Il problema del commesso viaggiatore e problemi di vehicle routing

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1 Il problema del commesso viaggiatore e problemi di vehicle routing Laura Galli Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, Pisa laura.galli@unipi.it 2 Dicembre 2014 Ricerca Operativa 2 Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa A.A. 2014/15 L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 1 / 33

2 Problema del commesso viaggiatore (TSP) Problema Grafo (N,A) completo; c ij = costi sugli archi. Trovare un ciclo di costo minimo che passi su tutti i nodi una ed una sola volta (ciclo hamiltoniano). Teorema Questo problema è NP-hard. Quante sono le soluzioni ammissibili? L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 2 / 33

3 Problema del commesso viaggiatore (TSP) Applicazioni trasporti, logistica: (N,A ) rete stradale. S N, cerco ciclo di costo minimo che passi su tutti i nodi di S. Il problema è un TSP sul grafo (N,A), dove N = S, A = S S, c ij = costo cammino minimo da i a j sul grafo (N,A ). scheduling (problema 1 s jk C max ) produzione di circuiti integrati data analysis sequenze DNA...(vedi L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 3 / 33

4 Perché ciclo hamiltoniano? William Rowan Hamilton ( ): in un dodecaedro regolare è possibile partire da un vertice e, passando sugli spigoli, toccare tutti i vertici una ed una sola volta e tornare al vertice di partenza? L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 4 / 33

5 Perché ciclo hamiltoniano? Icosian game: in un dodecaedro regolare è possibile partire da un vertice e, passando sugli spigoli, toccare tutti i vertici una ed una sola volta e tornare al vertice di partenza? L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 5 / 33

6 TSP simmetrico e asimmetrico Se la matrice dei costi è simmetrica, cioè c ij = c ji per ogni arco (i,j), il problema è detto simmetrico; altrimenti è detto asimmetrico. TSP asimmetrico TSP simmetrico Prima tratteremo il problema asimmetrico (più generale) e poi quello simmetrico (caso particolare). L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 6 / 33

7 Modello 1 Variabili: x ij = { 1 se arco (i,j) ciclo hamiltoniano, 0 altrimenti. min (i,j) A i N\{j} j N\{i} (i,j) A: i S, j/ S c ij x ij x ij = 1 j N (1) x ij = 1 i N (2) x ij 1 S N, S,N (3) x ij {0,1} (i,j) A (1)-(2): per ogni nodo deve esistere un arco entrante e un arco uscente (3): eliminazione di sottocicli. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 7 / 33

8 Modello 2 Variabili: x ij = { 1 se arco (i,j) ciclo hamiltoniano, 0 altrimenti. (i,j) A: i S, j S min (i,j) A i N\{j} j N\{i} c ij x ij x ij = 1 j N (4) x ij = 1 i N (5) x ij S 1 S N, S,N (6) x ij {0,1} (i,j) A (4)-(5): per ogni nodo deve esistere un arco entrante e un arco uscente (6): eliminazione di sottocicli. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 8 / 33

9 Modello 3 { 1 se arco (i,j) ciclo hamiltoniano Variabili: x ij = 0 altrimenti u i 1 per ogni i N, dove u i = k se i è il k esimo nodo visitato nel ciclo. min (i,j) A i N\{j} j N\{i} c ij x ij x ij = 1 j N (7) x ij = 1 i N (8) N x ij +u i u j N 1 (i,j) A, j 1 (9) x ij {0,1} u 1 = 1 (i,j) A 2 u i N i N,i 1 (7)-(8): per ogni nodo deve esistere un arco entrante e un arco uscente (9): eliminazione di sottocicli. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 9 / 33

10 Modello 3 Perché il vincolo N x ij +u i u j N 1 (i,j) A, j 1 (9) elimina i sottocicli? Se x ij = 1, con j 1, allora u j u i +1. Se x ij = 0 allora u i u j N 1. Se x soddisfa i vincoli (7)-(8) ma non è un ciclo hamiltoniano, allora è una famiglia di sottocicli, quindi esiste un sottociclo S che non passa per il nodo 1. Applicando il vincolo (9) agli archi di S si ottiene una contraddizione sulle variabili u, quindi (9) non è soddisfatto. Il vincolo (9) è soddisfatto da ogni ciclo hamiltoniano. Infatti, al ciclo corrisponde la soluzione x 14 = 1, x 42 = 1, x 23 = 1, x 31 = 1, u 1 = 1, u 4 = 2, u 2 = 3, u 3 = 4 che soddisfa il vincolo (9). Il vincolo (9) è costituito da O(n 2 ) disequazioni (polinomiale) I vincoli (3) e (6) sono costituiti da O(2 n ) disequazioni (non polinomiale) L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 10 / 33

