10 10 Ω m per un isolante.

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1 Smiconduttori nota I smiconduttori sono stati trattati durant l ultim tr lzioni dl corso io sono stato assnt Dunqu qullo ch scrivo qui non è una sbobinatura All inizio di ogni szion scrivrò la font La font principal è il tsto (Bassani) l not dl corso scritt dal prof Introduzion (Bassani, Cap, pag 308) Già dal primo 800 ra chiaro ch sistono alcuni solidi ch sono cattivi co cattivi isolanti, cioè coarattristich cioè intrmdi tra conduttori d isolanti La loro conduttività 0è Ω m, contro valori tipici di 0-8 Ω m pr un mtallo 0 0 Ω m pr usolant Una carattristica pculiar è ch la rsistività di smiconduttori diminuisc anzicché aumntar all aumntar dlla tmpratura Smiconduttori sono qui solidi ch allo zro assoluto hanno la banda di valnza compltamnt pina la banda di conduzion compltamnt vuota, ma hanno una larghzza dlla gap tra qust du band abbastanza piccola Quando la tmpratura sal, quando divnta dll ordin dll nrgia dlla gap E g, la banda di valnza comincia a spopolarsi la banda di conduzion si popola Qusti lttroni in banda di conduzion l buch rimast in banda di valnza si comportano com gli lttroni o l buch ni mtalli : conducono la corrnt, il calor, contribuiscono al calor spcifico Tuttavia in qusto caso la dnsità di portatori la loro mobilità è influnzata dalla tmpratura I smiconduttori più studiati sono cristalli di lmnti dl gruppo IV (silicio, grmanio) i composti con un lmnto dl gruppo II un lmnto dl gruppo V L dnsità di portatori (Not Iadonisi) - mtalli - Ricordiamo ch il potnzial chimico ha una sua dfinizion mccanica statistica : «il potnzial chimico è l nrgia ncssaria a far variar di un unità il numro di particll dl sistma mantnndo costant l ntropia» (vdi appunti di Mccanica Statistica) Tuttavia, qullo ch intrssa a noi, è il ruolo ch sso gioca nlla distribuzion di Frmi-Dirac La distribuzion di Frmi-Dirac è

2 2 f 0 E E µ + d sprim la probabilità coui è occupato urto stato in funzion dlla sua nrgia, dipnd dalla tmpratura Qusta funzion solo allo zro assoluto è un gradino, mntr a tmpratur non null ha dll coda ch si smorzano all Vdiamo ch in qusta distribuzion compar il potnzial chimico Allo zro assoluto qusto coincid con l nrgia di Frmi, ch è l nrgia dov c è il gradino, ch dunqu fa da valor di sparazion tra gli stati occupati (cortzza) gli stati libri (con crtzza) Invc pr tmpratur non null il potnzial chimico µ è una funzion dlla tmpratura, ha il ruolo di «nrgia al di sotto dlla qual la probabilità di occupazion è maggior di al di sopra dlla qual la probabilità di occupazion è minor di» Richiamiamo brvmnt il calcolo dl potnzial chimico pr i mtalli (vdi) Usando il modllo di lttron quasi libro partiamo dalla rlazion di disprsion pr particll libr ε k P S 2 k 2 2 m Dalla rlazion di disprsion si ricava la «dnsità dgli stati risptto all nrgia, (pr unità di volum)» g(ε) (vdi ) (nota mia : qusto è ualcolo fatto un sacco di volt : la prima volta io l ho visto pr il modllo di Thomas-Frmi a Struttura ) Con qusta dnsità di stati si può scrivr un sprssion pr il «numro di lttroni (pr unità di volum) all quilibrio trmodinamico» h è ottnuto intgrando su tutta l nrgia la dnsità dgli stati risptto all nrgia (pr unità di volum) g(ε) moltiplicata pr la funzion di distribuzion di Frmi-Dirac f(ε) (dnsità di stati occupati risptto all nrgia) : n I 0 g ε f ε n 2 m 2 π 2 S 2 I 0 ε / 2 ε µ + dε qusta rlazion (iui compaiono tutt grandzz not ) fornisc implicitamnt un sprssion pr il potnzial chimico µ Quando abbiamo studiato l argomnto nl caso di mtalli abbiamo calcolato qusto intgral, facndo comparir la drivata dlla distribuzion di Frmi tramit un intgrazion pr parti,

3 3 sfruttandon poi l proprità (quasi ovunqu nulla trann una piccola rgion larga cntrata su µ) pr potr far uno sviluppo in sri (vdi) Comunqu è possibil ualcolo dirtto Infatti qusto intgral rintra in una catgoria di intgrali dl tipo F j x 0 I 0 x x 0 x j + dx dtti intgrali di Dirac, ch svolgono un ruolo important nl calcolo dll proprità di un gas di lttroni o lacun ni smiconduttori Dallo studio di qusti intgrali si trovano in gnral i sgunti risultati approssimati (form asintotich) : F j x 0 Γ j + x 0 s x 0 < -2 F j x 0 x j + 0 j + + π 2 j j + 6 x 2 0 (form asintotich dll intgral di Dirac) + s x 0 >> Utilizzando qusti risultati pr calcolar il nostro intgral si ha : n 2 m 2 π 2 S π 2 8 µ 2 n 2 m 3 π 2 S 2 µ + π 2 8 µ (qust formul l ho copiat dirttamnt dagli appunti dl prof, ma crdo ch ci siano di pasticci!) 2 da cui µ 3 π 2 S 2 2 m n + π 2 8 µ 2 quindi : pr T 0 ε F S 2 2 m 3 π 2 n 2 / 3 pr T 0

