Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a RETI TOPOGRAFICHE

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1 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche RETI TOPOGRAFICHE Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

2 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Ret planmetrche Per rete planmetrca s ntende l nseme d pù punt post a vertc d fgure geometrche elementar (per lo pù trangol) avent lat n comune e formant qund magle. Rsolvere planmetrcamente una rete sgnfca determnare valor pù probabl delle coordnate de vertc rspetto ad un sstema d rfermento noto (arbtraro o prefssato). Le ret planmetrche possono essere: - d grand dmenson (ret trgonometrche), eccedent l campo topografco (φ,λ =>> N,E); - d pccole dmenson (ret topografche), comprese nel campo topografco (N,E). Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

3 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Tpologa delle ret topografche A carattere locale: A carattere nazonale: rlev d pccole estenson operazon d controllo traccamento d opere d ngegnera nquadramento d rlev fotogrammetrc terrestr rlev a scopo cartografco Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

4 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Ret d nuova sttuzone da nquadrare nel sstema nazonale Se la precsone rspetto alla rete preesstente è < compensazone vncolata a punt della rete preesstente suppost fss (prv d errore) = compensazone globale > compensazone ntrnseca e successvo nquadramento su vertc della rete preesstente medante trasformazone affne (roto-traslazone con o senza varazone d scala) Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

5 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Le operazon d rlevamento topografco d una rete s svluppano attraverso quattro fas: progettazone della rete, operazon d campagna, operazon d calcolo, valutazone della precsone. 1. Progettazone della rete: sopralluogo, scelta e materalzzazone de vertc (ntervsbltà, poszone domnante, monografe), conformazone geometrca, msure angolar e lnear da esegure. Appost programm d smulazone consentono d determnare le ellss standard de vertc, ntroducendo nformazon sulla poszone approssmata de vertc stess e sulla precsone con cu s ntendono esegure le msure. In generale, l progetto deve tendere ad ottenere ellss l pù possble sml su ogn vertce e con semass maggor nferor ad una quanttà prefssata n funzone dello scopo per cu la rete vene rlevata. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

6 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Nella progettazone della rete, l crtero da adottare è quello d rendere mnmo l numero delle msure da esegure compatblmente con l accessbltà de vertc e con le caratterstche degl strument dsponbl. La precsone delle msure che vene potzzata nel progetto comporta la scelta degl strument da utlzzare n campagna. Il numero delle msure da esegure deve essere sempre superore a quello delle ncognte. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

7 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche. Operazon d campagna: consstono nella msura d angol e dstanze secondo crter gà vst. È opportuno, durante tal operazon, sottoporre le msure (man mano acquste) a controll emprc d congruenza onde evtare la presenza d error grossolan. Ad esempo, per ogn trangolo potrà verfcars che la somma degl angol ntern non dffersca da 00 g se non per quanttà lmtate (tolleranze) che garantscano l assenza d error grossolan. Tal valor ovvamente dpendono dal tpo d strumento utlzzato per la msura. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

8 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche 3. Operazon d calcolo: consstono nell uso d programm d compensazone secondo l metodo de mnm quadrat. I rsultat d tal programm sono costtut dalle mede stmate delle coordnate de vertc rlevat e da relatv scart quadratc med (o dalle varanze); n base a quest ultm s può gudcare se la precsone raggunta è suffcente ed eventualmente ntegrare o rpetere le msure gà esegute. La compensazone può essere eseguta secondo due metod: - l metodo delle osservazon drette condzonate; - l metodo delle osservazon ndrette De due l pù usato è l secondo n quanto s presta meglo all elaborazone elettronca. Tale metodo, defnto anche per varazone d coordnate, consste nel calcolare subto valor fnal delle coordnate de vertc medante relazon che le legano alle quanttà osservate (equazon fondamental) comncando ad attrbure valor approssmat alle coordnate de vertc. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

