Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione

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1 Artmetca 06/07 Esercz svolt classe Quarta lezoe Rcorreze o lear Sa a c a cq ua rcorreza dove {c }, c C e c 0. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza è data da αq se P q 0. α µ q se P q 0 d molteplctà µ. La costate α s determa sosttuedo la soluzoe partcolare ella rcorreza. Sa a c a f ua rcorreza dove {c }, C e f C[]. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza è data da g C[] d grado uguale al grado d f se P 0. µ g C[] co g d grado uguale al grado d f se P 0 d molteplctà µ. I coeffcet d g s determao sosttuedo la soluzoe partcolare ella rcorreza. Nel caso che ua rcorreza abba due codzo o lear queste s possoo determare dpedetemete, cf. eserczo sotto.. Sa a 4a 4a. Determamo la forma geerale delle soluzo della rcorreza. La rcorreza leare a 4a 4a ha polomo caratterstco P λ 4λ4 λ, e qud ha ua sola radce,, d molteplctaà. La forma geerale delle soluzoe della parte leare è qud A B, co A, B C. Possamo determare separatamete le due soluzo partcolar. La parte polomale. Dato che P 0, la soluzoe partcolare è della forma C D. Sosttuedo ella rcorreza otteamo

2 C D 4C D 4C D C D 4C Da cu per l prcpo d dettaà de polom otteamo l sstema { C D 4C che ha come soluzo C, D. rcorreza è qud. La soluzoe partcolare della La parte espoezale: Dato che P 0 d molteplctà abbamo che la soluzoe partcolare è della forma α. Sosttuamo ella rcorreza per determare α. α 4α 4α α α α α α / La soluzoe partcolare della rcorreza è qud /. La rcorreza ha qud soluzoe geerale della forma A B /. Targhe: strga d 0 su lettere a...z 0 cfre a Quate targhe c soo co esattamete zero a b Quate targhe c soo co esattamete u a c Quate targhe c soo co esattamete due a d Quate targhe c soo co esattamete tre a e Dato 0 0 quate targhe c soo co esattamete a f Quate targhe c soo co almeo a. Rcordamo che Per l puto e: scelgo poszo tra 0 per le a. M rmagoo 0 poszo da rmepre co qualcosa che o sa a. I put a,...,d seguoo.

3 Per l puto f: covee da tutte le strghe toglere quelle che cotegoo meo d tre a. Qud l umero rchesto è Rcordamo l 0 Teorema Teorema multomale Per og, N e a,..., a R abbamo a a,..., a Procedamo per duzoe forte su. Base: Per l teorema è baalmete vero, per l teorema multomale è esattamete l teorema del bomo, gà dmostrato. Predamo come base. Passo duttvo. Sappamo a a,..., a a voglamo dmostrare a a,..., a a a a a a a a,...,, K K,...,, K K a a a K a K co K K,...,, K m, a m dato che K,...,, K m, m,..., abbamo a a E questa è la tes.,..., a Notamo che dato che l teorema è vero per, c soo almeo added ella sommatora e qud possamo sempre fare la costruzoe d cu sopra. K, a a

4 dmostrare l teorema del multomo per va - Eserczo proposto: semstca.. Targhe: strga d 0 su lettere a...z 0 cfre a Quate targhe c soo co esattamete ua a e ua b b Quate targhe c soo co esattamete tre a e due b c Dato 0 0 quate targhe c soo co esattamete a d Quate targhe c soo co almeo a. Rcordamo che ,, 0,, 9 0 Per l puto f: covee da tutte le strghe toglere quelle che cotegoo meo d tre a o due b. Abbamo cas [0a0b,0ab,0ab,a0b etc.]qud l umero rchesto è ,, 0 4. Proposto: dare ua dmostrazoe combatorca del teorema multomale 5. Sa A l seme {a,..., z, 0,..., 9}. a Quat sottosem d A hao co esattamete ua a. [ 0 ] b Quate targhe c soo co esattamete a.[ ] c Quate targhe c soo co esattamete ua a, ua b. [ 9 ] 6. Dat, N trovare l umero d soluzo tere postve dell equazoe x x Scrvamo la strga che cotee umer. Il umero d soluzo dell equazoe è uguale al umero d partzo della strga cu og elemeto della partzoe cotee almeo u elemeto soluzo postve. Basta qud ella strga poszoare separator poszo. Le poszo ammssbl soo quelle che gaccoo tra umer, ovvero al umero de Cota l orde, o so ammesse rpetzo, abbamo qud soluzo. 4

