Sistemi a Radiofrequenza II. Schiere di antenne

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1 Esercizio 7. Data la schiera lineare equispaziata uniforme di 5 dipoli, disposti come in figura, disegnare il diagramma di irradiazione complessivo nei tre piani coordinati sapendo che: ϕ = e d = z y x d Soluzione 7. d ψ = kd cosϑ+ ϕ= π cosϑ+ ϕ ψ = Il massimo del diagramma d irradiazione si ha per, e quindi: d π cos( ϑmax) + ϕ = cos( ϑmax) = ϑmax = 9 Calcolo del visibile: [, ] [-, ] ϑ π ψ π π Calcolo degli zeri: Gli zeri del diagramma d irradiazione sono dati dall equazione: d π π cos ϑz, ± p+ ϕ=± p p=,... N π ± p cos ϑ N z, ± p = cosϑz, ± p =± p d π N N ( N ) per N pari per N pari Politecnico di Torino Pagina di 45

2 Quindi: ϑ - = arccos( ) = 66.4, ϑ = arccos( ) = z, z,- ϑ 4 4 = arccos( ) = 36.4, = arccos( ) = z, ϑz, FATTORE DI SCHIERA N= 5 phi= d/lbd= psi (rad) Nel piano xz e xy il fattore di schiera è: 9 z, y x Politecnico di Torino Pagina di 45

3 mentre nel piano zy: 9 z y Nel piano xy il diagramma d irradiazione del dipolo è: 9 y x Politecnico di Torino Pagina 3 di 45

4 mentre nei piani xz e yz è: 9 z x, y Il diagramma di irradiazione complessivo (prodotto del diagramma di irradiazione del dipolo per il fattore di schiera) nei 3 piani coordinati è: y z x 8 x z y Politecnico di Torino Pagina 4 di 45

5 Esercizio 7. Data la schiera lineare equispaziata uniforme di 6 dipoli, disposti come in figura, determinare lo sfasamento ϕ tale che il fattore di schiera abbia il massimo di irradiazione lungo ϑ= 45. Disegnare, quindi, il diagramma di irradiazione complessivo nei tre piani coordinati sapendo che d= z y x d Soluzione 7. d ψ = kd cosϑ+ ϕ = π cosϑ+ ϕ ψ = Il massimo del diagramma d irradiazione si ha per, e quindi: d π cos( ϑmax) + ϕ = ϕ = π cos ( ϑmax) ϕ= π Calcolo del visibile: [ ] [ ] ϑ, π ψ -5.36,.9 rad Calcolo degli zeri: Gli zeri del diagramma d irradiazione sono dati dall equazione: d π π cos ϑz, ± p+ ϕ=± p p=,... N N ( N ) per N pari per N pari π π ± p ϕ ± p + π cos N z, p cos N ± ϑ ± = ϑz, ± p = cosϑz, ± p = p d + π π N Politecnico di Torino Pagina 5 di 45

6 Quindi: ϑ = 68., ϑ = 87.7, ϑ = 7., ϑ = 8.8, ϑ = 63.6 z, z, z, 3 z, 4 z, 5 FATTORE DI SCHIERA N= 6 phi= d/lbd= psi (rad) Nel piano xz e xy il fattore di schiera è: z, y x Politecnico di Torino Pagina 6 di 45

7 mentre nel piano zy: 9 z y Nel piano xy il diagramma d irradiazione del dipolo è: 9 y x Politecnico di Torino Pagina 7 di 45

8 mentre nei piani xz e yz è: 9 z x, y Il diagramma di irradiazione complessivo (prodotto del diagramma di irradiazione del dipolo per il fattore di schiera) nei 3 piani coordinati è: y 9 6 z x 8 x z y Politecnico di Torino Pagina 8 di 45

9 Esercizio 7.3 Determinare il numero di elementi isotropici necessario per realizzare una schiera uniforme a irradiazione broadside con larghezza del lobo principale a 3 db inferiore a 7, supponendo un valore di d/=.6. Soluzione 7.3 ψ = kd cosϑ+ ϕ Dobbiamo realizzare una schiera broadside quindi ϕ = La larghezza del lobo principale a -3dB deve essere inferiore a 7. Sapendo che il rapporto tra ψ ψ HP FN.45 πd cosα HP.45 πd cosα FN cosαhp cos(9 7) cosαfn ψhp è circa costante calcoliamo la posizione del primo zero: ψ FN 7 α HP Imponiamo ora la condizione di First Null e l assenza di grating lobes: d π π cosαfn = N d N = + max = 9 + cosα max N N N cosα FN N ( α ) Politecnico di Torino Pagina 9 di 45

