2. Semantica proposizionale classica

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1 20 1. LINGUAGGIO E SEMANTICA 2. Semantica proposizionale classica Ritorniamo un passo indietro all insieme dei connettivi proposizionali che abbiamo utilizzato nella definizione degli enunciati di L. L insieme C non include certo tutti i connettivi che utilizziamo nel linguaggio naturale 3. Per esempio possiamo pensare a 2 è un numero primo, ma 3 non lo è; benché la strada sia bagnata, non piove da due settimane; Da quando Margherita ha iniziato a studiare logica non è piú la stessa; quello che ho letto sul giornale non può essere vero. Quelli sopra elencati sono chiaramente connettivi proposizionali anche se un momento di riflessione ci mostra una differenza sostanziale tra questi l insieme dei connettivi C. Questi ultimi, infatti hanno la proprietà di essere, come si dice usualmente anche se con brutta espressione, verofunzionali: il valore di verità di un enunciato è una funzione fissa del valore di verità dei suoi componenti. Una semantica (e quindi una logica) i cui connettivi sono verofunzionali si dice composizionale. L importanza di questo concetto, su cui torneremo in chiusura di capitolo, non può davvero essere sovrastimata 4. Esempio 1.12 (Le modalità non sono vero-funzionali). Si considerino i seguenti enunciati: (1) 2+2=4 (2) l Università italiana è gestita peggio di quelle del nord Europa Entrambi gli enunciati sono veri, ma se anteponiamo a entrambi un operatore di necessità, la seconda diventa, ragionevolmente, falsa Condizioni di verità. Dato un linguaggio L possiamo definire le condizioni di verità espresse dai connettivi in C mediante le cosiddette tavole di verità. L idea è quella di considerare tutte le valutazioni possibili su L (colonna di sinistra) e di riportare nella colonna di destra il valore di verità dell enunciato ottenunto componendo le variabili proposizionali mediante i connettivi in C. Per la definizione delle condizioni di verità dei connettivi proposizionali fissiamo L = p, q} 3 Tralasciando quelli che potremmo inventare! 4 In questo principio si trova sicuramente una prima componente del calculemus leibniziano.

2 Negazione. 2. SEMANTICA PROPOSIZIONALE CLASSICA 21 p p La condizione espressa dalla tavola di verità della negazione è che la negazione di una proposizione vera è falsa, e viceversa la negazione di una proposizione falsa è vera Congiunzione. p q p q Le condizioni di verità per la congiunzione non sono affatto controverse: la congiunzione di due proposizioni è vera soltanto se sono veri entrambi i congiunti Disgiunzione. p q q p La disgiunzione di due proposizioni è falsa quando sono false entrambe. Il caso della disgiunzione puó dare luogo ad alcune controversie legate al fatto che nel linguaggio naturale si userebbe spesso la disgiuzione in senso

3 22 1. LINGUAGGIO E SEMANTICA esclusivo 5 L argomento per l interpretazione esclusiva della disgiunzione si regge su considerazioni di tipo pragmatico, chiamando in causa convenzioni tacite e assunzioni implicite sulla competenza linguistica dei parlanti. Dal punto di vista logico, tuttavia, l interpretazione esclusiva della disgiunzione presuppone che tutte le proposizioni espresse nella nostra logica siano mutualmente esclusive. Questo mal si addice al contesto del ragionamento matematico in cui sicuramente vogliamo che un enunciato come 2 è primo o è pari sia vero! Implicazione. p q p q Come nel caso della disgiunzione possiamo giustificare le condizioni per chiedendoci (nel contesto matematico) quando consideriamo un implicazione falsa e possiamo concludere che questo avviene soltanto nel caso in cui l antecedente sia vero e il conseguente falso. Un implicazione che soddisfi queste condizioni di verità viene spesso detta implicazione materiale. Possiamo riassumere le tavole di verità per L come segue 5 Un esempio di tale uso della disgiunzione ricorre in modo insistente nel passo di apertura del Principe: Tutti li stati, tutti e dominii che hanno avuto et hanno imperio sopra li uomini, sono stati e sono o repubbliche o principati. E principati sono o ereditarii, de quali el sangue del loro signore ne sia suto lungo tempo principe, o e sono nuovi. E nuovi, o sono nuovi tutti, come fu Milano a Francesco Sforza, o sono come membri aggiunti allo stato ereditario del principe che li acquista, come è el regno di Napoli al re di Spagna. Sono questi dominii cosí acquistati, o consueti a vivere sotto uno principe, o usi ad essere liberi; et acquistonsi, o con le armi d altri o con le proprie, o per fortuna o per virtú.

