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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Meccanica Esame del In un piano verticale un asta omogenea AB, di lunghezza l e massa m, ha l estremo A vincolato a scorrere senza attrito su una guida verticale. Una forza verticale F agisce su tale estremo. (i) Determinare come deve dipendere F dall angolo θ che l asta forma con l asse verticale affinché la velocità angolare dell asta sia costante, pari a ω 0. (ii) alcolare in tali condizioni la reazione vincolare agente in A sull asta. A F l, m B

2 Allievi meccanici AA prova del Problema N. M, J A F B B OB=2L OA=A=L O A M c a c Vc f D F Il sistema articolato in figura, posto nel piano verticale, è composto dall asta OB (massa M e momento di inerzia baricentrico J A ) e dall asta A (priva di massa) collegata ad OB mediante una cerniera in A. All estremo B dell asta OB agisce in direzione verticale la forza nota F B. All estremo dell asta A agisce una forza incognita F ed è posta una massa concentrata M. La guida orizzontale del punto è caratterizzata da un coefficiente di attrito di strisciamento f D. Sia assegnata la posizione angolare dell asta OB, espressa tramite l angolo. Sono altresì assegnate la velocità V e l accelerazione a del punto, con i versi indicati in figura. Si richiede di ricavare: velocità ed accelerazione angolare dell asta OB; la forza Fc corrispondente al moto assegnato; la reazione vincolare in corrispondenza della cerniera O. Problema N.2 M sin M 2 3 H R,, D, R J M m H m o m o R 2, M 2, J 2 F f v, f D, f A M 3 M Il sistema in figura è costituito da un motore (caratterizzato da una coppia m di cui è fornita l espressione della curva caratteristica e da un momento di inerzia J M ), che aziona una puleggia di raggio R tramite una trasmissione (rapporto di trasmissione e rendimenti D e R). Sulla puleggia si impegna una fune considerata inestensibile, priva di massa e di diametro trascurabile, alle cui estremità sono connessi da un lato un disco (raggio R 2 massa M 2 e momento di inerzia baricentrico J 2 ), e dal lato opposto una massa M 3, secondo lo schema di figura, con M 2 sin > M 3. Il disco rotola senza strisciare su un piano inclinato dell angolo, ed il contatto con il piano è caratterizzato da una resistenza al rotolamento (parametro f v ), mentre f D e f A sono rispettivamente i coefficienti di attrito di strisciamento e di aderenza tra disco e piano inclinato. Al centro del disco è applicata una forza F. Si richiede di ricavare: l accelerazione del disco allo spunto, in salita;

3 Allievi meccanici AA prova del per la condizione precedente, la tensione nella fune in corrispondenza della sezione H-H; la velocità di regime del centro del disco, sempre in salita; il tempo necessario affinché il sistema abbia velocità nulla, a partire dalla condizione di regime, in cui si annulli la coppia motrice. Problema N.3 M, J k k 2 R R = 2R 2 =2R R 2 k = 2k 2 = 2k J = (/2)MR 2 =2 o Il sistema vibrante sopra raffigurato è costituito da due dischi tra loro solidali, aventi rispettivamente raggi R e R 2, mentre M e J sono rispettivamente la massa ed il momento di inerzia dell insieme dei due dischi. Due molle di rigidezza k e k 2 sono collegate al corpo tramite fili inestensibili, privi di massa e di diametro trascurabile che si avvolgono sulle circonferenze dei due dischi. Sul disco è applicata una coppia nota pari a = 0 cos( t). Si richiede di ricavare, utilizzando i legami indicati a lato nella figura e nell ipotesi di puro rotolamento senza resistenza (parametro f v =0): la pulsazione naturale o del sistema; l ampiezza del moto a regime. 2

4 Allievi meccanici AA prova del Problema N. AB=B=D = cost. Il meccanismo in figura è posizionato nel piano verticale, la sola piastra B è dotata di massa. Una coppia resistente Mr è applicata all asta D. Per la posizione del sistema assegnata si chiede di determinare: i) la velocità del baricentro G e la velocità angolare della piastra B; ii) l accelerazione del baricentro G e l accelerazione angolare della piastra B; iii) la coppia Mm da applicare alla manovella AB per garantire il moto. Problema N.2 Del veicolo in figura è nota la massa totale M, il raggio ed il momento d inerzia di ogni singola ruota (2 ruote per asse) ed il momento d inerzia di un volano oltre alle dimensioni indicate in figura. Il volano è collegato all asse delle ruote posteriori attraverso una trasmissione a cinghia di rendimento e rapporto di riduzione D/ R 2 / 3 2 / assegnati. Il piano inclinato è scabro ed il

5 Allievi meccanici AA prova del contatto è caratterizzato da un coefficiente di attrito statico, radente e volvente rispettivamente fs, fr ed fv. Supponendo di trascurare la resistenza aerodinamica si chiede di: i) calcolare l accelerazione del veicolo in discesa. ii) verificare l aderenza delle ruote posteriori. Problema N.3 Il sistema in figura si trova nella sua posizione di equilibrio. Un asta di massa m e lunghezza L è appoggiata su due dischi omogenei di raggio R. Nel punto di contatto tra asta e disco non vi è strisciamento. L asta è collegata a terra con un elemento elastico-dissipativo di caratteristiche note. Inoltre sul disco di centro O è avvolta una fune che non può strisciare ed è collegata a terra con un secondo elemento elastico dissipativo. Al disco di centro O è applicata una coppia nota di espressione pari a cos 0 t Assumendo la rotazione come coordinata libera si chiede di determinare: i) l equazione di moto del sistema ii) la frequenza del moto libero non smorzato iii) la risposta a regime. 2

6 Allievi meccanici AA prova del Problema N. Del sistema meccanico riportato in figura sono note tutte le quantità geometriche riportate, ed è posizionato nel piano verticale. Il disco omogeneo di centro rotola senza strisciare sulla guida curvilinea, tale disco è il solo corpo dotato di massa M e momento di inerzia baricentrico J. Si consideri il sistema nell istante in cui l asta AB è in posizione orizzontale, nota la portata in ingresso nella camera del cilindro Q IN =cost, si richiede:. determinare velocità e accelerazione del centro del disco ; 2. determinare tramite un bilancio di potenze la pressione nel cilindro necessaria a garantire il moto del sistema; 3. calcolare le reazioni vincolari in A.

7 h h Problema N.2 L impianto di sollevamento riportato in figura è posto nel piano verticale. Le dimensioni geometriche note sono quelle indicate in figura, inoltre sono note masse e momenti d inerzia di tutti i corpi. La curva caratteristica del motore è di tipo lineare, con equazione m = o (- m/ s). Si richiede di: 4. determinare l accelerazione allo spunto della massa m 2 in salita, sotto l ipotesi di moto diretto; 5. determinare la velocità della massa m in salita a regime; 6. calcolare il tiro della fune nella sezione h-h, nella condizione del punto ; 7. indicare quale relazione deve sussistere tra la massa m e la massa m 2 affinché il moto sia retrogrado a regime, con m in salita. (t) Problema N.3 Il sistema in figura si trova nella sua posizione di equilibrio, sono note le masse e la geometria del sistema. Assumendo la rotazione della puleggia p come coordinata libera, si richiede di determinare: 8. l equazione di moto del sistema 9. la frequenza del moto libero; 0. la risposta a regime essendo (t)= 0 e iωt.

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