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1 A0/ Pag.1/13 Cliente: Ricerca di Sistema Oggetto: Determinazione della tenacità di acciai eserciti - Correlazioni per stime di FATT da prove Small Punch Ordine: Contratto CESI n. 71/00056 Note: DEGRADO/GEN04/003 senza l'autorizzazione scritta del CESI questo documento può essere riprodotto solo integralmente N. pagine: 13 N. pagine fuori testo: Data: Elaborato: CESI-GEN/MAS Valerio Bicego Verificato: CESI-GEN/MAS Carlo Fossati Approvato: CESI-GEN Pasquale Motta CESI Via R. Rubattino 54 Capitale sociale 17,1 miliardi Sezione Ordinaria Centro Elettrotecnico Milano - Italia interamente versato Tribunale Milano Sperimentale Italiano Telefono CCIAA di Milano n P.I. IT Giacinto Motta spa Fax Registro delle Imprese C.F di Milano n

2 A0/ Pag.2/13 Indice SOMMARIO 3 1 INTRODUZIONE 4 2 GUIDA ALL'USO DELLE CORRELAZIONI 4 3 LE CORRELAZIONI 5 4 CONCLUSIONI 8 FIGURA 9 APPENDICE 1 10 APPENDICE 2 12 Copyright 2000 by CESI. All rights reserved - Activity code 26692G Keywords: 12035F, 20220B, 29005H, 51200W, 67210X

3 A0/ Pag.3/13 SOMMARIO Vengono riportate le correlazioni tra l indice di FATT e l analoga grandezza che esprime la temperatura di transizione fragile-duttile quale si determina da prove SP, T sp. Tali correlazioni sono state ricavate dai dati di 11 prove comparative, di tipo Small Punch (SP) e resilienze standard, su materiali CuNi52Mo, WSB 62 e Marrel AM60 (acciai di corpi cilindrici). Inoltre essendo talora disponibili anche altri dati (snervamento, rottura, durezza e diametro ASTM), si sono determinati ulteriori correlazioni migliorative che includono anche l influenza di tali grandezze, per ridurre al minimo la variabilità non spiegata nelle previsioni dell indice di FATT. Le correlazioni qui ottenute sono adatte per la valutazione del consumo di vita di componenti eserciti, ogniqualvolta la valutazione della fragilità viene ricavata non distruttivamente mediante prove SP.

4 A0/ Pag.4/13 1 INTRODUZIONE I materiali qui considerati sono CuNi52Mo, WSB 62 e Marrel AM60, acciai di corpi cilindrici di largo impiego nelle centrali italiane, suscettibili di importante infragilimento durante l'esercizio prolungato. I dati utilizzati nelle analisi qui sotto riportate sono presentati nella tabella in Appendice 1. Si tratta di 22 serie di prove: 11 serie di tipo Small Punch, e 11 serie di tipo resilienza. Come noto, ciascuna serie, relativa a un certo lotto di materiale, comporta l'esecuzione di un certo numero di prove, tipicamente nell'intorno di 15: in totale le elaborazioni qui svolte hanno quindi riguardato dati provenienti da oltre 300 prove singole. Tutte queste prove erano già state eseguite in precedenza (fra il 1998 e il 1999). Nell'ambito del Progetto DEGRADO, avviato nel 2000, i risultati di quelle prove sono stati oggetto di una attività di analisi matematico-statistica, volta a determinare le correlazioni che esistono fra le normali misure di FATT (ottenibili da prove di resilienza, in modo solitamente distruttivo per i componenti) e i valori dell'analoga grandezza che esprime la temperatura di transizione fragile-duttile quale si determina da prove Small Punch, T sp. Inoltre, essendo talora disponibili anche altri dati (snervamento, rottura, durezza e diametro ASTM), si sono determinati ulteriori correlazioni migliorative che includono anche l'influenza di tali grandezze, per ridurre al minimo la variabilità non spiegata nelle previsioni di FATT. Si sono ipotizzate funzioni di densità di probabilità di tipo normale, per tutte le popolazioni dei dati. Legenda: FATT = Fracture Appearence Transition Temperature (da prove di resilienza) T sp = temperatura di transizione fragile-duttile da prove SP S o = valor medio fra carico di snervamento e rottura H v = durezza Vickers D = diametro grado ASTM Nelle formule di seguito riportate, i valori delle temperature sono espressi in C (con relativo segno), il diametro in grado ASTM (p. es. tipicamente fra 6 e 10 per questi acciai), la durezza in gradi Vickers e il carico S o in Mpa. In Appendice 2 è stata svolta una discussione sulla entità dell'incertezza qui riscontrata nelle stime di FATT deducibili dalle prove SP. 2 GUIDA ALL'USO DELLE CORRELAZIONI Di seguito vengono fornite diverse correlazioni per eseguire stime della FATT in base a campagne di misura che hanno fornito parte o tutti i dati delle 4 grandezze sopra dette: T sp, S o, H v, D. Non sono intese come distinte possibilità fra le quali scegliere; sono tutte le correlazioni che servono, e occorre utilizzare una o l'altra a seconda che si disponga o meno di certe misure. In particolare: - in tutti i casi si presume che si siano fatte prove Small Punch per misure di T sp ; - i casi (a), (b), (c) e (d) considerano che si siano anche fatte prove SP con metodo innovativo per stimare i parametri tensili, o comunque che tali valori siano disponibili per qualche altra strana ragione (al momento inimmaginabile); - i casi (e) ed (f) sono relativi a casi nei quali non si sono fatte prove SP con metodo innovativo e dunque non si conoscono i valori dei parametri tensili.