4 2. SEMANTICA PROPOSIZIONALE CLASSICA 23 p q p p q p q p q Esercizio 18. Scrivere la tavola di verità per la disgiunzione esclusiva Esercizio 19. Assumiamo che la nozione di valutazione sia intesa come valutazione e che per connettivi si intenda connettivi vero-funzionali. (1) Elencare tutti i possibili connettivi unari (2) Quanti sono i connettivi binari? Pur avendo definito le valutazioni proposizionali classice soltanto sull insieme delle variabili proposizionali, siamo generalmente interessati a conoscere i valori di verità degli enunciati (non atomici). Possiamo però mostrare facilmente come le valutazioni proposizionali si estendano in modo univoco a tutto EL. Lemma Le valutazioni v : L 2 si estendono univocamente a EL. Dimostrazione. La dimostrazione procederà per induzione, il cui passo base coincide con la Definizione??. Per il passo induttivo assumiamo che le valutazioni siano definite per EL n e mostriamo che lo sono anche per EL n+1. Sia θ EL n+1. Per definizione EL n+1 = EL n θ, (θ ϕ) θ, ϕ EL n,,, }}. Se θ EL n, allora per ipotesi induttiva v(θ) è definita. EL n+1 \ EL n e abbiamo quattro casi: (1) per θ = ϕ 1 definiamo 1 se v(ϕ1 ) = 0; 0 se v(ϕ 1 ) = 1. (2) per θ = ϕ 1 ϕ 2 definiamo 1 se v(ϕ1 ) = v(ϕ 2 ) = 1; 0 altrimenti. (3) per θ = ϕ 1 ϕ 2 definiamo 0 se v(ϕ1 ) = v(ϕ 2 ) = 0; 1 altrimenti. Altrimenti θ

5 24 1. LINGUAGGIO E SEMANTICA (4) per θ = ϕ 1 ϕ 2 definiamo 0 se v(ϕ1 ) = 1 e v(ϕ 2 ) = 0; 1 altrimenti. Esercizio 20. Immaginate un lungo corridoio con due interruttori per la luce posti alle due estremità, diciamo destra e sinistra. Poniamo: p: l interruttore di destra è sollevato q: l interruttore di sinistra è sollevato r: la luce è accesa Costruire θ EL, con L = p, q, r}, che in questa interpretazione esprima il fatto che la luce è accesa esattamente quando i due interruttori sono nella medesima posizione Il paradosso dottrinale. I principi di bivalenza e composizionalità del calcolo proposizionale classico ci permettono di formalizzare un problema che ha recentemente ricevuto molta attenzione nella teoria della scelta sociale: il problema dell aggregazione dei giudizi. Consideriamo uno scenario in cui tre giudici siano chiamati ad esprimersi su un caso di presunta violazione contrattuale. Fissiamo L = p, q, r} che interpretiamo intuitivamente come segue: p: esiste un contratto valido q: l imputato ha violato il contratto r: l imputato è colpevole se e solo se esiste un contratto valido e l imputato l ha violato Il cosiddetto paradosso dottrinale, che ha generato buona parte dell interesse nel problema dell aggregazione dei giudizi, ha origine dalla seguente valutazione che i tre giudici danno dei seguenti enunciati: p q r (p q) r Giudice A 1 Giudice B Giudice C Maggioranza 0 Il problema da luogo a paradosso dal momento che i tre giudizi sono individualmente consistenti, ma la loro aggregazione secondo la procedura di maggioranza produce un giudizio collettivo inconsistente.

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