ARITMETICA E ALGEBRA
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- Angelina Rosalia Palma
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1 ARITMETICA E ALGEBRA SEZIONE A INIZIAMO CON UN PROBLEMA Fttorizzzioe e zeri di poliomi CAPITOLO CAPITOLO Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio Il cmpo ordito dei umeri reli MATEMATICA & MATEMATICA: Numeri lgerici e trscedeti CAPITOLO 3 CAPITOLO 4 CAPITOLO 5 CAPITOLO 6 Elemeti di clcolo pprossimto L fttorizzzioe dei poliomi Le frzioi lgeriche e le operzioi tr frzioi lgeriche Complemeti su equzioi e disequzioi MATEMATICA & CHIMICA: L cidità dell ceto CAPITOLO 7 L lger dei vettori LABORATORIO DI MATEMATICA CON LO SMARTPHONE: U cmmit smrt Test iterttivi su ZTE
2 SEZIONE A Aritmetic e lger INIZIAMO CON UN PROBLEMA Fttorizzzioe e zeri di poliomi x + 5x = 5 3 = 6 (x + )(x + 3) È vero che se u poliomio P(x) di grdo $ h uo zero rele llor si fttorizz el cmpo rele? se u poliomio o h zeri reli, llor o si fttorizz el cmpo rele? Ricordimo il teorem del resto. Se esiste uo zero rele del poliomio P^xh di grdo $, llor P^xh si fttorizz el cmpo rele el prodotto fr u poliomio di primo grdo e uo di grdo -. Grzie questo risultto possimo quidi rispodere i modo ffermtivo ll domd. Per rispodere ll domd prtimo dll ipotesi che il poliomio o i zeri reli e chiedimoci se possimo cocludere che o si fttorizz el cmpo rele. Cosiderimo il poliomio: 4 P^xh = x+ x+. P^xh o può vere zeri reli. Iftti, quluque 4 si il umero rele x, x + x è u umero o egtivo e l su somm co restituisce u umero mggiore o ugule e quidi diverso d 0. Ci chiedimo se P^xh si può fttorizzre. Cosiderimo le segueti uguglize: 4 4 x + x + + x - x = x + x + - x = = ^x + h -x. Possimo quidi pesre x 4 + x + come differez di due qudrti. Ricordimo che: A - B = ^A- Bh^A+ Bh. Poimo A = x + e B = x: x 4 + x + = ^x + h - x = = ^x + + xh^x + -xh. Aimo trovto u poliomio che o h zeri m si fttorizz el cmpo rele. Ciò equivle dire che l rispost ll domd è egtiv. Esiste u isieme umerico i cui si sempre possiile esprimere u poliomio di grdo come prodotto di fttori di primo grdo? Riformulimo l domd: Esiste u isieme el qule u poliomio di grdo h zeri? L rispost ll domd dimostr che questo isieme o può essere quello dei umeri reli.
3 Fttorizzzioe e zeri di poliomi M qule tipo di isieme umerico dovremmo pesre? È lecito ivetrsi uovi umeri? Hi già ssistito operzioi di mplimeto degli isiemi umerici per risolvere uovi prolemi. Per esempio, imo itrodotto i umeri iteri per risolvere il prolem di determire x tle che x + = 0. I umeri rzioli soo stti ivetti per risolvere il prolem di determire x tle che x + = 0 (co diverso d 0). Ifie, imo defiito i umeri reli per risolvere il prolem di ssegre u misur ogi segmeto. Possimo quidi chiederci se esiste u isieme umerico el qule ogi poliomio di grdo mmette zeri e quidi può essere scritto come prodotto di fttori di primo grdo. Questo isieme esiste e si chim isieme dei umeri complessi. I questo testo o voglimo ffrotre lo studio dei umeri complessi, m u ide possimo drl cosiderdo l equzioe di secodo grdo x + = 0, che ei umeri reli o h soluzioi. Suppoimo di dre sigificto ll equzioe x = -, i modo d potere ffermre che esiste u umero, o rele, che elevto l qudrto si ugule -. Idetifichimo questo umero co l letter i, iizile di immgirio, e ffermimo che: i = -. Allor i è u soluzioe