ualente d Norton: o o / o, G o / o. Tra nod A e B s ottengono così solamente generator ndpendent d corrente e resstor (caratterzzat da resstenza o conduttanza). La corrente complessamente nettata da generator erso l morsetto A e la conduttanza complessa tra morsett A e B algono: o tot G AB o + o o o tot AB + G + AB Go j j o Parte I A.A. /

13 Teorema d Mllman duale 99 La corrente d una rete ottenuta collegando pù bpol lnear n sere è mmedatamente esprmble nella forma: o + o G o o tot tot j + + o o G o j o La dmostrazone è mmedata consderando per ogn bpolo tpo Norton la rappresentazone ualente d Téenn, ottenendo così solamente generator d tensone e resstor (caratterzzat da resstenza o conduttanza). La corrente rsulta qund l rapporto tra la somma algebrca de generator o tot e la resstenza sere complessa tot. o j G o Parte I A.A. /

14 appresentazone Téenn-Norton del multbpolo La relazone costtuta n forma matrcale del multbpolo (multporta) lneare consente d generalzzare l teorema d Téenn-Norton: [a] [] + [b] [] + [c] [] se se det [ a] det [ b] [ ] [ a] [ ] [ b] - [ a] l multbpolo è rapprenentable Téenn - [ b][ ] [ a][ ] [ b] l multbpolo è rapprenentable Norton - - [ c] [ c] Nota: tale rappresentazone può essere utlzzata ance per multpol Parte I A.A. /

15 appresentazone Téenn-Norton del multbpolo Utlzzando le matrc d cu sopra s può perenre alla forma: Téenn: [] [ ] [] + [ ] [ ] matrce d resstenza, n x n (multbpolo dsattato) [ ] n tenson a uoto d porta Norton: [] [G ] [] + [ ] [G ] matrce d conduttanza, n x n (multbpolo dsattato) [ ] n corrent n corto d porta Se entrambe le rappresentazon sono possbl: [G ] [ ] - [ ] [G ] [ ] Parte I A.A. /

16 appresentazone Téenn del multbpolo Per l ndduazone degl element della matrce d resstenza [ ] s procede n modo analogo a quanto fatto nel caso del sngolo bpolo. S consderno qund n generator ndpendent d corrente [] rspettamente collegat a cascuna porta. Data la lneartà della rete complessa è possble esprme la tensone della porta -esma come combnazone lneare d tutt generator ndpendent, ntern ed estern l multbpolo: n + + a o b o MB Parte I A.A. /

17 appresentazone Téenn del multbpolo Gl element possono pertanto essere espress dsattando tutt generator ndpendent, ntern ed estern, ad esclusone del -esmo generatore d corrente esterno: o o j j n partcolare: o o j j a + b Il termne: o o ( ) rappresenta la tensone alla porta -esma dsattando tutt generator d corrente estern, oero, la tensone d porta a uoto. j Parte I A.A. /

18 appresentazone Téenn del multbpolo 4 Il multbpolo lneare può qund essere rappresentato Téenn con una rete nerte, ndduata dalla matrce d resstenza [ ], ottenuta dsattando tutt generator ndpendent ntern, e da n generator d tensone ce rappresentano le tenson d porta a uoto, n sere con cascuna porta. bpolo multbpolo [ ] multbpolo dsattato + Parte I A.A. / n + +

19 appresentazone Norton del multbpolo 5 Con un analogo procedmento s ndduano gl element della matrce d conduttanza [G ], ntroducendo n generator ndpendent d tensone [] rspettamente collegat cascuna porta. Data la lneartà della rete complessa, la corrente della porta rsulta: n G + α o + α + o β o β o ( ) j G rappresenta la corrente della -esma porta dsattando tutt generator d tensone estern, oero, la corrente d porta n corto crcuto. E ance possble caratterzzare l multbpolo con rappresentazon brde, oero con generator sa d tensone ce d corrente e matrc [H] brde. o o j j Parte I A.A. /

20 appresentazone Norton del multbpolo 6 Il multbpolo lneare può qund essere rappresentato Norton con una rete nerte, ndduata dalla matrce d conduttanza [G ], ottenuta dsattando tutt generator ndpendent ntern, e da n generator d corrente ce rappresentano le corrent d corto crcuto d porta, n parallelo con cascuna porta. Parte I A.A. / G n G + G G + [G ] multbpolo dsattato