10 N + = 4.69 cosα FN Approssimando all intero superiore otteniamo: N = 5 Politecnico di Torino Pagina di 45

11 Esercizio 7.4 Un antenna per trasmissione radio FM opera nella banda [88-6] Mhz. L antenna è una schiera uniforme di N=6 dipoli collineari, alimentati in fase, allineati lungo ẑ. Agli effetti di tale esercizio i dipoli possono essere considerati elementari. I dipoli sono diretti lungo ẑ e distanti d =. 3m.. Disegnare il diagramma di irradiazione nei tre piani coordinati (x,y), (x,z), (y,z) alla frequenza di centrobanda. Calcolare l ampiezza del fascio al cui bordo la potenza si dimezza rispetto al valore massimo (HPBW) 3. Calcolare l apertura del lobo principale Soluzione 7.4 Disposizione della schiera z y Diagramma di irradiazione del singolo dipolo F dip ( ϑ, ϕ) F ( ϑ) = sinϑ = dip Frequenza di centrobanda x fc = = 97Mhz c c = = 3.m f Distanza elettrica c d =.365 c Politecnico di Torino Pagina di 45

12 Calcolo di ψ ψ = π d cosϑ+ φ φ = poiché i dipoli sono alimentati in fase d ψ = π cosϑ=.934cosϑ Visibile: l intervallo corrispondente al visibile è ϑ π ϑ = ψ =.934 cos =.934, ψ / π =.365 ϑ = π ψ =.934 cosπ.934, ψ / π =.365 Massima irradiazione d π ψ = π cosϑ = ϑ=, ψ / π = la massima irradiazione si ha per ϑ = 9, quindi la soluzione è di tipo BROADSIDE Diagramma del fattore di schiera F N= Ψ/π θ = π θ = π/ θ = Zeri e lobi superiori ψ zeri p =± π p = [,,3,4,5] N p = ± ψ / π = ±.67 p = ± ψ / π = ±.333 Politecnico di Torino Pagina di 45

13 = ± 3 ψ / π = ±.5 p è oltre l intervallo di visibilità. I lobi superiori si ottengono dal diagramma del fattore di schiera ψ = ±.4 F =.5 π ψ = ±.365 F =. π I valori in ϑ si ottengono invertendo la relazione ψ = π d cosϑ ψ / π ϑ= arc cos( ).365 ϑ = 6.77 z ϑ = 4.7 z ϑ = 7.3 z ϑ = z Costruzione del diagramma del fattore di schiera Calcolo dell HPBW Sia ϑ HP l angolo corrispondente alla direzione in cui la potenza si dimezza g= FF 6 dip guadagno della schiera π g( ϑhp ) = g( ϑmax ) = g( ϑ= ) HPBW = ( ϑ ϑ ) max HP Politecnico di Torino Pagina 3 di 45

14 il guadagno è proporzionale al quadrato del campo irradiato F F tot tot = FF HP F ( ϑ ) = 6 HP 6 dip ( ϑ ) = = sinϑf ( ϑ) F tot sinϑ 6 π ( ϑ = ) = HP π π sin( ) F6 ( ) = = F 6 è più direttivo di sinϑ : possiamo pensare di calcolare ϑ HP in modo iterativo, supponendo che ϑ HP = ϑ' HP ϑ ' HP F6[ ϑ ' HP] = è l angolo a cui il fattore di schiera si riduce di dal grafico si ottiene ψ =.75 π HP6 ϑ ' = 78. HP si procede iterando da cui F ( ϑ HP ) Fdip ( ϑhp ) F6 ( ϑ' ' ) F ( ϑ' 6 HP dip HP = F6 ( ϑ '' HP ) = = sin ϑ ' HP.979 ϑ '' HP6 = 79 F6 ( ϑ ''' HP ) = = sin ϑ '' HP.98 ϑ ''' = 79 HP6 ) riporto questo valore sul grafico e ricavo il nuovo ψ π HP6 da cui HPBW = (9 79 ) = Calcolo dell ampiezza del lobo principale piano x,y diagramma isotropico piano x,z e y,z il dipolo non introduce zeri; gli zeri sono quelli del fattore di schiera p ψzeri =± π N ϑ = 6.8 ϑ ϑ z, z, + lobo = 7. = = 54.4 Politecnico di Torino Pagina 4 di 45