o rele dell equzioe x + = 0. Quidi, ell isieme dei umeri complessi, il poliomio x + si fttorizz el prodotto ^x - i h^x + i h. Qutità silvestri e immgirie Il mtemtico ologese Rfel Bomelli, ell su oper L lger, si occupò dei umeri complessi. Prim di lui Eroe vev prlto di rdice di u umero egtivo e Crdo vev coito il termie qutità silvestri, co il qule che Bomelli idetific i umeri complessi. M Bomelli fu il primo defiire l qutità immgiri e stilire regole di clcolo co i umeri complessi. L itroduzioe dei umeri immgiri o vvee per scomporre u poliomio di grdo i fttori di primo grdo. Iftti Bomelli itrodusse i umeri complessi per dre seso ll formul risolutiv geerle propost d Crdo per le equzioi di terzo grdo, che prevedev l rdice qudrt di u umero egtivo. Numeri complessi e feomei fisici Chrles Proteus Steimetz (865-93), igegere e mtemtico tedesco, elorò u modello teorico per l correte ltert sfruttdo proprio i umeri complessi. Di lui è stto detto che h prodotto eergi trmite i umeri complessi. Questo è solo uo dei tti cmpi dell fisic dove etro i gioco questi umeri: tutti i feomei di oscillzioe, come per esempio quelli legti ll propgzioe delle ode rdio, possoo essere descritti utilizzdo i umeri complessi. Puoi ricvre dll rete o dl tuo liro di fisic iformzioi iteressti rigurdo, che potri pprofodire qudo studieri le fuzioi goiometriche. Alger di Rfel Bomelli: frotespizio dell edizioe ologese del
4 SEZIONE A Aritmetic e lger CAPITOLO Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio PROBLEMA Qute trghe? Il sistem ttule delle trghe utomoilistiche i Itli prevede l utilizzo di due isiemi di simoli: l isieme delle 0 cifre " 0,,, 9, e quello di lettere " A,B,,Z, el qule soo comprese le lettere J, K, W, X, Y ed escluse le lettere I, O, Q, U. Ogi trg è formt orditmete d: lettere che o distite; 3 cifre che o distite; lettere che o distite. Quti utoveicoli è possiile idetificre co questo sistem? Risoluzioe Poiché l isieme delle trghe è i corrispodez iuivoc co l isieme degli utoveicoli, è sufficiete cotre qute soo le possiili trghe. L prim letter può essere scelt fr possiilità. Per ciscu di queste, ci soo possiili scelte dell secod letter. Quidi le prime due lettere possoo essere scelte i $ = = 484 modi differeti. Pssimo or ll sequez di 3 cifre. Aimo 0 possiili scelte per l prim cifr e per ciscu di queste imo 0 possiili scelte per l secod cifr, quidi: 0 $ 0 = 0 = 00. Per ciscu di queste 00 ci soo 0 possiilità per l terz cifr: 0 $ 0 $ 0 = 0 3 = 000. Si trtt, i sostz, dei 000 umeri turli che vo d Poiché per ciscu delle 484 coppie di lettere iizili ci soo 000 tere di cifre, imo fi qui 484 $ 000 = diverse trghe. L ultim coppi di lettere h ltre 484 possiili scelte, duque i totle il umero delle possiili trghe differeti tr loro è: $ $ 0 $ 0 $ 0 $ $ = 4 $ 0 3 =
5 Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio CAPITOLO Poiché i Itli si vedoo circ milioe di uto ll o, questo sistem può durre cor lugo! Alcue domde che proo uove prospettive Quti soo i sottoisiemi di 4 elemeti scelti i u isieme di 0 elemeti? Qul è il coefficiete di 4 ello sviluppo di ^ + h 0? Qute soo, tr le prole di 0 crtteri formte dlle sole lettere A e B, quelle i cui l letter A compre esttmete 4 volte? Se lcimo u moet 0 volte, i qute sequeze diverse possoo uscire esttmete 4 teste? Cotre gli grmmi: il fttorile Uo dei primi prolemi di