4 4 µ ï ε F + π 2 8 ε F 2 2 / 3 µ ï ε F + π ε F (qua ci stanno dgli rrori, quanto mno nl sgno ch compar inparntsi!) - smiconduttori - Pr studiar i smiconduttori facciamo di calcoli analoghi, pr sprimr qullo ch chiamrmo «numro (o dnsità) di portatori di carica pr unità di volum» Nl caso di smiconduttori prò bisogna considrar almno du band sparat : la banda di valnza, più bassa in nrgia, la banda di conduzion, più alta in nrgia, sparat dalla gap E g di nrgia proibita Esprimiamo dunqu l du dnsità di lttroni in banda di conduzion di lacun banda di valnza, utilizzando du divrs dnsità di stati intgrando sui rispttivi intrvalli di nrgia : ε c + c I g c ε f ε ε c p v ε v I ε v v g v ε f ε dov : ε c è il minimo dlla banda di conduzion c è la larghzza dlla banda di conduzion g c (ε) è la dnsità in nrgia (pr unità di volum) dgli lttroni in banda di conduzion ε v è il massimo dlla banda di valnza v è la larghzza dlla banda di valnza g v (ε) è la dnsità in nrgia (pr unità di volum) dll lacun banda di valnza Considriamo adsso il potnzial chimico A T0 la banda di valnza è compltamnt pina la banda di conduzion è compltamnt vuota, dunqu il potnzial chimico (nrgia di Frmi) si dv trovar da qualch part nlla gap di nrgia proibita, a causa dlla sua dfinizion di «valor di sparazion tra l nrgi dgli stati occupati qull dgli stati vuoti»

5 5 Anticipiamo ch pr i smiconduttori drogati si hanno dgli stati lttronici discrti (stati di impurzza) con nrgia nlla gap, ch possono ssr occupati o no Comunqu la banda di conduzion è vuota Dunqu il potnzial chimico (nrgia di Frmi) si dv comunqu trovar tra lo stato occupato più alto in nrgia il minimo dlla banda di conduzion La pculiarità di smiconduttori sta nl fatto ch la gap di nrgia è strtta ( V) Dunqu innalzando la tmpratura il potnzial chimico si sposta, si formano l cod nlla distribuzion di Frmi, la banda di conduzion si popola, prmttndo un flusso di corrnt Ci accingiamo a studiar qusti fftti Ni conti ch sguono assumrmo smpr ch : a) µ sta nlla gap di nrgia ε µ c b) > > µ ε ; v conti) > > (qust du ipotsi srvono solo a smplificar i inoltr si ha, anch pr tmpratur molto lvat c) c > > ; v > > qust ultima condizion comporta ch gli stati lttronici vicini al massimo dlla banda di conduzion gli stati lttronici vicini al minimo dlla banda di valnza (pr capirsi, gli stati ch nll du band stanno dal lato opposto dlla gap) contribuiscono poco agli intgrali Infatti nllo studio di mtalli abbiamo più volt ossrvato ch la gran part dll nrgi pr cui la funzion di Frmi è divrsa da 0 o da si trovano in untrvallo cntrato attorno a µ di larghzza dll ordin di, dunqu gli stati in qustion, trovandosi ad una distanza in nrgia (approssimativa) di c v da µ rispttivamnt, si trovano nll cod dlla funzion di Frmi, dov c è piccola probabilità di trovar uno stato lttronico (nlla banda di valnza, a v da µ) o uno stato di buca (nlla banda di conduzion, a c da µ) occupato Ma i valori dll nrgi pr cui la funzion di Frmi è divrsa da o da 0 sono qulli ch contribuiscono rispttivamnt di mno ai du intgrali Grazi a qusta ossrvazion possiamo stndr i limiti di intgrazion, scrivr in forma approssimata : p v I ε c g c ε f ε ε v I g v ε f ε Bisogna tnr conto dl valor dl potnzial chimico µ risptto al minimo dlla banda di

6 6 conduzion al massimo dll banda di valnza Di solito il valor di µ cad nlla gap di nrgia : ε c > µ > ε v dunqu nll band ricadono solo l cod dlla distribuzion di Frmi In qusto caso possiamo dir ch il numro di lttroni in banda di conduzion di lacun banda di valnza è smpr molto piccolo risptto al numro di Avogadro Tuttavia, s considriamo un smiconduttor drogato, può succdr ch il numro di lttroni in banda di conduzion o il numro di lacun banda di valnza (a sconda dl tipo di drogaggio accttorico o donorico ), sbbn smpr minor dl nuro di Avogadro, non sia così piccolo, spostando il potnzial chimico rispttivamnt dopo il minimo dlla banda di conduzion o prima dl massimo dlla banda di valnza (cioè allintrno dll band) : µ > ε c µ < ε v Comunqu in ntrambi i casi possiamo usar pr l rispttiv dnsità di stati l sprssion ch abbiamo calcolato quando abbiamo studiato la toria dll band (vdi) Ricordiamo ch abbiamo fatto du conti divrsi, a sconda ch si utilizzass il modllo di lttron quasi libro (iui si considrava ssnzialmnt l nrgia di particlla libra) oppur il modllo dl tight binding, iui è possibil ottnr un sprssion splicita dlla dnsità di stati solo in prssimità di punti critici dlla forma di banda Comunqu, in ntrambi i conti abbiamo ottnuto dll dnsità di nrgia ch vanno com la radic quadrata dll nrgia Scglindo opportunamnt lo zro dll nriga possiamo dunqu scrivr l sgunti du dnsità di stati in nrgia (pr unità di volum) : g c ε m 2 π 2 S 2 c ε ε c / 2 g v ε v 2 π 2 S 2 ε v ε / 2 dov c / m m 2 m 3 / 3 v / m m 2 m 3 / 3 sono dtt l mass fficaci mdi dl minimo di banda di conduzion dl massimo di banda di valnza, dov gli m i sono i valori principali dl tnsor di massa fficac Sostitundo qust dnsità ngli intgrali pr l dnsità di portatori si ha :

7 7 2 m 2 π 2 S 2 c I ε c ε ε c / 2 ε µ + dε 2 m c 2 π 2 S 2 F / 2 µ ε c N 0 T F / 2 µ ε c (dnsità dgli lttroni) dov compar il risultato gnral dgli intgrali di Dirac (vdi) dov abbiamo posto N 0 T 2 m c 2 π 2 S 2 ch numricamnt è N 0 T ï m c T 00 cm 3 dov m c c m è la massa fficac sprssa in unità di massa lttronica S si ha >> N 0 vuol dir ch il fattor F /2 (µ ε c /KT) è molto grand, dunqu dv ssr µ >> ε c In tal caso si dv usar il scondo tipo di soluzion dll intgral di Dirac, si ritrova il risultato dl caso di mtalli : 2 m 3 π 2 c S 2 µ ε c (dnsità, pr >> N 0 ) S invc si ha N 0, pr lo stsso motivo dv ssr µ < ε c, dunqu bisogna usar l altro caso, ottnndo : N c µ ε c (dnsità, pr << N 0 ) dov abbiamo posto