15 Costruzione del diagramma del fattore di schiera Cerchio centrato in φ con raggio kd o Politecnico di Torino Pagina 5 di 45

16 F 6 sinϑ Politecnico di Torino Pagina 6 di 45

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18 Costruzione del diagramma di irradiazione del fattore di schiera Cerchio centrato in φ con raggio kd o Politecnico di Torino Pagina 8 di 45

19 Confronto tra il diagramma di irradiazione dipolo e quello del fattore di schiera N=6 broadside Politecnico di Torino Pagina 9 di 45

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22 Esercizio 7.5 Un antenna per ricezione UHF opera alla frequenza f = 84 MHz; è formata da N=8 dipoli orizzontali alimentati con la stessa ampiezza e sfasamento progressivo φ. La schiera è disposta lungo xˆ, mentre i dipoli sono orientati lungo ŷ. La distanza tra gli elementi è d=4 cm Determinare lo sfasamento φ in modo che la direzione di massima irradiazione sia lungo l asse xˆ Disegnare il diagramma di irradiazione nei tre piani coordinati (x,y) (x,z) (y,z) Calcolare l apertura del lobo principale dell antenna complessivo nei due piani (x,y) (piano E) e (x,z) (piano H) z d y x Soluzione 7.5 L angolo ϑ si conta dalla direzione di allineamento Lunghezza d onda c = =.357m f Calcolo di ϕ Schiera end-fire: massima irradiazione per ϑ = ψ = per ϑ = ψ = kd cosϑ+ ϕ o Politecnico di Torino Pagina di 45

23 d ψ ( ϑ= ) = kd o + ϕ = π + ϕ d ψ ( ϑ= ) = ϕ= π = 4. Si introduce la grandezza ψ t= π d ϕ d d d t= (cos ϑ) + = cos ϑ = (cosϑ ) π Calcolo del visibile ϑ = t = d ϑ = π t = ( ) =.784 Calcolo degli zeri di ψ (e quindi di t) p ψzp = π N p=±, ±,..., ± 7 p tzp = N p=±, ±,..., ± 7 poiché -.784<t< si scartano i p positivi p t È fuori dall intervallo di visibilità Calcolo degli zeri in ϑ d t ψ = (cosϑ ) cosϑ = d / t ϑ= arccos( + ) d = 47.6 ϑz, ϑ ϑ z, z, 3 = 68.7 = 87. Politecnico di Torino Pagina 3 di 45

24 ϑ ϑ ϑ z, 4 z, 5 z, 6 = 6 = 7 = 55.9 Calcolo dell apertura del lobo principale In nessuno dei due piani (x,y) e (x,z) il dipolo aggiunge zeri sul lobo principale, per cui l apertura è uguale in entrambi i piani e dipende dal primo zero del fattore di schiera ϑ = 47.6 = 95. Politecnico di Torino Pagina 4 di 45

28 Esercizio 7.6 Progettare un fattore di schiera: End-fire con distanza angolare tra i primi zeri di 6 Soluzione 7.6 La schiera va progettata calcolando a) la spaziatura degli elementi b) il numero di elementi c) lo sfasamento Bisogna evitare i grating lobes Calcolo di ψ ψ = kd cosϑ+ ϕ Schiera endfire: ψ ( ϑ= ) = o ψ ( ϑ = π ) = Scegliamo la prima da cui ψ ( ϑ= ) = kd+ ϕ= ϕ = k d ψ = kd (cosϑ ) Condizione sugli zeri direzione di allineamento Il primo zero si deve avere in ϑ = 3 π π ψz= kd (cosϑ ) = N N d = = N(cosϑ ) N Politecnico di Torino Pagina 8 di 45

29 Condizione sui grating lobes d + cosϑ M N ϑ M = è l'angolo di massima irradiazione d ( ) N Ponendo a sistema d = N d N N N N N N 4.9 N Scelta finale 6 perchè intero N = 6 d = =.466 N d ϕ = π = 68 Politecnico di Torino Pagina 9 di 45