5 A0/ Pag.5/13 In coda a ciascun caso si riporta il grado di affidabilità da attribuire alle stime di FATT ottenute applicando ciascuna formula. A volere essere precisi, si rileva che per ricavare tali correlazioni i valori di S o che si sono utilizzati provenivano da prove tensili canoniche. Nelle applicazioni concrete è invece presumibile (o meglio, quasi certo) che questo valore di S o potrà essere noto solo da prove SP con uso di elementi finiti ("metodo innovativo SP"). E' ragionevole immaginare che l'incertezza di S o da simili prove SP sarà superiore rispetto al dato di prove tensili normali. Di conseguenza nelle future applicazioni ci si deve attendere che anche la incertezza finale sul valore stimato per la FATT sarà superiore rispetto alle valutazioni di incertezza qui di seguito fornite. Si presume tuttavia che la differenza sia modesta, e sempre trascurabile: sia perché le incertezze sui parametri tensili con metodo SP innovativo non vanno mai oltre 2-3 volte le incertezze con le prove standard, e globalmente non superano il 5-6% (cioè un'incertezza modesta su S o ), sia perché l'effetto di S o nella stima di FATT è modesto, rappresenta cioè una correzione del secondo ordine: la variabilità principale di FATT è spiegata dalla variabile T sp di modo che ogni altro termine delle formule di correlazione costituisce "un aggiustamento" della stima. 3 LE CORRELAZIONI a) Nel caso si disponga di: T sp (e solo di questa misura), si userà la seguente correlazione per stimare la FATT: con: C 1 = C 2 = C 3 = C 3 (T sp - C 2 ) FATT = C 1 (T sp - C 2 ) ( 1 + e ) (1) Fiducia da attribuire alla previsione di FATT: dall'analisi dei dati usati per determinare tale correlazione, si è ottenuta una stima di varianza pari a 13.8 C, errore massimo pari a 27 C, scarto quadratico medio pari a 13.1 C. Si suggerisce di eseguire la stima di FATT, e poi di aumentarla conservativamente di 27 C (due volte la varianza e quindi limite di cofidenza al 95%, e anche pari al max errore ottenuto). Si ricorda che la probabilità cumulata sottesa alla gaussiana entro +-1 σ (una volta la varianza) è pari 68%; la probabilità entro +- 2 σ è pari a 95 % (il che in termini non rigorosi ma senz'altro espressivi significa che mediamente 1 dato su 20 cadrà al di fuori di tale intervallo +- 2 σ ). b) Nel caso si disponga di: T sp, S o (e solo di queste misure), si userà la seguente correlazione per stimare la FATT: con: C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C 3 (T sp - C 2 ) FATT = C 1 (T sp - C 2 ) ( 1 + e ) + C 4 S o (2)