8 8 N c T 2 c 2 π S 2 (domanda : poiché qusta grandzza N c vrrà impigata in sguito, qual è il suo significato fisico?) Si possono far conti dl tutto analghi pr l lacun, ottnndo ch : p v P 0 T F / 2 ε v µ (dnsità dll lacun) dov abbiamo posto P 0 T 2 m v 2 π 2 S 2 P 0 T ï m v T 00 cm 3 dov qusta volta m v v m valnza, sprssa in unità di massa lttronica è la massa fficac calcolata prsso il massimo dlla banda di S si ha p v >>P 0 dv ssr µ<<ε v, in tal caso si dv usar il scondo caso dlla soluzion dll intgral di Dirac, si ritrova il risultato dl caso di mtalli : p v 2 m ε v v µ 3 π 2 S 2 S invc si ha p v P 0, pr lo stsso motivo dv ssr µ > ε v, dunqu bisogna usar l altro caso, ottnndo : p v P v dov abbiamo posto ε v µ P v T 2 v 2 π S 2 Fin qui abbiamo calcolato l dnsità di portatori Adsso crchiamo informazioni riguardo al potnzial chimico

9 9 Pr far qusto dobbiamo distingur il caso di smiconduttori intrinsci o drogati Smiconduttori intrinsci * calcolo dl potnzial chimico In qusto caso pr dfinizion si ha p v chiamiamo qusto valor dlla dnsità S imponiamo l uguaglianza dll sprssioni dll dnsità di portatori appna calcolat (vdi vdi) si ha N 0 F / 2 µ i ε c P 0 F / 2 ε v µ i, qusta rlazion prmtt di calcolar il potnzial chimico pr smiconduttor intrinsco µ i Pr far qusto occorr splicitar la formula gnral dlla soluzion dll intgral di Dirac, dunqu bisogna stabilir in qual di du casi ci si trova S si ha ε v < µ i < ε c la x 0 µ ε c o x ε µ v 0 ch compar nll intgral di Dirac è una quantità ngativa dunqu dobbiamo usar il scondo caso Sostitundo si ha : da cui N c µ i ε c P v ε v µ i N c P v ε v + ε c 2 µ i ln N c P v ε v + ε c 2 µ i, sostitundo l sprssioni di N c P v ln 2 c 2 π S 2 2 v 2 π S 2 ε v + ε c 2 µ i ε v + ε c 2 µ i ln c 2 π S 2 2 π S 2 v

10 0 2 µ i ε v ε c ln c v µ i ε v + ε c ln c v (potnzial chimico pr smiconduttori intrinsci) Pr la maggior part di smiconduttori si ha > v c, dunqu il logaritmo è ngativo, il trmin con la tmpratura è positivo, quindi µ i crsc al crscr dlla tmpratura Ricordiamo ch pr smiconduttori intrinsci il potnzial chimico allo zro assoluto (nrgi adi Frmi) si trova al cntro dlla gap * calcolo dlla dnsità di portatori Riguardo alla dnsità di portatori, s scriviamo n 2 i lttroni una volta qulla pr l lacun, si ha usando una volta l sprssion pr gli n 2 i N c µ i ε c P v ε v µ i N c P v / 2 ε v ε c 2 N c P v / 2 E g 2 (dnsità di portatori pr smiconduttori intrinsci) dov abbiamo posto E g ε c -ε v (larghzza dlla gap) * studio dll mass fficaci mdi S splicitiamo N c P v nlla formula pr si ha : 2 c 2 π S 2 2 v 2 π S 2 / 2 E g 2 Facciamo adsso di passaggi ch ci portranno ad una forma util pr studiar il prodotto dll mass fficaci mdi :

11 2 c v 2 c v 2 π S 2 3 / 4 2 π S 2 3 / 2 E g 2 E g 2 2 c v 2 π S 2 / 2 K T E g 2 T 2 c v 2 π S 2 / 2 K E g 2 ln T ln 2 c v 2 π S 2 / 2 K E g 2 ln T E g 2 K T + ln 2 c v 2 π S 2 / 2 K A qusto punto potrmmo far un grafico dlla quantità ln in funzion dlla quantità T assumiamo ch E g non dipnd dalla tmpratura il grafico dovrbb ssr una rtta, pr il valor T 0 potrmmo studiar il trmin noto, ch contil prodotto dll mass fficaci mdi ch ci intrssa Invc dai risultati sprimntali si vinc ch E g dipnd dalla tmpratura! Assumndo ch la dipndnza sia linar : E g T E g 0 α T dunqu, sostitundo nlla formula : T : s ln T E g 0 α T 2 K T + ln 2 c v 2 π S 2 / 2 K ln T E g 0 2 K T + α 2 K + ln 2 c v 2 π S 2 / 2 K

12 2 ln T E g 0 2 K T + ln 2 c v 2 π S 2 / 2 K α 2 K dunqu comunqu il grafico dlla quantità ln in funzion dlla quantità T T è una rtta, il cui cofficint angolar ci fornisc informazioni sulla larghzza dlla gap allo zro assoluto il cui trmin noto ci fornisc informazioni sul pordotto dll mass fficaci mdi Smiconduttori strinsci Nl caso di smiconduttori drogati non possiamo utilizzar la rlazion ch guaglia l du dnsità di portatori di carica Dunqu usiamo un altro approccio : scriviamo il prodotto dll dnsità di portatori, usando l sprssioni scritt all inizio con gli intgrali di Dirac : p v N 0 T F / 2 µ ε c P ε T F v µ 0 / 2 facciamo ora in modo di far comparir la dnsità di portatori calcolata pr i smiconduttori intrinsci Pr far qusto ricordiamo ch pr i smiconduttori intrinsci il prodotto dll dnsità di portatori ha la stssa forma, pur di assgnar al potnzial chimico il giusto valor µ i ; inoltr, nl caso intrinsco si ha p v 2 Dunqu nl caso intrinsco possiamo scrivr n 2 i N 0 T P 0 T F / 2 µ i ε c F / 2 ε v µ i Dunqu dividndo qusta sprssion pr F / 2 F / 2 µ ε c F / 2 ε v µ gnral In sostanza possiamo scrivr µ i ε c F / 2 ε v µ i moltiplicandola pr riottniamo l sprssion dl prodotto dll dnsità nl caso p v n 2 i F / 2 F / 2 µ ε c F / 2 µ i ε c F / 2 ε v µ ε v µ i Ora, numricamnt è possibil dimostrar ch il rapporto ch compar è una quantità minor di, dunqu si ha :

