Alcune proprietà dei circuiti lineari

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1 Unerstà degl Stud d Cssno lcune propretà de crcut lner ntono Mffucc, Fo Vllone 00/00

2 er 09/00 IL PINCIPIO DI SOVPPOSIZION DGLI FFTTI Il prncpo d sorpposzone degl effett è forse l pù mportnte conseguenz dell propretà d lnertà d un sstem Per llustrre questo prncpo fccmo rfermento d un sstem lnere S che un certo numero N d ngress (u ) ed un usct (y) L estensone del rsultto l cso d pù uscte è nle u u u N S y Descrzone ngresso-usct d un sstem S Per l potes d lnertà del sstem, l usct srà un comnzone lnere degl ngress: y α u α u α u α u, doe coeffcent α sono ndpendent dgl ngress Questo rsultto può essere rscrtto come: doe N y y y k N y y N, y u 0 ( k) Il rsultto ppen enuncto è l formlzzzone del prncpo d sorpposzone degl effett: l rspost d un sstem lnere s può ottenere come sorpposzone delle rsposte del sstem cscuno degl ngress, consderto seprtmente ( y k è l rspost del sstem qundo tutt gl ngress d eccezone d quello d ndce k sono null) N Per edere come s trduce questo prncpo nell mto de crcut elettrc, consdermo un crcuto costtuto d un certo numero d genertor ndpendent d tensone e d corrente e d resstor lner pplcndo l modello crcutle è fcle mostrre che l questo crcuto è lnere e qund l corrente o l tensone relte d un generco polo dell rete (le uscte del prolem) s possono esprmere come comnzone lner de genertor (gl ngress, coè le grndezze note) J N S, Descrzone ngresso-usct d un rete elettrc lnere

3 er 09/00 Per l prncpo d sorpposzone degl effett possmo llor ffermre che: l generc corrente (o tensone) d un rete lnere è l somm delle corrent (o tenson) che cscuno de genertor produrree se gsse d solo Ossermo che, per poter lutre contrut de r genertor occorre nlzzre tnt crcut uslr qunt sono genertor: cscun crcuto è ottenuto lscndo cceso uno solo de genertor e spegnendo tutt gl ltr cordmo che spegnere un genertore d tensone ule sostturlo con un corto-crcuto ( 0 ) e che spegnere un genertore d corrente ule sostturlo con un crcuto perto ( 0 ) S consder, d esempo, l rete seguente, nell qule gsce un genertore d corrente ed uno d tensone S suppong d doer lutre l corrente e l tensone pplcre l sorpposzone degl effett sgnfc rsolere due crcut uslr seguent e sommre contrut ottenut Il prmo tene conto dell effetto del solo genertore d tensone (quello d corrente è stto sosttuto con un crcuto perto), l secondo del solo genertore d corrente (quello d tensone è stto sosttuto con un corto-crcuto) crcuto uslro I crcuto uslro II nlzzndo l crcuto uslro I s mostr fclmente che: ) (, nlzzndo l crcuto uslro II s h nece: J B B, L soluzone srà qund l somm de contrut:, ) )( ( J B ) )( ( J B J

4 er 09/00 Not Consdermo ncor un rete lnere, d cu però non smo nteresst clcolre un corrente o un tensone d un polo m d esempo l potenz elettrc d esso ssort In questo cso l prncpo d sorpposzone degl effett non s può pplcre: non è possle sorpporre le potenze ottenute rsolendo crcut uslr cordmo che n un rete lnere l modello crcutle sscur che le corrent e le tenson d ogn polo sono funzon lner de genertor, mentre le potenze sono funzon non lner (legte l qudrto delle corrent o delle tenson) d esempo, nel crcuto ppen nlzzto l modo corretto d lutre l potenz ssort d sree quello d clcolre prm con l sorpposzone degl effett e po lutre: P ( ) Ossermo che questo rsultto non contrddce l prncpo d conserzone delle potenze, l qule grntsce che l somm delle potenze ssorte d tutt pol d un rete è sempre null L conserzone correttmente pplct pol d cscun delle tre ret nlzzte, m non mplc l possltà d sommre potenze relte pol d ret derse IL PINCIPIO DI QUIVLNZ Il concetto d ulenz è uno de concett fondmentl dell Teor de Crcut, non solo per le sue mplczon teorche m nche per le mmedte pplczon prtche che ne conseguono, che consentono d semplfcre d molto l nls de crcut elettrc S consder l cso generle mostrto n fgur d un polo X collegto d un rete Il concetto d ulenz, llor, s può ntrodurre nel seguente modo: un polo Y è ulente l polo X se l sosttuzone d X con Y lsc nlterto l funzonmento dell rete (qulunque s l rete ) (t) (t) polo X (t) rete polo Y (t) rete Il polo Y è ulente l polo X S osser che pol X ed Y non sono necessrmente costtut d un unco elemento crcutle, m potreero, nel cso generle, rppresentre un sottorete d pol collegt ll rete ttrerso l copp d morsett - Se pol sono sttc (resstor) llor l prncpo d ulenz s può formulre come segue: due pol sttc X e Y sono ulent se hnno l stess crtterstc