11 Modello 4 Variabili: x ij = { 1 se arco (i,j) ciclo, 0 altrimenti, j N\{i} min (i,j) A i N\{j} j N\{i} y ji j N\{i} c ij x ij y ij = flusso inviato lungo (i,j) x ij = 1 j N (10) x ij = 1 i N (11) y ij = 1 i N,i 1 (12) 0 y ij ( N 1)x ij (i,j) A (13) x ij {0,1} (i,j) A (10)-(11): per ogni nodo deve esistere un arco entrante e un arco uscente (12)-(13): eliminazione di sottocicli. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 11 / 33

12 Metodo Branch and Bound: rilassamenti Rilassamenti continui dei modelli 1, 2, 3, 4. Eliminare i vincoli di connessione dal modello 1: si ottiene un problema di assegnamento di costo minimo: min c ij x ij i N j N x ij = 1 j N i N x ij = 1 i N j N x ij {0,1} i,j N Questo problema è un flusso di costo minimo e quindi è risolubile in tempo polinomiale. La soluzione ottima è una famiglia di cicli orientati che coprono tutti i nodi. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 12 / 33

13 Metodo Branch and Bound: rilassamenti Esempio Consideriamo la seguente matrice dei costi: La soluzione ottima del rilassamento è formata da due cicli: e ha valore 125 = v I (P). x 13 = 1, x 32 = 1, x 21 = 1, x 45 = 1, x 54 = 1, L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 13 / 33

14 Metodo Branch and Bound: metodi euristici Metodo greedy sugli archi Dispongo gli archi in ordine crescente di costo. Seguendo l ordine, inserisco un arco se vengono rispettati tutti i vincoli. Esempio x 34 = 1, x 43 = 0, x 13 = 1, x 45 = 1, x 54 = 0, x 14 = 0, x 42 = 0, x 35 = 0, x 53 = 0, x 12 = 0, x 15 = 0, x 21 = 1, x 32 = 0, x 41 = 0, x 31 = 0, x 23 = 0, x 52 = 1. Il ciclo trovato è di costo 135. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 14 / 33

15 Metodo Branch and Bound: metodi euristici Algoritmo del nodo più vicino Parti da un nodo i. Il nodo successivo è il più vicino a i tra quelli non ancora visitati. E così via. Esempio Partendo dal nodo 1 si ottiene il ciclo di costo 135. Partendo dal nodo 5 si ottiene il ciclo di costo 134. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 15 / 33

16 Metodo Branch and Bound: metodi euristici Algoritmi di inserimento Costruisco un ciclo su un sottoinsieme di nodi. Estendo questo ciclo inserendo uno alla volta i nodi rimanenti fino ad inserire tutti i nodi. L implementazione di questo schema dipende da: come costruisco il ciclo iniziale: ciclo qualsiasi, ciclo sui 3 nodi che formano il triangolo più grande, ciclo che segue l involucro convesso dei nodi (quando c ij = distanza euclidea tra i e j),... come scelgo il prossimo nodo da inserire: il più vicino al ciclo, il più lontano dal ciclo, quello il cui inserimento causa il minimo incremento nella lunghezza del ciclo,... dove inserisco il nodo scelto: di solito è inserito nel punto che causa il minimo incremento nella lunghezza del ciclo L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 16 / 33

17 Metodo Branch and Bound: metodi euristici Esempio Scelgo un ciclo a caso: Il nodo 4 ha distanza 12 dal ciclo, mentre il nodo 5 ha distanza 30. Scelgo il nodo più vicino al ciclo: 4. Dove inserisco il nodo 4? Se inserisco 4 tra 1 e 2, la lunghezza del ciclo aumenta di = 21 Se inserisco 4 tra 2 e 3, la lunghezza del ciclo aumenta di = 24 Se inserisco 4 tra 3 e 1, la lunghezza del ciclo aumenta di = 8 Quindi inserisco il nodo 4 tra 3 e 1. Il ciclo diventa Dove inserisco il nodo 5? Conviene inserirlo tra 3 e 4, quindi il ciclo hamiltoniano è di costo 167. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 17 / 33