6 A0/ Pag.6/13 Fiducia da attribuire alla previsione di FATT: dall'analisi dei dati usati per determinare tale correlazione, si è ottenuta una stima di varianza pari a 11.5 C, errore massino pari a 27 C, scarto quadratico medio pari a 11.0 C. Si segnala comunque che l'errore max di 27 C riscontrato nella analisi per stimare i parametri è risultato positivo, cioè conservativo, e rispetto agli altri errori è sembrato anche di entità per così dire "anomala". Si suggerisce di eseguire la stima di FATT, e poi di aumentarla conservativamente di 23 C (due volte la varianza, limite di confidenza al 95% di probabilità). c) Nel caso si disponga di: T sp, S o, H v (e solo di queste misure), si userà la seguente correlazione per stimare la FATT: con: C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = C 3 (T sp - C 2 ) FATT = C 1 (T sp - C 2 ) ( 1 + e ) + C 4 S o + C 5 H v (3) Fiducia da attribuire alla previsione di FATT: dall'analisi dei dati usati per determinare tale correlazione, si è ottenuta una stima di varianza pari a 10.1 C, errore massimo pari a 23 C, scarto quadratico medio pari a 9.6 C. Si segnala comunque che l'errore max di 23 C riscontrato nella analisi per stimare i parametri è risultato positivo, cioè conservativo, e rispetto agli altri errori è sembrato anche di entità per così dire "anomala". Si suggerisce di eseguire la stima di FATT, e poi di aumentarla conservativamente di 20 C (due volte la varianza, limite di confidenza al 95% di probabilità). d) Nel caso si disponga di: T sp, S o, H v, D (è questo il caso più completo fra tutti quelli qui considerati) si userà la seguente correlazione per stimare la FATT: - C 3 (T sp - C 2 ) FATT = C 1 (T sp - C 2 ) ( 1 + e ) + C 4 S o + C 5 H v + C 6 D (4) con: C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = C 6 = Fiducia da attribuire alla previsione di FATT: dall'analisi dei dati usati per determinare tale correlazione, si è ottenuta una stima di varianza pari a 9.3 C, errore massino pari a 18 C, scarto quadratico medio pari a 8.9 C. Questo quadro è anche riportato nella Fig.1.

7 A0/ Pag.7/13 Si suggerisce di eseguire la stima di FATT, e poi di aumentarla conservativamente di 18 C (due volte la varianza, limite di confidenza al 95% di probabilità, e anche pari all'errore max riscontrato). e) Nel caso si disponga di: T sp, H v si userà la seguente correlazione per stimare la FATT: - C 3 (T sp - C 2 ) FATT = C 1 (T sp - C 2 ) ( 1 + e ) + C 5 H v (5) con: C 1 = C 2 = C 3 = C 5 = Fiducia da attribuire alla previsione di FATT: dall'analisi dei dati usati per determinare tale correlazione, si è ottenuta una stima di varianza pari a 11.6 C, errore massimo pari a 21 C, scarto quadratico medio pari a 11.1 C. Si suggerisce di eseguire la stima di FATT, e poi di aumentarla conservativamente di 23 C (due volte la varianza, limite di confidenza al 95% di probabilità, valore anche un po superiore all'errore max riscontrato). f) Nel caso si disponga di: T sp, H v, D si userà la seguente correlazione per stimare la FATT: - C 3 (T sp - C 2 ) FATT = C 1 (T sp - C 2 ) ( 1 + e ) + C 5 H v + C 6 D (6) con: C 1 = C 2 = C 3 = C 5 = C 6 = Fiducia da attribuire alla previsione di FATT: dall'analisi dei dati usati per determinare tale correlazione, si è ottenuta una stima di varianza pari a 10.3 C, errore massimo pari a 23 C, scarto quadratico medio pari a 9.8 C. Si suggerisce di eseguire la stima di FATT, e poi di aumentarla conservativamente di 23 C (pari all'errore max riscontrato, e valore superiore a due volte la varianza, limite di confidenza al 95% di probabilità).

8 A0/ Pag.8/13 4 CONCLUSIONI Le correlazioni qui ottenute sono adatte per essere impiegate nelle attività di service sugli impianti, ogniqualvolta la valutazione della fragilità di un corpo cilindrico deve essere ricavata non distruttivamente mediante prove SP eseguite su mini-dischetti ricavati da prelievi superficiali di materiale dal componente. Nel futuro le analisi qui svolte andranno soggette a periodici aggiornamenti, mano a mano che verranno disponibili nuovi dati di prove comparative (resilienze e SO). L'incertezza nelle valutazioni di FATT dedotte dalle correlazioni qui considerate, come analizzato in Appendice 2, risulta per ora dell'ordine di 10 C. Si veda per esempio la fig. 1. Non ci si deve attendere che alla luce di nuovi ulteriori dati in futuro eventualmente disponibili tale incertezza possa ridursi di molto: si ritiene che 7 C sia un obiettivo ragionevole dell'analisi, non ulteriormente riducibile. Tale limite è infatti legato alle modalità sperimentali (inclusa la numerosità dei campioni utilizzati in ogni determinazione di FATT e di T sp ), e dunque non è legato a possibili affinamenti nell'analisi statistica e nella scelta del modello.