9 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Tale metodo consste n un procedmento teratvo che, n genere, converge rapdamente. Devono verfcars le seguent condzon: - le msure devono essere ndpendent per evtare che alcune equazon sano combnazone lneare d altre; - le coordnate d ogn punto devono comparre n almeno equazon (per la determnazone planmetrca d un punto occorrono almeno msure); - è necessara almeno 1 msura d dstanza (base) che può essere omessa se nella rete sono nsert punt d coordnate note; - occorre fssare l sstema d rfermento; questo può essere fssato dando arbtraramente le coordnate d un punto e l angolo d drezone d un lato, oppure nserendo nella rete un punto d coordnate note (per es. nel sstema G) e una drezone nota uscente dal punto (oppure punt coordnate note). Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

10 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Nel caso d nsermento nella rete d un punto d coordnate note (per es. nel sstema Gauss-oaga) e d una drezone nota uscente dal punto, l numero mnmo d msure vale nvece r. Se, come s fa comunemente, nella rete d r vertc vengono nsert pù punt d coordnate note, l numero mnmo d msure resta sempre r. Nel caso d rfermento arbtraro, l numero d msure mnmo ndspensable per defnre la rete d r vertc vale (r 3). Infatt, rcordando che una base deve essere sempre nota, la sua conoscenza serve a fssare la poszone d vertc. Per fssare la poszone degl altr (r ) vertc occorrono msure per cascuno d ess, coè: (r ). Complessvamente qund occorrono: 1 + (r-) = r-3 msure In altre parole occorre fssare almeno l orgne del sstema d rfermento ( parametr d traslazone) ed un angolo d drezone (1 rotazone). Per esegure l calcolo d compensazone d una rete d r vertc occorre msurare un numero d grandezze caratterstche superore rspettvamente a r-3 oppure a r. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

11 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Equazon fondamental per l calcolo delle coordnate de vertc della rete Equazone all angolo d drezone: j arctan θj = 0 Y Y Equazone alla dstanza: ( ) + ( Y Y ) j [ ] d = 0 j Equazone all angolo azmutale: j k j arctan arctan αj = 0 Y Y Y Y k N.. Le equazon non sono lnear 1 j j Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone Y Y P P θ j θ j θ k d j α P j P j P k

12 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Calcolo planmetrco d una rete topografca (caso1) Il problema del calcolo d una rete topografca d r vertc consste nella determnazone d r grandezze ncognte (le coordnate, Y de vertc) medante la msura dretta d n r grandezze (angol e dstanze). In questo caso possono essere solo angol n quanto la base A è nota. Per n = r per n > r Y A la rete s dce a msure strettamente necessare (v. fgura); la rete s dce a msure esuberant E F n = r = 8 vertce d coordnate note vertce da determnare C D Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

13 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Calcolo planmetrco d una rete topografca (caso) Se nella rete non v sono vertc d coordnate note (rete locale) l numero delle ncognte, come s è vsto, dmnusce d 3 untà; n tal caso occorre fssare almeno l orgne ( parametr d traslazone) ed un angolo d drezone (1 rotazone). Oltre agl angol occorre msurare almeno 1 base. Per n = r - 3 per n > r - 3 Y x A y A (A) A la rete s dce a msure strettamente necessare (v. fgura); la rete s dce a msure esuberant E F n = r-3 = 9 C D Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

14 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a A e sono d coordnate note; r = 4 (vertc ncognt); r = 8 (ncognte); numero mnmo d msure => 8. Ipotzzamo d aver msurato 6 angol e le 5 dstanze segnate n fgura. Per ogn angolo e dstanza s scrve un equazone del tpo vsto prma. S può allora esegure l calcolo della rete rsolvendo un sstema d 11 equazon non lnear n 8 ncognte, attrbuendo de valor approssmat alle coordnate de vertc e rcorrendo al procedmento teratvo che s llustrerà pù avant; se sono not gl s.q.m. delle msure esegute s può determnare la precsone de vertc della rete. 1 Y O A Esempo [( ) ( ) ] + Y Y d = 0 1 [( ) ( ) ] 1 + Y1 Y d1 = 0 1 [( ) ( ) ] A + Y YA d A = 0 1 [( ) ( ) ] 3 + Y3 Y d3 = 0 1 [( ) + ( Y Y ) ] d = A 1 1 arctan arctan A1ˆ = 0 YA Y1 Y Y arctan arctan 1ˆ3 = 0 Y Y1 Y3 Y arctan arctan 34ˆ = 0 Y3 Y4 Y Y4 4 4 arctan arctan 4ˆ = 0 Y Y4 Y Y4 4 arctan arctan 4ˆ = 0 Y4 Y Y Y A arctan arctan A ˆ = 0 Y Y Y Y Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone A