5 er 09/00 G G G G G G qulenz sere qulenz prllelo qulenz sere: due resstor d resstenz ed collegt n sere sono ulent d un unco resstore d resstenz Per prorlo st pplcre l LKT e l defnzone d sere d due pol: ) ( Questo rsultto s estende fclmente l cso d un numero n qulss d resstor n sere Se de resstor s conosce l conduttnz, s mostr che G GG G G qulenz prllelo: due resstor d conduttnz G e G collegt n prllelo sono ulent d un unco resstore d conduttnz G G G Per prorlo st pplcre l LKC e l defnzone d prllelo d due pol: G G G G G G ) ( Questo rsultto s estende fclmente l cso d un numero n qulss d resstor n prllelo Se de resstor s conosce l resstenz, è fcle mostrre che G esstenz ulente d un rete d resstor Nel cso generle, per lutre l resstore ulente d un rete d resstor st cp d un copp d morsett - occorre mporre l corrente (collegndo morsett - un genertore dele d corrente ) e clcolre l tensone corrspondente: In moltssm cs d nteresse pplcto, l s può lutre pplcndo tertmente le ulenze sere e prllelo, elmnndo tutt nod fno d rrre due sol nod corrspondent morsett -: rete d resstor 5

6 er 09/00 x x // x sempo d clcolo d un resstenz ulente In mner dule, l conduttnz ulente d un rete d resstor st cp d un copp d morsett - s ottene dl rpporto tr l corrente e l tensone cp dell stess copp d morsett, endo mposto l tensone con un genertore dele d tensone qulent d ret d genertor Due genertor del d tensone collegt n sere sono ulent d un unco genertore d tensone pr ll somm lgerc de due ( segn dpendono dlle polrtà de genertor) Due genertor del d corrente collegt n prllelo sono ulent d un unco genertore d corrente pr ll somm lgerc de due ( segn dpendono dlle polrtà de genertor) J J J -J - qulent d ret d genertor Not S not che, collegndo due genertor ndpendent d tensone n prllelo o due genertor ndpendent d corrente n sere s ottengono prolem mlpost, coè stuzon ptologche che non hnno soluzone o ne mmettono nfnte 6

7 er 09/00 TOM DL GNTO QUIVLNT (THÉVNIN NOTON) Teorem d Théenn S consder un rete qulss, costtut d resstor lner e d genertor del cp d un su qulunque copp d morsett -, l rete n oggetto può essere sosttut dl polo costtuto dll sere d un genertore dele d tensone 0 e un resstenz ulente, essendo: 0 tensone morsett - qundo tr gl stess è un crcuto perto (tensone uoto); resstenz ulente cp de morsett - dell rete res pss (coè dell rete ottenut spegnendo tutt gl element tt) 0 Genertore ulente d Théenn Per dmostrre l teorem st erfcre che due pol hnno l stess crtterstc: cò ule mostrre che, collegndo morsett un genertore dele d corrente, l tensone che se ne rc è l stess per due pol L lnertà dell rete consente d pplcre l prncpo d sorpposzone degl effett, qund possmo consderre due crcut uslr ottenut fcendo gre un olt l solo genertore esterno e un olt sol genertor ntern:, Per come sono defnt due crcut uslr s h, edentemente: 0,, 0,, con 0 ed defnt come sopr Se ne conclude che l crtterstc dell rete è l seguente: 0 ed è l stess dell sere genertore d tensone resstore rppresentt n fgur Trscurmo qu eentul stuzon ptologche per le qul l soluzone non esst o non s unc 7

8 er 09/00 Teorem d Norton S consder un rete qulss, costtut d resstor lner e d genertor del cp d un su qulunque copp d morsett -, l rete n oggetto può essere sosttut dl polo costtuto d un genertore dele d corrente I cc n prllelo d un conduttnz G, essendo: I cc corrente che crcol n un corto-crcuto posto tr morsett - (corrente d corto crcuto) G conduttnz ulente cp de morsett - dell rete res pss (coè dell rete ottenut spegnendo tutt gl element tt) (Il lettore pro dmostrre l teorem d Norton pplcndo l sorpposzone degl effett) I cc G Genertore ulente d Norton pplcndo l concetto d ulenz è fcle mostrre che pol d Théenn e d Norton sono tr d loro ulent se prmetr che l defnscono sono legt dlle relzon: I / G cc 0, ene noltre edenzre che prmetr degl ulent d Théenn e d Norton non hnno ltr nterpretzone se non quell fornt dll enuncto del teorem d esempo, non è possle lutre l potenz elettrc erogt d genertor dell rete d prtenz clcolndo l potenz erogt dl genertore d Théenn o d Norton nell rete ulente ottenut llo stesso modo l potenz ssort d non è ugule quell ssort dll prte resst dell rete d cu s è ottenuto l ulente S consder, per esempo, l semplce stuzone descrtt nell fgur erog erog seguente e s mostr che P P, P P P, mentre P è omente l stess 0 S osser che possono esstere stuzon n cu è mpossle ottenere l ulente d Théenn m esste quello d Norton o ceers Nell rete seguente, d esempo, cp de morsett - è possle defnre solo l ulente d Norton I 0 I cc G 0 I cc I G 0 8