9 A0/ Pag.9/13 FIGURA 150 CuNi52Mo FATT actual ( C) MarrelAM60 WSB C error FATT pred ( C) Fig. 1. Analisi di capacità previsionale, basata sulla correlazione espressa dalla eq.4.

10 A0/ Pag.10/13 Appendice 1 Tabella dei dati considerati nelle analisi. Materiale FATT ( C) TSP ( C) So (Mpa) Hv D (ASTM) Note TL1, v.a TL1, v.a deinfr TL1, v. B TL1, v. B deinfr OST.1, v. A OST.1, v. B TV2, v. A, dist ( vecchio Dato qui non dato) considerato (sarà oggetto di futura considerazione) TV2, v. B, dist Dato qui non considerato (sarà oggetto di futura considerazione) TV3, v. A TV3, v. B TV4, v.a, WSB TV4, v. B, WSB Marrel ABB nuovo Nota sui dati mancanti (sostituiti con dati non determinati sperimentalmente, in corsivo nella tabella). Solo i dati di T sp e di FATT sono noti in modo completo, cioè a valle di specifiche misure; per le altre grandezze S o, H v e D si sono utilizzati dati ricavati in precedenti misure, ma non sempre tali dati di fatto esistevano. Il problema avrebbe potuto essere ovviato scegliendo banalmente di trascurare i materiali per i quali i dati S o, H v e D non sono noti in forma completa; una simile (rozza) soluzione avrebbe impoverito troppo la popolazione statistica per le analisi delle regressioni, e non è stata seguita. La scienza statistica è ben attrezzata a trattare casi di dati parzialmente ignoti: si tratta di generare, in base a popolazioni con distribuzioni statistiche note poichè determinate dai dati esistenti, dei valori nuovi per i dati inesistenti, con processo stocastico random (Montecarlo). Queste tecniche di solito funzionano bene quando i dati sono numerosi. Nel caso attuale, la generazione di dati casuali avrebbe comportato un probabile "abbattimento" delle dipendenze di FATT da S o, H v e D. Dunque si è seguita una via semi-rigorosa. Le modalità di stima dei dati mancanti sono indicate nei punti a) e b) seguenti. I valori non noti sperimentalmente, che hanno dovuto essere stimati, sono quelli riportati in corsivo nella tabella. a) I dati mancanti di So sono stati riempiti con valori opportuni, cioè inventati, scelti in modo tale da minimizzare lo scarto quadratico residuo della regressione. Si tratta di due dati; essi sono indicati in corsivo nella tabella. b) I dati mancanti di Hv e D sono invece stati riempiti in modo diverso. Si è effettuata una regressione lineare fra i dati esistenti di FATT e Hv, e poi da tale curva si sono calcolati i valori mancanti di Hv, in corrispondenza dei valori di FATT per cui mancano quei valori di Hv. In modo analogo si è operato per la determinazione dei dati mancanti di D. Esplicitamente:

11 A0/ Pag.11/13 Hv = FATT (1.1) D = FATT (1.2) Nota finale: in futuro si dovrà ripetere tutta l'analisi, includendo i due materiali qui non considerati. Inoltre per uno di essi occorrerà preliminarmente determinare il valore di So.