13 3 p v n 2 i Adsso sostituiamo l soluzioni dll intgral di Dirac, nll du form asintotich (supponndo ch si possano usar) splicitiamo l formul : Nl caso iui µ > ε c o µ < ε v si ha la prima forma asintotica (nll ipotsi ch si possa utilizzar la forma asintotica, cioè ch sia x 0 µ ε c < < 2 ) cioè : p v n 2 i µ ε v E g 4 3 π µ ε c S invc si ha ε v < µ < ε c, usando ancora la forma asintotica (nll altro limit) si ha : p v n 2 i (lgg di azion di massa) Vdiamo ch in ntrambi i casi il prodotto dll du popolazioni non supra mai 2, qusto è valido praticamnt in tutti i casi (indipndntmnt dalla posizion dal numro dgli stati di impurzza, vdi oltr) S siamo in qusto scondo rgim asintotico, ponndo n / p v (paramtro di strinscità) possiamo sprimr l popolazioni di portatori di carica nll du band in rapporto con la popolazion nl caso intrinsco (ugual pr l du band) : n n 2 p v n n 2 Si vd ch s il rapporto n/ è molto minor di si ritrova il rgim intrinsco, mntr s è molto maggior di si ha : ï n ; p v ï n

14 4 Poiché la popolazion dipnd fortmnt dalla tmpratura può darsi ch, pr un fissato drogaggio, ch ad alta tmpratura si ha il rgim intrinsco (( n/ ) << ), mntr a bass tmpratur si ha il rgim strinsco (( n/ ) >> ) Stati donori stati accttori (Bassani, 3, pag 38; intgrazioni prs dagli appunti dl profssor) - Modllo smplic - S nl smiconduttor ch considriamo sono prsnti dll impurzz (drogaggio) qust impurzz possono avr dgli stati lgati, qusti stati di impurzza influiscono sulla dnsità di portatori In gnral un impurzza è un atomo con valnza divrsa da qulli dl rsto dl rticolo, dunqu è un atomo non nutro Infatti un impurzza o ha un lttron più, ch vinittato nll insim di lttroni di conduzion, lasciando dunqu l impurzza carica positivamnt (impurzza donorica), o al contrario è un atomo con un lttron mno, ch vin aquisito pr lgarsi (valnza) rndndo l atomo carico ngativamnt (impurzza accttorica) Dunqu l intrazion dll impurzza con gli lttroni o con l buch è di tipo coulombiano (qust ultimo capovrso è mio) Comunqu possiamo dir ch l intrazion dgli atomi (ioni) dlla spc dominant dl matrial è dscritta globalmnt con l nrgia di banda, a qusta si sovrappon l intrazion con l impurzza ch comunqu è di tipo divrso L intrazion dlla singola impurzza con un lttron o con una buca avrà in gnral uno spttro discrto (stati lgati) Dunqu in gnral si avranno di livlli discrti ch si aggiungono allo spttro continuo (in raltà non lo è) dll vari band (almno l du di valnza di conduzion) E dunqu ssnzial studiar qusti livlli nrgitici discrti, in particolar conoscrn la posizion nrgia, risptto al massimo dlla banda di valnza al minimo dlla banda di conduzion Un primo modllo consist nl considrar il potnzial dll impurzza com un potnzial coulombiano, ch va dunqu com /r, dov la carica è l ccsso o diftto di lttroni Z' 2 dscritto prima, iui compaia una costant dilttrica ε ch tnga conto dll fftto di schrmo dovuto alla polarizzazion dl cristallo (?) : U imp Z ' 2 ε r (potnzial dll impurzza) In qusto schma ogni lttron, ch s gli assgnamo com massa la massa fficac si comporta com una particlla libra risptto all intrazion col rsto dl rticolo, risptto all intrazion con l impurzza risnt smplicmnt di un potnzial di atomo idrognoid A sostgno di qusta ipotsi diciamo anch ch la funzion d onda dll lttron uno di qusti stati di impurzza ha un raggio mdio ch è molto maggior dl paramtro rticolar Gli autovalori sono dunqu dl tipo atomo idrognoid (vdi), in particolar, nl caso dll impurzz di tipo donorico si ha :

15 5 E n E g c 4 Z' 2 2 ε 2 S 2 n 2 o, usando la costant di Rydbrg E n E g c m R Z' 2 y ε 2 n 2 dov abbiamo prso com origin dll nrgia il massimo dlla banda di valnza (dunqu il scondo trmin dic la distanza (vrso il basso) dal minimo dlla banda di conduzion) Il raggio di bohr è dato da : a B ε 0 S 2 c 2 La costant dilttrica ε ni smiconduttori più comuni è dll ordin di 0, mntr il rapporto tra l mass m * /m varia tra 0, pr cui complssivamnt i livlli discrti sono infriori a 0 - V (il prof dic 0-2 V) L funzioni d onda di qusti autostati dll nrgia sono formati da una sovrapposizion di stati di Bloch vicini al minimo dlla banda di conduzion, tutta qusta approssimazion è dtta approssimazion dlla massa fficac Nl caso di impurzz di tipo accttorico il potnzial di cui risnt l lttron xtra è rpulsivo, ma la massa ni prssi dl massimo dlla banda di valnza è ngativa, dunqu a situazion è dl tutto quivalnt alla prcdnt, portando a sprssioni pr i livlli di nrgia dl raggio di Bohr dl tutto uguali all du prcdnti, pur di sostituir alla massa fficac calcolata ni prssi dl minimo dlla banda di conduzion qulla calcolata ni prssi dl massimo dlla banda di valnza, posta in valor assoluto : E n v 4 Z' 2 2 ε 2 S 2 n 2 ch dunqu è la distanza (vrso l alto) dal massimo dlla banda di valnza, a B ε 0 S 2 v 2 Modifich all nrgi dgli stati di impurzza risptto a qust prvist ch discndono dall approssimazioni dtt, dipndono dalla dviazion, a piccol distanz, dl potnzial di impurzza dal potnzial coulombiano (chmical shift) Inoltr altr altrazioni possono ssr dovut alla prsnza di più minimi (o rispttivamnt più massimi) nlla banda di conduzion (o rispttivamnt di valnza) ad nrgi uguali o molto vicin