15 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Dal sstema d equazon generatrc vsto prma s passa a quello delle equazon generate, n cu compaono gl scart v. Il sstema non è lneare; occorre pertanto lnearzzare le equazon con gl svlupp d Taylor. Prma però bsogna defnre de valor approssmat delle ncognte che n genere sono abbastanza prossm a valor compensat da calcolare. S ponga qund: 0 = + δ ; Y = Y + δy ; 0 0 Y dove e sono le coordnate approssmate e δ e δy sono le correzon ncognte. Sosttuendo alle e Y valor dat da tal relazon s procede alla lnearzzazone del sstema che ha qund come ncognte le correzon δ e δy e gl scart v. 0 (1) [( ) ( ) ] 1 + Y Y d = v1 [( ) ( ) ] Y1 Y d1 = v [( ) ( ) ] 1 A + Y YA d A = v3 [( ) ( ) ] Y3 Y d3 = v4 [( ) ( ) ] Y4 Y d4 = v5 () A 1 1 arctan arctan A1ˆ = v6 YA Y1 Y Y arctan arctan 1ˆ 3 = v7 Y Y1 Y3 Y arctan arctan 34ˆ = v Y3 Y4 Y Y4 4 4 arctan arctan 4ˆ = v9 Y Y4 Y Y4 4 arctan arctan 4ˆ = v Y4 Y Y Y A arctan arctan A ˆ = v Y Y Y Y A Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

16 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Il sstema () è però ndetermnato; l numero delle ncognte (8+11=19) è nfatt superore al numero delle equazon (11). Non è possble qund determnare valor teorc delle coordnate ma soltanto stmare le mede delle coordnate stesse. Fra tant metod d stma possbl s scegle quello che s basa sul prncpo d massma verosmglanza. Tale prncpo dce che un buon metodo per stmare le mede delle msure ndrette è quello d consderare che l campone d msure drette utlzzato sa quello d massma probabltà. Se questo prncpo s applca a grandezze statstcamente descrtte da dstrbuzon normal (gaussane) d probabltà, s dmostra che la mglore stma delle grandezze ndrette concde con l punto n cu la funzone p v è mnma (prncpo de mnm quadrat). Nella funzone sono present pes per tenere conto della dversa precsone (caso generale) con cu sono state effettuate le msure. Tale funzone dpende dalle r msure ndrette; la rcerca del mnmo d una funzone a pù varabl avvene mponendo che le dervate parzal sano nulle. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

17 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Svluppando calcol s ottene così un sstema d equazon che vene detto sstema normale (numero d equazon par al numero delle ncognte), rsolvendo l quale s rcavano pù probabl valor delle correzon δ e δy che sosttute nelle (1) 0 = + δ ; Y = Y + δy ; consentono d calcolare le coordnate e Y de vertc della rete. A questo punto occorre terare l procedmento fno a quando la soluzone del sstema normale non fornsce valor d correzone trascurabl. In pratca valor e Y trovat con la prma terazone dventano nuov valor approssmat e bsognerà rpartre dalla fase d lnearzzazone. D solto la convergenza è molto rapda (-3 terazon) e alla fne della procedura s ottengono le coordnate pù probabl de vertc della rete. 0 Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

18 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Per completare l procedmento occorre determnare le varanze delle coordnate de vertc. Sosttuendo valor pù probabl delle coordnate nel sstema () e tralascando le dmostrazon, è possble calcolare valor degl scart v. S determna po l valore d un parametro detto varanza dell untà d peso con la formula: σ 0 = n = 1 p v n r e qund la matrce d varanza-covaranza, rcavata dal prodotto della matrce normale nversa del sstema normale per la varanza dell untà d peso: C = σ N = σ 1... σ σ... 1 n = n. equazon r = n. ncognte dove sulla dagonale prncpale s trovano valor delle varanze delle coordnate. I valor che s trovano al d fuor d tale dagonale s defnscono covaranze σ σ n n... σ n 1 Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