comitori è il seguete: i quti modi diversi si possoo ordire oggetti distiti? Per risolverlo è molto utile il modello degli grmmi. Trovimo quti soo gli grmmi (che privi di seso) dell prol more. Ci soo: 5 possiilità per l prim letter; 4 possiilità per l secod letter (tutte le lettere tre l prim); 3 possiilità per l terz letter (tutte le lettere tre l prim e l secod); possiilità per l qurt letter (tutte le lettere tre l prim, l secod e l terz); possiilità per l quit e ultim letter (l ultim letter rimst). Idichimo il prodotto dei primi 5 umeri turli (escluso lo 0) co il simolo 5! (si legge 5 fttorile): 5! = 5 $ 4 $ 3 $ $ = 0. Possimo geerlizzre. oggetti distiti si possoo ordire i! = $ $ $ modi diversi. Ciscuo di essi si chim permutzioe di oggetti distiti. Duque ci soo! permutzioi di oggetti distiti. 5 5 $ 4 = 0 5 $ 4 $ 3 = 60 5 $ 4 $ 3 $ = 0 5 $ 4 $ 3 $ $ = 0 Elechimo tutte le possiili permutzioi delle tre lettere o, r, : or, or, ro, ro, ro, or. Come possimo verificre, soo 3! = 3 $ $ = 6. Se vessimo cosiderto u isieme di 4 lettere, le possiili permutzioi sreero stte 4! ossi 4 $ 3 $ $ = 4. 5
6 SEZIONE A Aritmetic e lger Dll esempio precedete possimo verificre che 4! = 4 $ 3!. Quest osservzioe vle i geerle e cosete di dre u defiizioe di! dett ricorsiv. 0! = *! = $ I-M! L defiizioe 0! = è giustifict dl ftto che i u prodotto, i ssez di fttori, ciò che rest è l elemeto eutro, cioè. Vedimo come si possiile clcolre 4! utilizzdo l defiizioe ricorsiv del fttorile di u umero: Quidi: 4! = 4 $ 3! 3! = 3 $!! = $!! = $ 0!! = $ =! = $ = 3! = 3 $ = 6 4! = 4 $ 6 = 4 Il umero! cresce molto rpidmete l crescere di (e questo spieg il puto esclmtivo dell otzioe). 0! = $ 0 6 ; 0! = $ 0 8 ; 30! = $ 0 3 ; 40! = $ Fio pochi decei f il clcolo di! dovev essere effettuto sez clcoltori ed er duque molto lorioso. Si utilizzv llor u pprossimzioe di! dovut Jmes Stirlig (69-770):!. r e l dove r = è il umero pi greco, defiito come il rpporto tr l lughezz di u circoferez e quell del suo dimetro; e = è il umero di Eulero, che icotreremo più volte e che i Itli viee spesso deomito che umero di Nepero. L formul di Stirlig semr e più complict di ciò che vuole pprossimre: ess però può essere clcolt direttmete quluque si. Ivece il prodotto $ $ $ richiede - moltipliczioi iterte. Per clcolre! co u foglio elettroico, si può usre il comdo: =FATTORIALE(). Possimo cofrotre, per = 0, 0,, 50, il umero! co l pprossimzioe di Stirlig. 6
7 Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio CAPITOLO Puoi ricostruire l tell fico i u foglio elettroico e dre ltri vlori.! Stirlig() $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 0 64 Se 8 tleti prtecipo u gr di cors, ci soo 8! = possiili ordii di rrivo diversi. Cerchimo di cpire i quti modi diversi si può comporre il podio (cioè i primi 3 clssificti). Lo schem sfrutt sempre lo stesso metodo: ci soo 8 possiili tleti per il primo posto, 7 per il secodo, 6 per il terzo. I totle 8 $ 7 $ 6 = 336 diversi podi. Osservimo che, usdo l defiizioe ricorsiv di fttorile, 8 $ 7 $ 6 si può scrivere come: 8! 8 $ 7 $ 6 = 5!. Iftti: 8! 