16 6 S il potnzial dll impurzza è troppo fort (cosa ch succd sopratutto nl caso di impurzz intrstiziali, più ch nl caso di impurzz sostituzionali) non si può più applicar l approssimazion dlla massa fficac, si dic ch lo stato di impurzza è uno stato profondo, la sua nrgia dipnd dall carattristich di tutta la banda di valnza di conduzion - lo schrmo dilttrico - Nll sprssion dl potnzial di impurzza abbiamo supposto ch lo schrmo dilttrico sia sprsso da una costant In raltà nl cristallo lo schrmo dilttrico da cui è schrmato un gnrico campo è una funzion ch in gnral dipnd sia dalla posizion ch dal tmpo, anch s la dipndnza dal tmpo può ssr trascurata nl caso dl potnzial di impurzza * la statistica dgli stati di impurzza La cosa ssnzial da capir, pr stabilir ch tipo di distribuzion dscriv l occupazion dgli stati di impurzza è s du lttroni di spin opposto possono occupar lo stsso stato di impurzza (stato lgato) Pr far qusto facciamo dll ipotsi sul numro di stati di impurzza sulla loro disposizion nrgia Portiamo avanti lo studio nll ipotsi smplici di impurzza donorica con un solo stato lgato, capac di ospitar un solo lttron Immaginiamo ch qusto stato lgato non può ssr occupato da du lttroni con spin opposto prché il trmin di rpulsion coulombiana è troppo grand (il prof dic : «è così grand da impdir la formazion dllo stato lgato», ma noapisco ch intnd con formazion dllo stato lgato qullo pr il scondo lttron? boh?) In qust ipotsi si trova, usando l insim gran-canonico, ch il rapporto tra l impurzz (donorich) noonizzat (cioè con lttron) qull ionizzat è n i g n µ ε c g i dov g n è la dgnrazion dllo stato di impurzza (ad smpio s lo stato foss occupabil da du lttroni con spin opposto sarbb g n 2), g i è la dgnrazion dgli stati di banda (ch è smpr ) Nll sprssion compar anch, ch rapprsnta l nrgia di lgam dllo stato di impurzza (nll smpio è umpurzza donorica) misurata a partir dal minimo dlla banda di conduzion S chiamiamo con il numro total di impurzz donorich ( i + n ), dalla formula prcdnt si può ricavar il rapporto tra il numro di impurzz noonizzat il numro total di impurzz Infatti si ha : n i g n g i µ ε c

17 7 i n g ε c µ i g n + i n + g ε c µ i g n n n + i n n + i n + g ε c µ i g n + g ε c µ i g n n + g ε c µ i g n n + g ε c µ i g n (in pratica abbiamo invrtito, sommato un unità poi ri-invrtito) Qusta formula sprim pr dfinizion la probabilità ch lo stato di impurzza (donorica) sia occupato da un lttron (impurzza noonizzata ) : P + β ε c µ dov scondo il profssor β 05 (ma scondo m val, vdi sopra) Nl caso di impurzz accttorich, coonti analoghi si ottin la sgunt probabilità di occupazion dllo stato accttorico con nrgia ε v + ε a (dov dunqu ε a è la distanza in nrgia dllo stato accttorico dal massimo dlla banda di valnza) : P ε a + β ε v + ε a µ ma a noi intrssa di più il complmnto a di qusta probabilità, ch è la probabilità ch l impurzza accttorica si ionizzi, ovvro ch una lacuna occupi qusto stato di lacuna :

18 8 P h ε a P ε a P h ε a β + β ε v + ε a µ ε v + ε a µ P h ε a β ε v + ε a µ + P h ε a + µ ε v + ε a β * dnsità di portatori All quilibrio trmodinamico la prsnza dgli stati di impurzza modifica il numro di portatori nll band Possiamo dir ch la prsnza dgli stati di impurzza sposta il potnzial chimico Tuttavia la lgg di azion di massa riman valida Pr studiar il potnzial chimico µ possiamo impostar un quazion ch imponga la nutralità lttrica dl matrial, imponndo ch la diffrnza tra il numro di lttroni in banda di conduzion il numro di lacun banda di valnza sia ugual alla diffrnza tra gli stati donorici occupati da lacun il numro di stati accttorici occupati da lttroni : p v P P ε a In altr parol (più fisicamnt) qusta rlazion dic ch gli lttroni ch non stanno nè in banda di conduzion nè in banda di valnza dvono star ngli stati di impurzza Infatti s il smiconduttor foss intrinsco ci dovrbbro ssr lo stsso numro di lacun banda di conduzion di lttroni in banda di valnza Nl smiconduttor drogato la diffrnza è non nulla (mmbro di sinistra) D altra part s moltiplichiamo il numro di livlli donorici pr la probabilità ch un livllo donorico sia occupato da un lttron ottngo il numro total di lttroni prsnti ngli stati accttorici Il numro di lacun prsnti ngli stati donorici si ottin modo analogo, s si fa la diffrnza si ottil numro total di lacun scoprt ngli stati di impurzza (mmbro di dstra), ch dv ssr ugual al numro di lttroni scoprti prsnti nll band (mmbro di sinistra) (vrificar qusto discorso) S, più in gnral, ci sono più spci accttorich più spci donorich possiamo scrivr la forma più gnral

19 9 p v 3 j j P j 3 k N a k P ε a k dov abbiamo prvisto dll somm sull divrs spci S adsso tniamo prsnti l sprssioni dll probabilità di occupazion : P + β ε c µ ; P ε a + β ε v + ε a µ si vd subito ch ( :-) ) l probabilità di occupazion dl mmbro di dstra dll quazion sono trascurabili s considriamo rispttivamnt stati di impurzza donorici o accttorici con nrgi (, ε a ) tali ch ε c << µ o ε v +ε a >> µ rispttivamnt In altr parol danno contributo stati di impurzza accttorici o donorici ch hanno nrgi ch soddisfano la rlazion ε v + ε a µ ε c - Ma qusto significa ch alla part dstra dll quazion contribuiscono solo gli stati di impurzza vicini al potnzial chimico Pr risolvr l quazion facciamo dll ipotsi smplificatrici : - supponiamo ch ci sia solo una spci donorica d una accttorica - supponiamo ch il numro di stati donorici sia maggior dl numro di stati accttorici : >N a - supponiamo ch la gap sia abbastanza ampia, in modo ch pochi lttroni riscano a passar in banda di conduzion, dunqu p v 0 - supponimo ch il livllo accttorico sia molto più in basso dl potnzial chimico : ε v + ε a << µ dunqu ch P (ε a ) In tali ipotsi l quazion divnta : cioè P P