19 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Valutazone della precsone La precsone delle coordnate planmetrche, determnate medante la compensazone a mnm quadrat vsta prma, è espressa da alcun element della matrce d varanza-covaranza calcolata al termne del procedmento. Tralascando le dmostrazon, s può dre che la precsone d un vertce della rete compensata è rappresentata grafcamente dall ellsse standard. Questa ellsse gace sul pano,y e suo semass sono calcolat n funzone delle varanze e delle covaranze delle coordnate planmetrche del vertce n esame. S ha pertanto: σ ( 4 ) + σ Y + σ σ Y + σ Y a = b θ = ( σ σ 4σ ) + σ Y Y Y σ + 1 σ Y arctan σ σ Y = (nclnazone d a rspetto all asse ) Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

20 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Sgnfcato statstco dell ellsse standard Nel caso d una varable statstca monodmensonale lo scarto quadratco medo è una quanttà che consente d defnre degl ntervall all nterno de qual s ha una certa probabltà d trovare l valore della grandezza n esame. Analogamente, quando un punto è defnto da due varabl statstche non ndpendent perché determnate conguntamente nello stesso procedmento d compensazone, l ellsse standard assume seguent sgnfcat: - la poszone del punto ha crca l 39% d probabltà d trovars all nterno dell ellsse standard; - la poszone del punto ha crca l 86% d probabltà d trovars all nterno d un ellsse con semass dopp rspetto a quell dell ellsse standard e smlmente orentata; - la poszone del punto ha crca l 99% d probabltà d trovars all nterno d un ellsse con semass trpl rspetto a quell dell ellsse standard e smlmente orentata. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

21 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Fttng planmetrco y La compensazone della rete vsta prma è stata eseguta consderando punt not rspetto ad un sstema preesstente. La rete però può essere anche rferta ad un sstema arbtraro e compensata come s è vsto per po essere nserta n un altro sstema medante una trasformazone affne (fttng planmetrco). Tale operazone consste nel trasformare le coordnate de vertc della rete defnt nel sstema d rfermento locale O,x,y nelle coordnate che Y O Y O P Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone Q Y O P P x P α y P Y P α Y P quest vengono ad assumere n un sstema d rfermento generale Q,,Y. Consderamo n un prmo momento che le orgn de due sstem concdano, che c sa coè solo una rotazone α. Se del punto P sono note le coordnate local x P e y P, s può rcavare faclmente che le coordnate d P nel sstema generale valgono: P = x P cos α y P sen α Y P = x P sen α + y P cos α (1) x

22 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a y Per ottenere le coordnate general d P nel caso che le orgn non concdano basterà aggungere alle (1) le coordnate dell orgne del sstema locale rferte al sstema generale: P = 0 + P = 0 + x P cosα y P senα Y P = Y 0 +Y P = Y 0 + x P senα + y P cosα () Y Y O O Q Y x P P P α P α y P Y P YP I parametr che defnscono la roto-traslazone sono tre: 0 Y 0 α e vanno determnat caso per caso. Se l sstema generale è quello nazonale (G), è necessaro moltplcare second membr delle (), escluse ovvamente 0 e Y 0 (ovvero E 0, N 0 ), per l fattore d scala λ, ottenendo: O E P = E 0 + (x P cosα y P senα) λ N P = N 0 + (x P senα + y P cosα) λ (3) x Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

23 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Nella pratca, l sstema formato dalle equazon (3) per essere rsolto deve essere lnearzzato facendo le semplc sosttuzon che seguono: a =λ cosα b =λ senα Per rsolvere l sstema ne quattro parametr ncognt E 0, N 0, a, b: E 0 + a x P b y P - E P = 0 N 0 + a x P + b y P N P = 0 è necessaro dsporre d almeno 4 equazon, dervant dalla conoscenza d almeno punt d coordnate note ne due sstem d rfermento (punt dopp). Rcavat 4 parametr s può rsalre all angolo α e al fattore d scala λ medante le relazon sotto ndcate: λ = a + b b α = arctan a Sosttuendo tal valor nelle (3), pù ovvamente E 0 e N 0, possono calcolars agevolmente le coordnate d tutt punt della rete nel sstema nazonale. E P = E 0 + (x P cosα y P senα) λ N P = N 0 + (x P senα + y P cosα) λ (3) Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