18 Metodo Branch and Bound: metodi euristici Algoritmo basato sulla soluzione ottima del rilassamento. Algoritmo delle toppe (patching) 1. L assegnamento di costo minimo è formato da una famiglia di cicli orientati F = {C 1,...,C p }. 2. Per ogni coppia di cicli C i,c j F, calcola l incremento di costo γ ij corrispondente alla fusione di C i e C j nel modo più conveniente possibile. 3. Effettua la fusione dei due cicli C i e C j ai quali corrisponde il minimo valore di γ ij. Aggiorna F. 4. Se F contiene un solo ciclo allora STOP altrimenti torna al passo 2. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 18 / 33

19 Metodo Branch and Bound: metodi euristici Esempio La soluzione ottima del rilassamento è formata da due cicli: e Le possibili fusioni dei due cicli sono le seguenti: sostituire gli archi con gli archi si ottiene il ciclo di costo (1,3) e (4,5) (1,5) e (4,3) (1,3) e (5,4) (1,4) e (5,3) (2,1) e (4,5) (2,5) e (4,1) (2,1) e (5,4) (2,4) e (5,1) (3,2) e (4,5) (3,5) e (4,2) (3,2) e (5,4) (3,4) e (5,2) La fusione più conveniente trova il ciclo di costo 128. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 19 / 33

20 Metodi euristici: ricerca locale Dopo aver trovato una soluzione ammissibile, provo a migliorarla. 1. Trovo una soluzione ammissibile x 2. Genero un insieme N(x) di soluzioni vicine ad x (intorno) 3. Se in N(x) esiste una soluzione ammissibile x migliore di x allora x := x e torno al passo 2 altrimenti STOP (x è una soluzione ottima locale) L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 20 / 33

21 Metodi euristici: ricerca locale Nel caso del TSP, come definisco un intorno N(x)? Una possibile scelta è: N(x) = {cicli hamiltoniani che hanno 2 archi diversi da x} x x N(x) L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 21 / 33

22 Metodi euristici: ricerca locale Esempio Consideriamo il TSP sul grafo Effettuiamo la ricerca locale a partire dal ciclo di costo 142. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 22 / 33

23 Metodi euristici: ricerca locale Esempio x costo elimino archi inserisco archi x costo (1,3) (5,2) (1,5) (3,2) (1,5) (2,4) (1,2) (5,4) (1,2) (3,5) (1,3) (2,5) (1,2) (5,4) (1,5) (2,4) (2,3) (5,4) (2,5) (3,4) (2,3) (4,1) (2,4) (3,1) L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 23 / 33

24 Problemi di vehicle routing Servire un insieme di clienti utilizzando una flotta di veicoli, localizzati in uno o più depositi, che si spostano su una rete stradale. Rete stradale Grafo completo (N, A), dove N={clienti, depositi}, A ={tratti stradali}, c ij = lunghezza del cammino minimo da i a j vale disuguagliaza triangolare t ij = tempo di viaggio da i a j Clienti - il cliente i ha una domanda d i - tempi di carico/scarico - eventuali finestre temporali (orari apertura, orari accesso ZTL,...) - eventuali veicoli non utilizzabili L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 24 / 33

25 Problemi di vehicle routing Veicoli - veicoli di dimensione fissa o variabile (rimorchio?) - veicolo può ritornare in un deposito diverso da quello di origine - capacità di carico (volume, peso, unità,...) - archi che un veicolo non può attraversare - costi (per km, per ora,...) Autisti - dipendenti o ditte esterne - vincoli su orario di lavoro, durata pause,... L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 25 / 33

26 Problemi di vehicle routing Vincoli operativi - capacità dei veicoli - è permessa solo la consegna di merce ai clienti, oppure solo il ritiro, oppure entrambe le operazioni - massima lunghezza/durata dei viaggi - rispetto finestre temporali - precedenze tra clienti (pickup and delivery): la merce prelevata da un cliente deve essere consegnata ad un altro cliente dallo stesso veicolo - precedenze tra clienti (vehicle routing with backhaul): tutte le consegne di merce devono essere effettuate prima dei ritiri di merce Obiettivi - minimizzare costo totale di trasporto (distanza percorsa + costi veicoli) - minimizzare numero dei veicoli utilizzati - minimizzare penalità associate al mancato servizio di clienti L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 26 / 33