20 20 + β ε c µ + β ε c µ + β ε c µ A qusto punto, nll ipotsi << N 0, possiamo considrar una dll du sprssioni dlla dnsità di lttroni in banda di conduzion, trovata con l soluzioni asintotich dll intgral di Dirac (vdi) : N c ε c µ N c sostitundola si ha : µ ε c + β N c + β N c + β N c β N c

21 2 β N c β N c n N n N + n N + n 2 c d c d c a c β N c N a + N a + β N c Qusta è un quazion di scondo grado in, risolvndola si ottin l andamnto dlla popolazion di lttroni in banda di conduzion funzion dlla tmpratura T, dl numro total di livlli di impurzza donorica di impurzza accttorica N a Vdiamo alcuni casi particolari iui l quazion divnta ancora più smplic a) Tmpratur molto bass si ha << N a <, dunqu N a + β N c, trascurando al scondo mmbro ï β N c N a, passando ai logaritmi ln ï ln β N c N a ch dunqu prvd un andamnto linar di ln risptto alla tmpratura, coofficint angolar - /K Tuttavia l andamnto non è puramnt linar, prché N c dipnd dalla tmpratura b) Tmpratur intrmdi

22 22 si ha N a << << quindi possiamo trascurar anch, ma non più l al dnominator, ottnndo (non ho fatto i conti ) : ï β N c / 2 2 dunqu in qusto caso non si può proprio parlar di andamnto linar di ln in T, prché la dipndnza di N c da T qusta volta non è trascurabil c) Numri di impurzz accttorich donorich dllo stsso ordin si ha << N a, dunqu, ad ogni tmpratura ï + N a β N c 2 d) Alt tmpratur S << N c, pr < <, si ha - N a In tali condizioni, ad alt tmpratur è indipndnt da T * potnzial chimico * si ha µ ε c + ln N c Nl limit a bass tmpratur si ha (crdo sostitundo l sprssion di ) : µ ε c + ln β N a mntr ad alt tmpratur µ ε c + ln N c Vdiamo ch, nll ipotsi ch >> N a, nl primo caso (bass tmpratur) il potnzial chimico µ è una funzion crscnt dlla tmpratura, mntr nl scondo caso (alt tmpratur) è

23 23 dcrscnt Concludiamo qusto studio ricordando ch lo abbiamo condotto nll ipotsi ch l impurzza foss donorica, avss un solo stato lgato, ch qusto foss tal da non potr contnr du lttroni di spin opposto ma solo uno S qust ipotsi non sussistono, o s ci sono più di un tipo di impurzza, l cos si complicano, ma non succd nint di concttualmnt nuovo Trasporto di carica (appunti dl prof) La conduzion lttrica ni smiconduttori è influnzata da divrsi fattori A diffrnza di mtalli, dov la conducibilità lttrica σ n 2 τ m è studiata crcando di dtrminar l andamnto dl tmpo carattristico τ (tmpo mdio tra du urti lttron-fonon) con la tmpratura, ni smiconduttori si studiano l quantità µ n τ col n µ m p τ col p c dtt rispttivamnt mobilità dgli lttroni mobilità dll lacun, dov compaiono du divrsi tmpi carattristici dll collisioni, in quanto i mccanismi di urto pr lttroni lacun sono diffrnti Notiamo ch in qust sprssioni noompaiono l dnsità di portatori p v, qusto è important prché tali dnsità dipndono dalla tmpratura Considriamo du casi divrsi caso a) Sia il numro di portatori di carica molto grand, tanto da ssr costrtti ad usar la statistica di Frmi In qusto caso possiamo utilizzar il fatto (dimostrato altrov ngli appunti, ma non so dov) ch s si ha la cosistnza di più mccanismi di urto, ognuno col suo tmpo carattristico τ, τ 2, τ 3, il tmpo mdio fra du urti è dato da m v τ + τ τ 2 + dunqu possiamo considrar un unico tmpo carattristico mdio pr gli lttroni pr l lacun Inoltr, abbiamo già visto (a cosa si rifrisc?) ch solo gli lttroni ch stanno in un guscio di spssor attorno all nrgia µ sono coinvolti nl mccanismo di urto Dunqu possiamo concludr ch c è una sostanzial indipndnza dalla tmpratura dlla vlocità quadratica mdia dgli lttroni Concludiamo in qusto caso ch, s il mccanismo collisional è dovuto ssnzialmnt a fononi

24 24 acustici /o impurzz ionizzat, si avrà una dipndnza dll mobilità µ n µ p dalla tmpratura, simil a qulla vista pr i mtalli caso b) sia adsso il numro di portatori piccolo, tal da soddisfar la statistica di Boltzmann In tal caso si dimostra ch la mobilità assum l sgunti sprssioni ni sgunti casi : i) s l collisioni sono dovut a fononi acustici si ha µ n µ p B T ii) s l collisioni sono dovut a fononi ottici si ha µ n µ p C iii) s l collisioni sono dovut a impurzz (ionizzat) si ha µ n µ p D T [ ]sugli apputi a qusto punto il prof tratta dll fftto Hall ni smiconduttori, ma io lo salto [ ] * conduttività dovuta all impurzz Considriamo urto smiconduttor drogato, immaginiamo di portar la tmpratura a zro Pr quanto visto fin ora ci aspttrmmo ch la conducibilità vada a zro, prché gli lttroni in più dovuti al drogaggio si situano ngli stati lgati dll impurzza, non vanno in banda di conduzion, mntr la banda di valnza è pina Tuttavia si vd ch, s il raggio mdio dllo stato lgato è maggior dlla distanza mdia tra l impurzz, anch allo zro assoluto la conducibilità non è dl tutto nulla! (aggiunta mia : fors la cosa si può dscrivr dicndo ch s la distanza tra l impurzz è minor dl raggio mdio dllo stato lgato (stato di impurzza), è com s l impurzz formassro un sottorticolo compntrato nl rticolo principal In tal caso gli lttroni ngli stati di impurzza si possono spostar lungo qusto sottorticolo ) In particolar si vd ch la conducibilità assum la forma : σ µ n + σ 2 ε 2 + σ 3 ε 3 dunqu c è un trmin ch non va a zro con la tmpratura In gnral aumntando il numro di impurzz diminuisc la distanza mdia tra l impurzz S diminuisc la distanza mdia tra l impurzz, diminuisc di consgunza l nrgia di lgam tra l lttron l impurzza Ciò avvin prché l intrazion lttron-impurzza è maggiormnt schrmata s aumnta il numro di lttroni libri, provninti dall impurzz (ionizzat) Inoltr il numro di lttroni libri aumnta anch prché un impurzza noonizzata è più facilmnt polarizzabil (?)