8$ 7$ 6$ ^5! h 5! = 5! = 8$ 7$ 6. Il prolem proposto el precedete esempio è equivlete cotre tutte le prole di 3 lettere diverse che si possoo scrivere co u lfeto di 8 lettere. Possimo geerlizzre questo prolem e chiederci qul è il umero di prole di lettere diverse che si possoo formre co u lfeto di lettere. L prim letter può essere scelt fr le lettere dell lfeto, l secod fr le - lettere rimeti e vi così fio ll -esim letter per l qule ci soo le rimeti - + possiilità. Quidi il umero di prole di lettere diverse scelte i u lfeto di lettere è dto d: $ ^-h$ ^ -h$ $ ^- + h. Geerlizzimo. Gli ordimeti di oggetti scelti tr oggetti distiti soo:! $ ^-h$ ^ -h$ $ ^- + h$ ^- h! = = $ ^-h$ $ ^- + h. ^- h! ^- h! Ciscuo di essi si chim disposizioe di oggetti su. Cotre i sottoisiemi: i coefficieti iomili Ripredimo l esempio degli 8 tleti e determiimo i quti modi diversi può essere composto il podio, sez currci dell ordie di rrivo. I ltri termii, cotimo quti soo i sottoisiemi di 3 elemeti scelti i u isieme di 8, per esempio X = " ,,,,,,,,. Come imo ppe visto, il umero di ordimeti di 3 oggetti scelti tr 8 oggetti 8! distiti è 5!. 7
8 SEZIONE A Aritmetic e lger M se o simo iteressti ll ordie, sigific che ogi sottoisieme di 3 elemeti viee cotto più volte. Per esempio, il sottoisieme " 367,,, viee cotto 6 volte: " 367,,, " 376,,, " 637,,, " 673,,, " 736,,, " 763,,, e 6 è esttmete il umero di permutzioi di 3 oggetti, cioè 3! Allor, per otteere il umero di sottoisiemi di 3 elemeti scelti tr 8, doimo dividere il umero di ordimeti per 3!: 8! 8$ 7$ 6 8$ 7$ 6 3! $ 5! = 3! = 6 = Il umero così otteuto si chim coefficiete iomile e si idic co il simolo 3 l. Geerlizzimo. Se è u umero turle e è u umero turle compreso tr 0 e, si idic co il simolo l il umero di sottoisiemi di elemeti scelti i u isieme di elemeti:! l =! I- M!. Ciscuo di questi sottoisiemi si chim comizioe di oggetti su. l è detto coefficiete iomile. U cosiglio di mmiistrzioe formto d persoe deve eleggere l proprio itero u giut formt d 4 persoe. I quti modi diversi può frlo? L rispost è: $ $ 0 $ 9 4 l = 4$ 3$ = $ 5 $ 9 = 495. Proprietà dei coefficieti iomili Si X u isieme che cotiee u umero qulsisi di elemeti. 0 l = : l uico sottoisieme co 0 elemeti è l isieme vuoto Ø. l = : l uico sottoisieme che cotiee elemeti è X stesso. 3 l = : i X iftti ci soo sottoisiemi co elemeto. 4 - l = : c è u corrispodez iuivoc tr i sottoisiemi d elemeto e i sottoisiemi d - elemeti i X; iftti, u sottoisieme co - elemeti è crtterizzto dll uico elemeto che o gli pprtiee. 5 = l - l : c è u corrispodez iuivoc tr i sottoisiemi co elemeti e i sottoisiemi co - elemeti i X; iftti, ogi sottoisieme co elemeti è ssocito l sottoisieme complemetre, che h - elemeti. 6 L sequez degli + coefficieti iomili 0 l, l,, l è simmetric. Se è pri, l sequez è simmetric rispetto l vlore cetrle f, che è che il p vlore mssimo Per esempio, se = 6, i 7 coefficieti iomili c 0 m, l,, c 6 m soo:, 6, 5, 0, 5, 6,. 8
9 Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio CAPITOLO 7 Se è dispri, l sequez degli + coefficieti iomili è simmetric rispetto i due vlori cetrli - = f p f + p. Per esempio, se = 7, gli 8 coefficieti iomili soo:, 7,, 35, 35,, 7,. L somm di tutti i coefficieti iomili di è ugule. Per esempio, se = 3, l somm di tutti i coefficieti iomili è: 0 3 l+ 3 l+ 3 l+ 3 3 l = = 3. I geerle: 0 l+ l+ + l =. Quest somm coicide co il umero di tutti i sottoisiemi di X. Iftti, u sottoisieme A di X si può scegliere i modi diversi, perché per ciscu elemeto di X si ho due ltertive possiili: pprtiee o o pprtiee d A. Per esempio, u isieme di 5 elemeti h 5 = 3 sottoisiemi. I coefficieti iomili si possoo clcolre co u foglio elettroico co il comdo: =COMBINAZIONE(;). Il trigolo di Trtgli I coefficieti iomili si possoo costruire, rig per rig, medite il trigolo di Trtgli (o di Pscl). Ogi vlore si ottiee ddiziodo i due coefficieti che gli sto immeditmete sopr e siistr, ell rig precedete: l = se = 00 = - - c + se =,,, - - m c m *