5 7. Dat, N trovare l umero d soluzo tere postve o ulle dell equazoe x x Scrvamo la strga che cotee umer. Il umero d soluzo dell equazoe è uguale al umero d partzo della strga. Soo ammess elemet della partzoe vuot. Basta qud ella strga poszoare separator poszo. Le poszo ammssbl soo quelle che gaccoo tra umer, pù due estrem, ovvero, e soo ammesse rpetzo. Cota l orde, abbamo qud C, r soluzo. 8. Dat, N trovare l umero d soluzo tere postve della dsequazoe x x Applcado rsultat dell eserczo precedete per x x t co t 0,..., otteamo che l umero rchesto è j0 j L uguaglaza dscede dal fatto che la sommatora e la somma d ua dagoale del tragolo d Tartagla. Rcordamo la covezoe per cu bom 0 se <. Rcordamo la covezoe per cu bom 0 se <. Esempo: 5, 5 j j0 Soluzo: 0 4 [[,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ]] Dat, N trovare l umero d soluzo tere postve o ulle della dsequazoe x x Applcado rsultat dell eserczo precedete per x x t co t 0,..., otteamo che l umero rchesto è j j0 5

6 L uguaglaza dscede dal fatto che la sommatora e la somma d ua dagoale del tragolo d Tartagla. Esempo: 5, 5 j j0 Soluzo: [[0, 0, 0], [0, 0, ], [0, 0, ], [0, 0, ], [0, 0, 4], [0, 0, 5], [0,, 0], [0,, ], [0,, ], [0,, ], [0,, 4], [0,, 0], [0,, ], [0,, ], [0,, ], [0,, 0], [0,, ], [0,, ], [0, 4, 0], [0, 4, ], [0, 5, 0], [, 0, 0], [, 0, ], [, 0, ], [, 0, ], [, 0, 4], [,, 0], [,, ], [,, ], [,, ], [,, 0], [,, ], [,, ], [,, 0], [,, ], [, 4, 0], [, 0, 0], [, 0, ], [, 0, ], [, 0, ], [,, 0], [,, ], [,, ], [,, 0], [,, ], [,, 0], [, 0, 0], [, 0, ], [, 0, ], [,, 0], [,, ], [,, 0], [4, 0, 0], [4, 0, ], [4,, 0], [5, 0, 0]] Cofrotare due rsultat co l umero delle sequeze < < e 0 0. Determare #{a, b N ab }. Dato che appea determato a abbamo uo ed u solo b corrspodete, basta calcolare l umero de dvsor d , che soo d per la formula vsta a lezoe della fuzoe che cota dvsor d u tero postvo d : N {0} N d Soluzo: d p α α [,, 4, 5, 8, 0, 6, 0, 5,, 40, 50, 64, 80, 00, 5, 60, 00, 50, 0, 400, 500, 65, 800, 000, 50, 600, 000, 500, 5, 4000, 5000, 650, 8000, 0000, 500, 565, 0000, 5000, 50, 40000, 50000, 6500, 785, 00000, 5000, 5650, 00000, 50000, 500, , 65000, , 50000, , ] 6

7 . Determare #{a, b N ab e a b}. Appea determato a abbamo uo ed u solo b corrspodete. La codzoe d defzoe dell seme s può rformulare come a e a 57 6 Dato che a 5 7 6, a α 5 β, co α, β 0. Abbamo che e che α 5 β α 6 e β 7 α 5 β 57 6 α 5 β α 6 α e β 7 β da cu 0 α e 0 β 7 Dato che α, β possoo assumere solo valor ter, abbamo possbltà. [,, 4, 5, 8, 0, 0, 5, 40, 50, 00, 5, 00, 50, 500, 000]. Determare #{a, b, c N abc }. Ambbamo vsto classe la soluzoe che sfrutta l eserczo precedete. Provare a dmostrare co ua opportua fuzoe moltplcatva. Provare ache a dmostrare drettamete sfruttado l teorema d fattorzzazoe uca degl ter. a. Eserczo proposto. Determare { # a, a,..., a N a a N } 7

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