12 A0/ Pag.12/13 Appendice 2 Considerazioni sull'incertezza della stima della FATT Come si vede, la varianza associata al migliore stimatore possibile per la FATT prevista (FATT pred nella Fig. 1), eq. 4, risulta 9.3 C. A prescindere dal desiderio dell'utilizzatore, che vorrebbe tale incertezza sempre molto piccola, chi analizza i dati deve essere in grado di sapere se l'incertezza così ottenuta (generata nel processo di analisi, legata alle correlazioni, non cioè legata alla dispersione intrinseca dei dati sperimentali in quanto tali: quello è un problema che riguarda invece chi fa le prove, e qui non ce ne occupiamo) è soddisfacente o meno: nel primo caso egli può anche sentirsi appagato e quindi autorizzato a fermarsi, mentre nel secondo caso egli potrà lavorare ad affinare ulteriormente le analisi, per ridurre la variabilità non spiegata. Ha interesse chiedersi cioè quale sia il limite minimo di incertezza che ragionevolmente possiamo attenderci. Un'analisi rigorosa, per un problema non lineare e multiparametrico, andrebbe oltre le competenze di chi scrive. Nel seguito si svolge un'analisi approssimata, ma riteniamo significativa. 1. Si considera per semplicità che la grandezza y dipenda dalla sola grandezza x: y = y(x). Di fatto, y è una grandezza che descrive un flesso in corrispondenza di una temperatura di transizione fragile-duttile (y è la percentuale di frattura duttile in prove di resilienza, oppure anche la energia di frattura E SP in prove Small Punch), e x rappresenta i valori della temperatura. Si trascura il ruolo di S o, H v e D. 2. In una curva y(x), dove y = percentuale di frattura duttile e x = temperatura, tipicamente la dispersione sulla percentuale di frattura duttile è circa 7 % (incertezza sul singolo valore). 3. A questo punto si può assumere che nell'intorno della FATT la curva analitica utilizzata per determinare la FATT sia una retta, anziché una tangente iperbolica. Per una retta, la varianza del punto sulla retta è funzione di x, ed è data da: σ Y 2 = σ o 2 /(n-2) + (x - x m ) 2 / Σ(x i -x m )2 (2.1) dove n-2 sono i gradi di libertà dei valori sulla retta, e x m è il punto medio dei dati x i. Si ricorda inoltre, anche se tale relazione non viene nel seguito impiegata, che la varianza del singolo dato campionario è data da: σ y 2 = σ Y 2 + σ o 2 (2.2) Si può assumere per semplicità l'approssimazione che il valore della FATT si trovi in corrispondenza del punto medio. Dunque la varianza si semplifica come: σ Y 2 = σ o 2 /(n-2) (2.3) Avendo assunto, come esempio, σ o = 7 %, e immaginando che tipicamente la zona intermedia (con % di frattura duttile diversa da 0 e da 100%) sia campionata da 10 provini, si ottiene σ Y = 7 / (10-2) 1/2 = 2.5 %.

13 A0/ Pag.13/13 A questo punto il primo passo per convertire tale incertezza per Y in incertezza per X (FATT) è rilevare che tipicamente per Y fra 0% e 100% vi è un salto di temperatura di 100 C (pendenza 1: 1 è tipico della transizione duttile-fragile per gli acciai). Dunque: σ X = 2.5 C. Il secondo passo è aggiungere l'errore (sistematico) per l'incertezza sulla termocoppia. Assumiamo che questo sia 1 C, e otteniamo dunque: σ X = 1 + (2.5 2 ) 1/2 (2.4) e dunque σ FATT = 3.5 C. Si noti che questa incertezza è relativa alla FATT misurata, cioè la FATT actual secondo la terminologia utilizzata in Figura 1. Occorre poi stimare l'incertezza sulla FATT pred. A tale scopo occorre fare ancora due passi. 4. Il primo passo consiste nell'assumere l'ulteriore ipotesi che l'incertezza sulle determinazioni di T SP sia paragonabile all'incertezza sulle determinazioni di FATT: e dunque σ TSP = 3.5 C. σ TSP = σ FATT (2.5) 5. Il secondo passo implica di considerare la tipica pendenza di un diagramma di FATT vs. T SP : tale valore è circa 2. In sostanza, per ogni grado centigrado di variazione di T SP corrispondono 2 gradi di FATT. Pertanto: e dunque σ FATTpred = 7 C. σ FATTpred = 2 σ TSP (2.6) 6. Infine deve essere valuta la discrepanza fra valori stimati della FATT e valori ottenuti sperimentalmente per la FATT. Entrambi questi termini sono affetti da incertezza: l'incertezza della differenza risulta da una combinazione quadratica delle incertezze dei due termini. Dunque la varianza dell'errore nella previsione della FATT, rispetto alle misure reali della FATT, si ricava come: e dunque σ deviazioni = ( ) 1/2 = 7.8 C. σ (FATT pred - FATT actual ) = ( σ FATTpred 2 + σ FATTactual 2 ) 1/2 (2.7) Dunque alla fine si è ottenuto che il valore migliore possibile che è lecito sperare per la varianza dell'errore, cioè la discrepanza fra le stime di FATT e i valori veri (dove il termine "vero" è fuorviante: anche i valori diretti della FATT hanno degli errori), è pari a 7.8 C. Si nota a questo punto che nel migliore dei casi sopra visti, la regressione n 4, si era ottenuto un errore residuo di 9.3 C: non molto superiore a 7.8 C. Dunque questo dato rende bene l'idea di quale sia il margine che ancora potrebbe (forse) essere limato, raffinando ulteriormente l'analisi. Oltre tale limite (7.8 C) non è lecito andare, se non migliorando il panorama dei dati: più campioni, e migliore accuratezza nella conduzione delle singole prove. Ma questo è un altro problema.

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