27 Problemi di vehicle routing Applicazioni distribuzione di merci a clienti dislocati in diverse zone geografiche distribuzione di merci ai negozi di una città raccolta rifiuti solidi urbani... L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 27 / 33

28 VRP capacitato un solo deposto (nodo 0) da cui partono e in cui tornano i veicoli n clienti (nodi 1,...,n) solo consegne di merce di un unico tipo d i = domanda del cliente i K veicoli identici di capacità C, un solo viaggio per veicolo obiettivo: minimizzare lunghezza totale percorsa Questo problema è NP-hard (perché il TSP è un caso particolare per K = 1). L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 28 / 33

29 Modello 1 Variabili: x ij = { 1 se arco (i,j) sol. ottima 0 altrimenti min (i,j) A i N\{j} j N\{i} i N\{0} x ij i S j/ S c ij x ij x ij = 1 j N \{0} (14) x ij = 1 i N \{0} (15) x i0 = K (16) i S di C x ij {0,1} S N \{0}, S (17) (i,j) A (14)-(15): un arco entrante e un arco uscente per ogni cliente. (16): K veicoli usati. (17): capacità dei veicoli ed eliminazione di sottocicli. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 29 / 33

30 Modello 2 Variabili: x ij = { 1 se arco (i,j) sol. ottima 0 altrimenti min (i,j) A i N\{j} j N\{i} i N\{0} c ij x ij u i = carico veicolo prima di visitare i x ij = 1 j N \{0} (18) x ij = 1 i N \{0} (19) x i0 = K (20) u j u i +C x ij C d i i,j N \{0}, i j (21) x ij {0,1} (i,j) A d i u i C i N \{0} (18)-(19): un arco entrante e un arco uscente per ogni cliente. (20): K veicoli usati. (21): capacità dei veicoli ed eliminazione di sottocicli. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 30 / 33

31 Modello 3 Variabili: x ijk = { { 1 se veicolo k passa sull arco (i,j) 1 se i assegnato al veicolo k y ik = 0 altrimenti 0 altrimenti j N\{i} min K c ij x ijk (i,j) A k=1 K y ik = 1 i N \{0} (22) k=1 K y 0k = K (23) k=1 x ijk = x jik = y ik i N,k = 1,...,K (24) j N\{i} d i y ik C k = 1,...,K (25) i N\{0} x ijk y hk S N \{0},h S,k = 1,...,K (26) i S j/ S x ijk {0,1},y ik {0,1} i,j,k (22): ogni cliente è assegnato a un solo veicolo. (23): K veicoli usati. (24): se i è assegnato a k, allora k entra ed esce da i. (25): capacità dei veicoli. (26): eliminazione sottocicli. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 31 / 33

32 Modello 4 Indichiamo con R = {R 1,...,R q } l insieme di tutte le rotte ammissibili (R j è un ciclo che include { il deposito e rispetta le capacità) { e c j = costo della rotta R j. 1 se i R j 1 se scelgo la rotta R j Definiamo a ij = Variabili: x j = 0 altrimenti 0 altrimenti min q c j x j j=1 q a ij x j = 1 i N \{0} (27) j=1 q x j = K (28) j=1 x j {0,1} (27): ogni cliente è assegnato a una sola rotta. (28): K veicoli usati. j L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 32 / 33

33 Metodi euristici Costruttivi: trovano gradualmente una soluzione ammissibile, senza fasi di miglioramento A due fasi: cluster-first-route-second: prima si dividono i clienti in sottoinsiemi ammissibili (rispettando le capacità), poi per ogni sottoinsieme si determina la rotta (risolvendo un TSP) route-first-cluster-second: prima si trova un ciclo hamiltoniano su tutti i clienti (TSP), poi si suddivide il ciclo in pezzi ammissibili (rispettando le capacità) Ricerca locale: prima trovano una soluzione ammissibile, poi cercano di migliorarla esplorando un intorno, fino a trovare una soluzione ottima locale L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 33 / 33