10 SEZIONE A Aritmetic e lger 5 l= 4 l+ 4 l = 4+ 6 = 0. Iftti i sottoisiemi di elemeti i X = " cde,,,,, soo: 4 i 4 = l sottoisiemi di elemeti di X che cotegoo e: " e,,, " e,,, " ce,,, " de,,; 4 i 6 = l sottoisiemi di elemeti di X che o cotegoo e (quidi scelti i u isieme di 4 elemeti): ",,, " c,,, " d,,, " c,,, " d,,, " cd,,. ESPLORA CON UN FOGLIO ELETTRONICO I coefficieti iomili Esplor le regolrità dei coefficieti iomili e verific le proprietà precedetemete electe usdo il foglio elettroico che trovi sull eboo e sul sito del liro. Potez di u iomio Il trigolo di Trtgli h u importte ppliczioe lgeric: forisce l sequez dei coefficieti degli ddedi ello sviluppo di ^+ h. Sppimo già che risult: ^ + h = + + ^ + h = coefficieti:,, (rig del trigolo di Trtgli) coefficieti:, 3, 3, (rig 3 del trigolo di Trtgli) I modo logo otteimo qulsisi potez turle di + ; per esempio: Iftti: ^+ h 5 = ^+ h = ^+ h^+ h^+ h^+ h^+ h. coefficieti:, 5, 0, 0, 5, (rig 5 del trigolo di Trtgli) Lo sviluppo di questo prodotto h 5 = 3 ddedi. Ciscuo di essi si ottiee scegliedo oppure d ciscu ^+ h e moltiplicdo i 5 fttori: per esempio = 3. Questo prodotto si può otteere i diversi modi, per esempio, oppure. Ciscuo di essi è ssocito l corrispodete sottoisieme di X = " 345,,,,,: per esempio l prodotto ssocimo il sottoisieme " 4,,,, l prodotto il sottoisieme " 345,,,, e così vi. Duque 3 5 si può otteere i 3 l modi. 0
11 Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio CAPITOLO Geerlizzimo. Per ogi! N, $ risult: - - I + M = l + - l + - l l. Oppure, cosiderdo l simmetri dei coefficieti iomili di u dto fissto: I + M = l + l + l + + l. Lcimo 0 volte u moet due fcce, test (T) e croce (C). Ci chiedimo quti soo i possiili risultti, teedo coto dell ordimeto. I possiili risultti di 0 lci soo 0 = 04. Iftti ogi lcio può uscire T o C e ogi lcio si rddoppi il umero di possiili risultti: T, C; TT, TC, CT, CC; TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC; Clcolimo quti risultti cotegoo 4 teste (e 6 croci). Il umero di risultti che cotegoo 4 teste è: 0 0! 0$ 9$ 8$ 7 4 l = 4! $ 6! = 4$ 3$ = 0. Quest soluzioe può essere utilizzt per clcolre delle proilitˆ. Iftti, se suppoimo che tutti i risultti io l stess proilità di relizzrsi, llor ciscu sequez di 0 esiti dell moet h proilità 04. L proilità di otteere 4 teste su 0 lci è proprio il rpporto tr il umero di risultti co 4 teste e il umero totle di risultti: 0 4 l 0 0 =. % Cmpioi estrtti d u popolzioe I metodi di coteggio che imo visto egli esempi precedeti possoo essere strutturti i u prolem di crttere geerle: d u popolzioe di elemeti si vuole estrrre u cmpioe di elemeti. Quti differeti cmpioi si possoo estrrre? Cosiderimo le segueti possiili situzioi: i cmpioi possoo essere orditi oppure o orditi; i cmpioi possoo essere estrtti sez ripetizioe o co ripetizioe. Suppoimo che u elemeto estrtto dll popolzioe o poss più essere estrtto (cmpioe sez ripetizioe). I questo cso possimo cosiderre due tipi di cmpioi: orditi e o orditi.