21 7 Parte I A.A. / Esempo d rappresentazone Téenn d un trporta o o o o 9 6 o 9 9 o 9 o 9 ( ) o o 9 6 ( ) o o 9 ( ) o o 9 o 9 9

22 Teorema d recproctà 8 S consdera una rete d sol resstor. In partcolare, l teorema ene enuncato nel caso d un multbpolo senza generator (plotat e non), caratterzzato qund dalla sola matrce d resstenza [ ]. Analogamente può essere consderata la rete dsattata d un multbpolo rappresentable Téenn, pro d generator plotat. Consderat due generator d corrente ndpendent collegat alle porte ed, lascando tutte le altre porte a uoto, s a: oero:, [ ] [ ] T La matrce d resstenza è smmetrca [ ] Parte I A.A. /

23 Teorema d recproctà 9 Dmostrazone S consder la rete complessa costtuta da due generator e dal multbpolo. In partcolare, s ndcno con l sngolo apce l nseme delle tenson e corrent d lato del multbpolo, j ed j, relate al caso d ed, e con l doppo apce l nseme delle tenson e corrent d lato del multbpolo, j ed j, relate al caso ed. Entramb sstem d tenson e corrent della rete complessa [ ], [ ] ed [ ], [ ] soddsfano le legg d Krcoff, può qund essere applcato l teorema d Tellegen nelle due formulazon: [ ] T [ ] [ ] T [ ] Parte I A.A. /

24 Dmostrazone (segue) Teorema d recproctà Edenzando l contrbuto de generator, present su sol lat ed : " + + ' " ' " j' j" ' + + " ' j" j j j ' S tratta ora d esplctare contrbut j j ed j j relat al componente crcutale sul generco lato j nterno l multbpolo. Per defnzone, se j j j j l componente s dce recproco. Parte I A.A. /

25 Dmostrazone (segue) Teorema d recproctà Aendo supposto un multbpolo d sol resstor s a: j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j l resstore è recproco S a qund: j ' j" j" j' j j sosttuendo nelle precedent relazon d Tellegen s ottene: + + Parte I A.A. /

26 Teorema d recproctà Consderando le potes sulle corrent de generator relatamente alle due stuazon:,, + + ' " " ' ' ' " oero: " s possono elmnare due termn null ed ottenere la relazone: Con procedmento analogo, utlzzando generator estern d tensone, s può dmostrare ce ance la matrce d conduttanza [G ] è smmetrca. (Nota: l nersa d una mat. smmetrca è smmetrca) Parte I A.A. /

27 Teorema d recproctà formulazone generale Il teorema d recproctà a aldtà generale per tutte le ret recproce, oero per ret composte da sol element recproc. Il resstore è l unco elemento recproco fn ora esamnato. I generator (ndpendent e plotat) non sono element recproc. In base alla dmostrazone, la formulazone generale del teorema d recproctà può essere espressa nella forma: + + ndcando con apce e doppo apce due de possbl stat elettrc della rete relatamente a lat ed :,,,,,, Parte I A.A. /

28 Teorema d non amplfcazone (o massmo guadagno) 4 In una rete d sol resstor (o comunque d element pass) con un solo generatore ndpendente, s a ce la tensone tra qualsas coppa d nod e la corrente n qualsas lato sono mnor (o ugual) rspettamente alla tensone ed alla corrente del generatore. Oero, sano A e B morsett del generatore, e due nod qualsas. S a: AB, AB (se e sono le estremtà d un lato). Dmostrazone Per la tensone, s può ance dmostrare ce: A, B LKT AB + ( B A ) Se fosse l nodo a potenzale maggore, stante la passtà de bpol della rete, tutte le corrent uscrebbero da, non sarebbe qund erfcata la LKC, qund: A. Se fosse l nodo a potenzale mnore, stante la passtà de bpol della rete, tutte le corrent entrerebbero n, non sarebbe qund erfcata la LKC, qund: B. AB A B AB A B Parte I A.A. /