24 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Ret altmetrche Dando per scontato che s esegue sempre un numero d msure superore a quello mnmo necessaro, l problema del calcolo e della compensazone d una rete d punt collegat altmetrcamente è, come per le ret planmetrche, quello della msura ndretta d n grandezze con un numero esuberante d equazon; le equazon però sono d tpo lneare (metodo delle osservazon ndrette). Il metodo, noltre, è valdo sa per le lvellazon geometrche che per quelle trgonometrche; vara solo la scelta de pes. Rcordamo che, a partà d errore medo chlometrco, se la lvellazone è geometrca, gl error crescono con la radce quadrata della dstanza, se la lvellazone è trgonometrca, gl error nvece sono proporzonal alla dstanza. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

25 Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche L equazone alle msure che lega le quote ncognte Q e Q j d due punt P e P j fra cu s è msurato l dslvello j è: Q = 0 (1) Q j j Il dslvello può essere l rsultato d un unca msura, o l rsultato d una somma d dslvell; n questo caso, rcavate le quote compensate Q* e Q* j degl estrem della lnea, s compensano successvamente dslvell parzal dato che la compensazone smultanea d tutt dslvell fra capsald della rete rsulterebbe pù onerosa senza peraltro fornre rsultat mglor. Anche se la (1) è lneare convene, per maggore facltà d calcolo, determnare de valor approssmat delle quote Q e Q j e assumere come ncognte le correzon x e x j da attrbure a quest per avere le quote compensate. Posto: Q Q + * = 0 x e Q * j = Q 0 j + x j la (1) dventa t x x + t = v dove j = Q j Q j j j P v j 0 0 sono gl scart P j Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

26 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a S assumono come ncognte le quote d tutt nod tranne uno che deve essere d quota nota (anche arbtrara). S ha: Dslvell msurat r=9 Quote ncognte n-1=5 Per calcolare le 5 quote ncognte sono dsponbl 9 equazon del tpo Q Q j j = 0 Con valor arrotondat d alcun dslvell msurat s rcavano valor approssmat delle quote Q, Q C, Q D, A A (C.S.) Q E, Q F e consderando le corrspondent correzon possamo scrvere AF qund per ogn lnea: 0 0 () x j x + tj = v con tj = Q j Q j Tal equazon sono lnear e devono essere soltanto rdotte allo stesso peso n quanto s rferscono a lnee d lunghezza dversa. Rcordando che lo s.q.m. d una lnea è proporzonale alla radce quadrata della dstanza e che pes sono nversamente proporzonal alle lunghezze delle sngole lnee, cò s ottene moltplcando coeffcent e termn not d cascuna equazone per la rspettva radce quadrata del peso. Così come vsto per le ret planmetrche, anche n questo caso s ha un sstema d equazon ndetermnato; l numero delle ncognte (5 quote +9 correzon = 14) è nfatt superore al numero delle equazon (9). D AD D DE C CE E EF C CF F Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone

27 Prof. V. Franco: Topografa e tecnche cartografche Corso d laurea n Ingegnera per l Ambente e l Terrtoro a.a È possble qund soltanto stmare le mede delle quote con l prncpo d massma verosmglanza. Svluppando calcol s ottene così l sstema normale la cu soluzone permette d calcolare le correzon x e x j e qund le quote compensate * = Q 0 x Q * j = Q 0 j + x j Q + Resta da valutare, così come s è fatto per le ret planmetrche, la precsone delle quote compensate. Introducendo le correzon x e x j nelle equazon x j x + tj = v s ottengono gl scart v che consentono d calcolare l valore della varanza dell untà d peso con la nota formula: σ 0 = n = 1 p v n r n = n. equazon r = n. ncognte e qund la matrce d varanza-covaranza, rcavata dal prodotto della matrce normale nversa del sstema normale per la varanza dell untà d peso. Le varanze delle quote compensate sono com è noto, termn della dagonale prncpale d tale matrce. Unverstà degl Stud d Palermo Dpartmento d Rappresentazone