12 SEZIONE A Aritmetic e lger Cmpioi orditi sez ripetizioe: due cmpioi differiscoo per lmeo u elemeto oppure per il diverso ordie degli stessi elemeti. Nell popolzioe costituit di quttro elemeti " cd,,,,: i cmpioi " cd,,, e " d,,, soo differeti perché ho elemeti diversi; i cmpioi " d,,, e " d,,, soo differeti perché gli stessi elemeti ho ordie diverso. Per quto imo visto, i geerle esistoo: $ ^- h$ $ ^- + h differeti cmpioi orditi (sez ripetizioe) di dimesioe estrtti d u popolzioe di elemeti. Cmpioi o orditi sez ripetizioe: due cmpioi differiscoo se ho lmeo u elemeto diverso e o import qule si l ordie degli elemeti. I sostz u cmpioe o ordito è semplicemete u sottoisieme dell popolzioe; i u certo seso è il cmpioe per toomsi. Per quto imo visto, i geerle esistoo: l cmpioi o orditi sez ripetizioe. Suppoimo or che u elemeto estrtto dll popolzioe veg reimmesso ell popolzioe e duque poss essere estrtto di uovo (cmpioe co ripetizioe). Cmpioi orditi co ripetizioe: ogi scelt prevede possiili idividui, quidi u cmpioe di elemeti si potrà scegliere i modi differeti. OSSERVA Ci chiedimo qute prole si possoo scrivere co tre lettere, che ripetute scelte i u lfeto di 6 lettere. Sez ripetizioi il umero di prole è: 6 $ 5 $ 4 = Se le lettere possoo essere ripetute, llor ogi letter può essere scelt i 6 modi diversi e il risultto è: 6 $ 6 $ 6 = I cmpioi co ripetizioe possoo vere dimesioe mggiore dell dimesioe dell popolzioe. Per esempio A = ",,,,, è u cmpioe co ripetizioe ^ = 5h dll popolzioe X = ",, ^ = h. I questo cso il termie cmpioe è d itedersi i seso lto. Cmpioi o orditi co ripetizioe: due cmpioi o orditi co ripetizioe differiscoo per gli elemeti che cotegoo o per il umero di volte che ciscu elemeto compre el cmpioe. Per esempio ell popolzioe " c,,, i due cmpioi ",,, e ",,, soo uguli metre i due cmpioi ",,, e ",,, soo diversi. D u lfeto di 4 lettere,, c, d voglimo formre coppie di lettere, che ripetute, sez teere coto dell ordie. Ci chiedimo qute soo queste prole.
13 Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio CAPITOLO Possimo elecrle e cotrle, perché il umero è reltivmete piccolo. Iizimo elecre tutte le prole che cotegoo lmeo u :,, c, d. Poi cotimo tutte le prole che cotegoo lmeo u, vedo cur di escludere l prol che è già stt cosidert i precedez. Iftti, poiché o cot l ordie, doimo cosiderre uguli due prole che differiscoo solo per l ordie delle lettere:, c, d. Procedimo co le prole che cotegoo lmeo u c, sez currci come prim delle prole c e c: cc, cd. Ifie, rime d predere i cosiderzioe l prol dd. Rissumedo, imo le segueti prole:,, c, d, c, d cc, cd dd cioè 0 prole i tutto. Il coteggio effettuto ell esempio precedete è stto semplice, perché il umero di prole er reltivmete piccolo. I geerle però il coteggio del umero di cmpioi o orditi co ripetizioe è piuttosto complesso. È possiile dimostrre che il umero di cmpioi o orditi co ripetizioe di elemeti scelti i u popolzioe di elemeti è ugule l umero di cmpioi o orditi sez ripetizioe di elemeti scelti i u popolzioe di + - elemeti. I simoli esistoo: + - I+ -M! c = m! I- M! cmpioi o orditi co ripetizioe di elemeti scelti i u popolzioe di elemeti. I u ufficio ci soo 8 prtiche e 5 impiegti. Clcolimo i quti modi diversi le prtiche possoo essere ssegte gli impiegti. Ammettimo che ogi impiegto poss ricevere più di u prtic e cosiderimo lecito ddirittur che u solo impiegto ricev tutte e 8 le prtiche. L rispost è: + - c m = 8 l = 495. Rissumimo ell tell seguete i risultti trovti. Aimo idicto co il umero di elemeti dell popolzioe e co il umero di elemeti del cmpioe. Cmpioi orditi o orditi sez ripetizioe $ ^- h$ $ ^- + h l co ripetizioe + - c m 3