25 25 Dato urto smiconduttor d una crta impurzza, si ossrva ch sist una dnsità di imurzza critica N c tal ch pr dnsità minori ( <N c ) l nrgia di lgam lttron-impurzza è nulla, mntr pr dnsità maggiori ( >N c ) tal nrgia varia scondo la lgg : 0 N c / 3 Dunqu al crscr dlla dnsità di impurzz, al diminuir dlla tmpratura, la conducibilità divnta com qulla di un mtallo fatto tutto di impurzz, d è sostanzialmnt indipndnt dalla tmpratura Riguardo al trzo trmin, il prof dic solo ch sso nasc prché in un smiconduttor drogato n parzialmnt compnsato vi è una probabilité di transizion dll lttron da un impurzza non ionizzata ad una ionizzata mdiant transizion pr hopping Ciò da origin ad un procsso attivato trmicamnt Giunzioni (appunti prof) Considriamo il caso di un smiconduttor drogato in manira non omogna In particolar considriamo urto ass spazial x, supponiamo ch a dstra dll origin ci sia una concntrazion costant di impurzz donorich, una concntrazion nulla di impurzz accttorich, a sinistra dll origin ci sia vicvrsa una dnsità costant di impurzz accttorich una concntrazion nulla di impurzz donorich : cost N 0 a n N a cost 0 p 0 x Qusto si può ralizzar giustapponndo du smiconduttori drogati in manira divrsa, dunqu si parla di giunzion S l du parti fossro sparat, i valori dl potnzial chimico sarbbro divrsi : dalla part donorica più alto dalla part accttorica più basso Dunqu s l du parti sono iontatto, pr ottnr l quilibrio trmodinamico dv succdr ch dgli lttroni migrino dalla part donorica a qulla accttorica, (dunqu) vicvrsa dll lacun migrino dalla part accttorica a qulla donorica :

26 26 lttroni lacun n p donori accttori Qusta migrazion prò comporta uno spostamnto di carica : dal lato i sarà un surplus di lacun dunqu un accumulo di carica positiva, dal lato p un accumulo di carica ngativa Qusto cra uampo lttrico, localizzato nlla rgion di giunzion Il primo obittivo ch ci poniamo è di calcolar la funzion potnzial φ ch si cra all quilibrio trmodinamico Facciamo l ipotsi ch << N c p v << N v (dnsità di portatori molto minor dlla dnsità di impurzz (o no?) Inoltr facciamo l ipotsi ch il potnzial ch crchaimo φ sia una funzion lntamnt variabil di x, abbastanza da potr utilizzar l approssimazion quasiclassica pr l nrgia dlla particlla (principio di corrispondnza, torma di Ehrnfst) In qust ipotsi possiamo utilizzar l form asintotich dll intgral di Dirac ((?)crdo, ma a qusto punto dvo chiarir il significato dll N c P v ), dunqu si ottin : x N c T ε c φ x µ p v x P v T µ ε v + φ x Pr l ipotsi fatt sul sistma l dnsità p v soddisfano all condizioni al controno dunqu lim x 6 lim x 6 x p v x N a N c T P v T ε c φ µ µ ε v + φ N a

27 27 cioè stiamo dicndo ch la migrazion dlla carich, dunqu il campo ch n consgu, intrssa solo una piccola zona attorno alla giunzion, ch all quilibrio trmodinamico tutt l impurzz accttorich donorich siano ionizzat (tmpratura ambint o più alta) S risolviamo l quazioni pr l concntrazioni di portatori, utilizzando qust condizioni al contorno, ottniamo : x φ 4 φ x p v x N a φ x φ Inoltr si può calcolar anch la diffrnza di potnzial : φ φ 4 φ 4 φ E g + ln N a N c P v, da cui si può approssimar φ ï E g Stabiliamo di chiamar d p la distanza dall origin (giunzion) alla qual nlla rgion dll impurità donorica (sinistra) il potnzial ha praticamnt raggiunto il valor asintotico φ(- ), analogamnt chiamiamo d n la distanza a dstra dlla giunzioui il potnzial ha raggiunto il valor φ( ) In altr parol diciamo ch la ddp φ si ossrva già nlla rgion finita [-d p, d n ] Ciò posto, poiché << φ si ha ch divnta trascurabil in untrvallo x n << d p + d n, a partir da d n, analogamnt p v divnta trascurabil in untrvallo x p << d p + d n, a partir da -d p In dfinitiva l du dnsità di portatori sono null in tutta la zona [-d p, d n ], pr qusto motivo qusta zona è dtta zona di svuotamnto A qusto punto possiamo scrivr un sprssion dlla dnsità di carica, dunqu risolvr l quazion di Poisson ricavar il potnzial La dnsità di carica in gnral è data dalla dnsità di portatori più la dnsità dgli stati di impurzza (smpr s ho capito bl significato dll N x ) : ρ x x x x + p v x Pr l considrazioni appna fatt si ha

28 28 ρ(x) 0 ρ(x) pr x > d n pr 0 < x < d n ρ(x) - N a pr -d p < x < 0 ρ(x) 0 pr x < -d p E dunqu, l quazion di Poisson d 2 φ x d x 2 4 π ε 0 ρ x può ssr facilmnt risolta nll vari rgioni, imponndo l du condizioni al contorno lim x 6 lim x 6 φ x φ φ x φ imponndo dll condizioni di raccordo, cioè ch la drivata prima sia continua in d n in -d p Si ha : φ(x) φ( ) pr x > d n φ x φ 4 2 π ε 0 x d n 2 pr 0 < x < d n φ x φ 4 2 π N a ε 0 x + d p 2 pr -d p < x < 0 φ x φ 4 pr x < -d p Imponndo l ultriori condizioni di raccordo nll origin : φ(0 + ) φ(0 - ) ; d φ dx 0 + d φ dx 0 si ottngono l sgunti rlazioni pr la ddp, l dimnsioni dlla zona di svuotamnto l dnsità N a (ch ancora dvo capir ch sono ) : φ 2 π N d 2 + N n a d 2 p 0