30 Esercizio 7.7 Disegnare il diagramma di irradiazione qualitativo, nei tre piani principali, della schiera uniforme in figura. I dipoli sono alimentati in fase, allineati lungo ŷ e spaziati di d =/ 3. z d y x Soluzione 7.7 d ψ = π cosϑ+ ϕ = π cosϑ 3 Visibile: ϑ = ϑ = π ψ = π 3 ψ = π 3 Zeri: π ψ =± p N π 3 ψ=+ cosϑ = ϑ = ψ = π è fuori dal visibile Massimo: π ϑ M = Politecnico di Torino Pagina 3 di 45

32 Esercizio 7.8 Calcolare la direzione di massima irradiazione e l ampiezza (tra gli zeri) del lobo principale nei due piani (x,y) e (y,z) per la schiera di dipoli elementari in figura. Dati: 4, π N = ϕ = 8, d =.4. z d y Soluzione 7.8 Max irradiazione ψ = π kd cosαm + ϕ= π.4 cosαm + = 8 99 α M Ampiezza lobo Visibile: α = ψ =. 95π α = π ψ =. 675π π π ψ z =± =± 4 π ψz =+ α = 6 π ψz = α = 4.4 zeri fattore di schiera: piano yz x dipolo isotropico quindi l ampiezza è quella determinata dal fattore di schiera α = = Politecnico di Torino Pagina 3 di 45

33 piano xy dipolo zero per α = 9 zeri fds zeri dipolo massimo fds α = = 5. 4 piano xz (non richiesto) fds isotropico Politecnico di Torino Pagina 33 di 45

34 Esercizio 7.9 Si consideri una schiera di N=4 trombini alimentati in fase ( =, vedi figura). Calcolare l ampiezza tra gli zeri del lobo principale nel piano E (vedi approfondimento). φ π B =. d =.3 ϑ < Soluzione 7.9 Attenzione a ϑ e α! ϑ F( ϑ) = F4 ( α) FE ( ϑ) cos trombino ksen ϑsenϕ B FE Il piano E ha sin = Trascuriamo F 4 ( α) : ψ π ϕ = ϕ ϑ cos visibile: zeri: min 8 max = = ψ π ψ n =± p N π π π ψ=+ ϑz= arccos.94 d = π π π ψ = π ϑz = arccos d = π Politecnico di Torino Pagina 34 di 45

35 3π 3π π ψ 3 =+ ϑz3 = arccos d = π π π ψ 4 = π ϑz 4 = arccos d = π π α M = ϑm = massimo: Calcolo di F E (ϑ) : B FE = const sinc π sinϑ B π sin ϑ = u visibile: u u min max zeri: F π B π α = π ϑ= umin = π sin = 3.77 π B π α = ϑ= umax = π sin = 3.77 E = u =± π, ± π (fuori dal visibile) z u = π ϑt = arcsin.985 rad 56.4 = B massimo: Complessivamente u ϑ max = M = Politecnico di Torino Pagina 35 di 45

36 zeri F E zeri fds massimo fds Il lobo principale ha semi-ampiezza data dal solo fattore di schiera e pari a Politecnico di Torino Pagina 36 di 45

37 Approfondimento Piano E piano (y,z) Nel piano E diagramma di irradiazione del trombino k sin sin ϑ ϕb ϑ F cos E π k sin ϑb ϑ ϕ = F cos E ma piano E Analisi fattore di schiera Trombino zeri π ψn = ± p N zero π ψ = ϑ =.94 rad = F E k sin ϑb = cost sinc k sinϑb π π = π sinϑ= = Bk πb zero ϑt = arc sin =.984 rad = 56.4 B Politecnico di Torino Pagina 37 di 45

38 Esercizio 7. Studiare l irradiazione in campo lontano da una linea di trasmissione costituita da un filo sottile a distanza h da un piano di massa infinito, adattata all estremità z=l e alimentata da un generatore adattato in z=-l scrivere l espressione del campo irradiato trovare le posizioni degli zeri nel piano (y,z) disegnare il diagramma di irradiazione nei piani (x,y) e (y,z) detto ϑ ' l angolo a metà tra gli zeri del lobo principale nel piano (y,z), calcolare il campo elettrico in modulo, irradiato a distanza R in tale direzione, nel piano considerato Dati: f = 33 MHz h= l= 5 R= 3 V = V Z g = Ω Soluzione 7. Si applica il principio delle immagini, rimuovendo il piano infinito Politecnico di Torino Pagina 38 di 45