14 SEZIONE A Aritmetic e lger ESERCIZI 3 I u ristorte si può scegliere tr 3 tipsti, 5 primi, 3 secodi e dolce. Quti diversi przi completi si possoo fre? 645@ Quti soo i sottoisiemi di u isieme di 0 elemeti? 604@ Quttro studeti vegoo mdti dl preside per delle comuiczioi. Nell sl d ttes devoo mettersi i fil per essere ricevuti. Quti soo i modi possiili i cui i quttro studeti possoo disporsi? 64@ Dimostr lgericmete che l = c + - m c m. Cosider l equzioe 3 l = 440 i cui è u umero turle. H soluzioi? I cso di rispost ffermtiv, determile; i cso di rispost egtiv, spieg perché o h soluzioi. Espdi ^+ h 6. Qul è il coefficiete di 0 ello sviluppo di ^ + h 0? @ Qul è il coefficiete di 3 3 ello sviluppo di ^+ 3h 6? 6430@ Quti soo gli grmmi dell prol mtemtic? 65 00@ I u scchetto ci soo 0 pllie colorte: mrroi, rosse, 3 rcioi, lu, celeste, verde. Estri cso u plli sez reimmissioe e ot il colore. Poi fi lo stesso co l secod, co l terz e così vi fio ll decim. I quti modi diversi puoi estrrre le dieci pllie? 65 00@ Qute soo le possiili strette di mo tr 0 persoe? E tr 0? E tr 00? 645, 90, 4950@ 4
15 Il prolem del cotre Elemeti di se del clcolo comitorio CAPITOLO Qute digoli ci soo i u poligoo covesso di lti? 3 ] ] c ] Il gioco del Lotto cosiste ell estrrre 5 umeri tr e 90, sez ripetizioe e per i quli l ordie o h importz. Fre u mo vuol dire idovire due umeri, i quluque ordie, sull ciqui estrtt. Quti soo le possiili ciquie? @ Quti soo i possiili mi? 64005@ Se giochi l mo " 7, 0, qute soo le possiili ciquie che lo cotegoo? @ 4 Fre u tero l gioco del lotto vuol dire idovire tre umeri, i quluque ordie essi esco, sull ciqui estrtt. Se giochi il tero " 7, 0, 5, qute soo le possiili ciquie che lo cotegoo? 6374@ L pssword di ccesso u sito we è formt d 3 cifre, che ripetute, scelte ell isieme " ,,,,,,,,,, e d due lettere miuscole, che ripetute, scelte i u lfeto di 6. Qute soo le possiili pssword? @ Suppoi di vere 5 lettere idetiche che vuoi iserire i 7 uste tutte di colore diverso. I ogi ust può etrre l mssimo u letter e uste rimrro vuote. I quti modi puoi iserire le lettere elle uste? 6@ Devi mdre quttro lettere diverse quttro destitri diversi. Se metti cso le lettere elle uste idirizzte, qute diverse cofigurzioi puoi otteere? 64@ Se lci 3 ddi distiguiili (quidi ",,, è cosiderto diverso d ",,,), quti risultti puoi otteere? 66@ 9 Vuoi mettere 4 pllie idistiguiili i 4 sctole distiguiili. I quti modi puoi procedere? 635@ A C D 0 U fmigli di 0 persoe possiede due utomoili (A e B), ciscu co 6 posti. I quti modi diversi i fmigliri si possoo distriuire per u viggio? 667@ 5
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO. Disposizioni
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