29 29 d n N a d p di consgunza : d n, p N a + N a ± ε 0 φ 2 π / 2 Il valor di d n d p varia tra Å * condizioni di non quilibrio Fin ora abbiamo studiato il sistma dlla giunzion all quilibrio trmodinamico Pr raggiungr l quilibrio trmodinamico il potnzial chimico dv assumr lo stsso valor nll du rgioni, pr prmttr qusto si ha la migrazion di portatori dunqu la comparsa dlla rgion di svuotamnto Abbiamo già dtto ch l accumulo di carich migrat cra uampo lttrico ( dunqu la ddp φ) Qusto campo è tal da ostacolar il passaggio di portatori dalla zona iui sono maggioritari alla zona iui sono minoritari, favorir il passaggio di portatori dalla zona iui sono minoritari alla zona iui sono maggioritari In particolar gli lttroni sono ostacolati nl passar dalla zona n alla zona p sono favoriti a passar dalla zona p alla zona n Vicvrsa l lacun sono ostacolat nl passar dalla zona p alla zona n sono favoriti a passar dalla zona n alla zona p D altra part qusto è cornt col fatto ch all quilibrio trmodinamico l corrnti di lttroni lacun dvono ssr zro sparatamnt, in modo da vitar ultrior accumulo di portatori nll du zon Possiamo dir ch l accumulo di carich man mano cra una barrira di potnzial smpr più alta, ch limita smpr più il passaggio di altri portatori, fino a crar un quilibrio In alr parol si cra un quilibrio tra l forz lttrich la tndnza di portatori a diffondrsi da dov c n è di più a dov c n è di mno Studiamo adsso ch succd s dall strno applichiamo una ddp ch chiamiamo V In gnr si usa una convnzion pr cui la ddp strna V è positiva s la zona p è ad un potnzial più alto di qullo dlla zona n, ngativa s è il contrario Il potnzial xtra strno V altra l condizioni di quilibrio La barrira di potnzial, cioè la ddp total ch si cra tra l du zon dlla giunzion, pr com è sclta la convnzion è : φ v φ - V Infatti pr V > 0 la barrira si abbassa, pr V < 0 la barrira si alza

30 30 Tnndo prsnt la rlazion tra l dimnsioni dlla zona di svuotamnto la barrira di potnzial si ha : d n, p V d n, p V 0 + V φ / 2 Qust ultima rlazion significa ch s la ddp strna V è positiva la rgion di svuotamnto si rstring, mntr s V<0 la rgion di svuotamnto si allarga, risptto all su dimnsioni quando no è ddp strna Qusto si può spigar fisicamnt dicndo ch l abbassamnto dlla barrira di potnzial fa aumntar il flusso di portatori ch migrano dalla zona iui sono maggioritari alla zona iui sono minoritari Invc il flusso di portatori ch migrano dalla zona iui sono minoritari alla zona iui sono maggioritari non è modificato in prima approssimazion dalla variazion dlla barrira di potnzial, in quanto qusto flusso dipnd principalmnt dai mccanismi coui sono gnrati i portatori minoritari nll rispttiv rgioni lontan dalla zona di svuotamnto Vdiamo di valutar l divrs corrnti ch sono gnrat da qusti mccanismi Riguardo agli lttroni, la loro corrnt total è data dalla corrnt di lttroni maggioritari, cioè ch vanno dalla rgioui sono maggioritari (la rgion n, vro?) a qulla iui sono minoritari, ch dipnd dal potnzial strnov, dalla corrnt di lttroni minoritari, ch invc non è influnzata (in prima approssimazion) dalla ddp strna : j J V J gn Ora, pr un motivo ch a qust ora non ho la forza di capir (è la mzza) si ha ch il numro di lttroni ch risc a suprar la barrira dipnd sponnzialmnt dal potnzial strno V (dv ntrarci qualcosa la distribuzion statistica, fors qulla di Boltzmann), dunqu j J gn V Pr l lacun la cosa è dl tutto analoga, dunqu la corrnt total è : j J gn + J gn h V Qusta funzion è la carattristica voltampromtrica di una giunzion p-n Essa mostra ch pr polarizzazion dirtta (potnzial strno positivo) la corrnt crsc sponnzialmnt, mntr pr polarizzaionvrsa (ddp strna ngativa) la corrnt tnd rapidamnt ad una valor di saturazion, ch dipnd dalla corrnt di portatori minoritari, ch è molto piccolo appunti prsi da AF, ch avva un dubbio glilo ha chiarito Cata Problmi sulla formula (37) pag 0 dgli appunti di Iado

31 3 tnr prsnt ch non bisogna far nssuntgral, n tantomno nssuna somma, prché si sta considrando un solo livllo discrto I fatti salinti sono : - si usa la distribuzion di Blotzmann, prché gli lttroni provninti dal drogaggio sono molto minori dl numro di Avogadro, l tmpratur non sono prossim allo zro - nota ch l impurzz ionizzat sono qull ch forniscono lttroni ch vanno nlla banda di valnza

32 32 INDICE Introduzion L dnsità di portatori - mtalli - intgrali di Dirac 2 (form asintotich dll intgral di Dirac) 2 - smiconduttori - 3 mass fficaci mdi 6 (dnsità dgli lttroni) 6 (dnsità, pr >> N 0 ) 7 (dnsità, pr << N 0 ) 7 (dnsità dll lacun) 7 Smiconduttori intrinsci 8 * calcolo dl potnzial chimico 8 (potnzial chimico pr smiconduttori intrinsci) 9 * calcolo dlla dnsità di portatori 9 (dnsità di portatori pr smiconduttori intrinsci) 0 * studio dll mass fficaci mdi 0 Smiconduttori strinsci (paramtro di strinscità) 3 Stati donori stati accttori 3 (potnzial dll impurzza) 4 approssimazion dlla massa fficac 5 * la statistica dgli stati di impurzza 6 * dnsità di portatori 8 Trasporto di carica 23 mobilità dgli lttroni 24 mobilità dll lacun 24 * conduttività dovuta all impurzz 25 Giunzioni 26 zona di svuotamnto 28 * condizioni di non quilibrio 30