39 Si ottiene una schiera di due elementi in controfase Calcolo di P e per il singolo elemento I( z) = Ie I I( l) = I( z) = = I( l) e jkz V Z Z jkl V Je = I( z) δ ( x) δ ( y) zˆ ~ jkrr ˆ ' 3 J ( krˆ) = e J ( r')( dr') e g g 3 R e jkl e jkz z ' = z zˆ rˆ r ' = z cosϑ e V J = ( kr) = e I ( z) ( x) ( y) zdxdydz= e e e z e l jkz cosϑ g jkl jkz jkz cosϑ ˆ δ δ ˆ ˆ Z l jkz(cosϑ ) Vg jkl e = e Z jk (cosϑ ) Vg e jkl sin [ kl (cosϑ ) ] z ˆ Z k ϑ jkl = = (cos ) Vg = e Z zˆ sinc kl ( cosϑ ) l l [ ] V P ( rˆ ) = J ( krˆ ) I = e lsinc kl(cos ) ˆ ϑ sinϑ g jkl e e t, rˆ Z Calcolo del campo irradiato dal singolo filo zˆ [ ϑ ] Z Z V E( rˆ ) = j e P ( rˆ ) = j e lsinc [ kl(cosϑ ) ] sinϑϑˆ r r Z jkr jk ( r+ l ) g e Politecnico di Torino Pagina 39 di 45

40 Calcolo del fattore di schiera Chiamiamo β l angolo formato dalla direzione di allineamento e dalla direzione di osservazione F( rˆ ) = N jn e ψ n= ψ = kd cosβ + ϕ se il riferimento è in uno dei due dipoli d = h ϕ = π π cosβ = cos( ϑ) = sinϑ ψ = k hsinϑ+ π + ψ ψ ψ jm j j ˆ ( ) = = + = cos n= F r e e e ψ π = cos kh sinϑ+ = sin sin Calcolo del campo totale [ kh ϑ] Z V jk ( r+ l ( ˆ) ) g E r = j e lsinc [ kl (cosϑ )] sin ϑ( )sin( kh ˆ sin ϑ) ϑ r Z Calcolo degli zeri nel piano (y,z) le grandezze che dipendono da ϑ sono sinϑ ϑ = ϑ = π Z Z sin( khsinϑ) khsinϑ = mπ nel nostro caso h << h k hsinϑ = π sinϑ < π Politecnico di Torino Pagina 4 di 45

41 l unico zero si ha per m= k hsinϑ = sinϑ = come il caso precedente sinc[ kl(cosϑ )] kl(cosϑ ) = mπ mπ mπ m cosϑ = = = kl π l l cosϑ è sempre negativo m m cosϑ = cosϑ = l l Valori numerici ϑ Z Z = m ϑzi = arccos ϑ = 8 m=,...,9 [ 5.8,36.9,45.6,53.,6,66.4,7.5,78.5,84.,9 ] Lobo principale ϑ = ϑ = 5.8 angolo a metà ϑ ' =. 9 Politecnico di Torino Pagina 4 di 45

45 Esercizio 7. y / 3 π π π F a s e x Si considerino 6 dipoli orientati secondo l asse z ed equispaziati. Sapendo che le alimentazioni hanno la stessa intensità e la fase indicata in figura, disegnare qualitativamente il diagramma di irradiazione e calcolare le direzioni di zero nei tre piani coordinati. Soluzione 7. La schiera in figura non può essere studiata come le schiere viste in precedenza perché non è a sfasamento costante. Possiamo però considerare il sistema come una schiera di schiere. Si considera dapprima la schiera formata solo dai primi dipoli e successivamente la schiera formata da 3 dipoli elementari, che sono rispettivamente la coppia (;), (3;4), (5;6). Prima schiera y /3 /3 π x Seconda schiera y /3 x La seconda schiera sarà quindi una schiera broadside (sfasamento nullo). È lasciato allo studente lo studio dei 3 piani coordinati e l analisi del fattore di schiera risultante. Politecnico di Torino Pagina 45 di 45